Teorinė mechanika VGTU 1kursas

Mechanika – fizinių mokslų šaka, nagrinėjanti materialiuosius objektus –

kūnus, kūnų sistemas, tų sistemų pusiausvyrą, judėjimo dėsnius bei

mechaninę tarpusavio sąveiką. Statika – mokslas apie pavienius

materialiuosius kūnus bei mechanines sistemas veikiančių jėgų pusiausvyrą.

Statikos uždaviniai Statikoje vyrauja dviejų rūšių uždaviniai: 1.

veikiančios jėgų sistemos pakeitimas kita, jai ekvivalentine, tačiau

paprastesne sistema; 2. bendrųjų sąlygų nustatymas, kai jėgų sistema yra

pusiausvira

Pagrindinės sąvokos Mechanikoje nagrinėjami šie objektai: materialusis

taškas, kietasis kūnas ir mechaninė sistema. Materialusis taškas. Be galo

mažas fizinis kūnas mechanikoje vadinamas materialiuoju tašku. Kietasis

kūnas. Statikoje tiriamas absoliučiai kietas kkūnas – kūnas, kuriame,

veikiant išorinėms jėgoms, atstumai tarp jo taškų nesikeičia, ir kūnas

išlaiko savo pirminę geometrinę formą. Realius deformuojamus kūnus galima

laikyti absoliučiai kietais, kai jų deformacijos, lyginant su kūno

matmenimis, yra tokios mažos, kad jų galima nepaisyti. Mechaninė sistema.

Materialiųjų taškų, arba kietųjų kūnų, visuma, kurioje kiekvieno taško arba

kūno judėjimas priklauso nuo kitų taškų arba kūnų judėjimo ir ryšių tarp

jų, yra vadinama mechanine sistema. Jėga. Dviejų materialiųjų kūnų

mechaninės sąveikos matas mechanikoje vadinamas jėga. Fizinė jėgos

prigimtis teorinėje mechanikoje neturi reikšmės, šiuo atveju mus ddomina tik

veikiančios jėgos sukeltas efektas. Kadangi kūnų tarpusavio mechaninis

poveikis yra galimas per tašką arba plokštumą, jėgos yra skirstomos į

koncentruotąsias ir išskirstytąsias. Gamtoje nėra koncentruotųjų jėgų, tai

tik prielaida, leidžianti supaprastinti sprendžiamus uždavinius.

Koncentruotoji jėga yra vektorinis dydis, apibrėžiamas trimis faktoriais:

pridėties tašku, kryptimi iir didumu. Vektoriniams dydžiams žymėti naudosime

rodyklę “”, pavyzdžiui: r. →F• Jėgos pridėties taškas – tai kūno taškas, į

kurį sutelktas jėgos veiksmas. • Jėgos kryptimi vadinama kryptis, kuria

pradėtų judėti jėgos veikiamas kūnas, iki tol buvęs pusiausviras. Tiesė,

išvesta per jėgos pridėties tašką jėgos veikimo kryptimi, yra vadinama

jėgos veikimo tiese. Jėgą galima perkelti išilgai jos veikimo tiesės

• Jėgos didumas pagal tarptautinę matavimo sistemą SI matuojamas niutonais.

Vienas niutonas (N) yra jėga, kuri vieno kilogramo (kg) masei suteikia

vieno metro (m) per sekundę kvadratu () pagreitį: [pic]Išskirstytosios

apkrovos yra nusakomos pridėties linija arba pridėties plotu, veikimo

intensyvumu bei kryptimi. Akademinio pobūdžio uždaviniuose tokios apkrovos

yra pakeičiamos jas atstojančiomis koncentruotomis jėgomis

[pic][pic]

[pic]

[pic]

Jėgų sistema. Kūną veikiančių jėgų visuma vadinama jėgų sistema. Jėgų

sistemas patogu klasifikuoti pagal tai, kaip jos yra išsidėsčiusios

erdvėje. Todėl mechanikoje nnagrinėjamos: plokščioji jėgų sistema – kai

visos jėgos yra išsidėsčiusios vienoje plokštumoje, ir erdvinė jėgų sistema

– kai visų jėgų veikimo tiesės erdvėje yra išsidėsčiusios bet kaip.

Teorinės mechanikos pagrindą sudaro dėsniai, kuriuos suformulavo Galilėjus

ir Niutonas. Tai dėsniai, kuriais apibendrinami ilgaamžiai stebėjimai,

bandymai ir praktiniai žmonių darbai. Šie pagrindiniai dėsniai teorinėje

mechanikoje yra aksiomos, t. y. teiginiai, kurie nereikalauja įrodymo.

