Teorinė mechanika paruoštuke
Teorine mechanika
Mechanika yra mokslas nagrinėjantis kūnu judėjimą ir pusiausvyra.
Priklausomai nuo kūno būvio mechanika skirstoma i duju, skysto ir kieto
kūno mecanika. Savo ruožto kieto kūno mechanika skirstoma i standaus ir
deformuoto. Standus yra kūnas, kuris veikiamas jegu nesideformuoja.
Paprasčiausias kūnas yra materialus taškas. Tai toks kūnas kurio matmenų
galime nepaisyti, o visos jėgos lyginamos viename taške. T.M. yra
mechanikos dalis, formuojanti bendrus mechanikos dėsnius ir jais remiantis
nagrinėjami materialiu tašku, ju sistemų, bei standžių kūnu judėjimai ir
pusiausvyra. Ji skirstoma I statika, kinematika ir dinamika.
Statika
Ji nagrinėja jegu iir kūnu pusiausvyra. Pgr. Statikos sąvoka yra jėga. Tai
dviejų kūnu tarpusavio sąveikos matas. Ji yra vektorinis dydis,
apibudinamas veikimo tašku bei kryptimi. Fegos didumas matuojamas
niutonais.
Jėgos veikimo taškas gali būti tiek taškas A tiek B. jos krypti nusako 0);
AT/Aa=PT; dT/T=f*da; lnTl/T2=efd;
Tl=T2*efd
Riedėjimo trintis
Pridėjus nedidele jėga P ratas nepradės riedėte, nes ratas į pavirsiu
remiasi ne vienu tašku, o tam tikru plotu, del to normaline reakcija
nutolsta nuo centro atstumu 5, vadinamu riedėjimo trintie koeficientu. Del
to G su N sudaro pora, kuri priešinasi rato riedėjimui.Pusiausvyros atveju,
kai PP pasiekia kritine reikšme. Pkr*r=N*5; Pkr= N*5/r.Trinties jėga Ftr=Nf.
Tegul P viršijus kritini trinties jėgos dydi, kaip žinome kūnas slystu,
tačiau is paskutiniu 2 lygybių matome, kad 8/r«f ir visada ratas pirmiau
pradės riedėti nei slysti.
Jėgos projekcijos ašyse
Px=Pcosoc; Py=PcosP; Pz=Pcosy;
P=V(Px2+Py2+pz2);
Jėga P isskaidome I kkomponentus: Px, Py, Pz.
Px=i*Px; Py=j*Py; Pz=k*Pz;
P= i*Px+j*Py+k*Pz;
Šios lygybes abi puses skaliariskai padaukinkime atitinkamai is asiu ortu.
i*i=l; j*j=l; k*k=l; i*j=0;
P*I=Px; P*j=Py; P*k=Pz;
Gavome, gad jėgos projekcija asije yra lygi jėgos ir ašies orto skaliarinei
sandaugai.
Erdvines susikertančiu j egu pusiausvyros sąlygos
Panagrinėkime erdvine susikertančiu j egu sistema: Pl,P2,.Pn.Vektoriskai
sdeje visas jėgas, gausime ju atstojamąja:
IP=R. Šios ly gybes abi puses skaliariskai padauginkime atitinkamai is i,
j, k. Remdamies (1) lygybe gausime:
Rx= SP; P*I=Px;
Ry= įPy; .(2) P*j=Py; . (1)
Rz= ZPz; P*k=Pz;
Atsyojamosios dydi rasime is lygybes:
R=V(RX2+Ry2+Rz2);
O kripti is:
cosa=Rx/R; cos(3=Ry/R; cosy= Rz/R;
Jei erdvine kūnu sistema pusiausvyra, tada atstojamoji R, o kartu ir jos
projekcijos lygios nuliui. Tada is antros lygybes
gausime susikertančiu jegu sistemos pusiausvyros sąlyga:
[ŽPx=0; !Py=0; ĮPz=0;
Jėgos momento vektorius
Jėgos P padėti taško O atžvilgiu nusako padėties vektorius r. Plokštumoje
jėga kuna suka apie aasi statmena plokštumai.
Erdvėje jėga kuna gali pasukti apie bet kuria asi. Raskime jėgos P momentą
apie taska O. (jėga kuna suks apie asi OC )
Mo(P)=P*D.(a); Mo(P)=P*r*simp; OD=r*sincp; P*r*sin(p=(rxP).(b);
Vektorių r ir P vekt. Sandauga ira vektorius, kuris bus nukreiptas
asimiOC.Sulyginę (a) ir (b) lygybes gausime, gad
Mo(P)= I rxP |
Todėl si momentą galime pavaizduoti vektoriomi nukreiptu tiese AC.
