Progresijos
Klaipėdos universitetas
Pedagogikos fakultetas
Neakivaizdinis skyrius
JURINDA LUKOŠIŪTĖ
Vaikystės pedagogikos ir etikos specializacijos studijų programos III
kurso, 3 grupės studentė
PROGRESIJOS
Matematikos kontrolinis darbas
Darbo vadovas
Prof. D. Švitra
Klaipėda.
2004
Kontrolinio darbo planas
Įvadas
1. Skaičių seka
1.1. Sekos apibrėžimas;
1.2. Sekos apibrėžimo būdai;
1.3. Didėjančios ir mažėjančios sekos.
2. Progresijos
2.1 Aritmetinės progresijos apibrėžimas bei savybės;
2.2 Geometrinės progresijos apibrėžimai bei savybės;
2.3. Nykstamoji geometrinė progresija
3. Uždaviniai
3.1 Pastabos apie progresijų uždavinius;
3.2. Šiuolaikiniai progresijų uždaviniai;
3.3 Seniausieji progresijų uždaviniai.
Išvados
Literatūros sąrašas
Įvadas
Progresijos yra aalgebros kurso dalis, tačiau šiek tiek nutolusi nuo keturių
pagrindinių algebros kurso krypčių: skaičių sistemų, tapačiųjų pertvarkų,
lygčių ir nelygybių, funkcijų. Nagrinėjant progresijas, būtina pirmiausia
išnagrinėti skaičių sekas, kadangi tiek aritmetinė, tiek geometrinė
progresijos visų pirma, yra ne kas kita, o tam tikra seka, kuriai būdingos
tam tikros savybės, kurias aptarsiu tolesnėje šio darbo eigoje.
Knygos „Įdomioji matematika“ septintame skyriuje yra rašoma apie
seniausiąją progresiją. Ten rašoma, kad seniausias progresijos uždavinys,
buvo užrašytas garsiame egiptiškame Rindo papiruse, kuris buvo atrastas
prieš pusę amžiaus, parašytas apie 2000 metų prieš mūsų eerą. Taipogi yra
rastas kitas nuorašas, dar senesnio matematinio kūrinio, kuris kilęs, gal
būt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą. Keletas šių senųjų uždavinių
bus nagrinėjama ir šiame darbe.
Darbo tikslas: išanalizuoti progresijų apibrėžimus, pateikti pagrindines jų
formules bei uždavinių pavyzdžius, aiškinančius progresijų savybes.
Darbo uždaviniai:
1) Susipažinti su skaičių sekos apibrėžimu bei jų rūšimis. Jas
aiškinančių pavyzdžių pateikimas;
2) Progresijų bei jų savybių analizė, pateikiant jas aiškinančių
pavyzdžių;
3) Aptarti pagrindines uždavinių apie progresijas kategorijas;
4) Pateikti uždavinių sprendimo pavyzdžių:
a) Senųjų;
b) Šiuolaikinių.
1. Skaičių seka
1.1 Sekos apibrėžimas
Skaičių seka vadinama skaitinė funkcija [pic], apibrėžta natūraliųjų
skaičių aibėje [pic].
Sakykime, kiekvienam natūraliajam skaičiui priskirtas tam tikras realusis
skaičius: skaičių 1 atitinka skaičius [pic], skaičių 2 – skaičius [pic],
skaičių 3 – skaičius [pic],., skaičių [pic] – skaičius [pic] ir t. t.
Tuomet sakome, kad apibrėžta skaičių seka, ir rašome: [pic], [pic], .,
[pic], ., arba [pic]. Skaičius [pic]-tasis sekos narys.
Pavyzdys. [pic]. Ši seka sudaryta taip: kiekvieną natūralųjį skaičių
atitinka jo kvadratas. Čia [pic]= [pic]
1.2 Sekos apibrėžimo būdai.
Norint išreikšti seką, reikia nurodyti, kaip rrasti bet kurį jos narį, kai
žinomas nario numeris. Taigi dabar turime išnagrinėti sekų reiškimo būdus.
Analizinis būdas.
Šiuo būdu seka apibrėžiama jos [pic]tojo nario formule, pagal kurią galima
apskaičiuoti bet kurį sekos narį.
Pavyzdžiui formulė [pic]= [pic] apibrėžia seką [pic]kurios
[pic]=[pic] t. y. seką [pic].