Statikos aksiomos 1 aksioma. Norint, kad dvi kūną veikiančios jėgos būtų

pusiausviros, būtina ir pakanka, kad tos jėgos būtų lygios ir veiktų viena

tiese priešingomis kryptimis (3 pav.). TTai yra paprasčiausias

atsisveriančių jėgų sistemos atvejis.

[pic]

2 aksioma. Jei prie veikiančios kūną jėgų sistemos pridėsime ar atimsime

atsisveriančių jėgų sistemą, pavyzdžiui [pic], tai nuo to kūno būvis

nepasikeis. Matome, kad jėgos F ir F[pic] sudaro atsisveriančių jėgų

sistemą, kurią galima atmesti.

[pic]

[pic]

Išvada: kietąjį kūną veikiančią jėgą galima perkelti išilgai jos veikimo

tiesės

3 aksioma. Dviejų viename kūno taške pridėtų jėgų atstojamoji yra lygi jėgų

vektorių geometrinei sumai, t. y. didumu ir kryptimi lygi sudaryto iš tų

jėgų lygiagretainio įstrižainei

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Dviejų viename taške pridėtų jėgų [pic] ir [pic]atstojamosios jėgos R

dydį ir kryptį galima rasti analiziniu būdu taikant kosinusų ir sinusų

teoremas.

• Atstojamosios jėgos R didumas (modulis) randamas iš trikampio OAB

[pic]

[pic]

• Atstojamosios jėgos R kryptis nusakoma kampais ϕ[pic] ir ϕ[pic]

[pic]

4 aksioma. Jėgos, kuriomis du kūnai veikia vienas kitą (akcija ir

reakcija), yra lygios ir veikia viena tiese priešingomis kryptimis. Šios

jėgos yra pridėtos prie skirtingų kūnų ir nesudaro atsisveriančių jėgų

sistemos. Ketvirtoji aksioma yra vienas iš pagrindinių mechanikos dėsnių,

nes gamtoje vienpusio jėgos veikimo nėra. 5 aksioma. Jei materialiųjų taškų

sistema ar deformuojamas kūnas, veikiamas tam tikrų jėgų, yra pusiausviras,

tai ši pusiausvyra nebus suardyta, jei kūnas taps absoliučiai kietu. Tačiau

atvirkščia tvarka šio dėsnio taikyti negalima, nes nors jėgų veikiamas

absoliučiai kietas kūnas yra pusiausviras, jam tapus deformuojamuoju

pusiausvyra gali būti suardyta. 6 aksioma. Bet kurį suvaržytą kūną galima

būtų laikyti laisvuoju, nnutraukus ryšius ir vietoj jų pridėjus atitinkamas

ryšių reakcijų jėgas

1. JĖGOS IR JĖGŲ SISTEMOS Teorinės mechanikos kursas pradedamas nuo jėgos

sąvokos įvedimo. Naudojant jėgą yra įvertinamas vieno materialiojo kūno

mechaninis poveikis kitam materialiajam kūnui. Skaičiavimo schemose jėga

vaizduojama kaip vektorius, kurio ilgis atitinka poveikio didumą, o kryptis

sutampa su poveikio kryptimi. Sprendžiant mechanikos uždavinius, dažnai

tenka nagrinėti ne vienos jėgos, bet tam tikros jėgų sistemos, sudarytos iš

skirtingo didumo ir krypties jėgų, poveikį. Atsižvelgiant į jėgų

išsidėstymą erdvėje, bet kuri jėgų sistema gali būti priskirta plokščiajai

arba erdvinei jėgų sistemoms, kurios savo ruožtu yra skirstomos į

susikertančių, lygiagrečiųjų arba bet kaip išdėstytų jėgų sistemas. Todėl

toliau aptarsime bendrus atskirų jėgų bei jėgų sistemų poveikių kūnams arba

kūnų sistemoms įvertinimo principus. 1.1. JĖGA Pagal geometrinius požymius

statikos uždaviniai gali būti skirstomi į tris grupes: vienmačiai,

dvimačiai (plokštieji) ir trimačiai (erdviniai). Atitinkamai tenka parinkti

vienos, dviejų arba trijų koordinačių ašių kryptis. Nors daugelis statikos

uždavinių yra formuluojami ir sprendžiami naudojant Dekarto koordinačių

sistemą, pasitaiko atvejų, kai koordinačių ašys nėra statmenos viena kitai.

Todėl nagrinėsime bendrąjį atvejį – jėgos projekciją į laisvai pasirinktą

ašį.