Taigijegos momentą erdvėje patogu zimeti vektoriumi kuris yra statmenas
jėgos ir padėties vektoriaus plokštumai ir
nukreiptas taip. kad žiūrint is jo galo , norint r sutapatinti su P, r
reikėtų ssukti kampu mazesmiu uz 180 laisniu prieš
laikrodžio rodykles krypti.
Poros momento vektorius
Erdvėje poros momentą patogu zimeti vektoriumi kuris yra statmenas poros
plokštumai ir nukreiptas taip, gad žiūrint is jo smaigalio pora suktu prieš
laikrodžio rokles krypti. Kadangi poros momentas nukreiptas nuo taško,
kuriame jes randasi, ji galima kilnoti. Todėl jis vadinamas laisvuoju
vektoriumi.
Erdvines poru sistemos pusiausvyrų sąlygos
Panagrinėkime erdvine poru sistemakuriu momentai Ml, M2.Mn. Juos
pavaizduokime vektoriais ir kaip laisvuos
sukeikime I koordinačių pradžia O. Gavome susikertančiu vektorių sistema,
kurius atstojamąjį vektriu rasime
projektuodami visus vektorius I x, y, z ašis:
Mx=ZMix; My=ZMiy; Mz=ZMiz;
Atstojamojo vektoriaus diduma rasime is lygybes:
M=V(Mx2+My2+Mz2), o jo krypti:
cosa=Mx/M; cosP=My/M; cosy=Mz/M;
jeigu poru sistema pusiuasvyra tai atstojamosios poros momentas lygus
nuliui. Tada is (3) lygybes gausime erdvines
poru sistemos pusiausvyros sąlygas:
ZMx=0; ZMy=0; lMz=0;
Jegu momentai asiu atžvilgiu
Norint rasti jegu momentą iskaidykime i komponentus Px, Py, Pz. Kaip matome
is brėžinio Py kūno apie Y asi nesuks, o stums išilgai. Momentus apie Y asi
sudarys tik Px ir Pz komponentai. Ieškodami jėgos P momento apie Y asi
galimeieskoti momento apie C taska. Taigi raskime jėgos P mamentus apie
ašis remdamiesi Varinjono teorema. Jėgoms Px, Py, Pz ir ju atstojamajai
Mx(P)=y*Pz-z*Py; My(P)=z*Px-x*Pz; Mz(P)=x*Py-y*Px..(4)
Gavome jėgos P momentu apie visas lygtis.
Išreiškus r ir P projekcijomis gauname:
r=i*x+j*y+k*z; P=i*Px+j*Py+k*Pz;
Irode šiuos reiškinius I momentuo lygtis vietoj i ir P sudaugindami gausime
:
Mo(P)=r*P=i*(y*Pz-z*Py)+j(z*Px-x*Pz)+k(x*Py-y*Px);
Šios lygties abi puses ssakaliariskai padauginę atitinkamai is asiu ortu :
i*Mo(P)=y*Pz-z*Py; j*Mo(P)=z*Px-x*Pz; k*Mo(P)=x*Py-y*Px.(5)
Erdvines bet kaip išdėstytu jegu sistemų redukcija
Panagrinėkime erdvine bet kaip išdėstyta jegu sistema. Remdamiesi Kulono
teorema sukeikime visas jėgas i
redukavimo centrą O, pridedami poras, kuriu momentus pavaizduokime
vektoriais ir juos, kaip laisvuosius taip pat
sukeikime i redukavimo centrą. Susikertančiu jegu sistema ekvivalenti
atstojamajai, kuria surandame projektuodami
visas jėgas i X,Y,Z ašis.
Rx=zRx; Ry=zRy; Rz=zRz
Atstojamosios diduma randame is lygybes:
R=V(Rx2+Ry2+Rz2) o krypti is lygybes:
coscc=Rx/R; cosp=Ry/R; cosy=Rz/R;
Poru sistema ekvivalenti porai, kurios momentą taip pat randame visus
vektorių momentus projektuodami i x.y,z ašis:
Mx=Mxi; My=Myi; Mz=Mzi;
Momentu diduma randame is lygybes:
Mo=V(Mx2+My2+Mz2), o krypti:
cosa=Mx/M; cosP=My/M; cosy=Mz/M;
Tuo būdu bet kaip išdėstyta jegu sistema mes pakeitėme jėga ir momentu O,
kurie atitinkamai vadinami, bet kaip
išdėstytos jegu sistemos sumine jėga ir suminiu momentu. Galimi sekantys
redkcijos atvejai:
1) R^O Mo=0 – sistema ekvivalenti atstojamajai einančiai per redukavimo
centrą.
