PIRMOS EILĖS DIF.LYGTYS

(1) PIRMOS EILĖS DIF.LYGTYS .

Lygtis, į kurią įeina nepriklausomas kintamas, f-ja ir tos f-jos išvestinės vad. diferencialine lygtimi. F(x,y,y’,.,y’n)=0 (n-tos eilės dif.lygtis). Dif. lygties eilę nusako aukščiausios išvestinės eilė. Būna neišreikštiniam pavidale: F(x,y,y’,.,y’n)=0 ir išreikštiniam pavidale: yn=f(x,y,y’,y’’,.,y(n-1)).

Jei dif. lygtyje yra vienas nepriklausomasis kintamas x, lygtis vad. paprasta dif. lygtis.

Jei dif. lygtyje yra keli nepriklaus. kintamieji ir dalinės išvestinės, tų kintamųjų atžvilgiu, tada dif. lygtis vad. difer. lygtimi su dalinėmis išvestinėmis.

Išnagrinėsim pirmos eilės paprastas dif. lygtis: F(x,y,y’)=0 arba y_=f(x,y) x,y є D: a≤x≤b c≤y≤d f(x,y)—tolydi, apibrėžta, difer. srityje D.

F-ja, kuri tenkina duotą dif. lygtį, vad. tos lygties sprendiniu (srityje D). y=φ(x) y’*f(x,φ(x)).

(2) PIRMOS EILĖS DIF. LYGTIES SPRENDIMAS IZOKLINŲ METODU

Duota: y’=f(x,y), f(x,y)—tol. apib. srityje D a≤x≤b c≤y≤d x,y є D

Krypčių lauku vad. visos kryptys, kuriuose tg α=f(x,y). α—kampas tarp liestinės kreivei nagr. taške ir teig. Ox ašies krypties. Izoflinomis vad. aibę taškų, kuriuose krypčių lankas yra vienodas. F(x,y)=k k—const.

(3) Difer. lygtys atskiriamais kintamaisiais

Jos būna dviejų rūšių:

1. Dif. lygtis atskirtais kintamaisiais ((tokia lygtis, kai prie dx yra tik f-ja nuo x, o prie dy f-ja nuo y): p(x)dx=q(y)dy; p(x), q(y)—tolydi, dif. srityje D a≤x≤b c≤y≤d ∫p(x)dx=∫q(y)dy y’q(y)=p(x) dy/dx (q(y))=p(x) => ∫dy q(y)=∫p(x)dx.

2. Dif. lygtis su atskiriamais kintamais: p1(x)q1(y)dx+p2(x)q2(y)dy=0 / *1/q1(y)p2(x)

∫p1(x)dx/p2(x)+∫q2(y)dy/q1(y)=0

(1+x)ydx=(y+1)xdy / 1/y*x

∫(1+x2)dx/x=∫(y+1)dy/y

∫dx/x+∫xdx=∫dy+dy/y

ln|x|+x2/2=y+ln|y|+c

(4) PIRMOS EILĖS HOMOGENINĖS DIF. LYGTYS

F-ja F(x,y) vad “k”- eilės homogen. f- ja jeigu F(tx, ty) = tk F(x,y).

x,y – x3 –nehomogen.

tx ty – t3x3 = t2(xy – tx3)

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0

P(x,y); Q(x,y) – tolydžios x є(a,b); y є(c,d)

P(x,y) ir Q(x,y) yra to paties laips. hom. f-jos

P(x,y) + Q(x,y) y’=0

y=f(x,y); f(tx; ty)=f(x,y)

Jei t=1/x; f(1;y/x)=y’;

y/x=u;

y=ux;

y=u’x+u

u=u(x) dif. xє(a,b)

y’=ey/x+y/x

(5) Pirmos eilės dif., lygtys, kurių formulė: y’=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2))

Yra du būdai:

1. a1 b1

a2 b2 ≠0

Įvedam pažymėjimą: x=x1+m

y=y1+m m,n є R

dx=dx

dy=dy

y’=dy/dx => y’1=dy1/dx1

y’1=f((a1(x1+n)+b1(y1+n)+c1)/a2(x1+n)+b2(y1+n)c2)

m,n—parenkam

a1m+b1n+c1=0

a2m+b2n+c2=0

Rasim m, n

y’1=f((a1x1+b1y1)/a2x1+b2y1)

y1/x1=u y1=ux1 y’1=u’x1+u išsprendę įstatom reikšmes:

x1=x-m y1=y-n u=y1/x1

2.)

a1 b1 =0

a2 b2

Kintamieji atsiskiria iš karto.

(6) PIRMOS EEILĖS DIF.LYGTYS .

Apibrezimas:Dif lygtis, I kuria ieina y’+p(x)Y=q(x).(1) – tiesine dif lygtis. p(x),q(x) – tolydzios x(a,b); a1(x)y’+b1(x)y=c1(x).(2); a1(x)0/(1/a1(x)); y’+y b1(x)/a1(x)=c1(x)/a1(x)

b1(x)/a1(x)=p(x); c1(x)/Q1(x)=q(x), gauname y’+p(x)y=q(x). Jei q(x)=0, tai y’+p(x)y=0.(3)- tiesine homogenine

Metodai:

1)Bernulio: Turime y’+p(x)y=q(x)..(4), y=uv; Cia u=u(x) ir v=v(x) – tai x(a,b); y’=u’v+v’u.(5)

(4) ir (5) i (1) u’v+v’u+p(x)uv=q(x);

u(v’+p(x)v)=q(x)-u’v; v’+p(x)v=0..(6)

q(x)=u’v ..(7)

Is(6): dv/dx=-p(x)v

dv/v=-p(x)dx, v=e-p(x)dx+c , kai c=0.(8)

(8) i (7) q(x)=u’e-p(x)dx , u= ep(x)dxq(x)dx+c;

y=uv=( ep(x)dxq(x)dx+c) e-p(x)dx

2)Lagranzo(konstantu variavimo): Turime tiesine nehom dif lygti y’+p(x)y=q(x)..(1); y’+p(x)y=0..(2);

dy/dx=-p(x)y; y= e-p(x)dx+c(x); y’= e-p(x)dx+c(x), c=c(x)

randame y’; y ir x’ i (1) AAtsiskirs kintamieji ir gausime y=(x;c)

(7) BERNULIO DIF. LYGTYS .

y’+p(x)y=q(x)yn ..(1), p(x),q(x)-tolydzios x(a,b); a(x)y’+p(x)y=d(x)yn/(1/a(x); y’+yb(x)/a(x) =d(x) yn /a(x); b(x)/a(x)=p(x); d(x)/a(x)=q(x). Bernulio dif lygti galime spresti kaip tiesine lygti Brenulio metodu. Gaunasi sudetingas reiskinysm, paprasciau spresti pries tai lygti padalijant is y-n;

y’+yp(x)=q(x) yn / y-n ;yn y-n+ y1-np(x)=q(x). Pazymim: y1-n =z.(3) Diferencijuojame:

(1-n) y-n y’=z.(4); y-ny’=z’/1-n.(5)

(5) ir (3) i (2); z’/1-n+zp(x)=q(x)

(8)PIRMOS EILĖS DIF. LYGTYS PILNAIS DIFERENCIALAIS.