[pic]

[pic]

Tarkim, kad yra ašis x ir jėga F, pridėta kūno taške A. Jėga ir ašis yra

vienoje plokštumoje. Iš jėgos pradinio ir galinio taškų leidžiami statmenys

į ašį x. Gautoji atkarpa ab ašyje x vadinama jėgos F projekcija į ašį x iir

yra žymima [pic]:

[pic]

Jėgos projekcijos[pic] kryptį nusako atkarpos ab atskaitos kryptis – nuo

taško a link taško b. Jėgos projekcijos [pic]didumas randamas iš ∆ABC:

[pic]

čia F – jėgos modulis (didumas); kampas α matuojamas prieš laikrodžio

rodyklę nuo teigiamos x ašies krypties jėgos link. (5) išraiška tinka bet

kokiai kampo α reikšmei. Kai jėgos projekcijos kryptis nesutampa su

teigiama ašies kryptimi (8b pav.), jėgos projekcija turi minuso ženklą,

nes:

[pic]

Jėgos projekcija į ašį yra skaliarinis dydis, lygus jėgos modulio ir

kosinuso smailaus kampo tarp ašies ir jėgos sandaugai. Jėgos projekcijos

ženklą nusako jėgos su teigiama ašies kryptimi kampo kosinusas, pavyzdžiui:

[pic]

Skirtingos jėgos gali turėti vienodo didumo ir ženklo projekcijas , todėl

jėgai nustatyti nepakanka žinoti jėgos projekciją į vieną ašį.

[pic]

[pic]

Norint nustatyti jėgą plokštumoje, reikia turėti jos projekcijas į dvi

viena kitai statmenas koordinačių ašis bei jėgos pridėties tašką

[pic]

[pic]

Jėgos didumas (modulis) randamas taip:

[pic]

Kur [pic],

[pic]Todėl

[pic]

[pic]

[pic]

Norint nustatyti jėgą erdvėje, reikia žinoti jėgos pridėties tašką ir jėgos

dedamąsias pagal tris viena kitai statmenas koordinačių ašis

[pic]

[pic]

[pic]

Jėgos didumas randamas taip:

[pic]

Jėgos kryptis nusakoma kampais:

[pic]

[pic]

1.2. JĖGOS MOMENTAS Atvejų, kai jėga stengiamasi vienaip arba kitaip

pasukti kūną, dažnai pasitaiko praktikoje (13 pav.). Jėgos sukimo veikimui

nusakyti įvesime jėgos momento apie tašką sąvoką. r F dA O Nagrinėsime

jėgos F sukimą apie tašką O, kuriame vamzdžio (toliau – kūno) ašis kerta

plokštumą, kurią sudaro raktas ir jėgos F veikimo

tiesė

[pic]

[pic]

Jėgos F sukimo efektas pasireiškia plokštumoje, einančioje per jėgą ir

tašką O, ir priklauso nuo jėgos F didumo (modulio), peties d dydžio ir

sukimo krypties. • Jėgos momentas taško atžvilgiu žymimas MO(F) kur

indeksas O rodo tašką, apie kurį skaičiuojamas momentas.

• Jėgos momentu taško atžvilgiu vadinama jėgos modulio ir peties sandauga:

[pic]

Jėgos krypčiai taško atžvilgiu nurodyti prieš sandaugą rašomas (+) arba (–)

ženklas. Pagal susitarimą momentas yra teigiamas, kai jėga pasuka kūną apie

tašką prieš laikrodžio rodyklę , ir neigiamas, – kai kūnas yra pasukamas

pagal laikrodžio rrodyklę

[pic]

[pic]

Jėgos momento taško atžvilgiu skaitinė reikšmė lygi trikampio, kurio

pagrindas yra jėga, o viršūnė – taškas, apie kurį skaičiuojamas momentas,

dvigubam plotui. Pavyzdžiui, jėgos F momentas taško O atžvilgiu lygus

trikampio OAB dvigubam plotui:

[pic]

Jėgos momentas taško atžvilgiu pasižymi šiomis savybėmis: • jėgos momentas

taško atžvilgiu lygus nuliui, jei jėgos veikimo tiesė eina per tašką; •

jėgos momentas taško atžvilgiu nepasikeičia, kai jėga perkeliama į kitą

tašką jos veikimo tiesėje, nes nepasikeičia jėgos ir peties didumai bei

sukimo kryptis. Jėgos momento dimensija – [[pic][pic]].

