Tiesinė funkcija
Parengė:
Roma Rimašiūtė d kl.
Tema: __Tiesinė funkcija.
Tiesinės funkcijos grafikas ir savybės__.
Tikslas: supažindinti su tiesioginiu proporcingumu, tiesine ir kvadratine funkcijomis, išmokyti nubrėžti ir atpažinti šių funkcijų grafikus, išaiškinti funkcijų savybes, išmokyti jas nustatyti iš funkcijos grafiko, išaiškinti funkcijos grafiko padėties priklausomybę nuo koeficientų reikšmių.
1.Tiesinė funkcija
Funkcija, kurią galima išreikšti formule y= kx + b, vadinama
tiesine funkcija
kur x – nepriklausomas kintamasis, b ir k – skaičiai.
Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesė. Skaičius k vadinamas tiesės posvyriu, arba kkrypties koeficientu; skaičius b rodo, kokio ilgio atkarpą tiesė nukerta Ox ašyje, skaičiuojant nuo koordinačių pradžios.
Kai b = 0, tiesinė funkcija yra tiesioginis proporcingumas y = kx (čia k – realusis skaičius), kurio grafikas – tiesė, einanti per koordinačių sistemos pradžią.
y
x
Funkcijos savybės
1. D(y) – realiujų skaičių aibė R.
2. E(y) – realiųjų skaičių aibė R.
3. kai k > 0, funkcija didėjanti 4. kai k < 0, funkcija mažėjanti
5. kai k = 0, tiesinė funkcija yra pastovi: y == b, čia b- realusis skaičius.
Ypatingi atvejai:
1) tiesės, lygiagrečios su Ox ašimi, lygtis yra y = b, čia b- realusis skaičius;
2) Ox ašies lygtis yra y = 0;
3) tiesės, lygiagrečios su Oy ašimi, lygtis yra x = m, čia m- realusis sskaičius;
4) Oy ašies lygtis yra x = 0.
Tiesinės funkcijos būdinga savybė: kai x didėja tolygiai, t.y. tuo pačiu skaičiumi, y kinta irgi tolygiai. Išnagrinėkime, pvz., funkciją y=3x-2 . Sakykime, x įgyja reikšmes 1, 3, 5, 7,., kurių kiekviena yra didesnė už prieš ją esančią tuo pačiu skaičiumi 2 . Atitinkamos y reikšmės yra: 1, 7, 13, 19, .Matote, kad kiekviena y reikšmė yra didesnė už prieš ją esančią tuo pačiu skaičiumi 6.
Skaičių seka, kuri gaunama iš kokio nors skaičiaus, prie jo pridedant vis tą patį skaičių, vadinama aritmetine progresija. Taigi minėtą būdingąją savybę galime išreikšti šitaip: tiesinė funkcija iš vienos aritmetinės progresijos sudaro kitą aritmetinę progresiją ( 1 pav.) .
y
7
5
3
2 3 4 x 1 pav.
Funkcijos y = kx + b grafiko pokytis, priklausomai nuo koeficientų k ir b reikšmių
Atkreipkim dėmesį, kad norint nubrėžti tiesę, užtenka dviejų taškų.
1) k reikšmės tos pačios, b – skirtingos : grafikai:
Funkcija y = x x -2 -1 0 1 2
k = 1, b = 0 y -2 -1 0 1 2
Funkcija y = x + 2 x -2 -1 0 1 2
k = 1, b = 2 y 0 1 2 3 4
Funkcija y = x – 2 x -2 -1 0 1 2
k = 1, b = -2
y -4 -3 -2 -1 0
4 y
y = x + 2 3
2
y = x 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 –1 1 2 3 4 6 7 x
y = x – 2 -2
-3
-4
Išvada: y= k1x+b1 ir y=k2x + b2 yra lygiagrečios, jei k1=k2, o b1b2.
2) k reikšmės skirtingos, b – tos pačios :
Funkcija y = -x + 1 x -2 -1 0 1 2
k = -1, b = 1 y 3 2 1 0 -1
Funkcija y = x + 1 x -2 -1 0 1 2
k = 1, b = 1 y -1 0 1 2 3
Funkcija y = -2x + 1 x -2 -1 0 1 2
k = -2, b = 1 y 5 3 1 -1 -3
Funkcija y = 2x + 1 X -2 -1 0 1 2
k = 2, b = 1
Y -3 -1 1 3 5
4 y
y = -2x + 1 3
2
y = -x + 1 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x
y = 2x + 1 -2
-3
y = x + 1 -4
-5
-6
Išvada: Tiesės susikerta viename taške, kai k1k2 ir b1=b2.
