Kiekybinių sprendimų disciplinos kursinis darbas

TURINYS

KORELIACINĖ REGRESINĖ ANALIZĖ 3

Tyrimo tikslai 3

Koreliacinės analizės y su kiekvienu x1, ., xn atlikimas 3

x1, x2, ., xm atrinkimas regresiniai analizei atlikti 5

Porinė regresinė analizė 5

Daugianarė koreliacinė regresinė analizė 9

Gautų rezultatų aprašymas 14

Tyrimo rezultatų taikymo pavyzdžiai 15

PROGNOZĖ SLENKANČIO VIDURKIO IR EKSPONENTINIO IŠLYGINIMO METODAIS, VIDUTINIŲ KAVDRATINIŲ PAKLAIDŲ APSKAIČIAVIMAS 15

Slenkančio vidurkio metodas 15

Eksponentinio išlyginimo metodas 20

GAMYBOS PLANAVIMO UŽDAVINYS 24

Gamybos uždavinio sudarymas ir išsprendimas grafiškai bei Excel pagalba 24

Dualusis uždavinys 27

Išteklių „šešėlinės“ kainos ir gautų rezultatų aprašymas 29

TRANSPORTO UŽDAVINYS 29

PRIEDAS NR.1 35

PRIEDAS NR.2 35

PRIEDAS NR.3 36

LITERATŪROS ŠALTINIAI 37Tyrimo tikslai

Ekonominių procesų tyrimuose koreliacinė analizė leidžia nustatyti, ar egzistuoja ryšys tarp nagrinėjamų veiksnių, išreikštų kiekybiniais rrodikliais. Esant koreliaciniam ryšiui, nepriklausomojo kintamojo (X) kitimas veikia tik priklausomo kintamojo (Y) vidutines reikšmes.

Regresinė analizė padeda išaiškinti stochastinės priklausomybė formą. Daugianarės koreliacinės regresinės pagalba įvertinsiu Y priklausomybę nuo nepriklausomų kintamųjų.

Norėdama atlikti koreliacinę analizę, pasirenku Y, X1, X2, X3, X4, X5 ir X6.Koreliacinės analizės y su kiekvienu x1, ., xn atlikimas

Atlikdama koreliacinę analizę, skaičiavimams naudosiu vidurkį, kvadratinį nuokrypį ir dispersiją:

Vidurkis – tai visų stebėtų skaitinių duomenų suma, padalinta iš duomenų skaičiaus. Jis apskaičiuojamas pagal formulę: , čia n – sstebėtinų skaitinių duomenų suma. Taip pat vidurkį galima apskaičiuoti naudojantis MS EXCEL funkcija AVERAGE.

Dispersija – tai išsibarstymo apie vidurkį matas. Ji apskaičiuojama pagal formulę arba naudojantis MS EXCEL funkcija VAR.

Vidutinis kvadratinis nuokrypis – tai kvadratinė šaknis iš dispersijos. Jis parodo, kkiek vidutiniškai požymio reikšmės yra nutolusios nuo vidurkio. Jis apskaičiuojamas pagal formulę arba naudojantis EXCEL funkcija STDEV.

Lentelė 1. Duomenys su kuriais atliksiu analizę.

Y X1 X2 X3 X4 X5 X6

999 2 300 1100 800 900 856

3021 7 501 1628 2000 2300 4895

359 1 682 482 344 359 238

763 3 2684 763 1000 741 1758

856 2 1009 550 231 257 626

2868 8 547 1577 3865 851 6095

2269 7 476 1502 9685 245 5298

9756 10 283 3941 10229 589 1427

5873 13 686 2708 6527 825 876

2369 8 4020 1367 3333 255 5235

1000 3 512 600 3333 301 1701

6000 15 1000 2852 7000 600 1200

5692 16 577 2711 6987 456 800

8875 17 280 5231 9875 444 1464

666 2 1000 400 700 600 1520

985 2 999 587 689 456 1258

645 3 76 717 896 569 1133

163 1 886 502 346 125 244

887 4 2613 841 896 359 1574

5796 15 899 3248 6985 2859 931

158 1 678 510 344 125 237

558 2 7893 652 764 658 1258

7792 17 270 6224 1011 861 1550

654 3 480 702 859 125 1259

219 1 876 533 420 354 373

975 3 147 711 1587 456 1758

452 2 987 685 569 125 1675

100 1 850 150 250 130 1652

Suma 70750 169 32211 43474 81525 16925 48891

Vidurkis 2526,786 6,035714 1150,393 1552,643 2911,607 604,4643 1746,107

Dispersija 8464785 31,44312 2476146 2366144 11073692 375085,9 2532538

Kvadratinis nuokrypis 2909,43 5,607417 1573,577 1538,228 3327,716 612,4426 1591,395

Koreliacija atsako į klausimą, ar yra ryšys tarp požymių, kokia jo kryptis ir stiprumas. Koreliacijos koeficientas apskaičiuojamas naudojantis MS EXCEL funkcija CORREL arba pagal formulę:

Koreliacijos koeficientas r gali įgyti reikšmes nuo –1 iki +1. Jei rx,y>0, tai egzistuoja teigiamas koreliacinis ryšys ir reiškia, kad didėjant X, didėja ir Y. Kai rx,y<0, egzistuoja neigiamas koreliacinis ryšys ir X didėjant, Y mažėja. Kai , egzistuoja tiesinė funkcinė priklausomybė ir visų stebėjimų reikšmės sutampa su tiesės linija.

Pagal atliktus skaičiavimus, pateiktus žemiau, matau, kad tarp Y ir X1, X3, X4, X5, X6 ryšys yra teigiamas ir varijuoja nuo silpno iiki stipraus, nes r>0. O ryšys tarp Y ir X2 ryšys yra neigiamas ir gan silpnas.

Lentelė 2. Koreliacija

0,91455107 -0,2266 0,94326456 0,794379311 0,34337 0,061264

Koreliacijos koeficiento r reikšmingumui įvertinti yra naudojamas Stjudento kriterijus tkr (lentelinis arba MS EXCEL funkcijos TINV pagalba, pasirenkant reikšmingumo lygmenį α = 0,05 ir k – laisvės laipsnį, k = n – 2.), kuris lyginamas su stebimąja kriterijaus reikšme.

