spiralinis augimas fibonacio skaiciai

Panevėžio Juozo Balčikonio gimnazija

2003-2004 m.m. žiemos sesijos

projektas

Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai

Projektinio darbo vadovė

matematikos mokytoja

J. Budzilaitė

Panevėžys, 2004 m.

Turinys

Turinys 1

Įvadas 2

Leonardo Fibonatis 3

Fibonačio skaičiai 4

Fibonačio skaičių savybės 5

Binė formulė ir lygtis x2-x-1 = 0 5

Aukso pjūvis 6

Gnomonai 8

Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai gamtoje 9

Išvados ir rezultatai 12

Literatūros sąrašas: 13

Interneto svetainės: 13

Įvadas

Turbūt daugeliui teko gėrėtis jūros kriauklėmis, nusiskynus saulutę ar

ramunę žaisti žaidimą “myli- nemyli”, spręsti galvosūkį, kiek triušių pora

gali atsivesti triušiukų per metus. Visas šias problemas nagrinėja ir

matematikai, o šiuos sąryšius tarp gamtos ir matematikos apibūdina tokios

sąvokos kaip “Fibonačio skaičiai”, “aukso pjūvis”, “gnomonai”. Taigi

griežta tvarka yra ne tik matematikoje, bet ir gamtoje.

Šį projektinį darbą pasirinkau todėl, kad man patinka matematika, o

mokyklinės matematikos kursas yra gana glaustas ir nuobodus. Tad rašydama

projektą turėjau šiuos tikslus:

1. Susipažinti su Leonardo Fibonačio biografija.

2. Susipažinti su šiuolaikine matematika, būtent su spiraliniu

augimu ir Fibonačio skaičiais.

3. Panagrinėti jos praktinį pritaikymą biologijoje ir kt.

Leonardo Fibonatis

Leonardo Fibonatis gimė apie 11175 metus Italijoje, Pizos mieste. Jo

tėvas, Guilielmo Bonacci, buvo Pizos respublikos ministras, taip pat

Afrikos Bugia miesto muitinės tarnautojas. Guilielmo norėjo, kad sūnus

taptų pirkliu, todėl be įprastų skaičiavimo sistemų, jį supažindino ir su

arabiškąja, kuri tuomet dar nebuvo paplitusi Europoje. Būdamas pirklio

sūnumi, FFibonatis galėjo laisvai keliauti po visą Bizantijos imperiją, nes

tuomet pirkliai turėjo imunitetą. Todėl Leonardo aplankė daugelį prekybos

centrų. Tai suteikė jam galimybę mokytis ne tik klasikinės matematikos, bet

ir tuo metu populiarių skaičiavimo sistemų.

Apie 1200 Leonardo grįžo į Pizą. Viduramžiais jis buvo garsiausias

Europos matematikas. Fibonatis pirmasis supažindino Europą su arabiškąja

skaičiavimo sistema. 1202 jis baigė savo knygą, „Liber Abaci“, kurioje

aiškino, kaip skaičiuoti dešimtainėje skaičiavimo sistemoje. Jis apibūdino

pagrindines sudėties, atimties, daugybos ir dalybos taisykles, kurias mes

dabar mokomės pradinėje mokykloje. Šioje knygoje Leonardo skaičius rašė

atvirkščia tvarka ir jo trupmena 4 ½ atrodė kaip ½ 4.

Fibonačio meistriškumą patvirtina knygoje aprašyta ne tik arabiškoji

skaičiavimo sistema, bet ir kvadratinių lygčių sprendimo teorija. Bet

Leonardo domėjosi ne tik arabiškąja algebra. Savo komercinės veiklos

srityje jam buvo reikalingas išsamus žinynas, aiškinantis, kaip spręsti

tuometines kasdien pasitaikančias problemas.

Klausimas, iškeltas trečiojoje knygos „Liber Abaci“ dalyje buvo įžanga

į Fibonačio skaičius:

Kažkoks žmogus į patalpą, iš visų pusių ribojamą sienų, įdeda triušių

porą. Kiek triušių porų atsiras po metų iš pirmosios, jei kiekvieną mėnesį

kiekviena pora atsiveda po naują porą triušių, kurie gali susilaukti

palikuonių jau po dviejų mėnesių?