3) Tiesės sutampa, kai k1=k2 ir b1=b2 :
a) y = 2x + 1
x 0 1 2 3 4
y 1 3 5 7 9
b) y = 2x + 1
x 0 1 2 3 4
y 1 3 5 7 9
y
9
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x
-2
4) Dviejų tiesių statmenumo sąlyga
Jeigu dvi tiesės y= k1x+b1 ir y=k2x + b2 yra statmenos viena kitai, tai jų krypties koeficientų sandauga lygi –1,
t. y, k1 * k2 = -1.
Ir atvirkščiai: jeigu dviejų tiesių krypties koeficientų sandauga k1 * k2 = -1, tai tos tiesės yra statmenos.
y
x
2. Tiesioginis proporcingumas
Funkcija, apibrėžta formule y = kx, čia k <> 0
Išreiškia tiesiogiai proporcingų dydžių tarpusavio priklausomybę.
Šioje formulėje nelygus nuliui skaičius k yra pastovus dydis, x – nepriklausomas kintamasis, arba argumentas, y – priklausomas kintamasis, vadinamas funkcija.
Funkcijos y = kx apibrėžimo sritis yra realiųjų skaičių aibė R : D(f) = R.
Funkcijos y = kx reikšmių sritis yra realiųjų skaičių aibė R : E(f) = R.
Pastaba: kai k = 0, su kiekviena x reikšme y = 0.
Funkcijos y = kx grafikas yra tiesė, einanti per koordinačių pradžią.
Grafiko savybės
kai k > 1
funkcijos y = kx grafikas
funkcija yra didėjanti, nes didesnę x reikšmę atitinka didesnė y reikšmė, šiuo atveju funkcija su neigiamomis argumento reikšmėmis įgyja neigiamas reikšmes, o su teigiamomis teigiamas; be to kai k<1, jos reikšmės didėja lėčiau, kai k>1 – sparčiau.
kai k < 1
Funkcijos y = kx grafikas
funkcija yra mažėjanti, nes mažesnę x reikšmę atitinka didesnė y reikšmė, šiuo atveju funkcija su neigiamomis argumento reikšmėmis įgyja teigiamas reikšmes, o ssu teigiamomis neigiamas; be to kai -1= 0. Kada x yra mažas, tuomet x² yra dar mažesnis. Taigi, y = x² nuo 0 kyla labai lėtai kai x reikšmės nuo 0 didėja.
• Kitu atveju, kai x yra didelis, x² yra labai didelis. Taigi y = x² labai staigiai didėja.
• Kai x<0, mes prisimename, jog (-x)² = x². Tai reiškia, jog y reikšmė su -x yra tokia pati kaip ir su x. Taigi bet kuris grafiko taškas (x,y) gali būti užrašomas kaip (-x,y). Taip gauname, jog funkcijos y = x² , grafikas yra simetriškas y ašies atžvilgiu.
Toliau braižome funkcijos y = ax² grafiką
• Imame, jog a>0. Funkcijos y = a x² grafikas gali būti gaunamas iš y = x² grafiko paprastu keliu: kiekvienas grafiko y = x² taškas (x,y) yra keičiamas į tašką (x,ay); kitais žodžiais tariant, y = x² grafikas yra išskleidžiamas arba suspaudžiamas priklausomai nuo a.
• Jei a<0, tuomet -a>0 ir y = ax² grafikas yra gaunamas iš y = (-a)x², keičiant y į -y; t.y. formuojant naują – simetrinį grafiką x ašies atžvilgiu.
• Pasižymime tašką (0,0) mažiausiuoju grafiko y = ax² tašku kai a>0; ir didžiausiuoju, kuomet a<0. Funkcijos y
= ax² + c grafikas yra gaunamas pakeliant ar nuleidžiant grafiką y = ax² per |c| vienetų.
Parabolės savybės:
1) D(f) = (-; +)
2) E(f) = (-; +)
3) Kai a > 0, tai funkcija didėja intervale (0; +); mažėja – (0; -)
4) Jei f(x) = f(x), tai funkcija bus lyginė;
Jei f(x) = -f(x), tai funkcija y = f(x) bus nelyginė.