Stebimąją kriterijaus reikšmę apskaičiuoju pagal formulę:

Jei tst ≥ tkr, tai darome išvadą, kad koreliacijos koeficientas reikšmingas ir stochastinis ryšys tarp x ir y (stochastinis rryšys pasireiškia kaip priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių taip, jog vieno dydžio pokytis veikia kito dydžio pasiskirstymą) egzistuoja. Jei tstx1, x2, ., xm atrinkimas regresiniai analizei atlikti

Apskaičiavusi koreliacijos koeficientą ir stebimąsias reikšmes galiu atrinkti reikšmingiausius X porinei regresinei analizei atlikti. Reikšmingiausi X: X1, X3 ir X4. Nes šiais atvejais tst ≥ tkr.Porinė regresinė analizė

Porinės regresinės analizės tikslas – nustatyti ryšio tarp dviejų veiksnių formą ir analitinę išraišką:

 ieškant kuri kreivė geriausiai aprašo statistinių taškų visumą;

 tikrinant šios kreivės adekvatumą realiai padėčiai (kiek gerai atspindi realybę).

Norėdama rasti kreivę, geriausiai aprašančią statistinių taškų visumą, skaičiuoju koeficientus a1 ir a0:

Šiam tikslui atlikti naudoju mažiausių kvadratų metodą arba MS EXCEL funkcijas SLOPE, INTERCEPT.

Lentelė 4. Koeficientai a0 ir a1 apskaičiuoti pagal formules ir MS EXCEL pagalba

-337,27205 -243,29503 504,5934

INTERCEPT -337,27205 -243,29503 504,5934

474,51845 1,78411 0,69453

SLOPE 474,51845 1,78411 0,69453

Apskaičiavusi koeficientus a1 ir a0, galiu užrašyti regresijos lygtį pagal regresijos lygties pavidalą :

Norėdama įvertinti gautų analitinių išraiškų adekvatumą realiai padėčiai (Fišerio kriterijus, kur , (FINV – dispersijos santykių kritinė reikšmė; porinėje regresinėje analizėje k=1)) lyginu su kiekvienam reikšmingam veiksniui x apskaičiuotais F, kuriuos surandu pagal formulę: .

– regresijos dispersija (atspindi rezultatinio rodiklio visuminę visų veiksnių įtaką):

, k- veiksnių skaičius  k=1

– likutinė dispersija (atspindi rezultatinio požymio variaciją, priklausančią nuo visų likusių veiksnių išskyrus x):

Jei , tai regresijos lygtis yyra adekvati realiai padėčiai ir galima taikyti planavimus be skaičiavimus.

Jei , tai regresijos lygtis nėra adekvati realiai padėčiai.

Taigi į gautąsias lygtis įsistatau reikšmingų X1, X3 ir X4 reikšmes ir apskaičiuoju :

Lentelė 5.

1. 611,764 1719,105 1060,593

2. 2984,354 2661,057 1894,593

3. 137,246 616,593 743,673

4. 1086,282 1117,897 1199,593

5. 611,764 737,905 665,138

6. 3458,872 2570,073 3190,768

7. 2984,354 2436,273 7235,668

8. 4407,908 6787,449 7613,748

9. 5831,462 4587,777 5040,858

10. 3458,872 2195,433 2821,028

11. 1086,282 827,105 2821,028

12. 6780,498 4844,673 5369,593

13. 7255,016 4593,129 5360,558

14. 7729,534 9088,809 7367,718

15. 611,764 470,305 991,093

16. 611,764 803,913 983,448

17. 1086,282 1035,833 1127,313

18. 137,246 652,273 745,063

19. 1560,8 1257,049 1127,313

20. 6780,498 5551,137 5359,168

21. 137,246 666,545 743,673

22. 611,764 919,873 1035,573

23. 7729,534 10860,321 1207,238

24. 1086,282 1009,073 1101,598

25. 137,246 707,577 796,493

26. 1086,282 1025,129 1607,558

27. 611,764 978,745 900,048

28. 137,246 24,305 678,343

Lentelė 6. Apskaičiuota regresijos dispersija (pagal formules pateiktas ankščiau)

191159023,5 203326845,1 144419540,5

Lentelė 7. Apskaičiuota likutinė dispersija (pagal formules pateiktas ankščiau)

1438069,74 969153,8389 3243306,774

Lentelė 8. Apskaičiuotas Fišerio santykis (pagal formules, pateiktas ankščiau)

ir Fišerio kriterijus (su MS EXCEL funkcija FINV)

132,92751

209,79832

44,52849

4,2252

Apskaičiavusi gaunu, kad ir palyginusi su F matau, kad F > Fkr. Tuo remiantis, galiu daryti išvadą, kad šių kintamųjų regresijos kreivės atitinka adekvačią realią padėtį, o tai reiškia, jog toliau galiu jas taikyti planavime ir prognozavime.

Dabar nubraižau Y ir X1, Y ir X3, Y ir X4 priklausomybes.

Naudodamasi MS EXCEL komanda ADD TREDLINE, nubraižau regresijos kreives, kurios yra naudojamos prognozėms.Daugianarė koreliacinė regresinė analizė

Kai nagrinėjame priklausomo veiksnio Y ryšį su keliais nepriklausomais veiksniais X1, X2, ., Xn, tai susiduriame su daugianare koreliacine ir regresine analize. Daugianarės koreliacijos atveju ryšiui tarp kintamųjų atspindėti naudojamas bendras daugianarės koreliacijos koeficientas. Daugianarės koreliacijos koeficientas leidžia įvertinti vieno iš veiksnių (Y) ryšį su visais kitais (X1, X2, ., Xn) kaip visuma.

Tiesinė regresija su m nepriklausomųjų turi tokią išraišką:

Eksponentinė regresija su m nepriklausomųjų turi tokią išraišką:

Mano darbe tiesinė regresijos lygtis yra tokia: , oo eksponentinė regresijos lygtis atrodo taip: .

Norėdama rasti kreivių koeficientus a0, a1, a2, a3 ir b0, b1, b2, b3, naudoju MS EXCEL funkcijas LINEST (tiesinei regresijai) ir LOGEST (eksponentinei regresijai).

