Vijeto teorema

Fransua Vijetas

(1540-1603)

Geriausias Prancūzijos matematikas XVI amžiuje buvo Fransua Vijetas,

dažnai vadinamas pusiau lotynišku vardu Vietu. Jis gimė Fontenay Le Comte

mietselyje, Prancūzijos šiaurėje apie 50 kilometrų į rytus nuo La Roše

miestelio. Jis buvo teisininkas ir parlamento narys, žmogus kuris paskyrė

diždiąją savo laisvalaikio dalį matematikai. Mūsų visai nestebina faktas,

kad F.Vijetas studijavo teisę, kadangi šio matematiko tėvas, Etanielis

Vijetas taip pat buvo tesininkas. E.Vijetas buvo advokatas ir prokuroras

Fontenalyje bei notaras Le Busseau. F.Vijeto mama buvo Margarita Dupont,

Paryžiaus parlamento prezidento Barnabe Brisson pusseserė. Iš pradžių

F.Vijetas mokėsi Fontenay-le-Comte mokykloje ir tuomet 1555 metais

persikraustė į Poitierio meistelį, apie 80 km į šiaurę nuo Fontenay-le-

Comte, kur jis studijavo teisę Poitierio universitete. 1560 metais jis

įgijo bakalauro laispnį ir licenziją mokyti. Po ketverių metų praktikos jis

atsisakė savo darbo ir ėmė privačiai mokyti Antuanetės d’Aubeterre

vienuolikametę dukrą Kateriną. Vijetas labia susidraugavo su Katerina ir

pasišventė jos mokymui visam gyvenimui. Jis supažindino ją su sfera,

gegografijos bei atrologijso elementais. Vijeto pagalba Katerinos kilmingai

šeimai atvėrė jam kelius į La Rošele ir pagaliau į Paryžių.1573 jį

pastebėjo karalius Karlas IX, kuris paskyrė jį kancleriu. Vijetas pasiliko

šiame poste iki 1580. Nuo1584 jis pratesė savo matematikos studijas ir

išplėtojo savo algebros idėjas. 1591 metais F.Vijetas išleido „In artem

analyticem isagoge“ knygą ir 1593 metais „Supplementum geomeriae“. Šie

darbai pirmeiji įvedė simboline algebrą. Svarbiausias Fransua Vijeto

veikalas yra „Opera matematica“.

1589 Henrikas III pakvietė Vijetą sugrįžti į kanclerio pareigas, kadangi

Henrikas III turėjo priverstinai išsikelti. Šiek tiek vėliau per

Prancūzijos karą su Ispanija Henrikas IV taip pat pakvietė Vijetą pas save,

tčiau ne kaip biurokratą bet kaip matematiką, Vijetas iššifravo žinutes

vyriausiąjai valdžiai. Po karo Vijetas grįžo į Paryžių nuo 1594-1597 ir

tada vėl nuo 1599-1602. Vėliau,1602 jis buvo atleistas Henriko IV. Vijetas

mirė Paryžiuje Gegužės 23 dieną 1603m.

Šis matematikas padėjo lemiamą žingsnį, pereinant nuo retorinės prie

naujos, simbolinės

algebros. Jis pirmasis pradėjo žymėti raidėmis ne tik nežinomuosius, bet

ir visus skaičius.Terminą koeficientas iš lotyniškojo coefficiens –

„padedantis“(aišku, daugiklį) įvedė taip pat Vijetas. XV a. Pasirodė

paprastieji skliaustai. To paties amžiaus pabaigoje Vijeto knygose pasirodo

ir riestiniai skliaustai. Beto šis matematikas dešimtainės trupmenos

skaitiklį ssavo trigonometrijos lentelėse kartais rašydavo be vardiklio,

pvz:5/73652 vietoj 5,73652.

