Signalų ir grandinių paruoštukė

3v. Impulsinėmis ir pereinamosiomis charakteristikos

Grandines priimta apibūdinti impulsine ir pereinamąja charakteristikomis. Impulsine vadinama, grandinės reakcija į δ(t) f-ją. Tarkim nagrinėjam tiesinę grandinę, tai impulsinė charakteristika yra tiesinė operacija, atlikta su δ(t) f-ja: g(t)=D[δ(t)]. Pereinamąja vadinama grandinės reakcija į vienetinį šuolį: h(t)=D[ε(t)]. Išsiveskime ryšį tarp impulsinės ir pereinamosios charakteristikos. Tuo tikslu apsiskaičiuokime grandinės reakciją į vienetinio ploto stačiakampį impulsą. Žinant grandinės pereinamąją charakteristiką, reakciją apskaičiuojama gana paprastai. Tą procesą grafiškai matome pav. Šiuos veiksmus S2(t) užrašykime matematiškai: S2(t)=A[h(t+(τo/2))-h(t-(τo/2))]. Šis signalas S2(t), ttaps impulsine ch-ka g(t), jei mes jame priimsime sąlygą: A=1/τo. Impulso plotas lygus 1 ir parametrai priklauso nuo trukmės τo→0: g(t)=τo→0lim S2(t)A=1/τ. Gauname: g(t)= τo→0lim(1/τo)[ h(t+(τo/2))-h(t-(τo/2))]=dh(t)/dt. Vadinasi g(t)= dh(t)/dt. Galime padaryti ir atvirkštinę išvadą: h(t)=∫g(t)dt. Dvi šios išraiškos yra laikinių charakteristikų tarpusavio ryšio išraiškos. Impulsinė ch-ka yra = pereinamamosios ch-kos išvestinė.

Su Furjė eilutėmis..? kaip apibūdinamas spektras Furjė eilutėmis?

ST(t)=ao/2+ n=1Σ+∞(ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)). Tai yra Furje eilutė. ao/2 – nuolatinė dedamoji, an, bn n-tosios virpesio dedamosios. Galime perrašyti taip: ST(t)=ao/2+ n=1Σ+∞Cncos(nΩt-φn). Cncos(nΩt-φn) – virpesio SS(t) harmoninė dedamoji, arba harmonika. Amplitudžių ir fazių spektrus priimta atvaizduoti grafikais. Virpesių amplitudžių ir fazių spektrai, jei juose n→∞, pilnai apibūdina virpesį. Taigi virpesį galime pateikti jo kitimo dėsniu per periodą S(t) arba jo spektru. Pirmuoju atveju virpesys pateiktas llaiko ašyje, antruoju – dažnių. Abu pateikimai – lygiaverčiai. Norint palyginti kelis virpesius, patogesnis yra antrasis būdas. Procesas kurio metu apskaičiuojamas spektras, vadinamas transformacija iš laiko į dažnių ašį. Kai žinant spektrą, apskaičiuojama virpesio forma, vad transformacija iš dažnių į laiko ašį. Vykdoma Furjė eilute ST(t)= ao/2+n=1Σ+∞Cncos(nΩt-φn). Dar virpesio perkėlimas iš laiko į dažnių ašį vadinamas analize, o f-lės vad. analizės formulėmis. Perkėlimas iš dažnių į laiko ašį, vad. sinteze. Viskas ką nagrinėjome, tinka periodiniams virpesiams. Periodinių virpesių spektro ribotumas – spektro diskretiškumas.

