diferencialines lygtys

Dif.lygt.vad: lygtis, siejanti nepriklausomą kintamąjį x,nežinomą funkc. y(x) ir jos įvairių eilių išvestines y’, y’’,.,y(n). Išspręsti dif.lygt.,reiškia rasti nežinomą funkciją y=y(x). /Pirmos eil.dif.lygt. y’=f(x,y) sprendiniu intervale (a,b) vad.kiekviena tame intervale apibrėžta ir diferencijuojama func y=y(x),jei ją ir jos išvestinę įrašę į lygtį gauname tapatybę.Į kl.ar kiekviena I eil. dif. lygt. turi Košį uždavinio sprendinį ir ar jis yra vienintelis, atsako sprendinio egzist.ir vienaties (Košį teorema) I eil.diferencialinei lygčiai.T: Jei funk. f(x,y) ir jos dalinė išvestinė df(x,y)/dy yra tolydžios xOy plokštumos ssrtyje D ir taškas Mo(xo,yo) priklauso sričiai D, tai egz. lygties y’=f(x,y) vienintelis spr. y=j(x), tenkinantis pradines sąlygas j(xo)=yo./ Dif. lygt. y’=f(x,y) bendruoju sprend. Srityje D vad.funk,. y=j(x,C),tenkinantis sąlygas:1)Lygtis y=j(x,C) konstantos C atžvigiu srityje D turi vienintelį spr.: C=y(x,y).2) Su bet kuria konstantos C reikšme (kuri gaunama iš lygybės C=y(x,y), kai (x,y)eD) funkc. y=j(x,C) yra lygties y’=f(x.y) sprd. Bendr.spr geometriškai reiškia integralinių kreivių šeimą, priklausančią nuo parametro C./Sprend. .: y=y(x), gaunamas iš bendrojo sprendinio y=j(x,C) įrašius vietoj konc.C konkrečią skaitinę rreikšmę,vad. difer. lygties atskiruoju spr./Sprendinys, kuris gaunamas iš bendrojo spr.su konkrečia konstantos C reikšme,vad. ypatinguoju spr. Dif.lygt.su atskiriamaisiais kintamais Dif.lygt. P(x)dx+Q(y)dy=0 vad.difer.lygtimi su atskirtaisiais kintamaisiais.Atpažinimas:jei I eil.dif.lygtyje funk.esanti prie dx, priklauso tik nuo kintamojo x, o prie dy- tik nuo kkint.y,tai ta dif.lygt.yra su atskirtaisiais kintam./Difer.lygt. P1(x)*p2(y)dx +Q1(x)*Q2(y)dy=0 vad. diferenc. lygt. su atskiriamaisiais kintam.Atpažnm.: jei I eil.dif.lygtyje funkcijas esančias prie dx ir dy, galime išreikšti funkcijų, priklausančių tik nuo kintamojo x ir y,sandaugomis,tai ta lygt.yra su atskiriamaisiais kintam.Homogeninės dif. lygt.:Funk. F(x,y) vad k-tojo laipsnio (matavimo) homogen. funk., jei F(tx,ty)= tkF(x,y)./Difer. lygt. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 vad. I eilės homogenine dif.lygtimi, jei funkcijos P(x,y) ir Q(x,y) yra vienodo laipsnio homogeninės funkcijos./T:Jei f(x,y) yra nulinio laipsnio homogen. funkc. (t.y f(tx,ty) =f(x,y)) tai difer.lygt. y’=f(x,y) yra homogeninė .Atpaž :Jei,į I eilės difer.lygt. vietoj x įrašius tx,o vietoj y-ty ir suprastinus,lygtis nepasikeičia(išnyksta t) ,tai ji yra homogeninė./T: Jei į P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 arba y’=f(x,y) homogeninėje dif. lygt. įvesime keitinį u=y/x, tai gausime dif. lygt. su atskiriamaisiais kintamaisiais.Tiesinės difer.lygtys: Pirm.eilės ttiesine dif.lygt.,vad. lygtis pavidalo A(x)y’+B(x)y+C(x)=0. Atpaž: jei I eil.dif. lygtyje nežinoma funk. y ir jos išvestinė y’ yra tik pirmųjų laipsnių ir nėra jų sandaugos, tai lygt.