Gaunu šias lentelės:

Lentelė 9. LINEST

0,270995639 1,3367333 21,5711595 -467,913894

0,060138936 0,20513327 65,0574184 192,655719

0,950884389 683,902209 #N/A #N/A

154,8810017 24 #N/A #N/A

217323863,2 11225333,6 #N/A #N/A

Lentelė 10. 9 lentelės langelių reikšmės

a3 a2 a1 a0

F

Lentelė 11. LOGEST

1,000097389 1,00012242 1,14437081 337,935796

5,07025E-05 0,00017295 0,05484925 0,16242609

0,827291392 0,57659106 #N/A #N/A

38,32079479 24 #N/A #N/A

38,22007776 7,97897392 #N/A #N/A

Lentelė 12. 11 lentelės langelių reikšmės

b3 b2 b1 b0

F

Tiesinė regresijos lygtis:

Eksponentinė regresijos lygtis:

Iš pirmos lentelės eilutės randu regresijos lygties koeficientus. Antroje lentelės eilutėje yra šių koeficientų vidutiniai standartiniai nuokrypiai. Pirmos lentelės stulpelio trečioje eilutėje yra determinacijos koeficientas D. Pirmo lentelės stulpelio ketvirtoje eilutėje – dispersijos santykis F. Paskutinėje lentelės eilutėje pateikiamos kvadratų sumos, kurių reikia skaičiuojant regresijos bei likutines dispersijas (pirmame stulpelyje yra regresijos dispersijos kvadratų suma, o antrame likutinės dispersijos kvadratų suma). Virš likutinės dispersijos kvadratų sumos (2st, 4eil.) yra šios dispersijos laisvės laipsnis. Kritinę statistikos F reikšmę randu funkcijos FINV pagalba, kurios reikia lyginant dispersijos santykį.

Norėdama įvertinti gautos analitinės išraiškos adekvatumą realiai padėčiai, turiu palyginti lentelinį Fišerio santykį su statistiniu. Jei statistinis santykis didesnis už lentelinį, tai regresijos lygtis yra adekvati realiai padėčiai.

Fišerio santykis:

Norėdama jį apskaičiuoti, turiu rasti regresijos ir likutinę dispersijas tiesinei regresijai ir

eksponentinei regresijai. Apskaičiuoju dispersijas pagal formules:

= , k – reikšmingų veiksnių skaičius  k=3

Tiesinės regresijos regresinė dispersija 72441287,51, o likutinė dispersija 467722,23.

Eksponentinės regresijos regresinė dispersija 130462608,49, o likutinė dispersija 3856612,94.

Tiesinės regresijos dispersijų santykis F=154,88, o eksponentinės – F=33,83.

Surandu kritinę reikšmę 3,00879. Ir tiesinės ir eksponentinės regresijos dispersijų santykis F yra didesnis už kritinę reikšmę Fkr, todėl galima teigti, kad abi regresijos lygtys yra adekvačios realiai padėčiai.

Apskaičiuoju koreliacijos koeficientus R pagal formulę:

Gaunu: tiesinės regresijos R=0,99677, o eksponentinės regresijos R=0,98511.

Šis koreliacijos kkoeficientas parodo ryšio stiprumą tarp Y veiksnio ir visų X veiksnių kartu.

Determinacijos koeficientas D=R2 (jis yra 9 ir 11 lentelių pirmo stulpelio trečioje eilutėje) parodo, kokią priklausomojo kintamojo kitimo dalį nulemia nepriklausomų kintamųjų kitimas, o (100-D) – kiti neįvertinti veiksniai. Determinacijos koeficientas gali priimti 0 ≤ R² ≤ 1 reikšmes. Kuo arčiau R2 yra arčiau 1, tuo pasirinktas modelis geriau aprašo duomenis.

Tai reiškia, kad tiesinė daugianarės regresijos lygtis paaiškina 95,09% Y išsibarstymą apie vidurkį, o eksponentinė regresijos lygtis – 82,73%. TTaigi tiesinė daugianarės regresijos lygtis geriau paaiškin.a Y išsibarstymą apie vidurkį.

MS EXCEL funkcijų TREND (tiesinė) ir GROWTH (eksponentinė) pagalba galiu prognozuoti, kaip pasikeis Y, pakeitus tris jį labiausiai įtakojančius veiksnius: X1, X3 ir X4.

Lentelė 13. Duomenys su kuriais aatlikau tyrimą

Y X1 X3 X4

999 2 1100 800

3021 7 1628 2000

359 1 482 344

763 3 763 1000

856 2 550 231

2868 8 1577 3865

2269 7 1502 9685

9756 10 3941 10229

5873 13 2708 6527

2369 8 1367 3333

1000 3 600 3333

6000 15 2852 7000

5692 16 2711 6987

8875 17 5231 9875

666 2 400 700

985 2 587 689

645 3 717 896

163 1 502 346

887 4 841 896

5796 15 3248 6985

158 1 510 344

558 2 652 764

7792 17 6224 1011

654 3 702 859

219 1 533 420

975 3 711 1587

452 2 685 569

100 1 150 250

Suma 70750 169 43474 81525

Vidurkis 2526,786 6,035714 1552,643 2911,607

Kvadratinis nuokrypis 2909,43 5,607417 1538,228 3327,716

Dispersija 8464785 31,44312 2366144 11073692

Lentelė 14. Nauji duomenys (pakeisti X1, X3 ir X4)

Y X1 X3 X4

999 52 1150 850

3021 57 1678 2050

359 51 532 394

763 53 813 1050

856 52 600 281

2868 58 1627 3915

2269 57 1552 9735

9756 60 3991 10279

5873 63 2798 6577

2369 58 1417 3383

1000 53 650 3383

6000 65 2902 7050

5692 66 2761 7037

8875 67 5281 9925

666 52 450 750

985 52 637 739

645 53 767 946

163 51 552 396

887 54 891 946

5796 65 3298 7035

158 51 560 394

558 52 702 814

7792 67 6274 1061

654 53 752 909

219 51 583 470

975 53 761 1637

452 52 735 619

100 51 200 300

Pagal naujuosius X (pateiktus 14 lentelėje) atlieku skaičiavimus MS EXCEL funkcijų TREND ir GROWTH pagalba. Naujus X pasirinkau 50 didesnius.