Kompleksinės Furjė eilutės forma. ST(t)=ao/2+ n=1Σ+∞Cncos(nΩt-φn). Furjė eilutė leidžia išskaidyti bet kokį periodinį virpesį S(t) į harmonikas. Šioje eilutėje kiekviena harmonika yra tam tikro dažnio harmoninis virpesys. Grandinių teorijoje harmoninius virpesius priimta keisti kompleksiniais harmoniniais virpesiais. Toks pakeitimas lleidžia supaprastinti uždavinio sprendimą. nes nereikia diferencijuoti ir integruoti. Taip pat spręsdami uždavinį, iš karto apskaičiuojame virpesio amplitudę ir fazę. Toks metodas vadinamas simboliniu arba kompleksinės amplitudės metodu. Išvestoji Furje eilutė negali būti panaudoja šiame metode, ją galime panaudoti tik tada, jei harmonikas pakeisime kompleksinėmis harmonikomis. ST(t)=(ao/2)+ n=1Σ+∞Cncos(nΩt-φn)= (ao/2)+ n=1Σ+∞(Cnej(nΩt-φn)+Cne-j(nΩt-φn))(1/2). Įvedame kompleksinės amplitudės sąvoką: (ao/2)+(1/2)n=1Σ+∞(▲CnejnΩt)+ (1/2)n=1Σ+∞(▲Cne-jnΩt) → (1/2)(ao+ n=1Σ+∞(▲CnejnΩt)+n=1Σ+∞(▲Cne-jnΩt). Pasiaiškinsime ao=Co: ▲Co=Coe-jφo; Co=√(ao2+bo2)=ao; φo=atan(bo/ao)=0. Gauname ▲Co=aoej0=ao. Kadangi ▲Co=ao, tai galime užrašyti ST(t)=(1/2)( n=1Σ+∞(▲CnejnΩt)+n=-1Σ-∞(▲C-nejnΩt)). Išsiaiškinsime, kam lygi ▲Cn=C-nejφ: Cn=√( an2+bn2); φ-n=atan(b-n/a-n). aa-n=(2/T)T∫ST(t)cos(-nΩt)dt; b-n=(2/T)T∫ST(t)sin(-nΩt)dt → C-n=Cn ir φ-n=φn. Vadinasi ▲Cn=▲C-n. Rašome galutinę išraišką: ST(t)=(1/2)-∞Σ+∞(▲CnejnΩt). Tai kompleksinė Furjė eilutės forma. Norėdami išskleisti kompleksine eilute S(t), reikia apskaičiuoti kompleksinės amplitudės ▲Cn. Skaičiuojame taip: ▲Cn=an-jbn=(2/T)T∫ST(t)cos(nΩt)dt-j(2/T)T∫ST(t)sin(nΩt)dt= (2/T)T∫ST(t)(cos(nΩt)-jsin(nΩt))dt. ▲Cn=(2/T)T∫ST(t)e-jnΩtdt. Ši formulė leidžia apskaičiuoti visas virpesio Furjė eilutės kompleksines amplitudes. Pagal ją galime apskaičiuoti ir amplitudės, ir fazės spektrą. Reikėtų atkreipti dėmesį į kompleksinės Furjė eilutės sandara. Joje kairiojoje pusėje – realioji laiko f-ja, o dešinioji – kompleksinių laiko f-jų suma. Kadangi eilutėje stovi lygybė, tai sumuojant kompl. laiko f-jas, kompleksiniai dydžiai turi pasinaikinti. Tam imame dvi vienodas kompleksines f-jas, kurios skiriasi tik eilės numerio ženklu: (1/2)▲CnejnΩt+(1/2)▲C-ne-jnΩt= (1/2)Cn(ej(nΩt-φn)+e-j(nΩt-φn))=Cncos(nΩt-φn). Taigi taip sumuodami, gauname realią laiko f-ją – virpesio n-tąją harmoniką. Taigi visada norint teisingai komponuoti kompl. dydžius dešinėje lygybės pusėje, reikia viską daryti simetriškuose rėžiuose. Visuomet sumuojant reikalingas dedamąsias su neigiamus eilės numerius turinčiomis. Tai reiškia, kad tos dedamosios turi neigiamą dažnį. Dirbant su kompleksiniais dydžiais teks naudoti neigiamas dažnio dedamąsias, nors tokių realiai nėra.

4v. Išvesti kompleksinę Furjė iš

Į

Įrodyti kad žinant grandinės pereinamąją charakteristiką galima gauti išėjimo virpesį.

Imame signalą. Reakciją į kiekvieną šuoliuką bus lygi pereinamajai charakteristikai padaugintai iš šuoliuko amplitudės. Tai reikia apsiskaičiuoti šuoliuko (An), bet kurioje signalo vietoje: An/Δt=tanα →tanα~S1|(t=nΔt) →An~ S1|(nΔt)xΔt. Tuomet reakcija į ššuoliuką: S2(nΔt)=h(t)∙S1|(nΔt)xΔt. Išėjimo signalas bus suma reakcijų į kiekvieną įėjimo signalo šuoliuką: S2(t)=n=1Σ∞ S1|(nΔt)xΔt∙h(t-nΔt). Norint išėjime gauti tikslesnį signalą reikia Δt→0 (dτ). Tada sumą tenka keisti integralu: S2(t)=0∫tS1|(τ)∙h(t-τ)dτ. Šioje išraiškoje praleista reakcija į pirmąjį šuoliuką, prapuola konstanta. Atstačius išraiškoje šią konstantą, gauname: S2(t)=S1(0)∙h(t)+0∫tS1|(τ)∙h(t-τ)dτ. Tai taip pat kompozicijos integralas. Sukeisti vietomis ch-ka čia nėra prasmės, nes sukeitus būtų gauta jau anksčiau išvesta f-lė: S2(t)=0∫τS1(t-τ)∙g(τ)dτ.