[pic]

Skaičiuodamas triušių populiaciją, Fibonatis atrado ir skaičių seką, iš

kurios gali būti kildinamas aukso pjūvis:

|2 |= |1 |+ |1 |

|3 |= |2 |+ |1 |

|5 |= |3 |+ ||2 |

|8 |= |5 |+ |3 |

|13|= |8 |+ |5 |

|21|= |13|+ |8 |

|34|= |21|+ |13|

|55|= |34|+ |21|

|..|..|..|..|..|

|..|..|..|..|..|

|. |..|. |. |. |

Prancūzų matematikas Edouard Lucas (1842-1891) šią skaičių seką

pavadino Fibonačio vardu ir atrado dar daug jos panaudojimo sričių. Tai

paskatino keletą žmonių, praėjus daugeliui metų po jo mirties, 1962,

suburti Fibonačio draugiją. O 1963 pradėtas leisti žurnalas „The Fibonacci

Quarterly“ (quarterly- žurnalas, išeinantis kartą per tris mėnesius), kurio

tikslas- atskleisti su Fibonačiu susijusias paslaptis.

1200, baigęs visas savo keliones, Fibonatis grįžo į Pizą. Čia jis

parašė keletą veikalų, kurie ypač prisidėjo prie senosios matematikos meno

atnaujinimo ir buvo didelė pagalba pačiam Leonardo. Fibonatis gyveno tais

laikais, kai dar nebuvo išrasta spauda, todėl visos jo knygos rašytos

ranka, o, norint turėti knygos kopiją, ją vėl tekdavo perrašinėti ranka.

Iki mūsų dienų išliko keletas tokių kopijų: „Liber Abaci“ (1202), „Practica

geometriae“ (1220), „Flos“ (1225) ir „Liber quadratorum“. Žinoma, kad

Fibonatis buvo parašęs ir daugiau veikalų, kurie, deja, neišliko iki šiol.

Nors Fibonatis skleidė arabiškąją skaičiavimo sistemą, sprendė triušių

problemą, jo įnašas į matematiką liko didžia dalimi nepastebėtas.

Pripažintos tik tos „Liber abaci“ ir „Practica“ dalys, kurios supažindino

su arabiškąja algebra ir kasdieninėmis problemomis. Čia Fibonatis yra

skaičiavimo meistrų mokytojas. Taip pat Leonardo vadinamas Cossist’ų

mokytoju, kurių vardas kildinamas nuo žodžio ‘causa’, pirmą kartą Vakaruose

Fibonačio pavartoto vietoj ‘radix’ ((radix- šaknis). Leonardo skaitmenų ir

koeficientų eilės tvarką patobulino Vijetas. Viduramžiais Fibonačio darbai

buvo ignoruojami ir beveik nežinomi.

Fibonatis mirė Pizoje apie 1240 metus.

Fibonačio skaičiai

1, |1, |2, |3, |5, |8, |13, |21, |34, |55, | … | | Aukščiau matome

labai žinomą skaičių eilę- Fibonačio skaičius. Pirmiausia Fibonačio skaičių

eilė yra begalinė. Ši eilė dar ir sutvarkyta. Tai reiškia, kad yra

pirmasis Fibonačio skaičius (1), antrasis (2), trečiasis (2),., septintasis

(13),., dešimtasis (55), vienuoliktasis (89) ir t.t. kadangi Fibonačio

skaičių yra be galo daug, tai jų visų tikrai nesurašysime. Tad iškart kyla

daug klausimų. Koks N-tasis Fibonačio sekos skaičius? Ar yra taisyklė,

pagal kurią galėtume apskaičiuoti N-tąjį Fibonačio skaičių?

Toliau, kad būtų galima atsakyti į šiuos klausimus, pirmąjį Fibonačio

skaičių žymėsime F1, antrąjį- F2, o N-ąjį – FN.

Fibonačio skaičių savybės

Fibonačio skaičiai turi daug įdomių savybių. Toliau pateikiamos kelios

iš jų. Fibonačio skaičiams būdingos šios lygybės:

[pic]

Įrodykime pirmąją. Iš tikrųjų

[pic]

Sudėję panariui visas šias lygybes, gausime norimą lygybę

[pic]

Paskutinių Fibonačio skaičių skaitmenų seka kartojasi cikliškai kas 60

skaičių. Paskutiniai du vienodi skaitmenys pasikartoja kas 300 sekos narių,

paskutiniai trys– kas 1500, paskutiniai keturi– kas 15000 ir t.t. Nė

vienas nelyginis Fibonačio skaičius nėra dalus iš 17. Taip pat nė vieno

šios sekos skaičiaus, didesnio už aštuonis, negalime parašyti išraiška p-1

arba p+1, kur p– pirminis skaičius. 1964 įrodyta, kad vieninteliai

kvadratai Fibonačio sekoje yra 1 ir F12 = 144. O vieninteliai kubai– 1 ir

8. Paskalio trikampis taip pat susijęs su Fibonačio skaičiais:

[pic]

Kaip matome, įstrižai išbrauktų skaičių sumos vėlgi sudaro Fibonačio

skaičių seką.