2) R=0 Mot^O – sistema ekvivalenti porai, kurius momentas Mo.
3) R^O Mo^O -sie vektoriai vienas kitam statmeni, sistema ekvivalenti
atstojamajai, perkeltai nuo redukavimo centro atstumu d=Mo/R.
4) R*0 Mo*0 -sie vektoriai vienas kitam nestatmeni. Sistema atstojamosios
neturės (tokia sistema vadinama dinaminiu sraigtu)
5) R=0 Mo=0 Sistema pusiausvyra. Tada ir Mo ir R projekcijos yra lygios
nuliui. Tokiu būdu gausime bet kaip isdestetos jegu sistemos pusiausvyros
sąlygas:
!Px=0; XPy=0; lPz=0; !Rx=0; SRy=0; IR=O;
Svorio centras
Panagrinėkime lygiagrečias jėgas Pl||P2||R pasukus šias jėgas tam tikru
kampu apie ju vveikimo taškus, tuo pačiu kampu pasisuks ir atstojamuji R .
Irodikime,kad ju veikmo taškas C nuo persisukimo kampo nepriklauso.
Psinaudokime Varinjono teorema jėgomis PI ir P2 ir ju atstojamajai R
momento centru pasirinkdami taska C. Pl*ACsinP-P2*CBsinP=0; P1*AC=P2*CB;
Is siu 2 lygybių galime nustatyti taško C padėti. Kaip matome ji
nepriklausys pasisukimo kampo. Sis taškas C vadinamas lygegreciu jegu
centru. Raskime sio centro koordinates:
Turime lygiagretes jėgas is kuriu P pavaizduojame is atstojamųjų R. Taško C
koordinatėms nustatyti pasinaudosime
Varinjono teorema.
R*Xc=SPx; -R*Yc=-XPy; R*Yc=lPy;
Kad rastumeme C koordinates visas jėgas psukime 90 laipsniu kampu.
R*Zc=z*Pz; Xc=ZPx/R; Yc=ZPy/R; Zc=lPz/R;
Betkuris kūnas sudarytas is detaliu kuriu svoriai nkreipti žemyn
Tada is lygybes galima rasti svorio centro koordinates:
Xc=IGi*X/G; Yc=ZGiy/G; Zc=lGiz/G;
Gi-atskiru detaliu svoris, o G viso kūno svoris
Taško kinematika
Kinematika, tai teorinės mechanikos dalis, nagrinėjanti geometrines kūnų
judėjimo savybes, neįvertinant kūnų masės ebi juos veikiančių jėgų. Pačioje
pradžioje nagrinėjamas paprasčiausio kūno judėjimas, tai kūno arba taško
padėties kitimas, laiko bėgyje. Linija, kurią rėžia judėdamas taškas,
vadinama trajektorija. Kinematiškai nagrinėti taško judėjimą reiškia žinoti
bet kuriuo laiko momentu kur randasi taškas, t.y. turėti funkcines
priklausomybes.
Taško judėjimo dėsnis
Taško judėjimas apibrėžiamas 3 būdais:
a) Natūraliu
b) Koordinatiniu
c) Vektoriniu
a) Tegul taškas C iš taško O juda trajektorija AB. Taško judėjimas
apirėžiamas natūraliu būdu, kai žinoma taško trajektorijos lygtis, kuri
erdvėje išreiškiama pavidalu: f ( x, y, z) = 0 (1), o plokštumoje y=y(x)
(2). Taip
pat reikia žinoti taško judėjimo trajektorijoje lygtį, t.y. taško
nueitą kelią S=S(t) (3). Lygtys ( 1) ir (3) erdvėje ir (2) ir (3)
plokštumoje išreiškia taško judėjimo dėsnį natūraliu būdu.