Įdomiosios parabolės savybės:
• Kiekvienas parabolės taškas yra vienodai nutolęs nuo tam tikro taško , vadinamo parabolės židiniu, ir tam tikros tiesės, vadinamos jos direktrise.
• Sukdami parabolę aapie jos simetrijos ašį ( pavyzdžiui, parabolę y = x2 apie ašį Oy), gausime labai įdomų paviršių, vadinamą sukimosi paraboloidu.
Skysčio paviršius besisukančiame inde yra sukimosi paraboloido formos. Tokį paviršių galite pamatytistipriai pamaišę šaukšteliu nepilną stiklinę arbatos ir ištraukę šaukštelį.
• Tuštumoje kampu į horizontą mestas akmuo lekia parabole.
• Kūgio paviršių perkirtę plokštuma, lygiagrečia kuriai nors jo sudaromajai, pjūvyje gausime parabolę.
• Kultūros parkuose kartais įrengiamas linksmas atrakcionas “stebuklų paraboloidas”. Kiekvienam, stovinčiam besisukančio paraboloido viduje atrodo, kad jis stovi ant grindų, o vvisi kiti žmonės stebuklingai laikosi ant sienų.
• Veidrodiniuose teleskopuose irgi pritaikomi paraboliniai veidrodžiai: tolimos žvaigždės šviesa, sklindanti lygiagrečiu pluoštu, pasiekusi teleskopą, susirenka židinyje.
• Prožektoriaus veidrodis dažniausiai gaminamas paraboloido formos. Šviesos šaltinį įtaisius židinyje, nuo paraboloidinio veidrodžio atsispindėję spinduliai sudaro lygiagretų pluoštą.
Uždavinys. NNubraižykime funkcijos y=x2 grafiką, tik stambesniu masteliu: 1=2 cm (4 langeliai). Ašyje Oy pažymėkite tašką F(0; ¼). Popieriaus juostele išmatuokite atstumą nuo taško F iki kokio nors parabolės taško M. Po to prismeikime juostelę taške M ir pasukime ją apie tašką taip, kad taptų vertikali. Juostelės galas nusileis truputį žemiau abscisių ašies (2 pav.). Dabar pasirinkime kitą parabolės tašką ir dar kartą pakartokime matavimą. Kiek dabar nusileido už abscisių ašies juostelės galas? Rezultatą galime pasakyti iš anksto: kad ir kokį parabolės y= x2 tašką paimtumėme, atstumas nuo to taško iki taško F (0; ¼) bus didesnis už atstumą nuo to paties taško iki abscisių ašies visada tuo pačiu skaičiumi ¼.
Galima sakyti kitaip: atstumas nuo kiekvieno parabolės y= x2 ttaško iki taško F (0; ¼) yra lygus atstumui nuo to parabolės taško iki tiesės y= – ¼ , lygiagrečios ašiai Ox.
Tas nuostabusis taškas F (0; ¼) vadinamas parabolės y= x2 židiniu, o tiesė y= – ¼ – tos parabolės direktrise.
y
F(0; ¼)
x
0
2 pav. .
Išvados: Ši tema padėjo plačiau išnagrinėti tiesines funkcijas, jų savybes. Supažindino su tiesioginiu proporcingumu ir kvadratine funkcija. Šio referato metu išmokau atskirti tai kas reikalinga ir nereikalinga matematikoje, tai kas yra ssunku ir ne. Taip pat naršyti internete ieškant naudingos informacijos. Perskaičiau daug literatūros, skirtos universitetiniam mokymui, bet jos daugmaž nepanaudojau. Ji yra kiek per sunki. Išmokau geriau dirbti su Microsoft Word ir Paint programomis. Taigi šis referatas buvo visapusiškai naudingas.
Literatūra:
1) I. Gelfandas, J.Glagoleva, E.Šnolis, “Funkcijos ir grafikai”, Vilnius “Mokslas”, 1979m.
2) J.Kubilius, “Realaus kintamojo funkcijų teorija”, Vilnius “Mintis”, 1970m.
3) I.Bagdonienė, J.Knyvienė, A.Kuzmarskienė, A.Plikusas, K.Pulmonas, J.Šinkūnas, “Matematika 9 dalis”, Vilnius “TEV”, 2000m.
