Geometrinė progresija

VDU Kauno „Rasos“ gimnazija

Autorius:

Tikrino:

mokytoja D. Jatkonienė

Kaunas

2003

Turinys

Geometrinė progresija

……………………..

………….3

Begalinė nykstamoji geometrinė progresija

……………………..

..3

Kaip periodinę dešimtainę trupmeną išreikšti paprastąja

………………..4

Sudėtinės palūkanos

……………………..

………….5

Uždavinių sprendimo pavyzdžiai

……………………..

…….5

Uždaviniai………………….

…………………..8

Geometrinė progresija

A p i b r ė ž i m a s. Skaičių seka, kurios pirmasis narys nelygus

nuliui, o kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančiam

nariui, padaugintam iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus, vadinama

geometrine progresija.

Taigi, [pic] [pic] [pic] .,[pic] kurios [pic] [pic] yra geometrinė

progresija, kai[pic]

Pastovus daugiklis q vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

[pic] [pic]

Kai[pic] ir [pic] geometrinė progresija vadinama didėjančia, kai [pic] ir

[pic] – mažėjančia;

kai [pic] geometrinę progresiją sudaro vienodi skaičiai; kai [pic]

geometrinę progresiją sudaro skaičiai, kurių vienodas absoliutusis didumas

(modulis), o ženklas kaitaliojasi, pavyzdžiui, 5, -5, 5, -5,.

Geometrinės progresijos bet kuris narys išreiškiamas formule: [pic] o jos

n pirmųjų narių suma – formule: [pic] [pic]

Bet kuris geometrinės progresijos, sudarytos iš teigiamųjų skaičių narys,

išskyrus pirmąjį ir paskutinį, yra gretimų jo narių geometrinis vidurkis.

Jei [pic] [pic] [pic] – trys vienas po kito einantys geometrinės

progresijos teigiamieji nariai, tai vvidurinysis narys yra kraštinių narių

geometrinis vidurkis:

[pic] [pic] arba [pic]

Geometrinės progresijos narių, vienodai nutolusių nuo jos pradžios ir

pabaigos, sandaugos yra lygios:

[pic] ir t. t.

Begalinė nykstamoji geometrinė progresija

1 A p i b r ė ž i m a s. Jei bbegalinė skaičių seka ([pic]) yra geometrinė

progresija, kurios vardiklis q, be to, [pic] ir [pic], tai ši progresija

vadinama nykstamąja.

2 A p i b r ė ž i m a s. Begalinės nykstamosios geometrinės progresijos

suma S vadinama tos progresijos pirmųjų n narių sumos riba, kai n

neribotai didėja.

Nykstamosios geometrinės progresijos sumą apskaičiuojame pagal formulę:

[pic] [pic]

Šią formulę galime pritaikyti, norėdami periodinę dešimtainę trupmeną

išreikšti paprastąja.

Reikia taikyti dvi taisykles.

1 t a i s y k l ė. Grynoji periodinė trupmena lygi tokiai paprastajai

trupmenai, kurios skaitiklis lygus periodui, o vardiklis – skaičiui,

turinčiam tiek devynetų, kiek periode yra skaitmenų.

2 t a i s y k l ė. Mišrioji periodinė trupmena lygi tokiai paprastajai

trupmenai, kurios skaitiklyje parašytas skaičius tarp kablelio ir antrojo

periodo ir skaičiaus tarp kablelio ir ppirmojo periodo skirtumas, o

vardiklyje – skaičius, turintis tiek devynetų, kiek skaitmenų yra periode,

ir tiek nulių, kiek skaitmenų yra tarp kablelio ir pirmojo periodo.

1 pavyzdys. Trupmeną 0, (5) išreikškite paprastąja.

Sprendimas.

[pic]

Gautąją sumą galima apskaičiuoti pagal formulę [pic] Čia [pic] [pic] Taigi

[pic]

2 pavyzdys. Trupmeną 6, (13) išreikškite paprastąja.