b) Taškui C judant trajektorija AB keičiasi jo koordinatės x, y, z. Taško
padėtis bus apibrėžta koordinatiniu ūdu, jeigu bus žinoma x=x(t), y=y(t),
z=z(t) (4). Taigi lygybės (4) ir yra taško judėjimo dėsnis, išreikštas
koordinatiniu būdu jam jodant erdvėje. Jei taškas juda plokštumoje,
judėjimui apibrėžti užtenka pirmų 2 lygčių. Jei taškas juda tiese, tai ta
tiese nukreipus X aašį, judėjimui apibrėžti užteks 1 lygties.
c) Taškui C judant trajektorija AB keičiasi jo padėties vektoriaus r
dydis ir kryptis. Taško padėtis bus apibrėžta vektoriniu būdu, jeigu bus
žinoma jo pridėties vektorius kaip laiko f-ja:
Taško greitis
Taško greičio skaičiavimas, kai judėjimas išreikštas vektoriniu būdu (
greičio vektorius ).
Per laiko tarpą At taškui iš C į C į jo padėties vektorius pasikeitė dydžiu
Ar.Vvid=Ar/At
Kadangi At teigiamas skaliarinis dydis, tai Vvid ir Ar kryptys sutaps.
Taško greitis laiko momentu t yra riba, prie kurios
artėja Vvid, kai At artėja į 00. V=lim Ar/At; V= dr/dt
At—O
Taigi V yra padėties vektoriaus išvestinė. Taškui Cl artėjant prie C riboje
styga CC1 sutampa su liestine kreivei taške C. Taigi greičio vektorius
nukreiptas liestine.
a)Kai išreikšta natūraliu būdu. Taškui Cl artėjant prie C, styga CC1
skiriasi nuo lanko uCCl iir rioje jos sutampa. Taigi riboje |dr|=ds (6). Tuo
būdu pasinaudoję (6) formule ir paėmę greičio modulį galime parašyti: V=
ds/dt (7). Taigi greičio didumas lygus kelio išvestinei ir jis nukreiptas
liestinės kryptimi.
b)Koordinatiniu būdu. Padėties vektorių r išreikškime per koordinates:
r=ix+jy+kz. Pasinaudoję (6) f-le raskime padėties vektoriaus r išvestinę,
t.y. greičio vektorių. v=ix’+jy’+kz’. Greičio vektorių išreikškime
projekcijomis: v=ivx+jvy+kvz. Sulyginsime paskutiniąsias 2 lygybes ir
gausime: v,=x vy=y’, vz=z’ (8). Skaičių didumą rasime iš
lygybės: v = ‘Vvx2+vy2+vz2 , o kryptį cosa=vx/v, cosP=vy/v, cosy=vz/v, kur
kampai a, P, y – tarp greičio vektoriaus ir ašių.
Taško pagreitis
a)Pagreičio vektorius ( pagreičio skaičiavimas, kai judėjimas – išreikštas
vektoriniu būdu ).
Tegu taškas C juda trajektorija AB. Padėtyje C jo greitis v. Per laiko
tarpą At pereis į padėtį C1, jo greitis vi. Perkelkime vi į tašką C1 ir
išskaidykime į pradinį greitį v ir greičio prieaugį Av. Vidutinis pagreitis
avjd=Av/At, kadangi At – teigiamas skaliarinis dydis, tai avid, kai At
artėja į 0. V=lim Av/At a = dv/dt = r“ (9)
Pagreičio vektorius yra greičio vektoriaus išvestinė ara padėties
vektoriaus antroji išvesitiė.
b) Koordinatinis būdas. Išreikškime greičio vektorių projekcijomis
v=ivx+jvy+kvz.. Pasinaudoję (9) f-le raskime
pagreičio vektoriaus išvestinę t.y. pagreitį: a= ivx’+jvy’+kvz Pagreičio
vektorių išreikškime projekcijomis:
a=iax+jay+kaz. Sulyginę 2 paskutiniąsias lygybes galime parašyti, kad
ax=vx’=x“, ay=vy’=y“, az=vz’=z“. Pagreičio
didumą rasime iš lygybės: a=A/ax2+ay2+az2, o kryptį cosa=ax/a, cosp= ay/a,
cosy= az/a, kur kkampai a, P, y – tarp
pagreičio vektoriaus ir ašių.
c)Normalinis ir tangentinis pagreičiai(naturalus būdas).