Vienas iš didžiausių Fransua Vijeto pasiekimų buvo skaičiaus „(“

atrasta tiksliausia reikšmė.Vijetas 16 kartų padvigubinęs daugiakampių

kraštinių skaičių rado skaičių „(“ tik su 9 teisingais dešimtainiais

ženklais. Jis pirmasis pastebėjo, kad skaičių „(“ galima surasti

panaudojant kai kurių sekų ribas.Tik praėjus 250 metų po al Kašijaus

atsiradimo buvo gautas dar tikslesnis rezultatas. Vienas iš idomesnių faktų

apie Vijetą yra tai, XVII Europos matematikai nežinomąjį antrąjį laipsnį

vadino „jėga“(Lot. census) arba kvadratu (lot. quadratur). O Vijetas

naudojo šias santraupas : NN(numeris, skaičius)- pirmajam laipsniui žymėti,

Q-antrajam laipsniui, C- trečiajam laipsniui, QQ-ketvirtajam.Pvz: 1C-8Q=16N

aequatur 40, dabar ra6ytume taip : x3 – 8×2 =16x=40. Tačiau didžiausias jo

atradimas yra 2-ojo, 3-ojo ir 4-ojo lapsnio lygčių bendri sprendimo metodai

bei priklausomybė tarp lygties koeficientų ir jos šaknų.

Taigi galime drąsiai teigti, kad prancūzų matematikas, Fransua Vijetas,

gyvenęs XVI amžiuje įnešė diždiulį indelį į matematikos vystymąsi.

1.Fontaney Le Compte- Fransua Vijeto gimimo vieta.

2.Poiteris – F. Vijeto išsimokslinimo vieta( Poiterio universitetas).

3.Paryžius- čia Vijetas dirbo būdamas kancleriu.

VIJETO TEOREMOS ĮRODYMAS

Teorema: Kvadratinės lygties ax2+bx+c=0 šaknų suma lygi –[pic], o šaknų

sandauga lygi [pic].

Įrodymas:

Yra žinoma, kad kvadratinė lygtis ax2 + bx = 0 turi dvi šaknis, kai D>0.

Jas pažymėkime x1 ir x2.

x1 + x2 = [pic]

Raskime šaknų sumą ir sandaugą:

x1 + x2 =[pic] + [pic]= [pic]= – [pic];

x1 * x2 = [pic] * [pic] = [pic]= [pic].

Taigi

x1 + x2 = – [pic],

x1 x2 = [pic] .

Kai D=0, kvadratinė lygtis ax2 + bx + c =0 turi vienintelę šaknį, kurią

galima rasti pagal formulę:

x=[pic].

Susitarkime laikyti, kad kvadratinė lygtis turi ne vieną šaknį, o dvi

lygias šaknis, kai D=0. Tuomet išvada tinka bet kuriai kvadratinei lygčiai

turinčiai šaknis.

Vadinasi, yra teisinga teorema:

Kvadratinės lygties ax2+bx+c=0 šaknų suma lygi –[pic], o šaknų sandauga

lygi [[pic].

Suprastintos kvadratinės lygties atveju priklausomybė tarp lygties šaknų

ir koeficientų yra paprastesnio pavidalo. Iš tikrųjų, jei turinčios šaknis

lygties ax2+bx+c=0 koeficientas lygus 1, tai šaknų suma lygi –b, o šaknų

sandauga c, t.y. suprastintos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam

koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Pavyzdžiui, išnagrinėkime lygtį

x2+7x+10 = 0

Kadangi diskriminantas teigiamas (D= (-7)2 – 4 . 10 = 9), tai lygtis

turi dvi šaknis. Sakykime, x1 ir x2 – lygties šaknys. Pagal Vijeto teoremą

x1+x2=7, o x1x2=10.

Tais atvejais, kai reikia sudaryti kvadratinę lygtį pagal jos šaknis,

taikoma Vijto teoremai atvirkštinė teorema:

Atvirkštinė Vijeto teorema: Jei skaičiai m ir n tokie, kad jų suma

lygi –p, o sandauga lygi q, tai šie skaičiai yra lygties

x2+px+q=0

(1)

šaknys.

Įrodykime.

Pagal sąlygą m + n= -p ir mn=q.

1) lygtyje koeficientus p ir q pakaitę atitinkamai –(m+n) bei mn, gauname

x2-(m+n)x+mn=0.

(2)

Pertvarkome kairiąją lygties pusę:

x2-(m+n)x+mn=x2-mx-nx+mn=x(x-m)-n(x-m)=x(-m)(x-n).

Aišku, kad lygtis (x-m)(x-n)=0, ekivalenti (2) lygčiai, turi šaknis m

ir n ir jokių kitų. Vadinasi, skaičiai m ir n, ir tiktai jie, yra lygties

x2+px+q=0 šaknys.

