RADIOAKTYVIŲJŲ PROCESŲ STATISTINIŲ SKIRSTINIŲ TYRIMAS

Atliko: ————————-

Vadovas: G. Adlys

Darbo tikslas. Eksperimentiškai ištirti binominius (dvinarius), Puasono ir Gauso radioaktyviųjų procesų skirstinius.

Teorinė dalis. Vienas iš pagrindinių klausimų planuojant matavimus ir atliekant juos yra rezultatų tikslumo ir patikimumo įvertinimas.

Tikslumą apibūdina sisteminės (metodinės) ir atsitiktinės (statistinės) paklaidos. Matuojant makroskopinius dydžius statistinį charakterį turi matavimo procesas, todėl skaitinės rezultatų reikšmės pasiskirsto pagal tolydinius (netrūkiuosius) dėsnius, dažniausiai pagal normalųjį arba Gauso dėsnį.

Mikroskopiniai procesai savo kilme yra diskretiniai, todėl jie charakterizuojami diskretiniais skirstiniais, pavyzdžiui, binominiu ddėsniu ir su juo susijusiu Puasono dėsniu.

Tikimybių teorijoje atsitiktiniu įvykiu vadinamas įvykis turintis keletą galimų baigčių. Pagrindinė atsitiktinio įvykio xi charakteristika yra jo stebėjimo tikimybė P(xi), kuri gali būti apibrėžta kaip vidutinis duotojo įvykio pasireiškimo dažnis esant sudarytoms to įvykio daugkartinio pasirodymo sąlygoms (ribiniu atveju – begalybei).

Jeigu įvykis yra laikoma kokia nors skaitinė vertė, tada ji vadinama atsitiktiniu dydžiu.

Tikimybių pasiskirstymo tankis P(x) pilnai aprašo visas pasiskirstymo savybes. Dauguma atvejų pakanka išskirti svarbiausias pasiskirstymo savybes, nes dažnai gauti patį pasiskirstymo ttankį yra sudėtinga. Svarbiausios charakteritikos, aprašančios tikimybių pasiskirstymo tankį yra vidurkis (matematinė viltis) ir dispersija.

Atsitiktinio dydžio vidurkiu (matematine viltimi)  vadinama išraiška

Atsitiktinio dydžio išsibarstymo vidurkio atžvilgiu matu yra dispersija arba šio dydžio nuokrypio nuo vidurkio vidutinė kvadratinė vertė:

Teigiamos kkvadratinės šaknies iš dispersijos reikšmė yra vadinamos duotojo pasiskirstymo vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu:

Jeigu eksperimento tikslas yra nustatyti kokį nors dydį x iš n atskirų matavimų , tai matavimų rezultatą galima charakterizuoti su keletu statistinių parametrų:

– tikimiausios reikšmės x, kuri lygi atrankos vidurkiui,

– atskirų matuojamo dydžio reikšmių išsibarstymo apie atrankos vidurkį dispersija, t. y. atrankos dispersija

– atrankos vidurkio paklaida, kurią žinant, galima užsiduoti pasikliaujamą tikimybę ir apskaičiuoti pasikliaujamą intervalą.

Atrankos vidurkis x yra tikimiausias atsitiktinio dydžio x tikrojo vidurkio  įvertis ir yra apskaičiuojama kaip aritmetinis vidurkis:

Atrankos dispersija:

Rezultatai:

Matavimo aparatūros schema:

1. Binominio skirstinio tyrimas

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1* 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 *0 0 0 1 0 1 0 1 0 1*

0 0 0 11 0 0 0 0 0 0* 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 *0 1 0 1 1 0 0 1 0 0*

1 2 0 0 1 0 1 0 0 0 *1 1 0 1 1 1 1 2 0 1 *1 1 1 0 1 0 1 0 0 0*

0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 *0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 *1 0 1 1 0 11 0 1 0 1*

1 2 0 0 0 1 1 0 0 1 *0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 *2 1 1 0 0 1 1 1 0 1*

0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 *1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 *0 0 1 0 1 0 1 0 1 0*

0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 *0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 *1 0 0 0 0 0 0 1 0 0*

0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 *0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 *0 1 0 1 1 0 1 0 0 1*

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 *1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 *1 0 1 0 0 0 1 1 0 0*

0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 *1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 *1 0 0 1 1 0 1 1 1 0*

„0“ pasirodymo tikimybė:

P = K / N N=300 K= 171

P = 171/300 = 0.57

*- žymi matavimu suskirstymo grupes, kur n = 110.

Binominis pasiskirstymas n ir p parametrams.

Eksperimentinis:

Grupių po n = 10 yra:

M = N / n

M = 300 / 10 = 30

Pne = mn / M

mn- skaičius grupių kuriose x pasirodė n kartų, kur n kinta nuo 0 iki 10.

P0e= 0/30 = 0

P1e= 0/30 = 0

P2e= 1/30

P3e= 0/30 = 0

P4e= 7/30

P5e= 5/30

P6e= 7/30

P7e= 6/30

P8e= 4/30

P9e= 0/30 = 0

P10e= 0/30 = 0

Teorinis vidurkis:

 = p*n

 = 0,57*10 =5,7

Teorinė dispersija:

Dbt = p * ( 1 – p ) * n

Dbt = 0,57 * (1-0,57)*10 = 2,451

Eksperimentinis vidurkis:

xe=5,567

Eksperimentinė dispersija:

Dbe  2,294

Išvados: Iš skaičiavimų matyti, kad teoriniai ir eksperimentiniai charakteringieji parametrai skiriasi:

Dbe  Dbt ir xe  , tai atsispindi ir histogramoje.