-tiesinė. Planas:1)naudojame keitinį y=u*v arba (x=u*v) 2) Funkcijų u ir v radimui sudarome lygčių sistemą. Išsprendžiame.3) įrašę u ir v į keitinį y=u*v randame bendrąjį sprendinį 4)jei duotos pradinės sąlygos, randame atskirąjį spr. Antrosios eil.difer.lygt.: II eilės difer.lygtimi vad. lygtis, siejanti nepriklausomą kintamąjį x, nežinomą funk. y(x) ir jos pirm. ir antr. Eilės išvestines: yy’ ir y’’. bendrasis pavidalas -> F(x,y,y’,y’’)=0 išsprendę y’’ atžvilgiu gaunam lygtį: y’’=f(x,y,y’) / II eil. dif.lygties sprendiniu srityje D vad. apibrėžta ir du kartus diferencijuojama toje srityje funk. y=y(x), jei ją ir jos išvestines y’ ir y’’ įrašius į lygtį, gaunama tapatybė./ Į kl.ar kiekviena II eil. dif. lygt. turi Košį uždavinio sprendinį ir ar jis yra vienintelis, atsako sprendinio egzistavimo ir vienaties teorm.(Košį teorema) II eil.diferencialinei lygčiai. T: Jei funk. f(x,y,y’) ir jos dalinės išvestinės df/dy ir df/dy’ yra tolydžios srtyje D ir (xo,yo,yo’) priklauso sričiai D, tai egz. lygties y’’=f(x,y,y’) vienintelis spr. y=j(x), tenkinantis pradines sąlygas j(xo)=yo ir j’(xo)=yo’./ II eil.dif. lygties y’’=f(x,y,y’) bendruoju sprend. srityje D vad. funkc. y=j(x,C1,C2) tenkinanti sąlygas: 1)Lygčių sistema {y=j(x,C1,C2), y’=j’(x,C1,C2) konstantų C1 ir C2 atžvilgiu srityje D turi vienintelį spr.: C1=y1(x,y,y’), C2=y2(x,y,y’) 2) Su visomis C1ir C2 reikšmėmis funkc. y=j(x,C1,C2) yra lygties y’’=f(x,y,y’) spr. /Sprendinys, gaunams iš bendrojo sprendinio y=j(x,C1,C2), įrašius konkrečias C1 ir C2 reikšmes, vad atskiruoju spr. Antr. eil.tiesinės homogen.dif.lygt:vad lygtis pavidalo: A(x)y’’+B(x)y’+C(x)y+D(x)=0. atpaž: jei antr.eil.dif,.lygtyje nežinoma funk. y ir jos išvestinės y’, y’’ yra tik pirmųjų laipsnių ir nėra jokios jų tarpusavio sandaugos,tai lygtis yra tiesinė /(D=0 homog bet D¹0 nehomogen). /Jei tiesinėje 2eil.dif. lygtyje laisvasis narys (D(x) aar f(x)) lygus 0, tai ji vad. tiesine homogenine, jei nelygus 0- tiesine nehomogen/ Sprendiniai (funkc.) y1=y1(x) ir y2=y2(x) vad. tiesiškai priklausomais intervale (a,b),jeigu lygybė a1y1 (x)+a2y2(x)=0 yra galima,kai bent viena iš konstantų a1 ir a2 nėra lygi 0./ Sprendiniai (funkc.) y1=y1(x) ir y2=y2(x) vad. tiesiškai nepriklausomais intervale (a,b),jeigu lygybė a1y1 (x)+a2y2(x)=0 yra teisinga, tik tada kai a1=0 ir a2=0(visiems x iš (a,b)). Tiesiškai nepriklausomų spr.savybės:1)Antr.eil. tiesinės homogen.lygties spr. y1=y1(x)ŗ0 ir bet kuris kitas tos lygties sprend. y2=y2(x) visada yra tisiškai priklausomi. 2) Jei sprendiniai (funkc.) y1=y1(x) ir y2=y2(x) intervale (a,b) yra tiesiškai nepriklausomi, tai jų santykis nelygus konstantai, kai xe(a,b).3) Jei intervale (a,b) santykis y1(x)/y2(x)ŗc, tai sprendiniai (funkc.) y1=y1(x) ir y2=y2(x) vad. tiesiškai nepriklausomais intervale (a,b). 4) Jei sprendiniai (funkc) y1=y1(x) ir y2=y2(x) intervale (a,b) yra tiesiškai nepriklausomi, tai ½y1,y2½žemai ½y’1, ,y’2½¹0./ Determinantas ½y1,y2½ žemai ½y’1, ,y’2½ vad. Vronskio determ.žymimas W(y1,y2). Bendrojo sprendinio struktūra: Jei y1=y1(x) ir y2=y2(x) yra tiesiškai nepriklausomi 2 eil.tiesinės homogen.difer.lygties y’’+p(x)y’+q(x)y=0 sprendiniai, tai jų tiesinis darinys y=C1y1+C2y2 yra bendrasis tos lygt.spr. Antr.eil.ties.nehomogen.difer.lygtys: Jei yh=yh(x) yra tiwesinės homogen. Lygties bendrasis spr, o y*=y*(x) yra tiesinės nehomog. lygties atskirasis spr., tai y=yh+y* yra tiesinės nehom.lygties bendrasis spr.