Sakykime, pavyzdžiui, reikia sudaryti kvadratinę lygtį, kurios šaknys

yra -15 ir 22.

Suprastintos kvadrtainės lygties x2+px+q=0, turinčios nurodytąsias

šaknis, koeficientus p ir q galime rasti iš lygybių:

p= -(-15+22), q=-15. 222.

Gauname: p = -7, q= -330.

Vadinasi, suprastinta lygtis, turinti nurodytąsias šaknis, yra tokia:

x2-7x-330=0

(3)

Aišku, kad galima sudaryti kiek norima kvadratinių lygčių, turinčių

duotas šaknis -15 ir 22. Tuo tikslu pakanka padauginti visus (3) lygties

narius iš bet kokio, nelygaus nuliui, skaičiaus. Pavyzdžiui padauginę (3)

lygtį panariui iš 2, gauname:

2×2-14x-660=0.

UŽDAVINIAI

______________________________

1. Nesprendę lygties, raskite lygčių sprendinų sumą ir sandaugą.

Pavyzdys:

x2-6x+8=0

Taigi, pagal Vijeto teoremą

x1+x2= – p, p=6

x1. x2= q, q=8

Ats:. 6 ir 8.

a)x2-37x+27= 0 d) x2-30x-52=0 g)y2-

19=0

b)x2 -5x+6=0 e) z2-26+3=0

h)x2-210=0

c) y2+41y+-371=0 f) x2+1x-1[pic]=0

i)y2+3x-40

2.Lygtis pakeiskite redukuotosiomis ir raskite sprendinių sumą ir sandaugą.

a) 2×2-9x-10=0 c) 5×2+12x+7=0 e)5×2+12+7=0

b) 8×2+2x-3=0 d) 3×2-7x+2=0 f)-z2+z+[pic]

3. Išspręskite kvadratines lygtis ir pagal Vijeto teoremą pasitikrinkite,

ar tesingai apskaičiavote.

a) x2+-8x+7=0 b) x2-3x-1=0

b) 3×2+5x-2=0 d) 9×2-6x+1=0

e) x2+2x-2=0 f) 5×2-11x+2=0

4. Suraskite kitą lygties sprendinį ir koefocientą, kai žinoma, kad :

Pavyzdys: Lygties x2+px-35=0 viena šaknis yra 7. Rasti kitą šaknį ir

koeficientą p.

Pagal Vijeto teoremą :

x1+x2= – p, x1= 7

x1. x2= q, q=-35

Viską įsistatome ir gauname sistemą, kurią išsprendžiame.

7(-p-7)=-35

-7p-49=-35

-7p=14 / : (-7)

p=-2

Kai žinome p galime susirasti ir antrąją šaknį.

x2= -(-2)-7= -3

Ats:. x2= -3, p=-2.

a)Lygties x2-13x+q=0 viena šaknis yra

12,5.Raskite kitą šaknį ir

koeficientą q.

b)Lygties 5×2+bx+24=0 viena šaknis lygi 8. Raskite kitą šaknį ir

koeficientą b.

c)Kvadratinės lygties x2-12+c=0 šaknų skirtumas lygus 6. Raskite

koeficientą c.

5.Taikydami Vijeto teoremą raskite lygčių sprendinius:

a) x2+5x-14=0 b) x2-3x-12=0

c) x2+3x-12=0 d) x2-7x+12=0

e) x2+x+6=0 f) -x2+8x-25=0

6.Raskite lygties šaknis ir patikrinkite pagal teoremą, atvirkštinę Vijeto

teoremai.

a) x2-15x-16=0 d) x2-6=0

b) x2-6x-11=0 e) 5×2-18x=0

c) 12×2-4x-1=0 f) 2×2-41=0

7.Išspręskite lygtį ir patikrinkite pagal teoremą, atvirkštinę Vijeto

teoremai.

a) x2-2x-9=0 d) 2×2+7x-6=0

b) 3×2-4x-4=0 e) 2×2+9x+8=0

c) x2-15x-16=0 f) x2-3x-88=0

8. Duota funkcija y=x2+px+q. Raskite p ir q reikšmes, jeigu žinoma, kad

funkcijos grafikui priklauso taškai M(-3;0) ir N(1;8).