5v. Apskaičiuokite ryšį tarp periodinio virpesio spektro ir neperiodinio virpesio spektro tankio funkcijos.

Palyginkime dviejų vienodų kitimo dėsnių periodinio ir neperiodinio siganlų spektrus: ▲Cn=(Ω/π)T∫ST(t)e-jnΩtdt ir ▲S(ω)= -∞∫+∞S(t)e-jωtdt → ST(t)=S(t). Perrašome pakeistus integralus: ▲Cn=(Ω/π)▲S(nΩ) ir ▲S(ω)= 0∫τS(t)e-jωtdt. Taigi iš palyginimo matome, kad ▲Cn=(Ω/π)▲S(nΩ). Ši išraiška apibūdina ryšį tarp periodinio virpesio spektro ir neperiodinio virpesio spektro tankio f-jos. Taip pat matome, kad spektrinio tankio f-ja yra bendresnė – ji apibūdina neperiodinio virpesio spektrą, o atskiros jos vertės padaugintos iš Ω/π, apibūdina tokio pat periodinio virpesio spektrą. Taigi visuomet tikslinga apsk. neperiodinio virpesio spektrą. Užrašytoji spektro ryšio f-lė rodo, kad spektrų verčių ašys yra skirtingos, t.y. jos matuojamos skirtingais vienetais. Laikomasi tokios nuostatos, kad periodinio virpesio apibūdinimui naudojamas jo spektras, kurio matavimo vienetas yra elektrinis dydis (V, A, W). Neperiodinio virpesio spektrinio tankio f-jos matavimo vienetas yra (dydis/Hz).

Įrodykite, kad idealus ŽDF ssumažina ir išplečia delta funkciją.

Turime įėjimo signalą: S1(t)=δ(t). Norime surasti S2(t)-? Galime sutrumpintai užrašyti veiksmų seką: S1(t)→▲S1(ω)= ▲Sδ(ω)→▲S2(ω)= ▲Sδ(ω)∙▲K(ω)→ S2(t). Čia K(ω)→sistema(e-jωτ, kai 0≤ω≤ωr ir 0, kai ω>ωr). Gaunam išėjimo virpesį: S2(t)=(ωr/π)∙sin[ωr(t-τ)]/ωr(t-τ). Išvada: idealus ŽDF trumpus procesus išplečia ir sumažina jų vertes. Nubraižytoje reakcijoje yra neigiamų laikų ašis, kurioje egzistuoja vertės, tai būsimosios signalo vertės, kurių mes dabar žinoti negalime. Todėl tokia reakcija realiai neįgyvendinama. Idealus ŽDF laikomas fiziškai neįgyvendinama grandine. Grandinės apibūdinimui naudojamos laikinės grandinių analizės metode, Čia nagrinėta idealaus ŽDF reakcija.

6v. Kokie ir kas yra ortogonalūs virpesiai, ir kam jie naudojami?

Norint suvienodinti visų siganalų analizę reikia mokėti: 1. pasirinkti elementariųjų dedamųjų sistemą; 2. apskaičiuoti amplitudinius koef. an. Šį koeficientą labai lengva apskaičiuoti ,kai elementariosios f-jos yra ortogonalios. Jos visos turi tokią savybę: t1∫t2υn(t)∙υk(t)dt= sistema(||υn||, jei n=k; ir 0, jei n≠k). ||υn|| – ortogonalios f-jos norma. kai n=k, išplaukia, kad norma yra signalo energija, kuri bus išskiriama 1Ω varžoje. Kai n≠k, turime, t1∫t2υn(t)∙υk(t)dt=0. Šiuo atveju integralu apskaičiuojama signalų tarpusavio energija. Ji nagrinėjamu atveju turi būti lygi 0. Signalai vienas kito neįtakoja, t.y. n-toji dedamoji neįtakoja k-tosios dedamosios ir atv. Jei parinktas ortogonalios elementarios dedamosios, tai an apskaičiavimo f-lė išvedama taip: t1∫t2s(t)∙υk(t)dt= t1∫t2 n=-∞Σ+∞anυn(t)∙ υk(t)dt → an t1∫t2υn2(t)dt=||υn||, kai