Lentelė 15. Duomenys apskaičiuoti MS EXCEL

TREND ir MS EXCEL GROWTH pagalba

TREND GROWTH

2421,376 469237,748

3560,222 1104203,084

1450,130 363651,794

2046,667 525415,112

1531,976 415038,521

4019,026 1505850,393

5474,395 2298137,947

8946,822 4894948,042

6413,587 4420329,270

3594,143 1393533,761

2461,012 646409,593

6723,931 6139343,351

6553,500 6896725,266

10726,274 14233888,413

1458,563 426530,064

1705,551 435939,135

1956,994 517200,036

1477,406 364614,198

2144,320 600921,166

7249,212 6434872,985

1487,558 364900,360

1812,764 442642,848

9651,545 6779918,806

1926,916 514394,415

1538,899 368647,542

2136,231 552795,358

1804,032 436074,396

980,861 345987,256

Su MS EXCEL funkcija TREND apskaičiuoju tiesinę priklausomybę, o su funkcija GROWTH – eksponentinę.

Šių MS EXCEL funkcijų pagalba galiu apskaičiuoti funkcijos reikšmes pagal lygtį. Taigi galiu iškart surasti naujiesiems X ir nereikia skaičiuoti iš tiesinės ar eksponentinės lygties.

Taigi atlikus šiuos skaičiavimus galima pastebėti, kad padidėjus X1, X3 ir X4, Y taip pat padidėja.Gautų rezultatų aprašymas

Koreliacinė regresinė analizė parodė, kad iš pateiktų visų šešių veiksnių, Y labiausiai priklauso nuo X1, X3 ir X4.

Skaičiuojant porinę regresinę analizę, nustačiau tokias šių kkintamųjų tiesines regresines lygtis, adekvačias realiai padėčiai, kurias galima taikyti planavime ir prognozavime:

Atlikus daugianarę regresinę analizę, nustačiau, kad tiesinė daugianarės regresijos lygtis paaiškina 95,09% Y išsibarstymą apie vidurkį, o eksponentinė regresijos lygtis – 82,73%. Taigi tiesinė daugianarės regresijos lygtis geriau paaiškina Y išsibarstymą apie vidurkį.

Skaičiuojant daugianarę regresinę analizę, gavau, kad eksponentinės regresijos koreliacijos santykis (0,9967) geriau atspindi ryšio stiprumą tarp Y veiksnio ir visų X veiksnių kartu, nes jis yra didesnis už tiesinės regresijos koreliacijos santykį (0,9354).Tyrimo rezultatų taikymo pavyzdžiai

Koreliacinė rregresinė analizė yra naudojama sudėtingiems ekonominiams ir fiziniams reiškiniams tirti. Pavyzdžiui, įmonės koreliacinės regresijos pagalba gali nustatyti ar egzistuoja ryšys tarp produkcijos pardavimų ir išlaidų reklamai.

Daugianarė koreliacinė ir regresinė analizė padeda įvertinti kiek vienas rodiklis priklauso nuo kitų, pavyzdžiui, kiek pardavimų apimtys priklauso nuo išlaidų reklamai, išlaidų transportui ir elektros energijos sunaudojimo.PROGNOZĖ SLENKANČIO VIDURKIO IR EKSPONENTINIO IŠLYGINIMO METODAIS, VIDUTINIŲ KAVDRATINIŲ PAKLAIDŲ APSKAIČIAVIMAS

Slenkančio vidurkio metodas

Slenkančio vidurkio metodo esmė yra laiko eilutės paskutiniųjų n reikšmių vidurkio skaičiavimas. Šis vidurkis ir yra naudojamas kaip prognozė naujam eiliniam laikotarpiui. Slenkantysis vidurkis skaičiuojamas taip:

Šiuo metodu skaičiuojant vidurkis keičiasi, slenka, kai tik tampa žinomos naujų stebėjimų reikšmės.

paklaida = faktas – prognozė (paklaida parodo prognozės teisingumą)

Vidutinė kvadratinė paklaida (MSE) – tai dažniausiai naudojamas prognozavimo tikslumo matas.

čia, Ft – prognozė;

Yt – eilutės reikšmė;

Norėdama prognozuoti slenkančio vidurkio pagalba pirmiausia turiu pasirinkti duomenų kiekį, kuriuos imsiu vidurkio skaičiavimui. Aš skaičiuosiu prognozę kas 3, kas 4 ir kas 5 reikšmes slenkančio vidurkio metodo pagrindu (kai n=3, n=4 ir n=5 ).

Slenkančio vidurkio metodo prognozė, kai n=3

Lentelė 16. Prognozė, kai n=3

Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė (n=3) Paklaida Paklaidos kvadratas

1 999

2 3021

3 359

4 763 1459,67 -696,67 485344,44

5 856 1381 -525,00 275625,00

6 2868 659,33 2208,67 4878208,44

7 2269 1495,67 773,33 598044,44

8 9756 1997,67 7758,33 60191736,11

9 5873 4964,33 908,67 825675,11

10 2369 5966 -3597,00 12938409,00

11 1000 5999,33 -4999,33 24993333,78

12 6000 3080,67 2919,33 8522507,11

13 5692 3123 2569,00 6599761,00

14 8875 4230,67 4644,33 21569832,11

15 666 6855,67 -6189,67 38311973,44

16 985 5077,67 -4092,67 16749920,44

17 645 3508,67 -2863,67 8200586,78

18 163 765,33 -602,33 362805,44

19 887 597,67 289,33 83713,78

20 5796 565 5231,00 27363361,00

21 158 2282 -2124,00 4511376,00

22 558 2280,33 -1722,33 2966432,11

23 7792 2170,67 5621,33 31599388,44

24 654 2836 -2182,00 4761124,00

25 219 3001,33 -2782,33 7741378,78

26 975 2888,33 -1913,33 3660844,44

27 452 616 -164,00 26896,00

28 100 548,67 -448,67 201301,78

29 509

Suma -1979,67 288419579,00

Vidutinė kvadratinė paklaida

Slenkančio vidurkio metodo prognozė, kai n=4

Lentelė 17. Prognozė, kai n=4

Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė (n=3) Paklaida Paklaidos kvadratas