9. Kvadratinės lygties šaknys x1 ir x2. Parašykite redukuotąją kvadratinę

lygtį.

a)x1= 5 , x2= -4 e)x1= 3- [pic] ,

x2= 3+ [pic]

b)x1= 1+[pic] , x2= 1- [pic] f) x1= [pic] , x2= –

[pic]

c)x1= [pic] , x2=[pic] g) x1= -[pic] , x2= 3[pic]

d)x1= [pic] , x2= [pic] h) x1= [pic] , x2= [pic]

10.Pagal duotąsias šaknis sudarykite kvadratinę lygtį ir, norėdami

patikrinti, ją išspręskite.

a) 3; 10; e)2-[pic]; 2+[pic]

b) -7; -4; f) -[pic] ; [pic]

c) -[pic]; 3; g) 5-3[pic]; 5+3[pic]

d) 1,5; 3,5; h) -7-4[pic] ; -7+4[pic]

11.Išspręskite lygtis ir pagal Vijeto teoremą pasitikrinkite, ar teisingai

apskaičiavote:

a) x2-8x+7=0 d) x2-3x-1=0

b) 3×2+5x-2=0 e) 9×2-6x+1=0

c) x2+2x-2=0 f) 5×2-11x+2=0

12.Užpildykite lentelę:

| | | | |x1 |x2 |

|7×2-14x+7=0 |x2-2x+1=0 |0 |1 |1 |1 |

|5×2-5x+10=0 | | | | | |

|x2-15x-16=0 | | | | | |

|4×2+3x-9=0 | | | | | |

|2×2+5x+7=0 | | | | | |

Lygties sprendinius galime rasti ir netaikant Vijeto teoremos formulių.

Pavyzdžiui: Netaikydami kvadratinės lygties sprendinių fomrulės raskime

lygties x2-3x-4=0 sprendinius.

Jei mums pavyktų astpėti du skaičius x1 ir x2, kurių suma būtų lygi 3, o

sandauga lygi -4, tai pagal atvirkštinę Vijeto teoremą jie ir būtų

lygties sprendiniai. Taigi galima uužrašyti sistemą:

[pic]

Kadangi 4=1. 4=2. 2, tai nesunkiai galima atspėti tokias x1 ir x2

reikšmes, kad abi sistemos lygtys virstų teisingomis lygybėmis. Kadangi

[pic]

tai lygties sprendiniai yra x1=-16 x2=4.

13.Nustatykite sprendinius spėliodami:

a) x2-6x-7=0 d) x2+x-12=0

b) v2-5v-6=0 e) x2-11x+10=0

c) z2-7z+12=0 f) y2-5y-6=0

Nesprendę lygties mes galime nustatyti sprendinių ženklus.

Pavyzdys Neieškodami lygties x2+7x-1=0 sprendinių nustatykime jų

ženklus.

Kadangi D>0, tai pagal Vijeto teoremą sprendinių sandauga lygi -1.(1.(-1)=-

1).Vadinasi, dauginamieji yra skirtingų ženklų. Taigi sprendiniai yra

skirtingų ženklų.

14.Nespręsdami lygčių, nustatykite jų šaknų ženklus(jei šaknys eegzistuoja).

a) x2+7x-1=0 d) 19×2-23x+5=0

b) x2-7x+1=0 e) 2×2+5[pic]x+11=0

c) 5×2+17x+16=0 f) 11×2-9x+7-5[pic]=0

15.Nespręsdmi lygčių, nustatykite jų šaknų ženklus(jei šaknys egzistuoja).

a) x2-18x+17=0 d) 5×2-x-108=0

b) x2-2x-1=0 e) x2-[pic]x+1=0

c) x2-15x+56=0 f) [pic]x2-12x-7[pic]=0

16.Kodėl šios lygtys negali turėti šaknų su vienodais ženklais?

a)3×2+113x-7=0 c) 4×2+bx-100=0

b)5×2-291x-16=0 d) x2+bx-d2=0

17. Sudarykite kvadratinę lygtį, turinčią:

a)dvi teigiamas šaknis;

b)dvi neigiamas šaknis;

c)šaknis su skirtingais ženklais;

d)vieną šaknį teigiamą, o kitą lygią nuliui.

18.Nustatykite kvadratinės lygties šaknų ženklus ir užpildykite lentelę .