Rekurentinis būdas.
Tai būdas, kai kiekvienas sekos narys, pradedant nuo tam tikro,
išreiškiamas pirmesniaisiais nariais. Apibrėžiant seką šiuo būdu, nurodomas
jos pirmasis narys arba keli jos pirmieji nariai ir formulė, pagal kurią
galima apskaičiuoti kiekvieną sekos narį žinant pirmesnius narius.
Pavyzdys. [pic].
Turime [pic]
Ir taip toliau, gauname sseką:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,. .
Kiekvienas jos narys, išskyrus du pirmuosius, lygus dviejų prieš jį
einančių narių sumai.
Žodinis būdas.
Tai būdas, kai seka apibrėžiama žodine taisykle.
Taip, pavyzdžiui, galime sudaryti bet kurios begalinės periodinės trupmenos
dešimtainių artinių su trūkumu seką. Antai trupmenos 0,(2) artinių su
trūkumu seka:
0,2; 0,22; 0,222; 0,2222;. .
1.3 Didėjančios ir mažėjančios sekos.
Seką [pic] kurios kiekvienas narys mažesnis už po jo einantį, t. y. kurios
[pic] su kiekvienu [pic], vadiname didėjančia.
Seką [pic] kurios kiekvienas narys didesnis už po jo einantį, t. y. kurios
[pic] su kiekvienu [pic], vadiname mažėjančia.
Pavyzdžiai:
1) 1, 4, 9, 16, 25, ., [pic], .- didėjanti seka.
2) 2, 5, 8, 11, 14, ., [pic] didėjanti seka.
3) -1, -2, -3, -4, ., -[pic], . – mažėjanti seka.
4) -1, 2, -3, 4, -5, 6, ., [pic]- ši seka nėra nei didėjanti, nei
mažėjanti.
5) 3, 3, 3, 3, ., 3, .- čia turime pastoviąją, arba stacionarinę
seką.
Skaičių seką, kaip ir skaitinę funkciją, galima pavaizduoti taškais
koordinačių plokštumoje. Kadangi skaičių seka yra funkcija, kurios
apibrėžimo sritis – natūraliųjų skaičių aibė N , tai jos grafikas yra aibė
koordinačių plokštumos taškų, kurios abscisės – natūralieji skaičiai 1, 2,
3, ., n, ., o ordinatės – atitinkami sekos nariai.
2. Progresijos
2.1 Aritmetinės pprogresijos apibrėžimas ir savybės.
Apibrėžimas.
Seką [pic] kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus prieš jį
esančiam nariui, sudėtam su tuo pačiu skaičiumi d, vadiname aritmetine
progresija. Skaičius d- progresijos skirtumas.
Taigi aritmetinė progresija yra lygybe [pic] rekurentiškai apibrėžta seka.
Pavyzdžiui, [pic] ir t. t.
Kai d >0, tai aritmetinė progresija didėja, o kai d < 0- mažėja.
1 pavyzdys. 3, 5, 7, 9, 11, 13, .- tai aritmetinė progresija,
kurios [pic].
2 pavyzdys. Sakykime, [pic] Šios sąlygos apibrėžia aritmetinę
progresiją, kurios [pic][pic]
Gauname aritmetinę progresiją [pic].
3 pavyzdys. Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, ., 2, . yra aritmetinė
progresija, kurios [pic].
Kartais nagrinėjama yra ne visa seka – aritmetinė progresija, o tik keli
pirmieji jos nariai, tada yra kalbama apie baigtinę aritmetinę progresiją.
Nurodant, kad seka [pic] yra aritmetinė progresija, kartais yra rašoma
taip:
[pic].
Savybės.
[pic]Aritmetinės progresijos n- ojo nario formulė:
[pic][pic][pic]
Pavyzdžiui, kai [pic].
[pic]baigtinės aritmetinės progresijos dviejų narių, vienodai nutolusių nuo
pradžios ir pabaigos, suma yra lygi kraštinių narių sumai. Aritmetinės
progresijos [pic] pirmųjų n narių randama pagal formulę:
[pic]
Čia [pic]
[pic]Charakteristinė savybė: seka yra aritmetinė progresija tada ir tik
tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį ( ir paskutinįjį, kai
aritmetinė progresija baigtinė), lygus gretimų narių aritmetiniam
vidurkiui:
[pic]
Pavyzdys. Bėgikas per pirmą minutę nubėgo 400 m, o per kiekvieną sekančią
minutę bėgo 5 m mažiau negu per praėjusią. Kokį atstumą jis nubėgo per 1 hh?