Apibrezimas : Diferencialine lygtis : P(x;y)dx + Q(x,y)dy = 0 ;.(1) yra vadinama I eiles diferencialine lygtimi pilnais diferencialais , jeigu jos kairioji puse yra tam tikros funkcijos U=u(x;y) pilnas diferencialas ; t.y. du (x;y)=P(x;y)dx + Q(x;y)dy.. (2);

P,Q ir u yra diferencijuojamos funkcijos srityje D ;

A<= x<=b ; c<=y<=d ;

du (x;y)=0 ; – galima ir taip parasyti; turime u=u(x;y);

egzistuoja ðu/ðx=ðu/ðy, du=ðu/ðx+ðu/ðy(dy) .(3), Is (2) ir (3) gauname: ðu/ðx=P(x,y).(4)

ðu/ðy=Q(x,y).(5) Lygtis pilnais diferencialais bus tada ir tik tada, kai daline isvestine ðP/ðy=ðQ/ðx – is grynos formules. Is (4): u(x,y)=P(x,y)dx+(y).(6); (6)diferencijuojame: ðu/ðy=(ðP(x,y)/ ðy)dx+’y(y).(7); (5) i (7): Q(x,y)=(P(x,y))ydx+’y(); (y)=(Q(x,y))dy-((P(x,y))ydx)dy, (8) i (6) vieta () tai bus atstatymas

(9) AUKŠTESNIŲ EILIŲ DIF. LYGTYS . KOŠI UŽDAVINYS . SPRENDINIO EGZISTAVIMO IR VIENATIES TEOREMA.

F(x,y,y’,y’’,.,yn)=0 – n eilės dif. l. y(n)=(x,y,y’,y’’,.,yn-1)D; dif. lygties bendras sprendinys: y=(x,C1,C2,.,Cn)D; C–konstantos; Norint rasti atskirą sprendinį, reikia rasti bendrą ssprendinį, po to randame konstantas, įstatę jas į bendrą sprendinį gausime ieškomą atskirą sprendinį.

(10) ANTROS EILĖS DIF.LYGČIŲ ATSKIRI ATVEJAI .

F(x,y,y’,y’’)=0..(1), y’=f(x,y,y’)..(2), y=(x,c1,c2) .(3) Duota: y’’=f(x,y,y’) ir x0,y0,y’0 – konkrecios reiksmes. Rasti atskira sprendini, tenkinanti pradines salygas: y=(x,C01, C02), tai yx=x0=y0; y’x=x0=y’0

I Atskiras atvejis :y’’=f(x).(4); y (n) =f(x).(5)

IIAntras atvejis: y (n) =f(x,y’, y n ,.., y (n-1)), nera y, F(x,y’,y’’)=0, y’=P; P=p(x); y’’=P’

IITrecias atvejis: F(y,y’,y’’)=0 Ivedame: y’=P, P=p(y);y’’=dp/dy, dy/dx=pdp/dy

IV Ketvirtas atvejis: Kai duota lygtis yra kokios nors lygties diferencialas.

(11)“n” EILĖS TIESINĖS HOMOGENINĖS DIF. LYGTYS .

y(n)+P1(x)y(n-1)+ P2(x)y(n-2)+.+ Pn-1(x)y’+ Pn(x)y=f(x); Pi(x), i=1.n; – tolydžios, diferencijuojamos x(a;b); f(x)– tolydi; x(a;b); L[y]= y(n)+P1(x)y(n-1)+ P2(x)y(n-2)+.+ Pn-1(x)y’+ Pn(x)y –tiesinis diferencialinis operatorius; jei f(x)=0, tai L[y]=0; –tiesinė n eilės homogeninė dif. lygtis. Jei operatorius tiesinis, tai: 1) L[y1+y2]= L[y1]+ L[y2]; čia y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi, t.y. y1ky2

Įrodysim f(x)=0, tai L[y]=0. Tegul y1 ir y2 yra šios lygtie sprendiniai, t.y. tiesiškai nepriklausomi. Tai L[y1+y2](n)= (y1+y2)(n) +p1(x)(y1+y2)(n-1) +.+ pn(x) (y1+y2)= y1(n)+ p1(x)y1(n-1)+.+ pn(x)y1+ p1(x)y2(n-1) +.+ pn(x)y2 =L[y1]+ L[y2]= 0+0=0;

L[cy]=(cy)(n)+ p1(x)(cy)(n-1) +.+ pn(x)cy=c[y(n)+ p1(x)y(n-1) +.+ pn(x)y]=cL[y]=0