Kai ženklai skirtingi, parašykite, katros- teigiamos ar neigiamos – šaknies

modulis didenis.

|Lygtis |Atsakymas |

|1.4×2-7x-11=0| |

|2.2×2+6x+1=0 | |

|3.6×2+8x-13=0| |

|4.3×2-11x+5=0| |

|5.-7×2-4x+8=0| |

|6.-3×2+6x+5=0| |

|7.-z2+10z-2=0| |

|8.-x2-20x-6=0| |

1. Reikia rasti lygties [pic]=| x+1 | mažiausią šaknį.

Sprendimas: Pažymėję [pic][pic]=y(y[pic]), gauname lygtį

[pic]= y arba y2-2y-3=0.

Pritaikę kvadratinės lygties šaknų formulę arba Vijeto teoremai atvirkštinę

teoremą(mat 2=(-1)+3,-3=(-1).3) , randame: y1=-1, y2=3. Šiam uždaviniui

tinka tik y=3. Tada |x+1|=3, x+1=[pic]3; x1=-4, x2=2.

Atsakymas:. -4

2. Kokia turi būti m reikšmė, kad lygties (m-1)x2+2(m+1)x+(m+2)=0 šaknys

būtų lygios?

Sprendimas: Jei būtų m-1=0, tai lygtis būtų pirmojo laipsnio ir turėtų

tik vieną šaknį.

Kai m[pic]1, turime kvadratinę lygtį. Jos šaknys lygios, kai

diskriminantas D=0( šiuo atveju geriau [pic]=0 ). Taigi turi būti

(m+1)2-(m-1)(m+2)=0, arba m+3=0.

Iš čia randame: m= -.3.

Atsakymas:.-3

3.Reikia rasti didžiausią a reikšmę, sukuria lygties (a+3)x-x2-2a=0 viena

šaknis 44 kartus didesnė už kitą.

Sprendimas: Tai kvadratinė lygtis x2-(a+3)x+2a=0.

Sakykime, lygtis turi dvi šaknis, jos yra x1, x2 ir

x1=4×2.

(1)

Remdamiesi Vijeto teorema, gauname:

x1+x2=a+3,

(2)

x1x2=2a.

(3)

Iš (1) ir (2) lygčių randame:

x1=[pic](a+3), x2=[pic](a+3).

Įrašę x1 ir x2 į (3) lygtį ir pertvarkę, gauname lygtį 2a2-13a+18=0.

Kadangi jos diskriminantas D=132-4.2.18=25, tai a=[pic], taigi a1=2,

a2=4,5.

Ar su šiomis a reikšmėmis pradinė lygtis turi šaknų?Turi. Tai matyti iš

ankščiau gautų x1 ir x2 šaknų.

Atsakymas:. 4,5.

4. Su kuriomis p reikšmėmis viena lygties x2+px+147=0 šaknis yra 3 kartus

didesnė už kitą?

5.Su kuriomis m reikšmėmis viena lygties 2×2-(2m+1)x+m2-9m+39=0 šaknis 2

kartus didesnė už kitą?

6. Su kuriomis parametro b reikšmėmis lygtis x2-6x+b=0 turi dvi šaknis.

Kurių viena dvigubai didesnė už kitą?

Sprendimas: Sakykime, x1ir x2- lygties šaknys. Pagal Vijeto teoremą

x1x2=b, x1+x2=6. Kai x1=2×2, tai 2×2=6, x2=2, x1=4, b=4.2=8.

Atsakymas:. b=8.

7. Kokia turi būti m reikšmė, kad lygties x2+3x+m=0 šaknų skirtumo modulis

būtų lygus 6?

Sprendimas: Kai kvadratinė lygtis ax2bx+c=0 turi šaknis, jos yra

x1=[pic], x2=[pic] (D=b2-4ac).

Todėl |x1-x2|= [pic].

Šiame uždavinyje turi būti [pic]=6, arba D=36, t.y. 32-4m=36.

Iš čia randame, kad m= -6,75. Aišku, kad su šia reikšme pradinė lygtis

turi šaknis (D=36>0).

Atsakymas:. -6.75.

8. Raskite mažiausią a reikšmę, su kuria lygties x2-3ax+a2=0 šaknys

tenkintų sąlygą x12+x22=1,75.