Binė formulė ir lygtis x2-x-1 = 0

Jau žinome, kad bet kuris Fibonačio skaičius yra lygus dviejų pirmesnių

sumai. Matematiškai galėtume užrašyti:

[pic]

Ši taisyklė netinka F1 ir F2, nes jie neturi dviejų pirmesnių skaičių,

todėl aukščiau pateiktą apibrėžimą reiktų papildyti:

[pic]

Deja, naudodamiesi tokiu apibrėžimu, norėdami surasti N-ąjį sekos narį,

turėtume surasti visus prieš tai einančius. Todėl galime rasti ir

paprastesnį problemos sprendimo būdą. N-ąjį Fibonačio sekos narį galime

rasti pagal Binė formulę:

[pic]

Binė formulė leidžia rasti bet kurį Fibonačio skaičių, neieškant jo

pirmtakų, todėl sakome, kad ji aprašo Fibonačio skaičius išreikštiniu

pavidalu.

Lygtis x2 = x+1, nors iš pirmo žvilgsnio taip neatrodytų, irgi yra

susijusi su Fibonačio skaičiais. Pirmiausia perkelkime visus lygties narius

į kairiąją pusę ir gautąją lygtį išspręskime:

[pic]

Matome, kad būtent [pic] ir [pic] yra skaičiai, Binė formulėje keliami

N-uoju laipsniu. Paprastai skaičiuojant N-ąjį Fibonačio sekos narį galime

laikyti, jog [pic], o [pic]

Toliau nagrinėkime tik teigiamą lygties šaknį [pic], o kad būtų

patogiau skaičiuoti, pasižymėkime ją graikiška raide Φ. Φ yra lygties [pic]

sprendinys, tad [pic]. Padauginkime

šios lygybės abi puses iš Φ ir gausime:

[pic]

Vėl daugindami iš Φ gausime, kad:

[pic]

Taigi Fibonačio skaičiai pasirodo beskaičiuojant įvairius Φ laipsnius,

o taisyklė, Φ laipsniams skaičiuoti, yra tokia:

[pic]

Aukso pjūvis

Panagrinėkime, kaip kinta dviejų gretimų Fibonačio skaičių santykis:

[pic]

Matome, kad po kelių pradinių svyravimų skaičių santykis FN/FN-1

nusistovi ties 1,618. Šis santykis nėra tikslus, nes imdami, sakykim,

aštuonis skaičius po kablelio gausime

144/89≈1,6179775,

233/144≈1,6180556 ir t.t.

Vadinasi, santykis FN/FN-1 artėja prie kažkokio skaičiaus. Paskaičiavę

santykius F99/F98 ir F100/F99 gauname, jog:

[pic]

Jau anksčiau minėtasis Φ matematikoje dar žinomas aukso pjūvio vardu.

Šis skaičius turi ypatingą savybę– jis išreiškia tobulą pusiausvyrą tarp

didesniojo ir mažesniojo.

Sakykim, kad atkarpą AC, kurios ilgis lygus 1, padalijame į dvi dalis–

ilgesniąją AB ir trumpesniąją CB taip, kad visos atkarpos ir ilgesniosios

jos dalies santykis būtų lygus ilgesniosios ir trumpesniosios dalių ilgių

santykiui: [pic] (šią lygtį vadinkime tobulosios pusiausvyros lygtimi).

[pic]

Tegul AC=x, tada

[pic] arba [pic]

Šios lygties teigiama šaknis yra lygi [pic]. Pažymėkime santykį [pic]

raide [pic]. Tuomet

[pic]

Skaičius [pic] yra susijęs su Fibonačio skaičiais šia formule:

[pic]

Taip pat matome, kad tobuloji pusiausvyra tarp didesniosios tiesės

dalies AC ir mažesniosios BC pasiekiama, kai dalmuo [pic] yra lygus aukso

pjūviui Φ.

Gnomonai

Ryšį tarp spiralinio augimo ir Fibonačio skaičių bei aukso pjūvio

nusako dar vienas matematinis darinys– gnomonas. Geometrijoje figūros A

gnomonas yra tokia figūra, kuri, tinkamai prijungta prie A, sudaro su ja

naują figūrą A’, panašią į figūrą A.

Gamtoje yra du svarbiausi skirtingi organizmų augimo būdai. Pirmasis ir

labiausiai paplitęs- visuotinis augimas, kai visos gyvosios organizmo dalys

auga kartu. Vienas tokio augimo būdo ypatumų yra tas, kad negalime atskirti

naujesniosios organizmo dalies nuo senesniosios. Taip auga žmonės, gyvūnai,

daugelis augalų.