PLOKŠČIOJI JĖGŲ SISTEMA Plokščiąją jėgų ssistemą sudaro jėgos, veikiančios

vienoje plokštumoje. 1.3. PLOKŠČIOJI SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SISTEMA Plokščiąją

susikertančių jėgų sistemą sudaro jėgos, veikiančios vienoje plokštumoje ir

susikertančios viename taške

1.3.1. SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SUDĖTIS Žinome, kad jėgos vektoriaus kryptis

sutampa su jėgos veikimo kryptimi, o vektoriaus ilgis atitinka jėgos

didumą. Todėl jėgas ggalima sudėti dviem būdais: geometriškai – grafiškai

sudedant jėgų vektorius ir analiziškai – sudedant jėgų vektorių projekcijas

į atitinkamas koordinačių ašis. Susikertančių jėgų geometrinė sudėtis

Sakykime, kad absoliučiai kietą kūną veikia jėgos [pic],[pic]

pridėtos atitinkamai taškuose [pic]

[pic]

Į jėgų veikimo tiesių susikirtimo tašką 0 perkeliamos visos jėgos.

Pritaikius trečiąją aksiomą ir lygiagretainio taisyklę, sudėjus jėgas

[pic]gaunama šių jėgų atstojamoji jėga

[pic]

[pic]

Toliau jėgų

[pic]

Atstojamoji

[pic]sudedama su jėga

[pic]Taip paeiliui galima sudėti visas jėgas ir gauti visos sistemos

atstojamąją jėgą [pic]

[pic]

Matome, kad, sudedant dvi jėgas, nebūtina sudaryti jėgų lygiagretainį. Tą

patį rezultatą galima gauti prie pirmosios jėgos [pic] galo pridėjus

vektorių, kurio didumas ir kryptis atitinka antrosios jėgos didumą [pic] ir

kryptį. Sujungus pirmosios jėgos pradžią ir pridėtosios jėgos [pic]galą,

taip pat gaunama jų atstojamoji [pic]. Taigi galima nuosekliai sudėti visas

jėgas

[pic]

Gautasis daugiakampis OABCD vadinamas jėgų daugiakampiu, o aprašytas jjėgų

sudėties būdas vadinamas jėgų daugiakampio taisykle. Šio daugiakampio

uždaromoji OD pagal didumą ir kryptį yra lygi jėgų sistemos atstojamajai

jėgai [pic]

[pic]

Bendruoju atveju, kai sistemą sudarančių jėgų skaičius yra lygus n, galima

užrašyti:

[pic]

kur i = 1, 2, ., n. Taigi susikertančių jėgų sistema pakeičiama viena jai

ekvivalentine jėga , pridėta jėgų veikimo tiesių susikirtimo taške, ir

lygia sistemą sudarančių jėgų geometrinei sumai.

Susikertančių jėgų analizinė sudėtis Atstojamosios projekcijos teorema:

plokščiosios, viename taške susikertančių jėgų sistemos atstojamosios

projekcija į ašį yra lygi sistemą sudarančių jėgų projekcijų į tą pačią ašį

algebrinei ssumai.

Kūno taške A pridėta plokščioji susikertančių jėgų sistema ([pic])

[pic]

Šios jėgų sistemos atstojamoji R randama taikant jėgų daugiakampio

taisyklę:

[pic]

Analiziškai rasti jėgų atstojamosios R dydį galima visas jėgas

suprojektavus į x ir y koordinačių ašis

[pic]

[pic]

Ši teorema analogiškai įrodoma esant bet kuriam jėgų skaičiui n, todėl

galima užrašyti:

[pic]

Atstojamosios jėgos R didumas (modulis) randamas taip:

[pic]

1.3.2. TRIJŲ JĖGŲ TEOREMA Teorema: trijų nelygiagrečių, esančių vienoje

plokštumoje, jėgų veikimo linijos susikerta viename taške, jėgų sistemai

esant pusiausvirai. Sakykime, kietąjį kūną veikia trys nelygiagrečios n

tarpusavyje atsisveriančios jėgosF1 ,F2 ,F3 , pridėtos atitinkamai taškuose

A1,A2 ,A3

[pic]

Jėgos ir veikia vienoje plokštumoje, todėl galima jas perkelti į šių dviejų

jėgų veikimo linijų susikirtimo tašką O ir rasti jų atstojamąją jėgą R ,

kuri bus pridėta tame pačiame taške. rPagal sąlygą jėgos F1 F2 F3 yra

pusiausviros, todėl jėgos F3 ir R turi būti lygių didumų ir veikti viena

tiese priešingomis kryptimis. Tai reiškia, kad jėgos F3 veikimo tiesė taip

pat kerta tašką O.

1.3.3. SUSIKERTANČIŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS Susikertančių jėgų

sistemos grafinė pusiausvyros sąlyga

[pic]

Sakykime, kad kūnas yra veikiamas susikertančių jėgų sistemos, sudarytos iš

n jėgų. Visas jėgas sudedame pagal jėgų daugiakampio taisyklę (22 pav.).