Sprendimas: Kadangi lygties diskriminantas D=(-3)2-4a2=5a2[pic]0, tai

lygtis turi dvi šaknis. Remdamiesi Vijeto teorema, gauname:

x1+x2=3a, x1x2=a2.

Kadangi x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, tai 1,75=(3a)2-2a2.

Iš čia randame: a= [pic]0,5.

Atsakymas:. -0,5.

9.Su kuriomis q reikšmėmis lygties x2-6x+q=0 šaknys(x10.

Atsakymas:. p(3q-p2).

2.Nespręsdami kvadratinės lygties x2+px+q=0, raskite, jos šaknų sumą.

Sprendimas: Sakykime x1ir x2 – kvadratinės lygties šaknys, tuomet:

x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2=(-p)2-2q=p2-2q.

Atsakymas:. p2-2q.

3.Raskite tokį p, kad lygties x2+(p-2)x+p-3=0 šaknų kvadratų suma būtų

mažiausia.

Sprendimas: Laikykime, kad p reikšmė yra tokia, jog lygtis turi dvi

realiąsias šaknis x1 ir x2. Lygties šaknų kvadratų sumą pažymėkime y. Tada

x1+x2= 2-p, x1x2 =p-3, todėl y = (x1+x2)2-2x1x2=(2-p)2-2(p-3)=p2+6p+10=(p-

3)2+1. Todėl y mažiausias, kai p=3. Dar reikia patikrinti, ar lygtis, kai

p=3, turi šaknų. Gauname lygtį x2+x=0, kuri tikrai turi dvi skirtingas

realiąsias šaknis : 0 ir -1.

Atsakymas:. y mažiausias, kai p=3.

4. Su kuria a reikšme lygties x2-ax+ax-1=0 šaknų kvadratų suma yra

mažiausia?

5.Raskite tokią m reikšmę, kad lygties x2-(m-1)x+(2m-5)=0 šaknų kvadratų

suma būtų mažiausia.

Sprendimas:. Viskas būtų paprasta, jeigu žinotume, kad lygtis tikrai turi

dvi nelygias realiąsias šaknis.Bet reikia neužmiršti, kad lygtis gali iš

viso neturėti šaknų( kokia tada šaknų kvadratų suma?), turėti dvi

sutampančias(t.y. vieną šaknį, Kas tada yra šaknų kvadratų suma?).

Galima, pagaliau, nagrinėti ir kompleksines šaknis. Tokiais atvejais

vertėtų nagrinėti kelis

galimus požiūrius. Natūraliausias būtų toks:

reikia rasti tokią m reikšmę, kad lygtis turėtų dvi realiąsias (lygias

arba nelygias) šaknis, o jų kvadratų suma būtų mažiausia.

Apskaičiuokime diskriminantą: D=(m-1)2-4(2m-5)=m2-10m+21=(m+3)(m+7).

Vadinasi, šak –

nys realios kai m[pic]7 arba m [pic]3. Tada x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(m-1)2-

2(2m-5)=m2-6m+11=(m- 3)2+2. Šis reiškinys mažiausią reikšmę įgija, kai

m=3. Bet tada D=0, ir lygtis turi dvi sutampančias šaknis (x2-2x+1=0,

x1=x2=1).

Beje atsakymas nesikeistų, jeigu dvi sutampančias šaknis laikytume viena,

arba nagrinėtume ir kompleksines šaknis.

Atsakymas:. Šis

reiškinys mažiausią reikšmę įįgija, kai m=3.

6.Nespręsdami lygties 3×2+17x-14=0 raskite reikšmę reiškinio [pic], kuriame

x1 ir x2 yra lygties šaknys.

Sprendimas: Kadangi diskriminantas 172+4.3.14>0, tai šaknys egzistuoja.

Tada pagal Vijeto teoremą x1+x2=-[pic], x1x2= -[pic], todėl

3×12+5x1x2+3×22 = 3(x1+x2)2-x1x2 = 3. [pic]+[pic]= [pic]=[pic]=101, o

4x1x22+4x12x2=4x1x2(x1+x2)=4 . [pic] . [pic]=[pic] Todėl reiškinio

reikšmė

lygi 101: [pic]= [pic]

Atsakymas:. reiškinio reikšmė [pic]

7.Nespręsdami kvadratinės lygties x2+px+q=0, sudarykite naują kvadratinę

lygtį, kurios šaknys yra priešingos duotosios lygties šaknims.

