Lygtys
Turinys
Iš lygčių istorijos. Klaidingos prielaidos metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.
Lygčių sudarimo uždavinys iš Maskvos papiruso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.
Neapibrėžtos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.
Pirmojo laipsnio lygčių su dviem kintamaisiais sistema ir jos sprendimas senovėje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.
Lygčių mokslas ir skaičiaus sąvokos išplėtimas . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4.
Kvadratines lygtys senovės Babilone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4,5.
Kvadratinės lygtys Indijoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.
Kvadratinės lygtys Europoje XIII – XVII a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,6. <
Lygčių uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
Uždavinių sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.
Išvada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.
Naudota literatūra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.
Iš lygčių istorijos. Klaidingos prielaidos metodas
Maždaug prieš 4000 metų babiloniečiai ir egiptiečiai sprendė įvairius žemės matavi-
mo, statybos ir karo mokslo uždavinius, sudarydami lygtis. Pirmojo ir antrojo laipsnio
lygtis mokėjo spręsti ir senovės kinų bei indų mokslininkai.
Uždavinių, sprendžiamų sudarant lygtis, pasitaiko daugelyje labai senų tekstų. Pavyz-
džiui, Maskvos papiruse – iš augalo pagamintame ritinėlyje, – rašytame apie 1850 metų
prieš mūsų erą, iir Ahmeso papiruse yra uždavinių, kurių nežinomieji žymimi ypatingu
simboliu, vadinamu “chau” arba “acha”. Jie reiškia “kiekį” , “krūvelę”. Toks “krūvelės
skaičiavimas”arba“chau radimas” artimas mūsų uždavinių sprendimui sudarant lygtis.
Štai vienas Ahmeso papiruse esančio uždavinio ir jo sprendimo pavyzdys:
1 uždavinys. ”Kiekis ir jo ketvirtoji dalis kartu sudaro 15”.
Šiandien, spręsdami šį uždavinį, sudarytume lygtį:
x + ¼ x = 15
Išsprendę gautume: x = 12.
Ahmeso papiruse sprendžiama taip: “Skaičiuok nuo 4; nuo jų tu turi paimti ketvir-
tadalį, būtent 1; iš viso 5”.Toliau 15 dalijamas iš 5, gautasis dalmuo dauginamas iš 4 ir
gaunamas nežinomasis 12.
Egiptiečių sprendimo metodas iš esmės yra prielaidos metodas. Pradedama nuo to,
kad vietoj nežinamojo parenkamas bet koks skaičius, šiuo atveju 4, nes jo ketvirtadalis
lengvai apskaičiuojamas. Jis lygus 1. Toliau 4 + 1 = 5. Tačiau pagal uždavinio sąlygą
rezultatas turi būti ne 5, o 15. Vadinasi, kiek kartų skaičius 15 didesnis už 5, tiek kartų
nežinomasis turi būti didesnis už laisvai pasirinktą skaičių 4.
Šis metodas viduramžiais buvo plačiai taikomas Azijoje bei Europoje ir vadinamas
“klaidingos prielaidos metodu”. Vėliau buvo taikomas ir “dviejų klaidingų prielaidų
metodas”.
1.
Lygčių sudarymo uždavinys iš Maskvos papiruso
Pirmieji, patys seniausi lygčių sudarymo uuždaviniai turbūt randami senovės egiptie-
čių Maskvos papiruse. (Šis papirusas saugomas Maskvos vaizduojamojo meno muzie-
juje. Jį išnagrinėjo ir iššifravo rusų mokslininkai.)
Štai vienas Maskvos papiruso uždavinio pavyzdys.
2 uždavinys. “Skaičius ir jo pusė sudaro 9”. Raskite skaičių.
Šiandien šiam uždaviniui spręsti parašytume lygtį:
x + ½ x = 9
Neapibrėžtosios lygtys
Lygtis su dviem nežinomaisiais išreiškia dviejų dydžių priklausomybę ir dažniausiai
yra neapibrėžta, t.y. turi be galo daug sprendinių.
Neapibrėžtų lygčių sprendimą senovėje nagrinėjo kinai, graikai ir indai. Diofanto
“Aritmetikoje” gausu uždavinių, sprendžiamų sudarant įvairių laipsnių neapibrėžtąsias
lygtis. Neapibrėžtųjų lygčių sprendiniais jis laikė bet kuriuos teigiamus trupmeninius
arba sveikuosius skaičius.
Štai uždavinys, kurį sprendžiant sudaroma tiesinė neapibrėžtoji lygtis.
3 uždavinys. “Raskite du (neneigiamus) skaičius, kurių skirtumas 6 kartus didesnis
už jų kvadratų skirtumą”.
Uždavinys sprendžiamas sudarant lygtį:
x – y = 6( x2 – y 2 ).