(12) II ANTROS EILĖS HOMOGENINĖS DIF.LYGTYS .

y”+P1(x)y’+P2(x)y=0; arba L[y]=0-tiesine homogenine;

y”+P1(x)y’+P2(x)y=f(x); arba L[x]=f(x); -tiesine nehomog;

f(x);P1(x);P2(x)-tolydzios Vxt(a;b); Bendras sprendinys: y=(x;c1;c2);

(13) II ANTROS EILĖS TIESINĖS HOMOGENINĖS DIF.LYGTIES BENDRO SPRENDINIO STRUKTŪRA

1)Y1(x); Y2(x) . Yn(x) – tiesiškai nnepriklausomos, jei suma iyi(x) lygi nuliui, kai visi i=0: i=1,n;2) Y1(x); Y2(x) . Yn(x) tiesiškai priklausomas, jei suma iyi(x) lygi nuliui, kai bent vienas iš i nelygus 0, ir i=1,n. Jei Y1(x); Y2(x) . Yn(x), x(a,b) – tolydi diferencijuojama galima sudaryti Vranskio determinantą (W(x)). Jei Y1(x); Y2(x) . Yn(x) yra tiesiškai priklausomos tai W(x) bus lygus 0, o jei nepriklausomos tai W(x) bus nelygus 0. Jei W(x) bent vienam funkcijų taške x(a,b) nelugus 0, tai fukncijos Y1(x); Y2(x) . Yn(x) yra tiesiškai nepriklausomos. Jei turime “n” eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį L[y]=0 ir Y1(x); Y2(x) . Yn(x) yra tos lygties sprendiniai, tai ir Y1(x)+Y2(x)+.+Yn(x) yra tos lygties sprendinys. Cy1+Cy2+.+Cyn – taip pat sprendinys. Jis vadinamas lygties L[y]=0;y= Cy1+Cy2+.+Cyn (C – const.)bendras sprendinys funkcijos Y1(x)+Y2(x)+.+Yn(x) – tiesiškai nepriklausomos. Jos sudaro fundamentinę sprendinių sistemą. Bet kokia tiesiškai nepriklausomų funkcijų sistema sudaro tiesiškai nepriklausomą fundamentinę sprendinių sistemą (W(x)<>0) ir yra “n” eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendiniai. Jei y”+p1(x)y’+p(x)y=0, tai šios lygties sprendinys užsirašys taip: y=C1y1(x)+C2y2(x);

(14) OSTROGRACKIO – LIUVILIO TEOREMA

Ši teorema leidžia nustatyti antros eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį, kai žinomas tik vienas jos sprendinys. Y1(x)+Y2(x), x(a,b) – tolydžios, diferencijuojamos. Šitos funkcijos yra tiesiškai nepriklausomos. Tada ir bet kuri kita

W(x)= e-P1(x)dx+c=C e-P1(x)dx

(15) ANTROS EILĖS NEHOMOGENINĖS DIF. LYGTYS .

y (n) +P1(x) y (n-1) +P2(x) y (n-2) +.+Pn(x) y=f(x).(1)

Pi(x); i=1 ikin ir f(x) –tolydzios dif x(a,b);

L[x]= y (n) +P1(x) y (n-1) +P2(x) y (n-2) +.+Pn(x) y; L[x]=f(x).(2). Jei y * (x)-yra dutota lygti L[x]=f(x) aatitinkancios homogenines lygties L(x)=0 bendras sprendinys, o (su bruksniu) y(x) yra L[x]=f(x) atskiras sprendinys, tai y * =(x)+(su bruk)y(x) bendro sprendinio struktura. Irodymas: y * (x)yra L[y]= bedras sprendinys, t.y. L[y * ]=0; (su bruk) y(x) yra L[y]=f(x) –atskiras sprendinys, t.y. L[(su bruk) y(x)]=f(x); L[y * +(su bruk) y]=L[y * ]+L[(su bruk)y]=0+f(x)=f(x)

(16) LAGRANŽO METODAS . TIESINIŲ NEHOMOGENINIŲ DIF. LYGČIŲ TAIKYMAS LAGRANŽO METODU .