Sprendimas.

[pic]

3 pavyzdys. Trupmeną 0,2(4) išreikškite paprastąja.

Sprendimas.

[pic]

4 pavyzdys. Trupmeną 0,4(56) išreikškite paprastąja.

Sprendimas.

[pic]

Sudėtinės palūkanos.

Jeigu indėlis banke laikomas ilgiau nei vienerius metus, tai, jiems

pasibaigus, palūkanos priskaičiuojamos prie pradinio indėlio ir dar po metų

jau ir už jas mokamos ppalūkanos. Taigi kalbama apie sudėtines palūkanas.

Kai palūkanų norma lygi p %, pasibaigus pirmiesiems metams, pradinis

indėlis [pic] padidėja iki

[pic]

čia [pic] yra palūkanų koeficientas;

pasibaigus antriesiems metams, – iki

[pic]

pasibaigus n – tiesiems metams, – iki

[pic]

Trumpai tariant, jei už pradinį indėlį mokamos sudėtinės palūkanos, tai

po kiekvienų metų indėlis padidėja q kartų.

Uždavinių sprendimo pavyzdžiai.

Geometrinė progresija.

1 p a v y z d y s. Su kuriomis vardiklio reikšmėmis trys gretimi

didėjančios geometrinės progresijos nariai gali būti trikampio kraštinių

ilgiai?

S p r e n d i m a s.

Pažymėkime pirmąjį narį b, vardiklį q, tuomet likusieji nariai bus bq ir

[pic]. Visi šie skaičiai b, bq ir [pic] yra teigiami, nes išreiškia ilgį.

Žinome, kad trys atkarpos sudaro trikampį tada, kai kiekvienos atkarpos

ilgis mažesnis už kitų dviejų atkarpų ilgių sumą. Kadangi [pic], tai

skaičius [pic] yra didžiausias.

[pic] [pic]

[pic]

[pic] [pic]

[pic]

[pic] nes [pic]

[pic]

2 p a v y z d y s. Tarkime, kad [pic] [pic] – lygties [pic] šaknys, o

[pic] [pic] – lygties [pic] šaknys. Raskite A ir B, kai skaičiai [pic]

sudaro didėjančią geometrinę progresiją.

S p r e n d i m a s. Pritaikome Vieto teoremą

[pic] [pic]

[pic]

Skaičiai [pic] sudaro geometrinę progresiją, todėl

[pic]

Iš sistemos turime [pic] [pic] Įrašę šias lygybes į lygtį, gauname:

[pic]

Taigi [pic] [pic]

Iš lygybių [[pic] ir [pic] išplaukia, kad [pic]

Pažymėkime geometrinės progresijos [pic] vardiklį [pic] Tuomet [pic]

[pic]

Padaliję B iš A gauname [pic] [pic]

Taigi [pic] [pic] [pic] Iš lygybės [pic] išplaukia, kad [pic] [pic]

Todėl [pic] [pic] [pic] ir [pic] [pic]

[pic]

3 p a v y z d y s. Rasti stačiojo trikampio kampus, jei jų sinusai sudaro

geometrinę progresiją.

S p r e n d i m a s. Tegul kampai yra [pic], [pic] [pic] tai [pic] [pic]

[pic] – geometrinė progresija. Iš čia [pic]

[pic]

[pic] (netinka, nes

[pic]),

[pic] [pic]

Kampai: [pic] [pic] [pic]

[pic]

4 p a v y z d y s. Geometrinės progresijos pirmasis narys 1, o pirmųjų

penkių narių suma 8 kartus didesnė už tų pačių narių atvirkštinių dydžių

sumą. Rasti progresijos vardiklį.

S p r e n d i m a s. Tegul nariai [pic] Pagal sąlygą [pic]

Iš čia [pic] tai [pic] arba [pic]

[pic]

5 p a v y z d y s. Rasti geometrinės progresijos trečiąjį narį, jei žinoma,

kad [pic] sudaro 200 % [pic] o trečiojo nario ketvirtasis laipsnis sudaro

50 % ketvirtojo nario kvadrato.

