nelygybių su dviem kintamaisiais ir jų sistemų sprendinių aibių vaizdavimas
TIKSLAI
Pagilinti matematines žinias;
Išsiaiškinti mažai dėstoma medžiagą;
Pateikti uždavinių sprendimo pavyzdžių;
1.
ĮVADAS
Kadangi mokyklinės matematikos kurse mažai nagrinėjamos nelygybės su dviem kintamaisiais ir jų sistemos, o mes mokomės sustiprinto lygio kursą, aš pasirinkau rašyti šį darbą.
Spręsdami nelygybes su vienu kintamuoju pritaikome tam tikras taisykles, kuriomis remiantis mes galime išspręsti uždavinius. Tačiau nelygybių su dviem kintamaisiais kiekvieną sprendinį turime rasti atskirai, todėl jų sprendinių aibę geriausiai yra pavaizduoti grafiškai. Šis būdas ir bus aptariamas mano darbe.
2.
Nelygybė y>-0,5x+4 turi du kintamuosius xx ir y.
Nelygybės su dviem kintamaisiais sprendiniu vadinama kintamųjų reikšmių pora, paverčianti ją teisinga nelygybe.
Norėdami rasti šios nelygybės sprendinį, pasirenkame x reikšmę, pavyzdžiui x=2, ir apskaičiuojame atitinkamą reiškinio –0,5x+4 reikšmę: – . Kiekviena pora, kurios x reikšmė lygi 2, o y reikšmė didesnė už 3, pavyzdžiui (2; 4), (2; 5,2), (2; 100) ir t.t., yra nagrinėjamos nelygybės sprendinys.
Apskritai, pasirinkę x reikšmę ir paėmę y reikšmę, didesnę už atitinkamą reiškinio –0,5x+4 reikšmę, gausime nelygybės y>-0,5x+4 sprendinį. Savaime aišku, kkad šios nelygybės sprendinių aibė begalinė.
Kiekviena nelygybė su dviem kintamaisiais x ir y nustato aibę kintamųjų reikšmių porų (x; y), kurios yra nelygybės sprendiniai, t.y. išreiškia kintamojo x reikšmių ir kintamojo y reikšmių sąryšį.
Sąryšio, išreikšto nelygybe su dviem <
1pav. kintamaisiais, grafikas yra aibė plokštumos taškų, kurių koordinatės – šitos nelygybės sprendiniai.
Trumpumo dėlei sąryšio, išreikšto nelygybe su dviem kintamaisiais, grafiką vadiname nelygybės grafiku.
Paaiškinsiu, kas yra nelygybės y>-0,5x+4 grafikas.
Jay žinome, kad aibė taškų, kurių koordinatės yra lygties y=-0,5x+4 sprendiniai, – tiesė (1pav.). pasirenkame tiesės bet kurį tašką A ir per jį nubrėžiame tiesę l, lygiagrečią y ašiai. Taško A koordinatės tenkina lygtį y=-0,5x+4. Bet kurio tiesės l taško B, esančio virš taško A, abscisė tokia pati, o ordinatė didesnė už taško A ordinatę. Vadinasi, jo koordinatės tenkina nelygybę y=-0,5x+4. Taško A koordinatės ir tiesės l taškų, esančių po tašku A, koordinatės šios nelygybės netenkina. Apskritai nelygybę y<-0,5x+4 tenkina koordinatės tų ir tik tų plokštumos ttaškų, kurie yra virš tiesės y=-0,5x+4, t.y. virš atitinkamo tos tiesės taško, priklausančio tai pačiai vertikalei.
3.
Nelygybės y<-0,5x+4 grafikas yra atvira pusplokštumė, esanti virš tiesės y=-0,5x+4. Ši aibė 1 paveiksle subrūkšniuota. Tiesė y=-0,5x+4 nubrėžta brūkšnine linija. Akcentuojant tai, jog ji nepriklauso nelygybe y<-0,5x+4 išreikšto sąryšio grafikui.
Analogiškai samprotaujant, galima parodyti, kad nelygybės y<-0,5x+4 grafikas yra atvira pusplokštumė, esanti po ties y=-0,5x+4.
Tiesė y=kx+b (k ir b – skaičiai) šiai tiesei nepriklausančių plokštumos taškų aibę suskirsto į dvi atviras pusplokštumes, kkurių viena apibūdinama nelygybe y>kx+b, o kita – nelygybę y x2, o aibė taškų, esančių po parabole, – nelygybe y< x2. 2 paveiksle pavaizduotas nelygybės y x2 grafikas (parabolės y= x2 taškų ir plokštumos taškų, esančių virš parabolės, aibių sąjunga).
2pav.
2 pavyzdys:
Lygties x2+y2=36 grafikas yra apskritimas, kurio centras – koordinačių pradžia, o spindulys lygus 6 vienetams. Tas apskritimas riboja skritulį. Tik skritulio vidaus taškai nutolę nuo koordinačių pradžios mažiau kaip per 6 vienetus. Vadinasi, jų koordinatės tenkina nelygybę x2+y2<36. Taškų, esančių šalia skritulio, koordinatė tenkina nelygybę x2+y2>36.
3 paveiksle pavaizduotas nelygybės x2+y2 36 grafikas. Tai skritulys, kurio centras yra koordinačių 3pav.
pradžia ir spindulys lygus 6.
4.
3 pavyzdys:
Tiesė y=2x+1 suskirsto plokštumą į dvi dalis. Vienoje šių dalių y>2x+1, o kitoje y<2x+1. Pirmoji dalis sudaryta iš taškų, esančių aukščiau tiesės y=2x+1, o antroji – iš taškų, esančių žemiau šios tiesės.
4pavyzdys:
Lygtis (x+1)2+(y – 2)2=25 yra apskritimo,
kurio spindulys 5, lygtis. Apskritimas suskirsto plokštumą į dvi dalis – vidinę ir išorinę sritis.
Vidinės srities dalyje X taškuose:
(x+1)2+(y – 2)2<25 (juk (x+1)2+(y-2)2
yra taško M(x, y) atstumo iki taško A(-1; 2) kvadratas ir vidiniams taškams jis mažesnis už 25). Išorinės Y srities taškuose: 5pav.
(x+1)2+(y – 2)2>25.
Apskritimas yra bendras aibių kontūras.
5pavyzdys:
y=x2 yra parabolės lygtis. O nelygybe y>x2 reiškia aibę taškų M(x; y), kurių ordinatės y didesnės už parabolės atitinkamų taškų koordinates, t.y. esančių virš parabolės taškų aibę. Taigi nelygybė y>x2 reiškia plokštumos taškų, esančių aukščiau parabolės ( y=x2), aibę. O nelygybė y4x – 6;
b) (x –1)2+(y+3)2>25.
c) y -1,5×2;
d) y
e) x2+y2>4;
f) y -x-5;
g) |y|>|x+1|;
h)
i)
j)
k)
l)
2. Parašykite nelygybių sistemą, apibūdinančią užtušuotą taškų aibę:
8.