Nariuotakojam nautilui, avino ragui, sekvojai ar ramunės žiedynui

būdingas asimetrinis augimas. Taip augdamas organizmas įgyja vis naują

pridedamąją dalį, ir senasis organizmas kartu su pridedamąja dalimi sudaro

naują organizmą. Tad bet kurioje augimo pakopoje mes galime matyti visą to

organizmo praeitį.

Svarbu, kad dauguma šitaip augančių organizmų vystosi taip, kad jų

bendroji forma išlieka, t.y. jie lieka panašūs į save. Čia prisimename

minėtus gnomonus- kad ir kaip vyktų augimas, prisidedančioji dalis yra viso

organizmo gnomonas. Toks augimas ir vadinamas gnomoniniu augimu.

Geras gnomoninio augimo pavyzdys- jūrų kriauklės vystymasis. Nautilas

stato savo kriauklę etapais- kiekvieną kartą prie jau esančios kriauklės

priauginamas naujas narelis. Kiekvienoje augimo pakopoje nautilo kriauklės

pavidalas lieka toks pat. Taigi tokį augimą galime suprati kaip klasikinį

gnomoninio augimo pavyzdį. Gnomoninis kriauklės augimas iš esmės vyksta

taip: prie nariuotojo nautiliuko kriauklytės gyvis priaugina narelį

(išskirdamas ypatingą sekreciją, kuri kalkėja ir stingsta). Gaunama

truputėlį didesnė kriauklės spiralė, panaši į pradinę. Toliau procesas

rekursiškai kartojasi: vėl priauginamas naujas narelis (jis yra tos

panašios, bet jau truputį didesnės negu pradinė, kriauklės gnomonas), ir

gaunama nauja vėl padidėjusi spiralė. Šis procesas tęsiasi, kol gyvis

subręsta.

Šio nariuotojo nautilo kriauklės išoriniame kontūre atpažįstame

logaritminę spiralę, kuri būdinga gnomoniniam gamtiniam augimui ir

pastebima ne tik jūros kriauklėse, bet ir gyvūnų raguose:

[pic]

Spiralinis augimas ir Fibonačio skaičiai gamtoje

Augalai Fibonačio skaičius atkartoja lapų skaičiumi, jų išsidėstymu

apie stiebą, sėklų pasiskirstymu. Yra daug augalų, vaisių, kuriuose galime

įžiūrėti spiralę. Tai pušies kankorėžis, ananasas, saulėgrąža. Taip pat

dauguma augalų išleidžia šakų kiekį, atitinkantį tam tikrą Fibonačio sekos

skaičių.

Geras pavyzdys yra saulėgrąžos sėklų išsidėstymas. Raudonai pažymėtos

saulėgąžos pagal laikrodžio rodyklę sudaro 55 spirales. Žaliai pažymėtos

prieš laikrodžio rodyklę sudaro 89 spirales.

[pic] [pic]

Atrodo, jog galima tikėtis atrasti augaluose kokią nors simetriją, bet

perpjaukite bananą ar obuolį ir pamatysite, jog pirmąjį sudaro 3 dalys, o

antrąjį- penkios. Tai vėl Fibonačio skaičiai.

[pic] [pic]

Turbūt iki šiol nepastebėjote dar vieno akivaizdaus dalyko- dažniausiai

gėlės žiedlapių skaičius priklauso Fibonačio sekai. Vieno ar dviejų

žiedlapių gėlės yra retos, bet trilapių, ypač penkialapių yra žinoma

daugybė rūšių. Šiek tiek retesnės aštuonis ar trylika žiedlapių turinčios

gėlės, o įvairių rūšių saulučių žiedlapių skaičius ypač gerai atspindi

Fibonačio skaičių seką. Dažniausiai matome saulutes, turinčias 13, 21, 34,

55 ar 89 lapelius.

Įprastos laukinės saulutės žiedas turi 34 lapelius. Į tai reiktų

atkreipti dėmesį žaidžiant žaidimą “myli- nemyli”. Tiesa, sakydami kad

kiekviena saulutė turi 34 lapelius, turime omenyje, kad tos rūšies

saulutėms būdingas toks skaičius. Iš tikrųjų konkreti saulutė gali turėti

ir 33 ar 35 lapelius. O iš šių dviejų didesnė tikimybė, kad žiedas bus ne

visai išsivystęs ir turės 33 žiedlapius.

[pic][pic][pic][pic]

[pic][pic][pic][pic]

Augalų sąsaja su Fibonačio seka neapsiriboja vien žiedlapių skaičiumi.