Jeigu gautojo jėgų daugiakampio OABC.N paskutiniosios jėgos [pic] galas

remiasi į tašką O, t. y. pirmosios jėgos pridėties tašką, tai toks jėgų

daugiakampis yra uždaras, o jo uždaromoji yra lygi nuliui. Kadangi jėgų

daugiakampio uuždaromoji pagal dydį ir kryptį yra lygi susikertančių jėgų

sistemos atstojamajai jėgai R, tai reiškia, kad:

[pic]

Taigi susikertančių jėgų sistemos atstojamoji yra lygi nuliui arba, kitaip

tariant, jėgų sistema yra ekvivalentinė nuliui ir tokios sistemos veikiamas

kūnas niekada nepakeis savo kinematinės būklės. Iš čia gaunama grafinė

pusiausvyros sąlyga: veikiamas susikertančių jėgų sistemos kietasis kūnas

yra pusiausviras, jei šių jėgų daugiakampis yra uždaras. Susikertančių jėgų

sistemos analizinės pusiausvyros sąlygos Jėgų sistemai esant pusiausvirai,

jėgų daugiakampis yra uždaras, vadinasi, jėgų sistemos atstojamoji jėga R

yra lygi nuliui. Analiziškai jėgų sistemos atstojamosios modulis

išreiškiamas taip:

[pic]

[pic]

Išvada: plokščioji viename taške susikertančių jėgų sistema yra

pusiausvira, jei jėgų projekcijų algebrinės sumos į dvi viena kitai

statmenas ašis yra lygios nuliui.

1.3.4. VARINJONO TEOREMA Teorema: plokščiosios susikertančių jėgų sistemos

atstojamosios jėgos momentas bet kurio plokštumos taško atžvilgiu lygus

sudedamųjų jėgų momentų to paties taško atžvilgiu algebrinei sumai.

[pic]

jėgos momentas apie tašką yra lygus trikampio, kurio pagrindas yra pati

jėga, o viršūnė – taškas, apie kurį skaičiuojamas momentas, dvigubam

plotui. Per tašką O jėgų veikimo plokštumoje nubrėšime ašį x, statmeną

atkarpai OA, ir rasime jėgos F1 dedamąją jėgą pagal šią ašį F1x matyti, kad

trikampių OAB ir OAC plotai yra lygūs, nes jie turi bendrą pagrindą OA ir

vienodas aukštines – AC. Todėl jėgos F1 momentą taško O atžvilgiu galima

išreikšti taip:

[pic]

[pic]

Užrašytoji formulė yra Varinjono teoremos matematinė išraiška. Sprendžiant

uždavinius, reikia, kkad jėgos momentas taško atžvilgiu būtų išreikštas

jėgos projekcijomis arba dedamosiomis

[pic]

Puanco teorema:

(teorema apie lygiagreciu jegu perkelima )

F1=F2=F

Jega galima perkelti lygiagreciai sau į bet kurį tašką dadedant jegu pora

su momentu kuris lygus perkialemos jegos momentui atzvelgiu tuo tasko kur

jega perkialema.

[pic]

[pic]

ISVADA: plokscia bet kaip isdestyta jegu sistema gali buti privesta prie

paprasto pavydalo: 1) prie vienos jegos suminis-vektorius kuri prideta

laisvai parengtajam redagavimo centre ir skaiciuojamas kaip dedamuju jegu

geometrine suma 2) ir prie vienos poros su momentu kuris vadinamas suminiu-

momentu ir kuris skaiciuojamas kaip dedamuju jegu momentu atzvelgiu tuo

paties redukavimo centro algebrine suma.

3) suminis-vektorius nepriklauso nuo redukavimo centro o suminis-momentas

priklauso.

[pic]

1.4. PLOKŠČIOJI LYGIAGREČIŲJŲ JĖGŲ SISTEMA Lygiagrečiąsias jėgas galima

vertinti kaip atskirą susikertančių jėgų atvejį, kai tų jėgų susikirtimo

taškas yra begalybėje. 1.4.1. LYGIAGREČIAI VEIKIANČIŲ JĖGŲ SUDĖTIS

Sakykime, kad dvi lygiagrečios jėgos F1 ir F2 veikia kūną taškuose A ir B

ir yra nukreiptos viena linkme

[pic]

[pic]

Išvada: Dviejų lygiagrečių, nukreiptų viena linkme, jėgų atstojamoji yra

lygiagreti su šiomis jėgomis ir yra nukreipta ta pačia linkme.

Atstojamosios modulis lygus šių jėgų modulių sumai, o jos veikimo tiesė

dalija atstumą tarp jėgų į dvi dalis atvirkščiai proporcingai šių jėgų

dydžiams (moduliams). Be to, atstojamosios jėgos R veikimo tiesės bet kurio

taško atžvilgiu dedamųjų jėgų F1 ir F2 momentai yra lygūs.