Sprendimas: Sakykime, duotosios lygties šaknys lygio x1 ir x2, o

ieškomosios –– y1 ir y2, tuomet y1=-x1, y2= – x2.

y1+y2=-(x1+x2)=-(-p)=p.

y1y2=x1x2=q.

Gauname : y2-py+q=0 – ieškomoji lygtis.

Atsakymas:. y2-py+q=0

Nesprendę kvadratinės lygties x2+px+q=0, sudarykite naują kvadratinę lygtį,

kurios šaknys atvirkštinės duotoios lygties šaknims.

Sprendimas: Kai x1ir x2 – duotosios lygties šaknys, o y1 ir y2 –

ieškomosios lygties šaknys, tai y1=[pic], y2=[pic].

y1+y2=[pic]

y1.y2=[pic]

Gauname: y2+[pic]y+[pic]=0, arba qy2+py+1=0 – ieškomoji lygtis.

Atsakymas:. y2+[pic]y+[pic]=0, arba qy2+py+1=0.

8.Įrodykite, kad lygčių x2px+q=0 ir qx2+px+1=0 šaknys yra vienas kitam

atvirkštiniai skaičiai.

9. Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios viena šaknis būtų lygi lygties

ax2+bx+c=0 šaknų sumai, o antra šaknis – tos lygties šaknų sandaugai.

10. Su kuria sveikąjq p reikšme lygtys 3×2-4x+p-2=0 ir x2-2px+5=0 turi

bendrą šaknį? Raskite tą šaknį.

11. Su kuria p reikšme lygtie x2+px-16=0 šaknų santykis lgus -4?

12.Su kuria p reikšme lygtis 3×2-4x+p-2=0 ir x2-2px+5=0 turi bendrą šaknį?

Raskite tą šaknį.

13.Lygties x2+px+q=0 šaknų skirtumas lygus 5, o jų kubų skirtumas lygus 35.

Raskite lygties koeficientus.

14.Įrodykite, kad reiškinys x14x2+x13x22+x12x23+x1x42 yra racionalus, jei

x1 ir x2 yra kvadratinės lygties x2+px+q=0 su racionaliais koeficientais

šaknys.

Sprendimas: lygtis= x1x2(x13+x12x2+x1x22+x23)=x1x2(x1+x2)(x12+x22)=

-pq(p2-2q).

15. Jei x1 ir x2 yra lygties x2-3x+1=0 šaknys, o n- natūralusis skaičius,

tai x1n+x2n yra sveikasis skaičius. Įrodykite.

Kontrolinės užduotys

I grupė

1.Raskite lygčių sprendinių sumą ir sandaugą.

a) 3×2+bx+255=0 с) -x2+bx+c=0

b) -5×2+25x-[pic]=0 d) x2-210x=0

2.Taikydami Vijeto teoremą raskite lygčių sprendinius:

a) x2-5x=0 c) x2+12x+36=0

b) x2-5x+6=0 d)x2+6-5x=0

3.Išspręskite lygtį 5×2-11x+2=0 ir patikrinkite ar gerai išsprendėte pagal

atvirkštinę Vijeto teoremą.

4. Sudarykite redukuotąją kvadratinę lygtį, jei jos sprendiniai yra:

a) x1= 1, x2= -3 ir a= 3

b) x1= -1, x2= -5 iir a= 10

c) x1= 3- [pic], x2= 3+[pic]

d) x1= [pic], x2= [pic]

e) x1= 6 , x2= -2

f) x1= -5, x2= -3

5.Užpildykite lentelę.

| | | | |x1 |x2 |

|2×2-11x+16=0| | | | |

|3×2-5x+8=0 | | | | |

|1-18x+81×2=0| | | | |

|x2=-2x-1 | | | | |

6. Nustatykite kvadratinės lygties šaknų ženklus ir užpildykite lentelę

|Lygtis |Atsakymas |

|1.4×2-7x-11=0| |

|2.x2+3x+0.5=0| |

|3.2×2+4x-6=0 | |

|4. | |

|5×2-x-108=0 | |

|5.-7×2-4x+8=0| |

|6.-y2+10y-2=0| |

7.a)Kvadratinės lygties 10×2-33x+c=0 viena šaknis yra 5,3. Raskite kitą

šaknį ir koeficientą c.

b)Kvadratinės lygties x2+x+c=0 šaknu skirtumas lygus 6. Raskite

koeficientą c.