S p r e n d i m a s. Tegul progresijos nariai yra [pic]

Iš sąlygos [pic]

[pic]

Be to, [pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] tai [pic] arba [pic]

Ats.: [pic]

Begalinė nykstamoji geometrinė pprogresija.

1 p a v y z d y s. Parašykite begalinę nykstamąją geometrinę progresiją,

kurios suma yra 2 kartus didesnė už n pirmųjų jos narių sumą.

S p r e n d i m a s. Pažymėkime pirmąjį progresijos narį b, vardiklį q

[pic] Tuomet pagal sąlygą galime sudaryti lygtį

[pic]

Iš čia [pic] ir [pic]

Kai n – nelyginis skaičius, ši lygtis turi vieną šaknį [pic] kai n –

lyginis, – dvi šaknis [pic]

Pirmojo nario b rasti neįmanoma, nes trūksta duomenų. Vadinasi, pirmuoju

nariu gali būti bet koks skaičius. Uždavinys įdomus tuo, kad neturi

vienareikšmio atsakymo.

Uždaviniai

Geometrinė progresija.

1. Apskaičiuokite geometrinės progresijos dešimties narių sumą, kai [pic]

(Ats.: 3072.)

2. Apskaičiuokite geometrinės progresijos dešimties narių sumą, kai [pic]

[pic] (Ats.: 3584.)

3. Raskite geometrinės progresijos vardiklį ir apskaičiuokite septynių

narių sumą, kai [pic] [pic]

4. Apskaičiuokite [pic] ir [pic] kai [pic] [pic]

5. Raskite geometrinės progresijos vardiklį, kai [pic] [pic]

6. Stačiojo trikampio kraštinės sudaro geometrinę progresiją.

Apskaičiuokite jo smailiųjų kampų tangentus. [pic]

7. Raskite geometrinės progresijos [pic] narį [pic], kai [pic]

[pic]

8. Raskite keturis teigiamus skaičius, sudarančius geometrinę progresiją,

kurios pirmųjų dviejų narių suma lygi 15 ir paskutinių dviejų 60.

(Ats.: 5; 10; 20; 40.)

9. Raskite geometrinės progresijos 3; 6; 12; . narių

skaičių n, kai

[pic]

(Ats.: [pic] )

10. Raskite tris skaičius, sudarančius didėjančią geometrinę progresiją,

jei jų suma yra 26, o jų kvadratų suma 364.

(Ats.: 2; 6; 18.)

11. Įrodykite, kad skaičiai a, b ir c, sudarantys geometrinę progresiją,

tenkina lygybę: [pic]

12. Pirmojo ir trečiojo geometrinės progresijos nario suma lygi 40, o

antrojo ir ketvirtojo 80. Raskite pirmąjį progresijos narį ir

vardiklį. [pic]

13. Rasti geometrinės progresijos aštuntąjį narį, kai [pic] (Ats.:

[pic])

14. Rasti keturis skaičius, sudarančius ggeometrinę progresiją, kurios

trečiasis narys už pirmąjį 9 vienetais, o antrasis už ketvirtąjį 18

vienetų didesnis. (Ats.: 3, -6, 12, 24.)

15. Geometrinės progresijos pirmųjų trijų narių sandauga 1728, jų suma

63. Rasti geometrinės progresijos pirmąjį narį ir vardiklį.

(Ats.: 3 ir 4 arba 48 ir [pic].)

16. Kai [pic] – geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma, tai [pic]

Įrodykite.

Geometriniai uždaviniai

1. Trikampio kraštinių ilgiai sudaro didėjančią geometrinę progresiją.

Tos progresijos vardiklį palyginkite su 2. (Ats.: [pic])

———————–

–

[pic]