Dviejų lygiagrečių priešingai nukreiptų jėgų sudėtis Kūno taškuose A ir

B

pridėtos dvi lygiagrečiosios priešingų krypčių jėgos F1 ir F2 , be to,

F1>F2

[pic]

[pic]

1.4.2. JĖGŲ POROS Kai lygiagrečios priešingai nukreiptos jėgos F1 ir yra

F2 lygios, t. y. F1=F2, turime dviejų jėgų sistemą (F1F2), kuri yra

vadinama jėgų pora.

[pic]

Išvados: a) jėgų poros atstojamoji R lygi nuliui, o jos pridėties taškas

yra begalybėje;b) jėgos, sudarančios jėgų porą, nėra pusiausviros, nes jos

veikia ne viena tiese; c) jėgų pora yra tokia jėgų sistema, kuri nėra

pusiausvira ir neturi atstojamosios.

[pic]

Pagrindinės sąvokos: • plokštuma, einanti per jėgų poros veikimo tieses,

vadinama jėgų pporos veikimo plokštuma; • atstumas h tarp jėgų poros jėgų

veikimo tiesių vadinamas jėgų poros petimi; • negalima sutapatinti jėgų

poros peties su atstumu tarp jėgų poros jėgų pridėties taškų AB. Jėgų poros

sukamasis poveikis kitam kūnui priklauso nuo: • jėgų porą sudarančių jėgų

modulio ir peties ilgio h; • jėgų poros veikimo plokštumos padėties

erdvėje; • poros sukimo krypties šitoje plokštumoje. Jėgų poros momentu

vadinama vienos iš sudarančių jėgų porą jėgos modulio ir poros peties

sandauga. Pagal susitarimą jėgų poros momentas laikomas teigiamu, kai jėgų

pora pasuka kkūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį, ir neigiamu, kai kūnas

pasukamas pagal laikrodžio rodyklę. Jėgų poros momentas yra žymimas

M([pic]), arba tiesiog , Mi kur i – jėgų porą sudarančių jėgų indeksas.

[pic]

[pic]

Jėgų poros momentas yra lygus vienos iš sudarančių jėgų porą jėgos momentui

apie ttašką, kuriame pridėta antroji tos jėgų poros jėga:

[pic]

Skaitinė jėgų poros reikšmė yra lygi lygiagretainio plotui kurį sudaro

poros jėgos, arba dvigubam trikampio plotui kurio pagrindas yra viena iš

jėgų, o aukštinė – jėgų poros petys. Jėgų poros momento M dimensija: [N*m].

Jėgų poros savybės 1. Jėgų poros jėgų momentų suma bet kurio taško, esančio

poros veikimo plokštumoje, atžvilgiu nepriklauso nuo jo parinkimo vietos ir

yra lygi jėgų poros momentui. rrSakykime, kad absoliučiai kietąjį kūną

veikia jėgų pora ([pic]) Apskaičiuosime jėgų poros jėgų momentų sumą jėgų

poros veikimo plokštumoje laisvai parinkto taško O atžvilgiu:

[pic]

[pic]

jėgų poros momentas bet kurio taško, esančio poros veikimo plokštumoje,

atžvilgiu yra lygus jėgų poros jėgų momentų apie tą patį tašką algebrinei

sumai. Išvada: kadangi taškas O buvo pasirinktas laisvai, tai jėgų porą

galima perkelti į bet kurią kkitą vietą jos veikimo plokštumoje ir nuo to

kūno būvis nepasikeis.

2. Jėgų poros jėgų projekcijų į bet kurią ašį suma yra lygi nuliui.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Išvada: kadangi jėgų poros jėgų projekcijų į bet kurią ašį suma yra lygi

nuliui, tai jėgų poros poveikis kūnui yra įvertinamas tik pagal momentų

pusiausvyros lygtis. 3. Jėgų porų ekvivalentiškumo teorema. Jėgų poros

poveikis kūnui nepasikeis, jeigu ši jėgų pora bus pakeista kita jėgų pora,

veikiančia toje pat plokštumoje ir turinčia tokio pat didumo ir ženklo

momentą.

[pic]

[pic]

Išvados: 1. Vienu metu pakeitus jėgų poros jėgų ddidumus ir petį taip, kad

jėgų poros momentas ir jos sukimo kryptis nepakistų, jėgų poros poveikis

kietajam kūnui nepakis; 2. Jei h=, matyti, jog poros poveikis kūnui

nekinta, kai jėgų pora perkeliama į kitą vietą toje pačioje plokštumoje;

12h3. Dvi jėgų poros, veikiančios vienoje plokštumoje ir turinčios vienodo

didumo ir ženklo momentus, yra ekvivalentiškos; 4. Ekvivalentiškos jėgų

poros gali skirtis viena nuo kitos pagal padėtį plokštumoje, sudarančių

jėgų modulius ir šių jėgų kryptis bei peties ilgius, tačiau jėgų porų

momentų didumai ir ženklai turi būti vienodi.