Čia pateiktas schematiškas jonažolės vystymasis. Nauji ūgliai išauga iš tos

stiebo vietos, kur išauga ir lapelis.

[pic][pic][pic][pic]

Nubrėžę horizontalias linijas per ūglių išaugimo taškus galime

pastebėti aiškias augalo vystymosi fazes. Pagrindinis stiebas išleidžia

naujus ūglius kiekvienos fazės pradžioje. Nauji ūgliai dvi fazes ilsisi, o

po to patys pradeda leisti ūglius. Ir tokia tvarka augalas vis auga.

Kadangi šis augimas primena ir Fibonačio triušių problemą, nenuostabu,

kad šakų kiekis kiekvieną augimo fazę yra būtent Fibonačio skaičius.

Didėjantis lapelių skaičius taip pat atitinka Fibonačio seką. Tokiu pat

būdu ir medžiai, kai kurie kiti augalai leidžia savo šakas ir šakeles.

Kai ką naujo pastebime patyrinėję kankorėžių žvynelius, saulėgrąžos

sėklas, net ananaso gumbelius.

Kankorėžyje sėklas laikantys žvyneliai iš tikrųjų yra pakitę lapai.

Visi jie yra glaudžiai išsidėstę ir susijungę su plonu koteliu. Čia nėra

tokios klasifikacijos kaip jau minėtame atvejyje su jonažolės ūgliais. Vis

dėlto pastebėsime dvi spirales, išeinančias iš to taško, kuriame yra

kotelis.

Nupieštame kkankorėžyje matome aštuonias spirales, kylančias kūgiu į

viršų pagal laikrodžio rodyklę, o smailiau prieš laikrodžio rodyklę kyla

trylika spiralių.

[pic][pic][pic]

Atidžiau panagrinėkime ir saulutės žiedą. Šios mažutės gėlės

supaprastintame žiedo piešinyje matome 21 arba 34 logaritmines spirales.

Paprastai saulutėje pastebimų spiralių, besisukančių prieš ir pagal

laikrodžio rodyklę, skaičiai sutampa su dviem iš eilės einančiais Fibonačio

skaičiais.

[pic][pic]

Netgi kiekvienas mūsų piršto narelis yra didesnis už šalia esantį

apytiksliai 1,618 karto. Kaip matome paveikslėlyje, laikydami jog mūsų nago

ilgis yra 1, vėl gausime Fibonačio seką. Narelių ilgiai atitinkamai bus 2,

3, 5, 8. O prisinminkime, kad turime dvi rankas, kiekvieną su penkiais

pirštais, kurių 8 sudaryti iš trijų kauliukų. Vėl Fibonačio skaičiai!

[pic]

Tokia tvarka gamtoje turbūt neturėtų mūsų stebinti. Aišku, keturlapės

gėlės nėra tokios retos kaip keturlapiai dobilai. Galime rasti ir nemažai

kitokių išimčių. Tad jeigu Fibonačio skaičiai gamtoje ir ne visada

pastebimi, jie vis tiek sudaro tam tikrą tendenciją, pagal kurią vystosi

daugelis augalų.

Išvados ir rezultatai

Ne tik mes mokykloje mokomės matematikos, ją taiko ir gamta, kurdama

sudėtingas ir nuostabias formas. Nagrinėdami saulutės žiedą, jūros

kriauklę, saulėgrąžą ar kankorėžį galime susipažinti su tokiomis

matematinėmis sąvokomis kaip Fibonačio skaičiai, gnomonai, aukso pjūvis,

logaritminė spiralė. Tad ryšys tarp gamtos ir matematikos yra labai

naudingas.

Rašydama šį projektinį darbą sužinojau daug naujo apie galimą matematikos

praktinį pritaikymą ir jos svarbą kitose mokslo srityse. Manau,

kad šis

darbas būtų naudingas ir kitiems mokiniams, norintiems daugiau išmokti apie

matematiką ar biologiją. Šį projektą būtų galima panaudoti ne tik per

matematikos pamokas, bet ir supažindinant moksleivius su augalų augimo,

sandaros ypatumais. Tad kūrybiškai naudojant surinktą medžiagą, galima

pamokas padaryti įdomesnes moksleiviams.

Literatūros sąrašas:

Kelionė į šiuolaikinę matematiką. Peteris Tannenbaumas, Robertas Arnoldas.

1995.

Interneto svetainės:

www.mathworld.com

http://maths.dur.ac.uk

http://www.mcs.surrey.ac.uk

———————–

Fibonačio skaičius

Santykis