Neapibrėžtųjų lygčių sprendimą sveikaisiais skaičiais (tokios lygtys vadinamos
diofantinėmis ) nagrinėjo daugelis indų mokslininkų. Jie sukūrė bendrą metodą spręs-
ti tiesinėms diofantinėms lygtims ir kai kurioms antrojo laipsnio lygtims, susijusioms
su įvairiais astronomijos uždaviniais. Neapibrėžtąsias lygtis, kurių teorija dabar vadi-
nama “neapibrėžtine analize”arba “Diofanto analize”, nagrinėjo įžymūs įvairių laiko-
tarpių matematikai, iš
jų Ferma, Oileris, Lagranžas, Gausas, Čebyšovas, Zolotariovas
ir daugelis kitų.
2.
Pirmojo laipsnio lygčių su dviem kintamaisiais sistema ir jos sprendimas
senovėje
Uždaviniai, kurių sprendimas atitinka šiandieninį uždavinių sprendimą, sudarant
lygčių su keliais nežinomaisiais sistemas, randami II tūkstantmečio pr.m.e. babilonie-
čių ir egiptiečių tekstuose, taip pat senovės graikų, kinų bei indų mokslininkų darbuose.
Kinų taktato “Matematika devyniose knygose” VII – VIII knygoje nagrinėjamos
lygčių sistemos ir nurodomos trumpos jų sprendimo taisyklės, be to, viskas aiškinama
žodžiais. Iš lygčių koeficientų sskaičiavimo lentoje būdavo sudaroma lentelė. Spren-
džiant įvairias lygčių sistemas, pastebėta, kad, ieškant sprendinio, veiksmai su koefi-
cientais visada atliekami pagal tą pačią taisyklę.
Štai pavyzdys iš minėto traktato VII knygos, pavadintos “Perteklius – trūkumas”.
4 uždavinys. ”Kelios šeimos perka buivolą. Jeigu kiekviena iš septynių šeimų duos po
190, tai trūkumas bus lygus (t.y. truks) 330. Jeigu kiekviena devynių šeimų duos po 270,
tai perteklius bus lygus (t.y. liks ) 30. Kiek šeimų pirko buivolą, ir kiek kainuoja buivo-
las?
Traktate trumpai iišdėstomas uždavinio sprendimo būdas, kuris dabartine simbolika
užrašomas taip:
Turint sistemą
a 1 x – y = b 1
a 2 x – y = b 2
iš jos koeficientų reikia sudaryti lentelę
a1 a 2
b1 b 22
iš kurios randami nežinomieji dydžiai:
x = , y =
3.
Lygčių mokslas ir skaičiaus sąvokos išplėtimas
Algebra atsirado sprendžiant praktinius uždavinius ir sudarant jiems lygtis. Ir
šiandien lygčių sprendimas yra pagrindinis mokyklinio algebros kurso klausimas.
Norint spręsti lygtis, pirmiausia reikia mokėti atlikti veiksmus su vienanariais, dau-
gianariais ir algebrinėmis trupmenomis, reikia mokėti skaidyti dauginamaisiais,
atskliausti, bendravardiklinti ir pan. Todėl lygčių mokslas neįmanomas be veiksmų
dėsnių. Veiksmai, kuriuos reikia atlikti sprendžiant lygtis, yra iš esmės veiksmai su
skaičiais, nes elementariojoje algebroje raidės vartojamos skaičiams žymėti.
Sprendžiant lygtis, negalima apsiriboti vien tik teigiamų sveikųjų skaičių aibe.
Pavyzdžiui, pirmojo laipsnio bendro pavidalo lygties su vienu nežinomuoju
ax+b = c
kai a, b, c – natūriniai skaičiai, šaknis
x =
ne vvisada bus natūrinis skaičius; jis gali būti ir trupmeninis, jeigu a nėra skaitiklio c – b
daliklis, gali būti ir neigiamas, jeigu c0,
sprendimo taisyklė.
Lygties koeficientai, išskyrus a, gali būti ir neigiami. Bramaguptos taisyklė iš esmės
sutampa su mūsų taisykle.
Senovės Indijoje buvo populiarios viešos sunkių uždavinių sprendimo varžybos.
Vienoje senoje indų knygoje apie šias varžybas rašoma: “Kaip saulė savo spindesiu
nustelbia žvaigždes, taip mokytas žmogus nustelbs kito žmogaus šlovę liaudies
susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebros uždavinius”. Dažnai uždaviniai
būdavę eeiliuoti.
Kvadratinės lygtys Europoje XIII – XVII a.
Kvadratinių lygčių sprendimo formulės pagal Chorezmio pavyzdį Europoje pirmą
kartą pateikiamos “Abako knygoje”,kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardas
Fibonačis. Šis didelės apimties veikalas, kuriame atsispindi tiek islamo šalių, tiek ir
senovės Graikijos matematikų įtaka, skiriasi ir apimtimi, ir dėstymo aiškumu.Autorius
savarankiškai išnagrinėjo kai kuriuos algebrinius uždavinių sprendimo pavyzdžius ir
5.
pirmasis Europoje priartėjo prie neigiamųjų skaičių.Jo knyga padėjo plisti algebros
žinioms ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse.