8. Su kuriomis q reikšmėmis lygties x2-10x+q=0 šaknų kvadratų suma lygi 69?

9. Nespręsdami lygties sudarykite naują kvadratinę lygtį, kurios

sprendiniai būtų du kartus didesni už lygties x2-5x+6=0 sprendinius.

10. Su kuriomis p reikšmėmis viena lygties x2+px+147=0 šaknis yra 3 kartus

didenė už kitą?

II grupė

1. Raskite lygčių sprendinių sumą ir sandaugą.

a) x2-9x-10=0 c) -x2-[pic] +6=0

b)5×2+12x+7=0 d) 4y2-19=0

2. Taikydami Vijeto teoremą raskite lygčių spredinius.

a) x2+10x+28=0 c)x2+125x-124=0

b) x2-14x-24=0 d)x29x2-6x+1=0

3. Išspręskite lygtį x2 +19x+88=0 ir pasitikrinkite ar teisingai gavote

pagal atvirkštinę Vijeto teoremą.

4. Sudarykite redukuotąją kvadratinę lygtį:

a) x1= 5, x2= -4 ir a= -5

b) x1= [pic], x2=- [[pic] ir a=4

c) x1= -4, x2= -6

d) x1= [pic], x2= – [pic]

e) x1= 2[pic], x2= 1[pic]

f) x1= -[pic], x2= [pic]

5.Užpildykite lentelę.

| | | | |x1 |x2 |

|4×2+2x-5=0 | | | | |

|-4×2+4x+3=0| | | | |

|10x+9+ x2=0| | | | |

|-12x=-36×2-| | | | |

|1 | | | | |

6. Nustatykite kvadratinės lygties šaknų ženklus ir užpildykite lentelę.

|Lygtis |Atsakymas |

|1.4×2-px-11=0| |

|2.x2+4x+1=0 | |

|3.6×2+8x-13=0| |

|4.-x2-40x-12=| |

|0 | |

|5.-7×2-28x+49| |

|=0 | |

|6.-z2+z-1=0 | |

7.a)Kvadratinės lygties x2+px-35=0 vienas sprendinys lygus 7. Raskite kitą

sprendinį ir koeficientą p.

b)Kvadratinės lygties x2-12x+q=0 šaknų skirtumas lugus 2. Raskite q.

8.Nesprendę lygties 3×2-5x-2=0, raskite jos šaknų kubų sumą.

9. Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys būtų būtų atvirktiniai

skaičiai lygties 3×2-8x+4=0 šaknims.

10.Nespręsdami lygties x2-(2a+1)x+a2+0=0, raskite a reikšmę, su kuria viena

lygties šaknis dvigubai didesnė už kitą.

Literatūra

1.A.Grinevičius, J.Mačys „Lietuvos Jaunųjų matematikų olimpiadų uždaviniai“

1990m.

2.V.Jegeriovas, V.Zaicevas, B.Kordemskis , T.Maslova, I.Orlovskaja,

R.Pozoiskis, G.Riachovskaja, N.Fiodorova „Matematikos uždavinynas“ 1992m.

3.Aurelija Biutvydienė „Algebra“ 1998m.

4.B. Ivlevas, A.Zemliakovas, F.Tomaševičius „Algebros ir analizės pradmenų

uždavinynas“ 1983m.

5.J.Koliaginas, M.Leontjeva, J.Makaryčevas „Algebros uždavinynas 6-9

klasei“. 1982m.

6.J.Makaryčevas, N.Mindiuk, K.Neškovas, S.Suvorova „Algebra 7-8 klasei“

1986m.

7.G.Gleizeris „Matematikos istorija mokykloje IV-VI klasėje“.

8.G.Gleizeris „Matematikos istorija mokykloje X-XII klasėje“.

10.Bronislovas Burgis, Vygandas Čirica, Antanas Kulikauskas „Universalus

žinynas“

11.“Lietuvių enciklopedija“ 34 tomas.

12.A.Kiseliovas „Matematika“.

13.”Matematika I dalis” 9 klasė.

———————–

[pic]