1 999

2 3021

3 359

4 763

5 856 1285,5 -429,50 184470,25

6 2868 1249,75 1618,25 2618733,06

7 2269 1211,5 1057,50 1118306,25

8 9756 1689 8067,00 65076489,00

9 5873 3937,25 1935,75 3747128,06

10 2369 5191,5 -2822,50 7966506,25

11 1000 5066,75 -4066,75 16538455,56

12 6000 4749,5 1250,50 1563750,25

13 5692 3810,5 1881,50 3540042,25

14 8875 3765,25 5109,75 26109545,06

15 666 5391,75 -4725,75 22332713,06

16 985 5308,25 -4323,25 18690490,56

17 645 4054,5 -3409,50 11624690,25

18 163 2792,75 -2629,75 6915585,06

19 887 614,75 272,25 74120,06

20 5796 670 5126,00 26275876,00

21 158 1872,75 -1714,75 2940367,56

22 558 1751 -1193,00 1423249,00

23 7792 1849,75 5942,25 35310335,06

24 654 3576 -2922,00 8538084,00

25 219 2290,5 -2071,50 4291112,25

26 975 2305,75 -1330,75 1770895,56

27 452 2410 -1958,00 3833764,00

28 100 575 -475,00 225625,00

29 436,5

Suma -1811,25 272710333,44

Vidutinė kvadratinė paklaida

Slenkančio vidurkio metodo prognozė, kai n=5

Lentelė 18. Prognozė, kkai n=5

Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė (n=3) Paklaida Paklaidos kvadratas

1 999

2 3021

3 359

4 763

5 856

6 2868 1199,6 1668,40 2783558,56

7 2269 1573,4 695,60 483859,36

8 9756 1423 8333,00 69438889,00

9 5873 3302,4 2570,60 6607984,36

10 2369 4324,4 -1955,40 3823589,16

11 1000 4627 -3627,00 13155129,00

12 6000 4253,4 1746,60 3050611,56

13 5692 4999,6 692,40 479417,76

14 8875 4186,8 4688,20 21979219,24

15 666 4787,2 -4121,20 16984289,44

16 985 4446,6 -3461,60 11982674,56

17 645 4443,6 -3798,60 14429361,96

18 163 3372,6 -3209,60 10301532,16

19 887 2266,8 -1379,80 1903848,04

20 5796 669,2 5126,80 26284078,24

21 158 1695,2 -1537,20 2362983,84

22 558 1529,8 -971,80 944395,24

23 7792 1512,4 6279,60 39433376,16

24 654 3038,2 -2384,20 5684409,64

25 219 2991,6 -2772,60 7687310,76

26 975 1876,2 -901,20 812161,44

27 452 2039,6 -1587,60 2520473,76

28 100 2018,4 -1918,40 3680258,56

29 480

S.uma -1825,00 266813411,80

Vidutinė kvadratinė paklaida

Atlikusi prognozavimą slenkančio vidurkio metodu gavau tokias vidutines kvadratines paklaidas (MSE):

 kai n = 3,

 kai n = 4,

 kai n = 5,

Palyginusi paklaidas matau, kad antroji paklaida (kai n = 4) yra mažesnė, todėl prognozavimas slenkančio vidurkio metodu, kai n = 4, yra tikslesnis.Eksponentinio išlyginimo metodas

Eksponentinis išlyginimas – tai toks prognozavimo metodas, kai prognozei naudojamas svertinis visų laiko eilutės reikšmių vidurkis.

Eksponentinis modelis yra toks:

arba

čia, Ft+1 – laiko eilutės prognozė laikotarpiui t + 1

Yt – aktuali laiko eilutės reikšmė laikotarpiui t

Ft – laiko eilutės prognozė laikotarpiui t

– išlyginimo konstanta (0 < α < 1)

Eksponentinio išlyginimo metodo prognozė, kai α=0,1

Lentelė 19. Prognozė, kai α=0,1

Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė kai α=0,1 Paklaida Paklaidos kvadratas

1 999

2 3021 999,00 2022,00 4088484,00

3 359 1201,20 -842,20 709300,84

4 763 1116,98 -353,98 125301,84

5 856 1081,58 -225,58 50887,24

6 2868 1059,02 1808,98 3272394,89

7 2269 1239,92 1029,08 1059002,72

8 9756 1342,83 8413,17 70781441,60

9 5873 2184,15 3688,85 13607641,25

10 2369 2553,03 -184,03 33867,67

11 1000 2534,63 -1534,63 2355084,77

12 6000 2381,17 3618,83 13095961,77

13 5692 2743,05 2948,95 8696311,29

14 8875 3037,94 5837,06 34071220,32

15 666 3621,65 -2955,65 8735865,67

16 985 3326,08 -2341,08 5480678,08

17 645 3091,98 -2446,98 5987693,15

18 163 2847,28 -2684,28 7205352,11

19 887 2578,85 -1691,85 2862359,22

20 5796 2409,67 3386,33 11467259,70

21 158 2748,30 -2590,30 6709649,78

22 558 2489,27 -1931,27 3729800,92

23 7792 2296,14 5495,86 30204451,57

24 654 2845,73 -2191,73 4803672,04

25 219 2626,56 -2407,56 5796322,45

26 975 2385,80 -1410,80 1990355,95

27 452 2244,72 -1792,72 3213844,21

28 100 2065,45 -1965,45 3862985,06

29 1868,90

Suma 8699,03 253997190,11

Vidutinė kvadratinė paklaida

Eksponentinio išlyginimo metodo prognozė, kai α=0,2

Lentelė 20. Prognozė, kai α=0,2

Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė kai α=0,1 Paklaida Paklaidos kvadratas