Trurime y’’+p1(x)y’+p2(x)y=f(x).(1) antors eiles tiesine nehomogenine lygtis L[x]=f(x); Sudarome: L[x]=0; y’’+p1(x)y’+p2(x)y=0 isprendziame ir randame bendra sprendini. Y=C1y1+C2y2- bbendras spr. (2); y=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x).(3)

Y’=C’1(x)y1(x)+C1(x)y’1(x)+C’2(x)y2(x)+C2(x)y’2(x); Pagal Lagranza: C’1(x)y1(x)+C’2(x)y2(x)=0 y’= C’1(x)y’1(x)+C’2(x)y’2(x).(4);

y’’= C’1(x)y’1(x)+ C1(x)y’’1(x)+C’2(x)y’2(x)+ C2(x)y’’’2(x).(5); (3),(4),(5) statome i (1):

C’1y’1+ C1y’’1+C’2y’2+C2y’’2+P1(x) (C1y’1+C2y’2)+P2(x)( C1y1+C2y2)=f(x); C1(y’’1+y’1P1(x)+y1P2(x)+C2(y’’+y’2P1(x)+y2P2(x)+C’1y’1+C’2y’2=f(x); C’1y’1+C’2y’2=f(x);

C’1(x)y1+C’2y2=0

C’1y’1+C’2y’2=f(x)

(17) ANTROS EILĖS TIESINĖS HOMOGENINĖS DIF LYGTYS SU PASTOVIAIS KOEF.

y’’+a1y’+a2y=0.(1), L[y]=y’’+a1y’+a2y; L[y]=0; a1,a2-realus; (1)lygties bendro spr iieskosime tokiame pavidale y=ekx .(2). y’=k ekx .(3), y’’=k^2 ekx ..(4)

(4), (2) ir (3) statome i (1): ekx (k2+a1k+a2)=0; ekx0

k2+a1k+a2=0 .(5)- charakteringoji lygtis. F-ja y=ekx bus (1) lygties sprendinys tik tada, kai k bus charakterigos lygties saknis.

1)k2+a1k+a2=0 k1,k2-realios, skirtingos y1=ekx , y2=ekx W(x)= ex(k1+k2)(k2-k1)0, y=C1y1+C2y2=C1 ek1x+C2 ek2x

2)Charakteringosios lygties saknys yra realio ir vienodos. k2+a1k+a2=0 Tegul y1=ek1x yra duotos dif lygties (1) spr. k1 =k2=k; y2= ek2x- nera sprendinys, nes W(x)=0. Irodysime, kad y2= ek2x yra sprendinys, jei y1= ekx – sprendinys. W(x)0. Panaudodami Ostrograskio-Liuvilio teor, kai y1= ekx, irodysime, kad y= xekx

y2=y1(e-a1dx/y21)dx= ekxe0dx=xekx y=ekx(C1+C2x) jei charakteringosios lygties saknys k1=k2=k, tai : y= ekx(C1+C2x)

3) Charakteringosios lygties saknys yra kompleksines

k2+a1k+a2=0 k1=+i, k2=-I;

y1= e (cosx+isinx); y2= e (cosx-isinx)

Teorema: Jei y=u(x)+iv(x) yyra tiesines homogenines lygtiessprendinys L[y]=0, tai sio f-jos realios ir menamos dalys yra tos pacios lygties sprendinio L[u(x)]=0; L[v(x)]=0; L[u+v]=L[u]+L[v]=0,

y1= ex cosx, y2= ex sinx,

y= ex (C1cosx+C2sinx)

18) II EILĖS TIESINĖS NEHOMOGENINĖS DIF. LYGTYS SU PASTOVIAIS KOE.

y’’ + a1y’ + a2y = f(x); .(1) ; L[y] = f(x); L[y] = y’’ + a1y’ + a2y; a1, a2 – pastovūs, realūs sk. B.S.: y = y* + y- ; .(2); y* – bendr. sp. L[y] = 0; y- &– atskir. sp. lygties L[y] = f(x); (1) atskirą sp. y- ieškosime neapibr. koef. metodu, kai f(x)= ex (Pn(x) cosx + Qm(x) sinx); .(3) čia Pn(x) ir Qm(x) – “n” ir “m” eilės daugianaris.