1.4.3. JĖGŲ PORŲ SUDĖTIS IR PUSIAUSVYROS SĄLYGA Kai vienoje plokštumoje

veikia kelios jėgų poros, jos sudaro jėgų porų sistemą. Bet kuri jėgų porų

sistema gali būti pakeista viena atstojamąja jėgų pora, kurios momentas

lygus sistemą sudarančių jėgų porų momentų algebrinei sumai.

[pic]

Perkeliame jėgų porų jėgas į taškus A ir B

[pic]

Kai jėgų porų skaičius yra n, atitinkamai turime:

[pic]

Remiantis jėgų porų sudėties principu galima suformuluoti jėgų porų

sistemos pusiausvyros sąlygą. Vienoje plokštumoje veikiančių jėgų porų

sistema bus pusiausvira, kai visų jėgų porų momentų algebrinė suma bus lygi

nuliui.

[pic]

1.4.4. LYGIAGRETUSIS JĖGOS PERKĖLIMAS Puanso teorema: norint perkelti jėgą

lygiagrečiai į bet kurį kitą tašką, reikia papildomai pridėti jėgų porą,

kurios momentas lygus perkeliamosios jėgos momentui taško, į kurį ši jėga

yra perkeliama, atžvilgiu. Įrodymas: Jėga F yra pridėta kūno taške A Jeigu

laisvai pasirinktame taške O pridėsime atsisveriančių jjėgų sistemą(F1,F2)

tai kūno būvis nuo to nepasikeis.

[pic]

[pic]

gauname, kad taške O bus pridėta jėga F1, kurios didumas ir kryptis sutampa

su jėgos F didumu ir kryptimi, ir jėgų pora, kurios momentas M yra lygus

jėgos F momentui taško O atžvilgiu

[pic]

1.5. PLOKŠČIOJI BET KAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMA Jeigu jėgų sistemos jėgos

veikia vienoje plokštumoje, bet nėra viena su kita lygiagrečios ir

nesusikerta viename taške, tai tokia jėgų sistema yra vadinama plokščiąja

bet kaip išdėstytų jėgų sistema. Plokščiosioms bet kaip išdėstytų jėgų

sistemoms, sudarytoms iš didelio jėgų skaičiaus, supaprastinti taikomi

toliau pateikti redukavimo (pertvarkymo) būdai.

PLOKŠČIOSIOS BET KAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOSPirmoji

pusiausvyros sąlygų forma Jeigu redukavus plokščiąją bet kaip išdėstytų

jėgų sistemą į laisvai pasirinktą redukavimo centrą O sistemos svarbiausias

vektorius R ir svarbiausias momentas M[pic]yra lygūs nuliui, tai ir visa

jėgų sistema yra ekvivalentiška nuliui:

[pic]

Antroji pusiausvyros sąlygų forma Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų

sistema bus pusiausvira, kai visų jėgų momentų suma dviejų kurių nors taškų

A ir B atžvilgiu ir visų jėgų projekcijų į nestatmeną tiesei AB ašį x suma

bus lygi nuliui.

[pic]

[pic]

Trečioji pusiausvyros sąlygų forma Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų

sistema bus pusiausvira kai visų sistemos jėgų momentų trijų laisvai

pasirinktų ir nesančių vienoje tiesėje taškų A, B ir C atžvilgiu algebrinės

sumos bus lygios nuliui.

[pic]

[pic]

ERDVINĖ JĖGŲ SISTEMA Erdvinę jėgų sistemą sudaro erdvėje išsidėsčiusios

jėgos. Tokia jėgų sistema nnagrinėjama laisvai pasirinktos erdvinės

koordinačių sistemos atžvilgiu.

erdvinė susikertančių jėgų sistema bus pusiausvira, kai jos atstojamoji

jėga R bus lygi nuliui, arba kai visų sistemos jėgų projekcijų į

koordinačių ašis sumos bus lygios nuliui. Todėl pusiausvyros sąlygos

erdvinei susikertančių jėgų sistemai užrašomos taip:

[pic]

JĖGOS MOMENTAS ERDVĖJE Nagrinėjant erdvinę jėgų sistemą, jėgos momento

taško atžvilgiu apibrėžimas, suformuluotas plokščiajai jėgų sistemai,

pasidaro nebepakankamas. Plokščiojoje jėgų

sistemoje visos jėgos veikė vienoje plokštumoje, todėl pakakdavo žinoti

jėgos momento didumą ir kryptį. Erdvinėje jėgų sistemoje tenka atsižvelgti

į tai, kad jėgos ir jų momentai gali veikti skirtingose plokštumose.