Pagreitį galima skaidyti ne tik į dekardo koordinačių ašis x, y, z, bet ir
į natūralias ašis: tangentinę, normalią ir binormalią. Tangentinė – sutampa
su liestine kreivei duotajam taškui. Normalė eina link kreivės kreivumo
centro. Binormalė – joms abiems statmena. Natūralios ašys – statmenos viena
kitai, todėl jų ašių ortus jungia lygybė f=t x n. Taško judėjimo kreivės
kreivumo spindulys lygus 8, jo kreivumo centras O yra normalėje. Natūralios
ašys juda kartu su tašku ir kiekvienai padėčiai braižomos iš naujo.
Kreivumo spindulys visą laiką kinta taškui judant, bet kreivumo centras
išlieka normalėje. Išskaidykime pagreitį į natūralines ašis: a=ta,+nan+fnf.
Taškui judant pagreitis visą laiką išlieka tangentės ir normalės
plokštumoje. Todėl jo projekcija įbinormalę visada lygi 0. Tuo būdu:
a=ta,+nan. at -tangentinis pagreitis: at=dv/dt (11).
Tangentinis pagreitis charakterizuoja greičio didumo kitimą ir nukreiptas
liestine kaip ir greitis, o jei judesys letejantis – priešingai.
a„=v7p. Jis charakterizuoja greičio vektoriaus kitimą. Visada teigiamas ir
nukreiptas į kreivumo centrą. Pagretis skaičiuojamas: :
Atskiri taško judėjimo atvejai:
1. Taškas juda tiese pastoviu greičiu: a=at=an=0.
2. Taškas juda tiese kintamu greičiu: a=at ^=0.
3. Taškas juda kreive pastoviu greičiu: a =a„ at=0.
4. Taškas juda kreive kintamu greičiu: a=Vat2+a„2.
Tolygus ir tolygiai kintamas taško judėjimas
tolygus judėjimas, kai taško greitis yra pastovus. Jeigu pastovi ir greičio
kryptis-judėjimas tolygus ttieseeigis. Tolygaus judėjimo lygtis: S = So+ Vt;
V=const. Jeigu pastovus tangentinis pagreitis-judėjimas tolygiai kintamas:
S = So + Vt + (at2) / 2; a, = const.
Kūno slinkimas
Kūnui sukant visi jo taškai turi vienodus greičius ir pagreičius ir brezia
vienodas trajektorijas. Todėl sukančio kūno uždaviniu sprendimas suvedamas
i vienojo taško judėjimo nagrinėjimą. T.y. taikomos taško judėjimo
formulas.
Kūno sukimasis
Kūno sukimasis, tai toks judėjimas, kai per kuna išvestos tam tikros tieses
tašku greičiai lygus nuliui. Ji vadinama sukimosi asimi. Kiti taškai brezia
apskrytimus, kuriu plokštumos statmenos šiai ašiai. Besisukančio kūno
padėtis bus apibrėžta, jei bus žinomas kampas kaip laiko funkcija. Kūno
sukimosi dėsnis: (p = (p (t)
Kampinis greitis ir pagreitis t
Tai pagrindines besisukančio kūno charakteristikos. Kampinis greitis
charakterizuoja kampo kitimą laike: wvjd = Acp
/At (rad/s). Kampinis greitis laiko momentu t yra riba, prie kurios artėja
wvilj, kai At—»0
wvuj = lim^t^o A(p / At. Kampinis pagreitis charakterizuoja kampinio
greičio kitimą laike:
Evld = Aw / At (rad/s2). Kampinis pagreitis laiko momentu t yra riba prie
kurios artėja Evjd, kai At-H): E = limA,_>0
Brėžinyje per kuna isveskime 3-ia plokstoma Z a nutolusia nuo 2-os
plokštumos. P = cp + a paieškokime šios lygybes
nariu 1-os ir 2-os išvestiniu. P’= cp’, nes a’= O , kadangi Za = const. P“=
(p“.
Kampu I-a ir 2-a išvestines reiškia atitinkamai kampini pagreiti ir kampini
pagreiti, kuriais ssukasi 2-oje ir 3-oje
plokštumoje esantys taškai. Kadangi lygybes yra vienodos, galime sakyti,
kad visi kūno taškai sukasi tais pačiais
kampiniais greičiais ir pagreičiais. Juos galime pavaizduoti vektoriais,
kurie bus nukreipti asimi, kuria kūnas sukasi. Ju
kryptys sutaps jei sukimasis greitėjantis ir bus priešingi jei sukimasis
letejantis.