1)   nei vienai charakt. lygt. šaknų. y’’ + a1y’ + a2y = 0; k2 + a1k +a2 = 0; šaknys k1 ; k2 ;  k1  k2 ; f(x) = ex * Pn(x); .(4); tada y- =ex * Qn(x); .(5); Įrodymas: Jeigu (5) yra (1) sprendinys, tai ji turi tenkinti tą lygtį. y- ’’ + a1y- ‘ + a2y- = ex Pn(x); .(6); Iš (5): y- ’ = ex * Qn(x) + ex * Qn’(x) = ex ( * Qn(x) + Qn’(x) ); .(7) iš (7): y- ‘’ = ex ( * Qn(x) + Qn’(x)) + ex (Q’n (x) + Qn’’(x)); .(8); (5), (7), (8)  (6):  ( * + Qn’(x) ) +  * Qn’(x) + Qn’’(x) + a1 ( Qn(x) + Qn’(x))+ a2 Qn(x) = Pn(x); Qn’’(x) + Qn’(x) (2 + a1) + Qn(x) (2 + a1  + a2) = Pn(x); y = yx + y-

2) Kai f(x) = ex * Pn(x); =k1 ; arba =k2 ; k2 + a1k ++ a2 = 0 šaknys, tada y- = xex Qn(x);

3) f(x) = ex Pn(x); =k1 = k2 ; k2 + a1k + a2 = 0; y- = x2 ex Qn(x);

4) k=i ; k2 + a1k + a2 = 0; f(x) = ex ( Qn(x) cos x + Qn(x) sin x); y- = ex ( A cos x + B sin x );

Jei f(x) = f1(x) + f2(x) + . + fn(x), tada y = y* + y-1 + y-2 + . +y-n

(19) NORMALINĖS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMA .

Tai tokia sistema , kurios kairėje pusėje yra nežinomų funkcujų tik pirmos eilės išvestinės , o dešinėje yra nepriklausomos kintamos ir nežinomos funkcijos .

x , y , z – nepriklausomi kintamieji ;

dx / dt = f 1 ( t , x , y , z );

dy / dt = f 2 ( t , x , y , z );

dz / dt = f 3 ( t , x , y , z );

Rasti : x = x ( t );

y = y ( t );

z = z ( t );

TEOREMA . Kiekviena dif . lygčių sistemą , kurią galima išspręsti I išvestinės atžvilgiu , galima pervesti į normalinę .

TEOREMA . KKiekveiną “ n “ eilės dif. lygtį , išspęstą aukščiausios eilės išvestinės atžvilgiu galima pervesti į normalinę dif . lygčių sistemą .

y /// = f ( x , y , y/ , y// ) ;

Pažymime : y1 = y/ ;

y2 = y1/ = y// ;

y/// = y2/ =y1// ;

y/ = y1 ;

y1// = y2 ;

y2/ = f ( x , y , y1 , y2 ) ;

“ n “ eilės dif . lygčiai reikia įvesti ( n – 1 ) naują kintamajį ;

TEOREMA. Kiekvieną normalinę dif. lygčių sistemą , įvedus pažymėjimus , galima pervesti į “ n “ eilės vieną dif. lygtį .

(20) KANONINĖS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS .

Tai tokios diferencialinių sistemos , kurių kiekviena lygtis išspresta nežinomūjų funkcijų aukščiausių eilių išvestinių atžvilgiu.

x ; y ; z – nežinoma funkcija ; “ t “ nepriklausomas kintamasis .

d 2 x / d t2 = f 1 ( t , x , y , z ; dx/dt ; dy/dt ; dz/ dt ; ) ;

d 2 y / d t2 = f 2 ( t , x , y , z ; dx/dt ; dy/dt ; dz/ dt ; ) ;

d 2 z / d t2 =

f 3 ( t , x , y , z ; dx/dt ; dy/dt ; dz/ dt ; ) ;

Kiekvieną kanoninę dif . sistemą , įvedus naujus pažymėjimus , galima pervesti į normalinę .

Pažymime :

dx / dt = u ; dy / dt = v ; dz / dt = w ;

du / dt = f 1 ( t , x , y , z ; u ; v ; w ; );

dv / dt = f 2 ( t ,, x , y , z ; u ; v ; w ; );

dw / dt = f 3 ( t , x , y , z ; u ; v ; w ; );

Kanoninę dif . lygties sistemą ir be pažymėjimų galime spręstitokiu pat būdu kaip normalinę .

(21) TIESINIŲ DIF. LYGČIŲ SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS SISTEMOS.

{dy/dx = a11y + a12z + a13u1

{dz/dx = a21y + a22z + a23u2

{dz/dx = a31 + a32z + a33u3

Tokią lygčių sist. galima spręst kaip nnormalinę, pervedant ją į vieną dif. lygtį. Gavę B.S.:

{y=c1k1(1)er1x + c2k1(2)er2x + c3k1(3)er3x

{z= c1k2(1)er1x + c2k2(2)er2x + c3k2(3)er3x

{u= c1k3(1)er1x + c2k3(2)er2x + c3k3(3)er3x

galime juos užrašyti prikl. nuo šaknų: a) kai šaknys skirtingos, bet realios. b) kai šakn. yra kartotinės. c) kkai šakn. kompleksinės.

(1) PIRMOS EILĖS DIF.LYGTYS .

(2) PIRMOS EILĖS DIF. LYGTIES SPRENDIMAS IZOKLINŲ METODU

(3) Difer. lygtys atskiriamais kintamaisiais

(4) PIRMOS EILĖS HOMOGENINĖS DIF. LYGTYS

(5) Pirmos eilės dif., lygtys, kurių formulė

(6) PIRMOS EILĖS DIF.LYGTYS

.(7) BERNULIO DIF. LYGTYS

.(8)PIRMOS EILĖS DIF. LYGTYS PILNAIS DIFERENCIALAIS.

(9) AUKŠTESNIŲ EILIŲ DIF. LYGTYS . KOŠI UŽDAVINYS . SPRENDINIO EGZISTAVIMO IR VIENATIES TEOREMA

.(10) ANTROS EILĖS DIF.LYGČIŲ ATSKIRI ATVEJAI

(11)“n” EILĖS TIESINĖS HOMOGENINĖS DIF. LYGTYS .

(12) II ANTROS EILĖS HOMOGENINĖS DIF.LYGTYS (13) II ANTROS EILĖS TIESINĖS HOMOGENINĖS DIF.LYGTIES BENDRO SPRENDINIO STRUKTŪRA

(14) OSTROGRACKIO – LIUVILIO TEOREMA

(15) ANTROS EILĖS NEHOMOGENINĖS DIF. LYGTYS

(16) LAGRANŽO METODAS . TIESINIŲ NEHOMOGENINIŲ DIF. LYGČIŲ TAIKYMAS LAGRANŽO METODU .

(17) ANTROS EILĖS TIESINĖS HOMOGENINĖS DIF LYGTYS SU PASTOVIAIS KOEF

(18) II EILĖS TIESINĖS NEHOMOGENINĖS DDIF. LYGTYS SU PASTOVIAIS KOE.

(19) NORMALINĖS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMA

(20) KANONINĖS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS

(21) TIESINIŲ DIF. LYGČIŲ SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS SISTEMOS.