Sprendimas. Per pirmą minutę bėgikas nubėgo 400 m, per antrą – 395 m, per
trečią – 390 m ir t. t. Skaičiai 400, 395, 390, . sudaro aritmetinę
progresiją, kurios [pic] Per 1 h, t. y. per 60 min, nubėgtas atstumas lygus
pirmųjų 60 progresijos narių sumai. Taikant (2) formulę, turime:
[pic]
Taigi per 1 h bėgikas nubėgo 15 km 150 m.
2.2 Geometrinės progresijos apibrėžimas ir savybės.
Apibrėžimas.
Seką [pic][pic], kurios pirmasis narys nelygus nuliui ir kurios kiekvienas
narys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančiam nariui, padauginant iš
to paties nelygaus nuliui skaičiaus q , vadiname geometrine progresija.
Skaičius q – progresijos vardiklis. Taigi geometrinė progresija yra lygybe
[pic] kai [pic] rekurentiškai apibrėžta seka. Pavyzdžiui, [pic].
1 pavyzdys. 1, 2, 4, 8, 16, 32.- tai geometrinė progresija, kurios [pic]
2 pavyzdys. [pic] geometrinė progresija, kurios [pic]
3 pavyzdys. Sakykime, [pic] Šios sąlygos apibrėžia geometrinę progresiją,
kurios [pic]
Gauname geometrinę progresiją [pic].
4 pavyzdys. Pastovioji seka 2, 2, 2, 2, ., 2, . yra geometrinė
progresija, kurios [pic]
Kartais nagrinėjame ne visą seką – geometrinę progresiją, o tik jos kelis
pirmuosius narius. Tada kalbama apie baigtinę geometrinę progresiją.
Nurodydami, kad seka [pic] yra geometrinė progresija, kartais yra rašoma
taip:
[pic].
Savybės.
[pic]Geometrinės progresijos n – ojo nario formulė:
[pic]
[pic]Geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulės:
[pic]
Čia [pic] kai q=1, tai [pic]
[pic] Charakteristinė savybė: seka yra geometrinė
progresija tad air tik
tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinį, kai
geometrinė progresija baigtinė), susijęs su gretimais nariais formule:
[pic]
Pavyzdys. Raskite geometrinės progresijos, kurios [pic] aštuntąjį narį.
Sprendimas. Kadangi [pic] ([pic] savybė), tai 96= [pic] arba [pic].
Remiantis [pic] savybe,
[pic]
iš čia
[pic] arba [pic]
Bet [pic] Įrašę šią išraišką, randame:
[pic]
Žinodami [pic] ir q, apskaičiuosime [pic]
[pic]
2.3 Nykstamoji geometrinė progresija.
Apibrėžimas. Jeigu geometrinės progresijos [pic] vardiklis q moduliu
mažesnis už vienetą, t. y. [pic] tai geometrinę progresiją vadiname
nykstamąja.
Panagrinėkime seką [pic]. Tai geometrinė progresija, kurios [pic].
Pastebime, kad kuo ddidesnis n , tuo mažiau sekos narys skiriasi nuo nulio;
kuo didesnis n , tuo tikslesnė apytikslė lygybė [pic] čia [pic] Tokia pačia
savybe pasižymi kiekviena begalinė geometrinė progresija, kurios [pic]
tokios progresijos [pic], ir ta lygybė tuo tikslesnė, kuo didesnis n .
Nagrinėkime tokios progresijos n narių sumą [pic] Kuo didesnis n, tuo
mažiau [pic] skiriasi nuo skaičiaus [pic] Taigi iš to išeina, kad [pic] yra
begalinės geometrinės progresijos, kurios [pic], suma, ir rašome
[pic]
Minėta suma kartais dar žymima simboliu:
[pic] t. y. [pic]
Pavyzdys. Begalinę periodinę ddešimtainę trupmeną 0,2(54) paverskime
paprastąja trupmena.
Sprendimas. [pic]. Suma
[pic] yra begalinės progresijos [pic] kurios vardiklis q lygus 0,01, suma.