1 999

2 3021 999,00 2022,00 4088484,00

3 359 1403,40 -1044,40 1090771,36

4 763 1194,52 -431,52 186209,51

5 856 1108,22 -252,22 63612,91

6 2868 1057,77 1810,23 3276922,52

7 2269 1419,82 849,18 721109,66

8 9756 1589,65 8166,35 66689197,32

9 5873 3222,92 2650,08 7022904,54

10 2369 3752,94 -1383,94 1915286,99

11 1000 3476,15 -2476,15 6131324,52

12 6000 2980,92 3019,08 9114838,49

13 5692 3584,74 2107,26 4440558,46

14 8875 4006,19 4868,81 23705316,76

15 666 4979,95 -4313,95 18610177,64

16 985 4117,16 -3132,16 9810433,84

17 645 3490,73 -2845,73 8098173,36

18 163 2921,58 -2758,58 7609781,13

19 887 2369,87 -1482,87 2198893,17

20 5796 2073,29 3722,71 13858545,69

21 158 2817,83 -2659,83 7074720,02

22 558 2285,87 -1727,87 2985526,68

23 7792 1940,29 5851,71 34242461,54

24 654 3110,64 -2456,64 6035057,03

25 219 2619,31 -2400,31 5761479,68

26 975 2139,25 -1164,25 1355470,14

27 452 1906,40 -1454,40 2115271,44

28 100 1615,52 -1515,52 2296794,27

29 1312,41

Suma 1567,07 250499322,65

Vidutinė kvadratinė paklaida

Eksponentinio išlyginimo metodo prognozė, kai α=0,3

Lentelė 21. Prognozė, kai α=0,3

Savaitė Reikšmė (Y) Prognozė kai α=0,1 Paklaida Paklaidos kvadratas

1 999

2 3021 999,00 2022,00 4088484,00

3 359 1605,60 -1246,60 1554011,56

4 763 1231,62 -468,62 219604,70

5 856 1091,03 -235,03 55240,98

6 2868 1020,52 1847,48 3413168,31

7 2269 1574,77 694,23 481959,93

8 9756 1783,04 7972,96 63568144,39

9 5873 4174,93 1698,07 2883456,45

10 2369 4684,35 -2315,35 5360836,20

11 1000 3989,74 -2989,74 8938566,64

12 6000 3092,82 2907,18 8451692,63

13 5692 3964,97 1727,03 2982617,59

14 8875 4483,08 4391,92 19288943,31

15 666 5800,66 -5134,66 26364706,95

16 985 4260,26 -3275,26 10727329,40

17 645 3277,68 -2632,68 6931015,26

18 163 2487,88 -2324,88 5405055,39

19 887 1790,41 -903,41 816157,31

20 5796 1519,39 4276,61 18289393,31

21 158 2802,37 -2644,37 6992708,47

22 558 2009,06 -1451,06 2105578,28

23 7792 1573,74 6218,26 38666723,09

24 654 3439,22 -2785,22 7757450,07

25 219 2603,65 -2384,65 5686574,48

26 975 1888,26 -913,26 834039,75

27 452 1614,28 -1162,28 1350895,81

28 100 1265,60 -1165,60 1358614,75

29 915,92

Suma -276,94 254572969,00

Vidutin.ė kvadratinė paklaida

Atlikusi prognozavimą eksponentinio išlyginimo metodu gavau tokias vidutines kvadratines paklaidas (MSE):

 kai α = 0,01,

 kai α = 0,02,

 kai α = 0,03,

Palyginusi paklaidas matau, kad aantroji paklaida (kai α = 0,02) yra mažesnė, todėl prognozavimas eksponentinio išlyginimo metodu, kai α = 0,02, yra tikslesnis.

Palyginusi slenkančio vidurkio mažiausią MSE paklaidą, kuri lygi 11362930,56, ir eksponentinio išlyginimo mažiausią MSE paklaidą, kuri lygi 9277752,69, galiu padaryti išvadą, kad prognozavimas eksponentinio išlyginimo metodu, kai α = 0,02 yra tiksliausias.GAMYBOS PLANAVIMO UŽDAVINYS

Gamybos uždavinio sudarymas ir išsprendimas grafiškai bei Excel pagalba

Uždavinys

UAB „Siuvykla“ siuva sukneles ir palaidines. Pardavus suknelę yra gaunamas 20 litų pelnas (už vienetą), o pardavus palaidinę – 17 litų pelnas (už vienetą). Norint pasiūti suknelę reikia: 300 cm medžiagos, 4 sagų ir 50 minučių žmogaus darbo. O norint pasiūti palaidinę reikia: 220 cm medžiagos, 6 sagų ir 70 minučių žmogaus darbo. Tačiau UAB „Siuvykla“ turi ribotas išteklių atsargas, t.y. 12375 cm medžiagos, 210 vienetų sagų ir 2800 minučių žmogaus darbo. Kiek reikia pasiūti suknelių ir palaidinių, kad įmonė gautų maksimalų pelną?

Sprendimas grafiškai

Suknelė (x) Palaidinė (y)

Medžiaga (cm) 300 220

Sagos (vnt.) 4 6

Žmogaus darbas (min.) 50 70

Pelnas (Lt) 20 17

Tikslo funkcija:

Apribojimai:

Norėdama nubrėžti tieses, turiu surasti taškus, per kuriuos jos eina. Todėl apribojimus pasirašau kaip lygtis ir surandu tuos taškus:

(1) (2) (3)

, , ,

, , ,

Tikslo funkciją nubrėžiau pasitekusi gradientą. Kadangi uždavinys yra

maksimumo, tikslo funkcijos tiesę reikia lygiagrečiai slinkti gradiento kryptimi iki toliausiai nutolusio taško. Taip surandu, kad optimalus sprendinys yra taške B. Šiame taške kertasi pirma ir antra tiesės, todėl:

x = 30,49

y = 14,67

Imu sveiką suknelių ir palaidinių vienetų skaičių ir apskaičiuoju maksimalų pelną: (Lt)

Ats.: Norint gauti maksimalų pelną (838 Lt), reikia siūti 30 vienetų suknelių ir 14 vienetų – palaidinių.

Sprendimas MS EXCEL pagalba

Šį gamybos planavimo uždavinį išspręsiu naudodamasi MS EXCEL funkcija SOLVER.

Į MS EXCEL darbalaukio celę įrašau tikslo funkciją bbe dešiniosios nelygybės pusės, žemiau vieną po kito įrašau x ir y. Dar žemiau parašau turimus apribojimus taip pat be dešiniųjų nelygybių pusių. Išsikviečiu MS EXCEL Tools  Solver komandą. „Set Target Cell” langelyje parašau tikslo funkcijos celės koordinates; „Equal to” eilutėje pažymiu max; „By Changing Cells“ langelyje įrašau x ir y celių koordinates; „Subject to the Constraints“ langelyje įvedu visas apribojimų nelygybes. Tuomet „Options“ langelyje pasirenku „Assume Linear Model“ ir „Assume Non-Negative“. Ir tuomet jau spaudžiu ok  solve.