Tolygus ir tolygiai kintamas sukimasis
Tolygiu vadinamas sukimasis, kai w = const. Tolygaus sukimosi lygtis: cp =
epo + wt. kūnui sukantis tolygiai dažnai technikoje kampinis greitis
išreiškiamas ne (rad/s), o apsisukimais per minute (n). w = (27rn) / 60 =
(7in) / 30 w (rad/s) , n (aps / min). Tolygiai kintamo sukimosi atveju E =
const. cp = (p0 + wot + (Et2) / 2 (tolygiai kintamo sukimosi lygtis)
Besisukančio kūno taškai ir pagreičiai
Tegu kūnui pasisukus kampu dcp taškas Ai nueina kelia dS = uA|A2. Taško A
greitis: V = dS /dt, žinome kad dS =
Rdcp , tada gauname V = d (Rdcp) / dt = Rdcp / dt = Rw
a, = dV / dt = d (Rw) / dt = Rdw / dt = RE
an = V2 / R = RV / R = Rw2
Gavome, kad tašku greičiai ir pagreičiai yra tiesiog proporcingi atstumui
iki tieses. Is brėžinio matome, kad R = r sinP
. įsistatė R į greičio ir tangentinio pagreičio formule gauname: V =
r sinP
w ; a, = r sinP E. Dešiniosios lygybių puses
atitinkamai reiškia r ir w bei r ir E vektorių sandaugų modulius. Taigi V
ir a, vektoriai bus lygus: V = rXw ; a, = rXw ;
w=cp’ ;E = w’;V = Rw ; a„ = Rw2 ; a, = RE
A„ = w Rw = wV = w sin 90° V ; dešinioji puse reiškia vektorių w ir V
vektorines sandaugos moduli.
Sudėtinis taško judėjimas.
Tai toks judėjimas, kai taškas judėdamas judamos sistemos atžvilgiu, kartu
su jja juda nejudamos sistemos atžvilgiu.
Taško judėjimas judamos sistemos atžvilgiu vadinamas reliatyviu, o
nejudamos sistemos atžvilgiu, jam nejudant
judamos sistemos atžvilgiu, vadinamas keliamuoju. Taško judėjimas nejudamos
sistemos atžvilgiu vadinamas
absoliučiu.
Taško, judančio judamos sistemos atžvilgiu greitis vadinamas reliatyviu.
Taško judėjimo kartu sujudama sistema
greitis nejudamos sistemos atžvilgiu jam nejudant judamos sistemos
atžvilgiu vadinamas keliamuoju. Absoliutus taško
greitis sudėtiniame j udėj ime yra lygus reliatyvaus ir keliamo greičio
vektorinei sumai: Va = Vr + Vk; aa = ar + ak + a^
(koriolio)
aa = a/1 + ar’ + akn + ak’ + a.
Visus ggreičius ir pagreičius randame naudodami taško judėjimo bei kūno
slinkimo formules: eų = 2wkx Vr; ac = 2wkVr
sinoc.
8c- O , kai 1) wk = O ; 2) Vr= O ; 3) wk || Vr.
ac krypti nustatome Vr projektuodami i plokštuma, statmena w ir sia
projekcija sukame 90 kampu w sukimosi kryptimi.
Kūno plokščiai lygiagretus (plokščias judėjimas)
Tai toks judėjimas kai visi kūno taškai juda lygiagrečiai tam tikrai
nejudamai plokštumai. Todėl kūno plokščiam judėjimui apibrėžti pakanka
apibrėžti vienojo pjūvio lygiagretaus duotai plokštumai judėjimą.
Pjūvio judėjimas bus apibrėžtas jei jeigu bus apibrėžta pjūvio atkarpos
padėtis kuri išreiškiama vieno atkarpos taško vadinamo poliumi kordinatemis
xa ir ya ir kampas cp . xa = x (t); ya = y (t); cp =cp (t); (1). Pirma
lygybe išreiškia kūno plokščio judėjimo dėsni. Kūno plokščia judėjimą
galime išskaidyti i jo slinkimą kartu su laisvai pasirinktu tašku poliumi
ir sukimąsi apie poliu.
Tegu kūnas plokščiai judėdamas pereina is 2-os i 3-ia padėti. Isskaidykime
si judėjimą i slinkimą kartu poliumi A pereinant is 1-os i 2-a padėti ir
pasisukimą apie poliu pereinant is 11 i 3 padėti. Kūno (poliaus) slinkimą
apibrėš 1-os lygybes pirmos dvi lygtys, o jo sukimąsi pirmos lygybes trečia
lygtis. Pagrindines plokščio judėjimo charakteristikos yra poliaus greitis
ir pagreitis, kurie apskaičiuojami is 1-os lygybes 1-os ir 2-os lygciu ir
kūno kampinis greitis ir pagreitis apskaičiuojami is pirmos lygybes 3-ios
lygties.