Kai kūną veikia bet kaip pridėta jėga jos momentas laisvai pasirinkto

erdvės arba kūno taško O atžvilgiu bus visiškai nusakomas trimis

charakteristikomis:

1. jėgos veikimo plokštuma OAB, einančia per jėgos vektorių F ir tašką O;2

jėgos momento dydžiu, kuris lygus jėgos F modulio ir peties h sandaugai; 3.

kryptimi, kuria jėga suks kūną plokštumoje OAB.

[pic]

[pic]

Jėgos momento apie tašką vektorius

JĖGŲ PORA ERDVĖJE

Išvados: 1. Jėgų poros momentas apibrėžiamas vektoriumi, statmenu jėgų

poros veikimo plokštumai, ir nukreiptu į tą pusę, iš kurios žiūrint matyti,

kad jėgų pora suka kūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį; 2. Kadangi taškas

O buvo parinktas laisvai, tai jėgų poros momentas-vektorius gali būti

pridėtas bet kuriame kūno arba erdvės taške; 3. Sandaugos r ir F rezultatas

bus toks pat visoms plokštumoms, lygiagrečioms su jėgų poros veikimo

plokštuma. Todėl jėgų porą

galima perkelti į bet kurią su jos veikimo

plokštuma lygiagrečią plokštumą.

LYGIAGRETUSIS JĖGOS PERKĖLIMAS ERDVĖJE

norint lygiagrečiai perkelti jėgą į bet kurį kitą plokštumos tašką, reikia

papildomai pridėti jėgų porą, kurios momentas lygus perkeliamos jėgos

momentui taško atžvilgiu, į kurį ši jėga yra perkeliama. ERDVINĖ BET KAIP

IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMA Erdvinė sistema jėgų, kurių veikimo tiesės

nesusikerta viename taške ir nėra lygiagrečios, yra vadinama erdvine bet

kaip išdėstytų jėgų sistema. Sprendžiant uždavinius tokios jėgų sistemos,

kaip ir plokščiosios bet kaip išdėstytų jėgų sistemos, gali būti

pertvarkomos, taikant redukavimo būdus.

ERDVINĖS BET KKAIP IŠDĖSTYTŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS

[pic]

[pic]

[pic]

ERDVINĖS LYGIAGREČIŲJŲ JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄLYGOS Kai erdvinės jėgų

sistemos visos jėgos yra lygiagrečios, jos sudaro erdvinę lygiagrečiųjų

jėgų sistemą[pic]

VARINJONO TEOREMA, TAIKOMA ERDVINEI JĖGŲ SISTEMAI Varinjono teoremą,

įrodytą plokščiajai jėgų sistemai galima taikyti ir erdvinei jėgų sistemai.

Ji skamba taip: erdvinės bet kaip išdėstytų jėgų sistemos atstojamosios

momentas bet kurio taško atžvilgiu lygus visų sistemos jėgų momentų to

taško atžvilgiu vektorinei sumai.

TRINTIS

SAUSOJO SLYDIMO TRINTIS Sausojo slydimo trintis bus tada, kai du vienas

kito atžvilgiu slystantys arba turintys tendenciją slysti paviršiai

kontakto vietoje nėra ssutepti. Trinties jėga sutampa su kontakto vietos

liestine ir visada yra nukreipta priešinga judėjimo arba galimo judėjimo

krypčiai. Sausojo slydimo trintis dar yra vadinama Kulono trintimi

didinant pridėtą jėgą F, didės ir trinties jėga Ftr Taip gaunama tokia

jėgos F reikšmė, kai dar truputį jją padidinus, kūnas pradės judėti, t. y.

trinties jėga Ftr pasieks savo maksimalią reikšmę Ftrmax ir daugiau

nebegalės atsverti jėgos F poveikio. Tol, kol veikiamas jėgos F kūnas yra

ramybės būsenos, slydimo trinties jėga Ftr yra vadinama statine slydimo

trinties jėga.

[pic]

Cia f-trinties propor. Koeficientas.

RIEDĖJIMO TRINTIS

Pasipriešinimas, kuris atsiranda vienam kūnui riedant kito kūno paviršiumi,

yra vadinamas riedėjimo trintimi.

[pic]

čia k – riedėjimo trinties koeficientas ir kartu riedėjimo trinties jėgų

poros petys.

Riedėjimo trinties koeficientas k priklauso nuo riedančio cilindro ir

riedėjimo paviršiaus medžiagų fizikinių charakteristikų.