MS EEXCEL apskaičiuotus rezultatus pateikiau prieduose.Dualusis uždavinys

Pradinis uždavinys

Atrenku du apribojimus iš pradinio gamybos planavimo uždavinio ir sprendžiu dualų uždavinį:

Iš čia:

Šį dualųjį uždavinį spręsiu grafiniu būdu. Norėdama nubrėžti tieses, turiu surasti taškus, per kuriuos jos eina. Todėl apribojimus pasirašau kaip lygtis ir ssurandu tuos taškus:

(1) (2)

, ,

, ,

Tikslo funkciją nubrėžiau pasitekusi gradientą. Kadangi uždavinys yra minimizavimo, tikslo funkcijos tiesę reikia lygiagrečiai slinkti prieš gradiento kryptį iki toliausiai nutolusio taško. Taip surandu, kad optimalus sprendinys yra taške B. Šiame taške kertasi pirma ir antra tiesės, todėl:

y1 = 0,055

y2 = 0,07

B (0,055; 0,07)

Apskaičiuoju (Lt)

Pagal dualumo teoriją, jei vienas planavimo uždavinys turi optimalų sprendinį, tai jį turi ir dualus uždavinys, ir optimalios funkcijų reikšmės yra lygios.

Kadangi mano suformuluotame uždavinyje įmonė gamina sukneles ir palaidines, gamybos planavimo uždavinyje skaičiuodama apvalinau x ir y iki sveikojo skaičiaus (į mažesnę pusę) ir gavau tokią reikšmę: Lt. Tačiau imant nesuapvalintas reikšmes, gaunu didesnį rezultatą: , pagal šį skaičiavimą gamybos uždavinio ir dualaus uždavinio rreikšmės yra labai artimos viena kitai.Išteklių „šešėlinės“ kainos ir gautų rezultatų aprašymas

Dualaus uždavinio sprendinys yra išteklių šešėlinės kainos. Šešėlinių kainų tiesiogiai nematome, tačiau tai yra viršutinė riba, kurią sutinka mokėti verslininkas už išteklius.

Taško B koordinatės (0,055; 0,07) ir yra šešėlinės kainos. Tai reiškia, kad suknelės šešėlinė kaina lygi 0,055, o palaidinės šešėlinė kaina yra 0,07.

Pelnas bus:

(Lt)

Išsprendusi gamybos planavimo uždavinį sužinojau, kiek reikia siūti suknelių ir kiek palaidinių, kad užtektų visų išteklių ir gautume maksimalų pelną. Išsprendusi dualų uuždavinį sužinojau išteklių „šešėlines“ kainas, kurios parodo kaip pasikeistų tikslo funkcija, padidinus turimus išteklius vienu vienetu.TRANSPORTO UŽDAVINYS

3 drabužių siuvimo įmonės (siuntimo punktai) tiekia drabužius (vienetais) į 4 drabužių parduotuves (gavimo punktus):

Prekės turi būti išvežiotos į parduotuves. Prekės gali būti vežamos iš visų gamintojų į visas parduotuves.

Mano tikslas yra sudaryti tokį pervežimų planą, kad bendrosios transportavimo išlaidos būtų mažiausios; visų drabužių parduotuvių (gavimo punktų) poreikiai būtų patenkinti; visų drabužių siuvėjų (siuntimo punktų) atsargos būtų išvežtos.

– drabužių kiekis vežamas iš siuntimo punkto i į gavimo punktą j;

– vieno drabužio vieneto pervežimo kaina (Lt);

– atsargos siuntimo punktuose (vienetais);

– atsargos gavimo punktuose (vienetais).

Tikslo funkcija čia reiškia bendras transportavimo išlaidas:

Norėdama išspręsti transporto uždavinį naudosiu pervežimo lenteles, kurių langelių viršutiniuose dešiniuosiuose kampuose yra pažymėtos pervežimo kainos:

Lentelė 22. Pervežimo lentelė

B1 B2 B3 B4 ai

A1 4 1 5 4 35

A2 3 2 2 1 40

A3 5 6 3 4 25

bj 20 35 30 15 100

Sudarau tikslo funkciją:

Apribojimai:

Sprendinio ieškosiu dviem metodais:

1. šiaurės vakarų;

2. potencialų.

Pirmojo metodo esmė ta, kad lentelė yra pradedama pildyti nuo viršutiniojo kairiojo kampo. Jei siuntimo pirmasis siuntimo punktas patenkina parduotuvės poreikius, tai tas stulpelis jau yra užpildytas ir tada slenkamasi dešinėn. Jei siuntimo punkto atsargos paskirstytos, tai eilutė yra užpildyta ir slenkamasi į langelį, esantį žemiau. Taip kartojama tol, kol yra paskirstomi visi ištekliai.

Antrojo metodo esmė ta, kad skaičiuojant siuntimo bei gavimo punktų potencialus bei atliekant ciklo poslinkius yyra gaunamas optimaliausias sprendinys.

Šiaurės vakarų metodas:

Atlieku tokius žingsnius:

1 žingsnis: , ,

2 žingsnis: , ,

3 žingsnis: , ,

4 žingsnis: , ,

5 žingsnis: , ,

6 žingsnis: ,

Lentelė 23. Pervežimų lentelė paskaičiavus šiaurės vakarų metodu

B1 B2 B3 B4 ai

A1 20 4 15 1 5 4 35

A2 3 20 2 20 2 1 40

A3 5 6 10 3 15 4 25

bj 20 35 30 15 100

Pervežimo kaina:

(Lt)

Šis sprendimo būdas užtikrina prekių paskirstymą, bet pervežimo kaštai yra dideli. Todėl, ieškodama optimalaus pervežimų varianto, uždavinį išspręsiu potencialų metodu. Kad galėčiau tai atlikti, turiu prieš tai rastai pervežimų lentelei apskaičiuotai šiaurės vakarų metodu apskaičiuoti drabužių siuvimo įmonių (Ui) ir parduotuvių (Vj) potencialus:

u1 + v1 = 4 u1 = 0 v1 = 4

u1 + v2 = 1 v2 = 1

u2 + v2 = 2 u2 = 1

u2 + v3 = 2 v3 = 1

u3 + v3 = 3 u3 = 2

u3 + v4 = 4 v4 = 2

Lentelė 24. L1

Vj 4 1 3 2

Ui B1 B2 B3 B4 ai

0 A1 20 4 15 1 5 4 35

1 A2 3 20 2 20 2 1 40

2 A3 5 6 10 3 15 4 25

bj 20 35 30 15 100

Optimalus sprendinys bus tada, kai pervežimų lentelės visuose laisvuose langeliuose galios ši nelygybė:

Jei , sudarome ciklą ir skaičiuojame poslinkį, t.y. braižome laužtinę liniją nuo tuščio langelio per kitus užpildytus langelius. Ciklo viršūnėms pakaitomis priskiriame „+“ ir „–“ ženklus, pradedant nuo viršūnės tuščiame langelyje su „+“ ženklu. Iš gautų neigiamų viršūnių išrenkam mažiausią skaičių ir teigiamose viršūnėse jį pridedame, o neigiamose – atimame.