Daugumas “Abako knygos” uždavinių įtraukti beveik į visus XVI – XVII a. ir kai
kuriuos XVIIIa. Europoje išleistus vadovėlius.
Kvadratinių lygčių, išreikštų vieninga kanonine forma
x2 + bx = c
su visomis galimomis koeficientų b ir c ženklų kombinacijomis, bendrąją sprendimo
taisyklę Europoje suformavo M. Štifelis tik 1544 m.
Bendrosios kvadratinės lygties sprendimo formules išvedė Vietas, tačiau jis pripažino
tik teigiamąsias šaknis.Italų matematikai Tartalija, Kardanas, Bombelis vieni pirmųjų
XVIa., šalia teigiamųjų, pripažįsta ir neigiamąsias šaknis. Tik XVIIa. Žiraro, Dekarto,
Niutono ir kitų mokslininkų darbuose kvadratinės lygtys imamos spręsti panašiai kaip
dabar.
L y g č i ų u ž d a v i n i a i
1.
a) 768 – x = 155 b) 2x + 5 = 44x – 5
c) x + 698 = 1654 d) 3x + 14 = 5x – 28
2.
a) 4x – 20 = 2x + 60 b) 5 – (x + 4) = – 10 – (4x – 2)
c) 6x + 6 = 2x – 4 d) 32 + 4x = 21
e) 3x + 22 = 10 f) 42 – 2x = 8
6.
L y g č i ų s p r e n d i m a i
1.
a) 768 – x = 155 c) x + 698 = 1654
x = 768 – 155 x = 1654 – 689
x = 613 x = 956
Pat. 768 – 613 = 155 Pat. 956 + 698 = 1654
Ats .:x = 613 Ats .: x = 956
b) 2x + 5 = 4x – 5 d) 3x + 14 = 5x – 28
2x – 4x = – 5 – 5 3x – 5x = – 28 – 14
– 2x = – 10 – 2x = – 42
x = – 10 : ( -2) x = – 42: ( -2)
x = 5 x = 21
Pat. 2 5 + 5 =4 5 – 5 Pat. 3 21 + 14 = 5 21 – 28
15 = 15 77 = 77
Ats .: x = 5 Ats .: x = 21
2.
a) 4x – 20 = 2x + 60 c) 6x + 6 = 2x – 4
4x – 2x = 60 + 20 6x – 2x = – 4 – 6
2x = 80 4x = – 10
x = 80 : 2 x = – 10 : 4
x = 40 x = – 2.5
Pat. 4 40 – 20 = 2 40 + 60 Pat. 6(-2.5) + 6 = 2(-2.5) – 4
140 = 140 – 9 = – 9
Ats .:x = 40 Ats .: x = – 2.5
b) 5 – (x + 4) = – 10 – (4x – 2) d) 32 + 4x = 21
5 – x – 4 = – 10 – 4x + 2 4x = 21 – (3 3)
-x + 4 x = – 10 + 2 – 5 + 4 4x = 21 –
9
3x = -9 4x = 12
x = – 9 : 3 x = 12 : 4
x = – 3 x = 3
Pat. 5 – ( – 3 + 4) = -10 – (4 (-3) – 2) Pat. 32 + 4 3 = (3 3) + 12 =
5 – 1 = – 10 – (-14) = 9 + 12 = 21
4 = 4
Ats .: x = – 3 Ats .: xx = 3
e) 3x + 22 = 10 f) 42 – 2x = 8
3x = 10 – (2 2) 2x = (4 4) – 8
3x = 10 – 4 2x = 16 – 8
3x = 6 2x = 8
x = 6 : 3 x = 8 : 2
x = 2 x = 4
Pat. 3 2 + 22 = 6 + 4 Pat. 42 – 2 4 = 16 – 8 == 8
Ats.: x = 2 Ats.: x = 4 7.
I š v a d a
Matematika yra labai svarbus, tačiau ir sunkus mokslas. Jis yra
privalomas stojant į universitetą, studijuojant aukštąją matematiką.
Be jo neįgįsi išsilavinimo. Matematikai ppriklauso ir lygtys, kurios taip pat
yra svarbios. Jeigu nebūtų lygčių, mes negalėtume rasti nežinomojo (x).
Lygtys gali būti pritaikomos praktikoje.
N a u d o t a l i t e r a t ū r a
1.G.Gleizeris “Matematikos istorija mokykloje IV–VI klasė” Kaunas “Šviesa”1985m.
2.G.Gleizeris “Matematikos istorija mokykloje VII–VIII klasė” Kaunas“Šviesa”1986m.
8.