Konstantų varijavimo (Lagranžo metodas): Trurime y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) antors eiles tiesine nehomogenine ddif. lygtis Sudarome atitinkamą hom.lygt.: y’’+p(x)y’+q(x)y=0 isprendziame ir randame bendra sprendini. Yh=C1y1+C2y2- bendras spr. (2); tarkime kad C1 ir C2 nežinomos kintamojo x funkcijos: y=C1(x)y1+C2(x)y2.(3) randame:y’=C’1(x)y1+C1(x)y’1+C’2(x)y2+C2(x)y’2; Pagal Lagranza: C’1(x)y1+C’2(x)y2=0 y’= C’1(x)y’1+C’2(x)y’2.(4);y’’= C’1(x)y’1+ C1(x)y’’1+C’2(x)y’2+ C2(x)y’’’2.(5); (3),(4)(5) statome i (1):C’1y’1+ C1y’’1+ C’2y’2+C2y’’2+P1(x) (C1y’1+C2y’2)+P2(x)( C1y1+C2y2)=f(x); C1(y’’1+y’1P1(x)+y1P2(x)+ C2(y’’+y’2P1(x)+y2P2(x) +C’1y’1+C’2y’2=f(x); C’1y’1+C’2y’2=f(x); gausim sistemą: { C’1(x)y1+C’2y2=0 C’1y’1+C’2y’2=f(x). Antr.eil ties dif lyg su pastoviais koeficientais: bendras pavidalas: y’’+py’+qy=0 / Kvadratinė lygtis k2+pk+q=0 vad dif lygties y’’+py’+qy=0 charakteringąją lygtimi. 1) kai D=p2-4q>0 tada lygt.turi dvi skirtingas realias 6aknis k1 ir k2. šias lygt. Atitinka du atskirieji hom lygt spr y1=ek1x ir y2=ek2x. sie spr yra tiesiškai nepriklausomi. Lygt bendr spr- y=C1ek1x+C2 ek2x. 2) kai D=p2-4q=0 tada lygt.turi dvi realias šaknis k1=k2 / Jeigu charakteringos lygties diskriminantas lygus 0, tai y2=xekx yra homogenin4s lygties atskirasis spr. 3) kai D=p2-4q<0 tada lygt. realių šaknų neturi, nes k1,2=-p±ÖD/2. Ö-1=I – vad menamu vienetu./ Skaičius pavidalo a+bI vad kompleksiniu sk, a- realiaja kompleksinio sk dalimi, o bmenemąja dalimi./ Jei charakteringos lygties šaknys yra kompleksiniai sk k1,2=a±bI, b¹0 (diskriminantas yra neigiamas), tai y1=eax*cosbx ir y2=eax*sinbx yra lygties atskirieji spr. Dif lygt.sistemų pagrindinės sąvokos: Pirm eil dif lygčių sistemos sprendiniu intervale (a,b) vad aibė diferencijuojamų funkcijų porų, tenkinančių lygčių sistemas su visais te(a,b)./ Normaliąja

dviejų funk dife.lygtč.sistema vad sistema {x’=f1(t,x,y), y’=f2(t,x,y). Į kl.ar kiekviena normalioji dif. lygtčių sistema turi Košį uždavinio sprendinį ir ar jis yra vienintelis, atsako sprendinio egzist.ir vienaties (Košį) teorema diferencialinių lygčių sistemai. Teorema: Jei funkcijos f1(t,x,y), f2(t,x,y) ir jų dalinės išvestinės df1/dx, df1/dy, df2/dx, df2/dy yra tolydžios kintamųjų t,x, y kitimo srityje D ir (to,xo,yo)eD, tai egz. lygtčių sistemos vienintelis spr., tenkinantis pradines sąlygas x(to)=xo, y(to)=yo. / Normaliosios dviejų funk. dif.lygtčių sistemos bendruoju sprend. vad. aibė funkc. porų tenkinančių sąlygas: 11)Lygčių sistema {x=j1(t,C1,C2), y=j2(t,C1,C2) konstantų C1 ir C2 atžvilgiu srityje D turi vienintelį spr.: C1=y1(t,x,y), C2=y2(t,x,y) 2) Su visomis C1ir C2 reikšmėmis funkc. poros x=j1(t,C1,C2), y=j2(t,C1,C2) yra sistemos spr. / Spr, gaunamas iš bendrojo spr, įrašius konkrečias C1 ir C2 skaitines reikšmes, vad atskiruoju spr. Pirm eil ties dif lygtčių su past koef sistemos: Normalioji dif lygčių sistema vad pirm eil tiesinių nehomogen lyrtčių sistema, jei funk f1(t,x,y) ir f2(t,x,y) yra tiesinės x ir y atžvilgiu. Jeigu f1*(t)=f2*(t), tai sistema vvad tiesinių homogen lygtč sistema / Jei sistemoje koeficientai prie x ir y yra pastovūs, tūrėsime ties.lygtč su pastoviaisiais koef sist.