Daugiakampiai, keturkampiai
DAUGIAKAMPIAI. KETURKAMPIAI
1. Daugiakampiu vadinama uždara laužtė, kurios gretimos atkarpos nėra vienoje tiesėje, o negretimos atkarpos neturi bendrų taškų.
2. Daugiakampio įstrižaine vadinama atkarpa, jungianti dvi negretimas viršūnes.
3. Jei per kiekvienas dvi gretimas daugiakampio viršūnes nubrėžus tiesę, daugiakampis yra kiekvienos tų tiesių vienoje pusėje, tai toks daugiakampis vadinamas iškiluoju.
Jei per kiekvienas dvi gretimas daugiakampio viršūnes nubrėžus tiesę, daugiakampis nėra kiekvienos tų tiesių vienoje pusėje, tai toks daugiakampis vadinamas neiškiluoju.
4. Iškilojo n–kampio vidaus kampų suma apskaičiuojama pagal formulę .
5. Iškilojo keturkampio kampų suma lygi .
6. Į keturkampį ggalima įbrėžti apskritimą, jei keturkampio priešingų kraštinių sumos lygios, ir atvirkščiai: jei į keturkampį įbrėžtas apskritimas, tai to keturkampio priešingų kraštinių sumos lygios.
7. Apie keturkampį galima apibrėžti apskritimą, jei keturkampio priešingų kampų suma lygi , ir atvirkščiai : jei apie keturkampį apibrėžtas apskritimas, tai to keturkampio priešingų kampų suma lygi .
8. Lygiagretainiu vadinamas keturkampis, kurio priešingos kraštinės poromis lygiagrečios.
9. Lygiagretainio savybės: a) apie kampus:
1) Lygiagretainio priešingi kampai lygūs.
ABCD lygiagretainis. BD – jo įstrižainė. = , nes BC II AD ir BD – kirstinė; = , nes AB II CD ir BD – kirstinė; BD – bendra. Tai . Vadinasi = . Jeigu nubrėžtume įstrižainę AC, tai analogiškai gautume, kad = .
Įrodyta.
2)Kampų, esančių pire vienos kraštinės, suma lygi .
BC II AD, CD –– kirstinė, tai ir – vidaus
Vienašaliai kampai. Todėl + = .
Įrodyta.
b)apie kraštines:
Lygiagretainio priešingos kraštinės lygios.
Jau įrodėme, kad . Vadinasi AD = BC ir
AB = DC.
Įrodyta.
c) apie įstrižaines:
1)Lygiagretainio įstrižainė dalija jį į du lygius trikampius.
(Įrodyta nagrinėjant 1-ą savybę)
2) Lygiagretainio įstrižainės susikirsdamos dalija viena kitą pusiau.
= , nes BC II AD ir AC – kirstinė;
= , nes BC II AD ir BD – kirstinė;
AD = BC (lygiagretainio priešingos kraštinės lygios),
Vadinasi, , reiškia OB = OD ir OC = OA.
Įrodyta.
d) apie įstrižainių ir kraštinių ryšį.
Lygiagretainio kraštinių kvadratų suma lygi įstrižainių kvadratų sumai.
Įrodyta.
10. Lygiagretainio požymiai:
1)Pagal dvi kraštines: Jei keturkampio 2 priešingos kraštinės yra lygios ir lygiagrečios, tai šis keturkampis yra llygiagretainis.
2)Pagal visas kraštines: Jeigu keturkampio priešingos kraštinės poromis lygios, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.
3)Pagal įstrižaines: Jeigu keturkampio įstrižainės susikirsdamos dalija viena kitą pusiau, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.
11. Lygiagretainio ploto skaičiavimo formulės:
a) kai žinoma aukštinė: lygiagretainio plotas lygus jo pagrindo ir aukštinės sandaugai.
S = ah.
Trapecija ABCK sudaryta iš lygiagretainio ir trikampio DCK DCK. Antra vertus ji sudaryta iš stačiakampio HBCK ir trikampis ABH. Tačiau , nes jie statūs; AB = DC ir = (nes jie
atitinkamieji kampai prie lygiagrečių tiesių AB ir DC. Todėl . Vadinasi . Tai , o kadangi BC = AD, tai
Įrodyta.
b) kai žinomas kampas: lygiagretainio plotas lygus dviejų kraštinių ikampo tarp jų sinuso sandaugai. S = absinα.
; ;
Įrodyta.
c) kai žinomos įstrižainės ir kampas tarp jų (universali formulė bet kurio keturkampio plotui skaičiuoti): lygiagretainio plotas lygus jo įstrižainių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos pusei. .
BO = KD, AO = OC, tai ∆ABO = ∆CDO ir ∆ADO = ∆CBO.
Įrodyta.
12. Stačiakampiu vadinamas lygiagretainis, kurio visi kampai statūs.
13. Stačiakampio ypatinga savybė: Stačiakampio įstrižainės lygios.
, nes jie statūs, AB – bendra, BC = AD (priešingos kraštinės lygios). Vadinasi BD = AC.
Įrodyta.
14. Rombu vadinamas lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios.
15. Rombo ypatingos savybės:
1) Rombo įstrižainės yra statmenos viena kitai.
2) Rombo įstrižainė dalija jo kampus pusiau.
AB = AD, tai ∆ABC – lygiašonis.
BO = OD, nes įstrižainės susikirsdamos dalijasi pusiau.
Vadinasi AO – pusiaukraštinė, tai ir aukštinė, ir pusiaukampinė.
Reiškia AO BD. Tada ir AC BD.
Kadangi Ao yra ir pusiaukampinė, tai = .
Įrodyta.
16. Trapecija vadinamas keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra
lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nelygiagrečios.
17. Lygiašone trapecija vadinama tokia trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios.
18. Stačiąja trapecija vadinama tokia trapecija, kkurios vienas kampas status.
19. Trapecijos vidurine linija vadinama atkarpa, jungianti jos šoninių kraštinių vidurio taškus.
20. Trapecijos vidurinės linijos savybė: trapecijos vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei.
21. Trapecijos ploto skaičiavimo formulės:
a)trapecijos plotas lygus jos pagrindų sumos ir aukštinės sandaugos pusei.
.
;
Įrodyta.
b) Trapecijos plotas lygus dviejų jos įstrižainių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos pusei. (Universali formulė bet kurio keturkampio plotui skaičiuoti)
;
Įrodyta.
22. Panašiųjų daugiakampių perimetrų santykis lygus panašumo koeficientui, o plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui.
23. Taisyklinguoju daugiakampiu vadinamas iškilasis daugiakampis, kurio visi kampai lygūs ir visos kraštinės lygios.