Todėl
[pic]
Vadinasi, [pic]
3. Uždaviniai
3.1 Pastabos apie progresijų uždavinius.
Progresijų uždaviniai glaudžiai susiję su tapačiaisiais pertvarkiais, ypač
su lygčių bei jų sistemų sprendimu. Baigtinės aritmetinės progresijos
uždaviniuose ooperuojama 5 parametrais: [pic]( pirmasis narys, kitaip dar
žymimas a), d (skirtumas), n (narių skaičius), [pic] (n-asis narys, kitaip
dar žymimas u), [pic] (pirmųjų n narių suma, kitaip dar žymima S ).
Pagrindiniai aritmetinės progresijos uždaviniai yra tokie, kuriuose
nurodyti kurie nors trys iš tų 5 skaičių, o kitus du reikia rasti.
Skirtingų uždavinių tipų yra [pic]. Jie pateikti šioje lentelėje:
Žinoma |a, d,
n |a, d,
u |a, d,
S |a, n,
u |a, n,
S |a, u,
S |d, n,
u |d, n,
S |d, u,
S |n, u,
S | |Nr. |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |Reikia rasti |u, S |n, S |n, u
|d, S |d, u |d, n |a, S |a, u |a, n |a, dd | |
3.2 Šiuolaikiniai progresijų uždaviniai.
Pateiksiu kelis šių uždavinių pavyzdžius. J. Teišerskio knygoje Algebros
mokymo metodika pateiktas toks uždavinys:
Sąlyga: Trys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją. Jei prie pirmojo
skaičiaus pridėtume 8 , tai gautume geometrinę progresiją, kurios narių
suma lygi 26. Raskite tuos skaičius.
Sprendimas: Aritmetinės progresijos narius žymėkime [pic]
Geometrinės progresijos nariai bus [pic]
Sudarome lygčių sistemą [pic]
[pic]
Atsakymai bus 10;6;2 arba -6,6,18.
Knygos Matematikos repetitorius namuose 29 skyriuje pateikta taipogi
keletas šių uždavinių. Norėčiau ir iš šios knygos pateikti vieną jų:
Sąlyga: Punktai A, B, C ir D iišsidėstę ant vienos tiesės nurodyta tvarka.
Pėstysis eina iš A į D [pic]greičiu. Pasiekęs D, jis pasuka atgal ir ateina
į punktą B, visam keliui sugaišęs 5 valandas. Žinoma, kad atstumą AC jis
nueina per 3 val., o atstumai taro A ir B, B ir C, C ir D (duotąja tvarka)
sudaro geometrinę progresiją. Raskite atstumą tarp B ir C.
Sprendimas. Sakykime, kad AB= x km, BC= y km, CD= z km.
Pėstysis atstumą AB nueina 1 kartą, BC- 2 kartus, CD- du kartus.
Visas įveiktas atstumas lygus [pic]val=25 km.
Tada [pic]
Antrąją lygtį gauname, žinodami, kad atstumą AC nueina per 3 val., t. y.
[pic]
Trečiąją lygtį gauname pagal geometrinės progresijos apibrėžimą [pic]
Belieka sudaryti lygčių sistemą ir ją išspręsti:
[pic] [pic]
[pic]
Ats.: 5 km.
3.3 Seniausieji progresijų uždaviniai.
Kaip jau minėjau įvadinėje šio darbo dalyje, yra nuorašas matematinio
kūrinio, kuris kilęs, gal būt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą. Šio
dokumento aritmetinių, algebrinių ir geometrinių uždavinių tarpe yra toks:
Uždavinys: Šimtą saikų grūdų reikia padalyti tarp penkių žmonių taip, kad
antrasis gautų tiek daugiau už pirmąjį, kiek trečiasis gavo daugiau už
antrąjį, ketvirtasis daugiau už trečiąjį ir penktasis daugiau už
ketvirtąjį. Be to, pirmieji du turi gauti 7 kartus mažiau už likusius tris.
Kiek reikia duoti kiekvienam?