Kūno plokščioj o judėjimo tašku greičiai ir pagreičiai
a)tasku greičiu ir pagreičiu skaičiavimas poliaus metodu. Kadangi plokščia
judėjimą galima išskaidyti i slinkimą ir sukimąsi, tai i ji galime ziureti
kaip i atskira sudėtinio judėjimo atveji. Kūno tašku slinkimą kartu su
poliumi galima laikyti keliamuoju judėjimu. Kūno tašku sukimąsi apie poliu
reliatyviu.
Raskime plokščiai judančio grandies AB taško B greiti. Poliumi pasirenkame
taska A , kurio greiti Va žinome. Taigi taško greitis bus vektorine suma
keliamojo greičio t.y. poliaus greičio ir taško b greičio atžvilgiu poliaus
VBA (reliatyvus). VB = VA + VBA (2). Analogiškai taško B pagreitis aB = aA
+ aBA = aAn + aAT + aBAn + aBAT ; a^ = O
b) Tašku greičiu skaičiavimas greičiu projekcijų teoremos metodu, (tas pats
brėžinys) Pasinaudodami 2 lygybe projektuojame VA ir VB i tiese AB. Gavome,
kad VA ir VB projekcijos lygios: VA cosa = VB sinP .
c) Tašku greičiu skaičiavimas momentinio greičiu centro metodu. Kūno
plokščia judėjimą t.y. jo slinkimą ir sukimąsi mes galime pakeisti grynu
sukimusi apie tam tikra taska, vadinama momentiniu greičiu centru P. Sio
taško greitis VP = O, o kiti taškai bres apskrytimus apie si taska.
Momentinis greičiu centras randamas vedant statmenis dviems greičiams. Ju
susikirtimo taškas ir yra momentinis greičiu centras P. Kad rasti bet kurio
taško greiti reikia žinoti kūno AB kampini greiti w, kuriuo visi sio kūno
taškai suksis apie taska P. Tam reikia turėti vieno kurio nors kūno taško
greiti. Momentinis greičiu centras kiekvienam kūnui ieškomas atskirai ir
randamas tik tai kūno padėčiai kuri duota. Kūnui pasisukus i kita padėti
momentinis greičiu centras ieškomas is naujo. Uždaviniu sprendimas
1) Surandamas momentinis greičiu centras
2) Randamas kūno kampinis greitis w. Žinoma taško greiti daliname is jo
atstumo iki momentinio greičiu centro.
3) Bet kurio taško greitis randamas kampini greiti w dauginant is
atstumu nuo ieškomu tašku iki momentinio greičiu centro. v=Rw
Atskiri momentinio sreicio ir centro radimo atvejai
1) Jeigu du greičiai lygiagretus ir statmeni jai jungiančiai
tiesei, tai momentinis greičiu centras yra taska, kuriame
kertasi grandies AB linija ir tiese išvesta per greičiu viršūnes.
2) Jeigu du greičiai yra lygiagretus ir nestatmeni jai jungiančiai tiesei,
tai momentinio greičiu centro nebus wAB = O, gaunamas momentinis slinkimas
ir VA = VB .
Taško dinamika, aksiomos:
1.(Inercijos dėsnis)Jeigu materialaus taško neveikia jokia jėga, jis yra
rimtyje arba juda tiesiaeigiai tolygiai. Kūno savybė išlaikyti esamą būvį,
vadinama inertiškumu. Kūno taško judėjimas, kai jo neveikia jokia jėga,
vadinamas inerciniu judėjimu. 2.(11 Niutono dėsnis) pagreitis, kuriuo juda
kūnas yra tiesiog proporcingas jėgai ir nukreiptas jos kryptimi.
3.(Lygegretainio taisyklė) dviejų taškų veikiančių jėgų poveikį galime
pakeisti poveikiu vienos jėgos nukreiptos iš tų dviejų jėgų sudaryto
lygiagretainio įstrižainė. 4.(Akcios reakcijos dėsnis) du kūnai veikia
vienas kitą lygaus dydžio, bet priešingų krypčių jėgomis.