2. Puasono pasiskirstymo tyrimas:

5 3 5 0 4 6 5 2 2 4 2 4 3 6 4 5 4 3 5 5

3 5 5 4 0 5 3 4 0 5 2 4 5 5 5 5 2 3 5 2

1 4 3 7 2 4 4 3 6 6 3 3 2 6 4 7 6 1 4 6

6 7 2 4 7 4 2 3 5 5 7 4 3 3 4 2 1 3 1 3

6 3 5 4 4 5 1 4 11 2 1 5 1 3 5 4 1 2 7 6

3 3 2 2 5 2 5 4 4 4 5 2 3 1 3 3 3 4 3 4

3 3 3 3 4 7 4 6 4 2

Skaičiaus x pasirodymo tikimybė(skliausteliuose teoriniai):

nx –skaičiaus x pasirodymo kartų skaičius.

N – pilnas matavimų skaičius.

nx = 3 N = 130

Pe(0) = 3 / 130 =0,023 (0,025)

nx = 10

Pe(1) = 10 / 130 =0,077 (0,091)

nx = 18

Pe(2) = 18 / 130 =0,139 (0,169)

nx = 28

Pe(3) = 28 / 130 =0,215 (0,209)

nx = 29

Pe(4) = 29 / 130 =0,223 (0,193)

nx = 24

Pe(5) = 24 / 130 =0,185 (0,143)

nx = 11

Pe(6) = 11 / 130 =0,085 (0,088)

nx = 7

Pe(7) = 7 / 130 =0,054 (0,047)

Vidurkis:

 = 481 / 130 = 3,7 = Dpt

Eksperimentinė Puasono pasisikirstymo dispersija:

Dpe = 2,833

Išvados: Atlikus skaičiavimus galime pastebėti, kad teorinė Puasono pasiskirstymo dispersija Dtp yra didesnė už praktinę Dpe t. y. Dtp  Dpe.

3. Normaliojo (Gauso) pasiskirstymo tyrimas

13 16 11 18 17 15 14 20 14 12

13 10 19 12 12 14 12 16 10 12

19 17 19 14 9 15 14 11 11 11

14 12 11 10 10 20 15 9 12 15

20 15 15 15 14 15 13 15 18 16

20 16 18 10 14 17 16 13 12 24

10 13 15 15 14 17 17 18 17 21

11 16 19 16 10 14 14 16 16 11

15 22 18 15 20 15 16 24 12 18

19 15 17 16 8 15 14 17 20 23

11 19 11 17 15 19 15 11 14 16

15 16 12 14 15 20 16 25 13 10

15 14 16 16 19 17 18 9 19 14

18 17 12 10 15 9 14 17 15 18

10 16 21 11 20 18 20 17 12 14

11 8 17 13 12 9 14 13 10 13

17 12 23 18 17 15 14 16 13 16

14 11 17 15 17 12 15 15 19 13

14 13 18 13 11 14 19 13 13 17

17 18 11 20 20 20 18 18 13 23

14 19 14 19 18 19 21 11 13 14

14 20 18 15 21 16 9 10 26 11

14 16 14 23 19 14 16 18 19 15

7 15 20 16 10 15 13 10 9 16

13 15 10 16 16 13 9 10 12 19

14 13 17 18 16 11 18 16 19 14

15 19 20 17 13 14 20 15 18 17

16 14 13 9 19 13 9 13 11 18

21 16 16 13 10 13 14 17 23 8

21 20 14 14 11 9 16 25 13 13

Puasono pasiskirstymo eksperimentinė histograma:

N- pasirinktas matavimų skaičius.

N = 10.

Skaičiaus x pasirodymo tikimybė(Puasono):

nx –skaičiaus x pasirodymo kartų skaičius.

Skaičiaus x pasirodymo tikimybė(Gauso):

Vidurkis:

 = 144 / 10 = 14,4

Pagal Puasono Pagal Normalujį

(Gauso)

x = 10 Pe(10) = 1/10 = 0,1 Pt(10) = 0,054

x = 11 Pe(11) = 2/10 = 0,2 Pt(11) = 0,07

x = 12 Pe(12) = 0/10 = 0 Pt(12) = 0,086

x = 13 Pe(13) = 0/10 = 0 Pt(13) = 0,098

x = 14 Pe(14) = 2/10 = 0,2 Pt(14) = 0,105

x = 15 Pe(15) = 2/10 = 0,2 Pt(15) = 0,104

x = 16 Pe(16) = 0/10 = 0 Pt(16) = 0,096

x = 17 Pe(17) = 1/10 = 0,1 Pt(17) == 0,083

x = 18 Pe(18) = 1/10 = 0,1 Pt(18) = 0,067

x = 19 Pe(19) = 1/10 = 0,1 Pt(19) = 0,05

x = 20 Pe(20) = 0/10 = 0 Pt(20) = 0,035

Atrankos dispersija:

Pasiskirstymo dispersija imčiai:

Atrankos vidurkio dispersija:

Pasikliaujamas intervalas pasikliaujamai tikimybei 0,95;

Išvados: Atlikus skaičiavimus galima teigti, jog x  .