Sprendimas: Yra aišku, kad grūdų kiekiai, kuriuos gauna dalybų dalyviai,
sudaro didėjančią aritmetinę progresiją. Sakykime, kkad pirmasis jos narys
x, skirtumas y ,tada
Pirmojo dalis x
Antrojo dalis x + y
Trečioja dalis x + 2y
Ketvirtojo dalis x + 3y
Penktojo dalis x+4y
Remdamiesi uždavinio sąlygomis, sudaromos šios dvi lygtys:
[pic]
Suprastinus pirmoji lygtis įgauna pavidalą:
x + 2y = 20,
o antroji:
11 x = 2y
Išsprendę šią sistemą gauname:
[pic]
Vadinasi, grūdai turi būti padalyti į tokias dalis:
[pic]
Nepaisant to, kad šis progresijos uždavinys yra penkiasdešimties amžių
senumo, mūsų mokyklose progresijos pasirodė palyginti neseniai. Magnickio
vadovėlyje, kuris buvo išleistas prieš du šimtus metų ir pusę amžiaus buvo
pagrindinis mokyklų vadovėlis, progresijos nors ir yra, bet bendrųjų
formulių, kurios surištų į jas įeinančius dydžius tarp savęs, jame neduota.
Pats vadovėlio autorius todėl gan sunkiai susidorojo su tokiais
uždaviniais. Štai vieno, gan komiško, uždavinio pavyzdys:
Uždavinys: Kažkas pardavė arklį už 156 rub. Bet pirkėjas apsigalvojo jo
nepirkti ir grąžino pardavėjui ir pasakė, kad neapsimoka pirkti už šią
kainą arklio, kuris tokių pinigų nevertas. Tada pardavėjas pasiūlė kitas
sąlygas:
– Jei arklio kaina tau atrodo per aukšta, tai pirk tiktai jo
pasagų vinis, o arklį tada pridėsiu nemokamai. Vinių
kiekvienoje pasagoje 6. už pirmą vinį man duosi ¼ kap., už
antrąją – ½., už trečiąją – 1 kap. Ir t. t.
Pirkėjas, žemos kainos suviliotas ir norėdamas nemokamai gauti arklį,
priėmė pardavėjo sąlygas, tikėdamasis, kad už vinis teks užmokėti ne
daugiau kaip 10 rrublių.
Kiek pirkėjas prakišo?
Sprendimas: Už 24 pasagų vinis teko užmokėti [pic]
Ši suma yra lygi [pic] kap.,
t. y. apie 42 tūkstančius rublių. Tokiomis sąlygomis negaila ir arklį
priedo duoti.
Taigi, tie patys pirmieji progresijų uždaviniai, buvo pateikiamo be
formulių. Iš jų sąlygų turinio, galima daryti išvadą, kad jie atsirado,
galbūt, per žmonių buitį. Knygoje „Įdomioji matematika“ pateikta daugiau
tokių uždavinių, kaip „Daržo laistymas“, „Vištų lesinimas“, „Žemkasių
artelė“, „Obuoliai“ ir kt.
Išvados
• Tiek aritmetinė, tiek geometrinė progresijos, visų pirma, yra ne kas
kita, o tam tikra seka, kuriai būdingos tam tikros savybės;
• Manau, kad pakankamai aiškiai išanalizavau progresijos apibrėžimą,
savybes. Pateikti uždavinių pavyzdžiai pagerino protinį suvokimą.
• Seniausias progresijos uždavinys, buvo užrašytas garsiame egiptiškame
Rindo papiruse, kuris buvo atrastas prieš pusę amžiaus, parašytas apie
2000 metų prieš mūsų erą. Taipogi yra rastas kitas nuorašas, dar
senesnio matematinio kūrinio, kuris kilęs, gal būt, iš trečio
tūkstantmečio prieš mūsų erą.
• Patys pirmieji progresijų uždaviniai, buvo pateikiama be formulių. Iš
jų sąlygų turinio, galima daryti išvadą, kad jie atsirado, galbūt, per
žmonių buitį.
Literatūros sąrašas
1. Gusevas V., Mordkovičius A. Matematika. Informacinė medžiaga.,
K.,Šviesa,-1990; psl. 134-141.
2. Grebeničenkaitė P. Tumėnaitė E.Matematikos repetitorius namuose.
Šiaurės Lietuva.-2002; psl. 75.
3. Kudžmienė A., Kudžma R. Sekos., V. Leidybos centras.-1995,psl. 102-
108;
4.
Matematika 11 klasei (2 dalis)., V.-2002, psl. 69-94;
5. Matematika. K. Šviesa-1986, psl. 37;
6. Steponavičius A. Matematika 10-12 klasei, K., Šviesa- 1995, psl.31-53;
7. Teišerskis J. Algebros mokymo metodika, V., Mokslas-1988, psl. 64-68.