n=k (iš viso bus tik 1 integralas) ir an t1∫t2υn(t)∙υk(t)dt=0 kai n≠k (∞-1 integralų). Vadinasi dešinėje liks tik vienas: t1∫t2s(t)∙υk(t)dt= an||υn|| → an=(1/||υn||)∙ t1∫t2s(t)∙υk(t)dt. Gautoji f-lė mums jau leidžia apskaičiuoti an koef. Tam tereikia žinoti s(t) kitimo dėsnį ir turėt apskaičiavus ||υn||. Apskaičiuota an visuma vadinama spektru. Ortogonaliosiomis f-jomis gali būti vienetiniai šuoliai arba impulsai, harmoniniai virpesiai, Volšo f-jos, Lagranžo polinomai.

Neperiodiniai virpesiai dažniniu metodu.

Šiuo atveju S1(t) išskaidomas į harmoninį virpesį pasinaudojant Furje transformacijomis: S1(t)→F[]→▲S1(ω)→ ▲S2(ω)= ▲S1(ω)▲K(ω)→F-1[]→S2(t). Šio metodo taikymas ppriklauso nuo į grandinę siunčiamo signalo

Neperiodiniai virp. Šio metodo taikymas labai panašus į jo taikymą periodiniams virpesiams, tik naudojami kiti matematiniai veiksmai: 1. Apskaičiuojame virpesio spektrą pagal tiesioginę Furjė transformaciją: ▲S1(ω)=-∞∫+∞S1(t)e-jωtdt. 2. Apskaičiuojamas spektras grandinės išėjime: ▲S2(ω)= ▲S1(ω)∙▲K(ω). 3. Apskaičiuojamas virpesys grandinės išėjime: S2(t)=(1/2π) ∞∫+∞▲S2(ω)ejωtdω =(1/2π) ∞∫+∞▲S1(ω)▲K(ω)ejωtdω. Taikant dažninį metodą randame išėjimo virpesį. Palyginus šį virpesį su įėjimo virpesiu, galime rasti pakitimus. Kad galėtume priimti sprendimą ar atsiradę signale pokyčiai yra leistini, turime turėti signalo kokybės kriterijus. Dažnai tokių kriterijų nnėra, todėl analizę dažniniu metodu vykdyti iki galo nėra prasmės. Grandinių įvairovė yra daug mažesnė nei signalų. Todėl dažniniu metodu analizuojant dažnai apskaičiuojamas įėjimo virpesio spektras ir palyginimas su grandinės DAch ir priimami sprendimai ar grandinė daug ar mažai iškraipys ssignalą. Šio palyginimo metu naudojamasi neiškraipyto virpesio perdavimo sąlygomis.

7v. Įrodyti, kad moduliacijos gylis negali būti >1.

Signalas S(t)=A(t)cos(ωot); φ=0; A(t)=Ao+ΔAe(t). ΔAe(t) – moduliuojančio virpesio kitimo dėsnis; -1≤e(t)≤1 – moduliuojančio virpesio normuotės kitimo dėsnis; ΔA – moduliuojančio virpesio amplitudė. So(t)=Aocos(ωot) – gaunamas, kai e(t)=0 ir vadinamas nasčiu. Ao – tylos arba ramybės amplitudė. Taigi virpesio kitimo amplitudę priimta ir reikia rašyti taip: A(t)=Ao+ΔAe(t)=Ao(1+(ΔA/Ao)e(t)). Šioje lygybėje ΔA/Ao=m – moduliacijos koeficientas. Moduliacijos koeficientas m gali būti nuo 0 iki ∞. Tačiau toks kitimas dažnai techniškai nepagrįstas. Todėl moduliuotos amplitudės dėsnis: S(t)=Ao(1+m∙e(t))cos(ωot). Pabandykime pasiaiškinti m įtaką virpesio kitimo dėsniui(žr. pav.). Iš paskutinio pav. matome, kad nors signalas S(t) esant m>1 gali egzistuoti, tačiau neturi praktinio pritaikymo, nes po detektavimo dalis signalo pakeičia fazę, taip ssignalas iškraipomas. Vadinasi amplitude moduliuoti virpesius galima tik, kol 01 gali egzistuoti, tačiau neturi praktinio pritaikymo, nes po detektavimo dalis signalo pakeičia fazę, taip signalas iškraipomas. Vadinasi amplitude moduliuoti virpesius galima tik, kol 0