Apskaičiavusi, gavau tokias reikšmes:

Kadangi , ir , tai L1 lentelėje pradedu skaičiuoti pposlinkį. Šiuo atveju ciklo poslinkis pirmiausiai yra lygus 20. Po poslinkio gaunu lentelę L2.

Lentelė 25. L2

Vj 4 1 3 2

Ui B1 B2 B3 B4 ai

0 A1 0 4 35 1 5 4 35

1 A2 20 3 0 2 20 2 1 40

2 A3 5 6 10 3 15 4 25

bj 20 35 30 15 100

(Lt)

Vėl apskaičiuoju drabužių siuvimo įmonių (Ui) ir parduotuvių (Vj) potencialus:

u1 + v2 = 1 u1 = 0 v2 = 1

u2 + v1 = 3 u2 = 1 v1 = 2

u2 + v3 = 2 v3 = 1

u3 + v3 = 3 u3 = 2

u3 + v4 = 4 v4 = 2

Lentelė 26. L3

Vj 2 1 1 2

Ui B1 B2 B3 B4 ai

0 A1 4 35 1 5 4 35

1 A2 20 3 2 20 2 1 40

2 A3 5 6 10 3 15 4 25

bj 20 35 30 15 100

Vėl skaičiuoju :

Kadangi , tai L3 lentelėje skaičiuoti poslinkį. Šiuo atveju ciklo poslin.kis pirmiausiai yra lygus 15. Po poslinkio gaunu lentelę L4.

Lentelė 27. L4

Vj 2 1 1 2

Ui B1 B2 B3 B4 ai

0 A1 4 35 1 5 4 35

1 A2 20 3 2 5 2 15 1 40

2 A3 5 6 25 3 0 4 25

bj 20 35 30 15 100

(Lt)

Vėl apskaičiuoju drabužių siuvimo įmonių (Ui) ir parduotuvių (Vj) potencialus:

u1 + v2 = 1 u1 = 0 v2 = 1

u2 + v1 = 3 u2 = 1 v1 = 2

u2 + v3 = 2 v3 = 1

u2 + v4 = 1 v4 = 0

u3 + v3 = 3 u3 = 2

Lentelė 28. L5

Vj 2 1 1 0

Ui B1 B2 B3 B4 ai

0 A1 4 35 1 5 4 35

1 A2 20 3 2 5 2 15 1 40

2 A3 5 6 25 3 4 25

bj 20 35 30 15 100

Vėl skaičiuoju :

Visi , todėl galiu apskaičiuoti optimalų sprendinį:

(Lt)

Dabar galiu apibendrinti visą uždavinį:

 Pirmoji drabužių siuvimo įmonė (siuntimo punktas) turi vežti:

 į antrą parduotuvę (gavimo punktą) – 35 vienetus gaminių;

Pervežimo išlaidos bus 35 Lt ( )

 Antroji drabužių siuvimo įmonė (siuntimo punktas) turi vežti:

 į pirmą parduotuvę (gavimo punktą) – 20 vienetų gaminių;

 į trečią parduotuvę (gavimo punktą)

– 5 vienetus gaminių;

 į ketvirtą parduotuvę (gavimo punktą) – 15 vienetų gaminių;

Pervežimo išlaidos bus 85 Lt ( )

 Trečioji drabužių siuvimo įmonė (siuntimo punktas) turi vežti:

 į trečią parduotuvę (gavimo punktą) – 25 vienetus gaminių;

Pervežimo išlaidos bus 75 Lt ( )

Tai yra optimaliausias pervežimo planas, nes bendros pervežimo išlaidos mažiausios (195 Lt), taip pat yra išvežta visų trijų drabužių siuvimo įmonių (siuntimo punktų) produkcija bei patenkinti visų keturių parduotuvių (gavimo punktų) poreikiai.

PRIEDAS NR.1

Atsakymų ataskaita

Target Cell (Max)

Cell Name Original Value Final Value

$B$5 pelnas 0 859,2391304

Adjustable Cells

Cell Name Original Value Final Value

$B$9 suknele 0 30,48913043

$B$10 palaidine 0 14,67391304

Constraints

Cell Name Cell Value Formula Status Slack

$B$14 medz 12375 $B$14<=$C$14 Binding 0

$B$15 sagos 210 $B$15<=$C$15 Binding 0

$B$16 zm.darbas 2551,630435 $B$16<=$C$16 Not BBinding 248,3695652

$B$17 neneigiam. 30,48913043 $B$17>=$C$17 Not Binding 30,48913043

$B$18 neneigiam. 14,67391304 $B$18>=$C$18 Not Binding 14,67391304

PRIEDAS NR.2

Jautrumo ataskaita

Adjustable Cells

Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$B$9 Suknele 30,48913043 0 20 3,181818182 8,666666667

$B$10 Palaidine 14,67391304 0 17 13 2,333333333

Constraints

Final Shadow Constraint Allowable Allowable

Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease

$B$14 Medz 12375 0,056521739 12375 3375 4675

$B$15 Sagos 210 0,760869565 210 22,85 45

$B$16 zm.darbas 2551,630435 0 2800 1E+30 248,3695652

$B$17 Neneigiam. 30,48913043 0 0 30,48913043 1E+30

$B$18 Neneigiam. 14,67391304 0 0 14,67391304 1E+30

PRIEDAS NR.3

Limitų ataskaita

Target

Cell Name Value

$B$5 pelnas 859,2391304

Adjustable Lower Target Upper Target

Cell Name Value Limit Result Limit Result

$B$9 suknele 30,48913043 5,01643E-12 249,4565217 30,48913043 859,2391304

$B$10 palaidine 14,67391304 0 609,7826087 14,67391304 859,2391303LITERATŪROS ŠALTINIAI

1. A.Pabedinskaitė. Kiekybiniai sprendimų metodai. I dalis. Koreliacinė regresinė analizė. Prognozavimas. Vilnius: Technika, 2005. 102 p.

2. S.Kalanta. Taikomosios optimizacijos pagrindai. Tiesinių uždavinių formulavimas ir sprendimo metodai. Vilnius: Technika, 2003. 336 p.