Taško judėjimo diferencialinės lygtys
(l)lygybę (II N.D.) išreikštine diferencialine formule mr“=P(2), a=r“. (2)
lygybė ir yra taško padidėjimo diferencialinė lygtis. Šią vektorinę lygybę
atitinka 3 skaliarinės lygybės: projektuojant (2) lygybę į dekajto
koordinačių ašis gauname mx“=Px(3)my“=Py(3)mz“=Pz<3), kur x“=ax, y“=ay,
z’^a^ (3) lygybė išreiškia taško judėjimo diferencialines lygtis dekarto
koordinačių ašyse. (2) lygybę projaktuojant į natūralias ašis gauname:
ms“=P,J, mv2/p=Pn; 0=Pb (4) kur s“=at; v2/p=an; 0=Pt. (4) lygybė išreiškia
taško judėjimo diferencialines lygtis natūraliose ašyse. 7
Pirmas ir antras dinamikos uždaviniai:
I Dinamikos uždavinys sprendžiamas, kai žinomas taško judėjimo dėsnis, o
ieškoma taškų veikianti jėga. Pvz: žinant taško masę bei jo judėjimo dėsnį
koordinačių ašyse t.y. x=x(t); y=y(t); z=z(t) paieškome x, y, z antrų
išvestinių masę, bei šias išvestines įsistačius į (3) lygybę gauname Px;
Py; Pz; P=W(Px2+Py2+Pz2).
II Dinamikos uždavinys spendžiamas, kai žinoma tašką veikianti jėga, o
ieškomas taško judėjimo dėsnis. T.y pagrindinis dinamikos uždavinys.
Sprendžiant II uždavinį žinoma kūnmasė,,bei jį veikiančios jėgos.
Suprojektavus šias jėgas pvz į dekarto koordinačių ašis ir šias projekcijas
bei masę įsistačius į (3) lygybę, suintegravus gautas lygybes (2 kartus)
gautume taško judėjimo dėsnį, prieš tai iš pradinių sąlygų apskaičiavus
konstantas. Pradinės sąlygos t.y.xO, yO, zO; bei pradinis greitis
(xo’,yo’,zo’).
D’Alambero principas Jis įrodomas pasinaudojant 2 aksioma. ma=P, P(-ma)=0,
O=-ma, (^-inercijos jėga. Inercijos jėga lygi masės ir pagreičio sandaugai,
ir nukreipta priešingai pagreičiui. P+t2+n2), 0>,=matg, n=ma„.
Taško judėjimo kiekio teorema
Taško judėjimo kiekio pokytis per tam tikrą laikotarpį yra lygus tašką
veikiančios jėgos impului per tą patį laikotarpį.
Ši teorema įrodoma pasirement diferiancialine lygtimi (II N.D.) užrašant jį
pavidalu mdv/dt=, suintegravus abi puses
gauname
mv-tnvo=
(nuo 0 iki t)Pdt – taško judėjimo dėsnis, mv- judėjimo kiekis, o
S= (O-t)Pdt yra jėgos impulses. (1)
vektorių lygybę atitinka 3 skalerinės lygybės: l)mvx-mvOx=int(O-t)Pxdt,’
2) mvy-mv0y=int(o-t)Pydt,
3)mvz-mvoz=in(0-t)Pzdt. Šią teoremą patogu naudoti sprendžiant uždavinius,
kai nagrinėjamas ryšys tarp greičio, jėgos ir laiko. Jeigu jėgos didumas ir
kryptis pastovus tai A= Pcoscps. Jeigu išreikšim projekcijom, o taško
padėtį koordinatėm, tai A=(integralas)Pxdx+Pydy+Pzdz. Trinties jėgos darbas
A=-Ftrs, svorio jėgos darbas A=±hG h-aukštis, tamprumo jėgos darbas
A=hJ2(xl2-x22), k-standumo koef. xlir x2- pradinė ir galinė deformacijos.
Iš to matome, kad darbą atlieka ne visa jjėga, o jos komponentas į liestinę.
Darbas yra teigiamas, jei kampas tarp jėgos ir liestinės smailus ir
neigiamas, jei bukas. Pajėgumas per tam tikrą laiką atlikti darbą vadinamas
galingumu N=dA/dt. Jei vietoj dA įsistatysim A=(integr)Pdt, tai gausim
N=Pdr/dt, W=Pcoscpv, kaip žinom v=Rco, taigi N=Pcos(pRco, N=Mco.
