Paprstosios palūkanos

Paprastosios palūkanos

Tai pagrindinė palūkanų sąvoka, iš kurios kyla visos kitos. Paprastosios palūkanos (angl. simple interest) yra kaina, kurią tenka mokėti už 1 piniginio vieneto naudojimą vienerius metus. Tai yra palūkanos, mokamos ar gaunamos tik už nominalo sumą. Skaičiuojant paprastąsias palūkanas daroma prielaida, kad investicijos laikotarpiu nėra galimybės reinvestuoti palūkanų gavimus ir gauti papildomas pajamas. Dažniausiai paprastosios palūkanos skaičiuojamos trumpalaikėms, iki metų investicijoms.

Kai kalbama apie metinę palūkanų normą už paskolas ir indėlius, ši norma yra palūkanų išraiška.

kur: I- ggaunamos paprastosios palūkanos (pinigine išraiška);

N – nominali vertė (pvz., paskolos, indėlio) pradiniu laiko momentu;

i – metinė palūkanų norma (procentas) (išreikšta dešimtaine trupmena), t.y. 8 proc. metinė palūkanų norma bus užrašyta kaip 0,08;

n – dienų skaičius per laikotarpį;

m – dienų skaičius metuose (pagal dienų skaičiavimo susitarimą).

Palūkanos beveik visada pateikiamos metine išraiška. Pavyzdžiui, jeigu indėlis bankui paskolinamas 90 dienų už 8 proc., tai reiškia 8 proc. metinę, ne 3 mėnesių palūkanų normą. Už 90 dienų bus gauta ttik 90/365 metinių palūkanų dalis. Pavyzdžiui, jei 843 LTL indėlis padedamas 234 dienoms už 6,5 proc., tai gaunama 35,63 litai palūkanų:

Dienų skaičiavimo susitarimai

Paprastai palūkanos skaičiuojamos metų pagrindu (t.y. procentais per metus). Kalendoriniuose metuose yra 365 arba 366 dienos. TTačiau finansų rinkose skaičiuoti metus priklausomai nuo paskolos, indėlio ar finansinio instrumento tipo galima skirtingai, yra skirtingi rinkos „susitarimai“ dėl dienų skaičiavimo (angl. market conventions arba day-count conventions). Norint teisingai apskaičiuoti investicijai tenkančius pinigų srautus, reikia teisingai skaičiuoti dienas. Kartais išskiriama pinigų rinkos bazė (angl. money market bas is) ir obligacijų bazė (angl. bond basis). Daugumoje pinigų rinkų yra sutarimas, kad metai, už kuriuos skaičiuojamos palūkanos, turi 360 dienų, nepriklausomai nuo realaus dienų skaičiaus metuose. Šis susitarimas dar naudojamas kai kuriems ilgalaikiams instrumentams, pavyzdžiui, kintamos normos bilietams ar vidutinio termino depozitiniams sertifikatams. Obligacijų rinkoje tokio griežto standarto nėra, egzistuoja įvairūs susitarimai priklausomai nuo rinkos, tačiau dažniausiai pasitaiko 365 dienų metų traktavimas. 365 dienų metai palūkanoms skaičiuoti pasitaiko ir kai kuriose ppinigų rinkose.

Bendru atveju susikaupusios palukanos skaičiuojamos taip (t.y. taip pat, kaip paprastoji palūkanų norma):

Palukanų suma = nominalas x palūkanų norma x dienų skaičius per laikotarpį/dienų skaičius metuose

Dienų skaičiavimo susitarimai apibrėžia „dienų skaičius per laikotarpį/dienų skaičius metuose“ formulės nario skaičiavimo būdus.

Yra du dienų per laikotarpį skaičiavimo aspektai:

– dienų skaičius iki kupono mokėjimo arba investicijos galiojimo termino pabaigos, pagal kurį investuotojas gauna palūkanas.

Priklausomai nuo rinkos, naudojami du budai:

– „ACT“ arba faktinis – t.y. palūkanos skaičiuojamos ppagal realų kalendorinį dienų skaičių per laikotarpį;

– ,,30“, kai palūkanos skaičiuojamos darant prielaidą, jog mėnuo turi 30 dienų.

– dienų skaičius metuose, pagal kurį kotiruojamos palūkanos (t.y. „palūkanų normos metai“):

– ,,365“ susitarimas, kai palūkanų norma instrumentui kotiruojama, lyg metai būtų 365 dienų trukmės;

– „ACT“ susitarimas, kai palūkanų norma instrumentui kotiruojama pagal tiek dienų metuose, kiek realiai yra;

– ,,360″ susitarimas, kai palūkanų norma instrumentui kotiruojama, lyg metai būtų 360 dienų trukmės.

Taigi finansų rinkose skaičiuoti palūkanoms galima stebėti tokius derinius:

– „ACT/365“, kai dienų skaičius iki instrumento termino pabaigos skaičiuojamas pagal kalendorines dienas, o metai prilyginami 365 dienoms.

– „ACT/360“, kai dienų skaičius iki termino pabaigos skaičiuojamas pagal kalendorines dienas, o metai prilyginami 360 dienų.

– ,,30/365“, kai dienų skaičius iki termino pabaigos skaičiuojamas prilyginus mėnesį 30 dienų, o metai prilyginami 365 dienoms.

– „ACT/ ACT“, kai dienų skaičius iki termino pabaigos skaičiuojamas pagal kalendorines dienas, o metai irgi skaičiuojami pagal kalendorines dienas.

– ,,30/360“ arba ,,360/360“, kai metai prilyginami 12 mėnesių po 30 dielų, iš viso 360 dienų. Šis susitarimas dar vadinamas ISMA bazės susitarimu (angl. ISMA basis convention (lSMA angl. – International Securities Dcalers Association)). Europoje dar naudojama modifikuota šio susitarimo versija ,,30(E)/360“, o JA VV – ,,30(A)/360“. Šiuo atveju daroma išimtis tada, kai paeiliui eina du 31 dienos mėnesiai.

Lietuvos euroobligacijų palūkanos apskaičiuojamos ACT/365 susitarimo pagrindu, pinigų rinkoje anksčiau buvo taikoma 365 dienų bazė, dabar dažniausia 360.

Tokie dienų skaičiavimo susitarimai kartais gali būti tam tikra prasme naudingi investuotojui. Pavyzdžiui, jeigu vienų metų termino indėliams rinkoje galioja ACT/360 susitarimas, tai palūkanos, sakykime, 10 proc. metinių palūkanų, kotiruojamos lyg meluose būtų 360 dienų, tačiau realiai indėlininkas gaus palūkanas už 365 dienas. Tai nėra dovana investuotojui. Pavyzdžiui, jeigu kotiruotojas žino, kad rinkoje galioja 360 dienų susitarimas, tai jis gali kotiruoti šiek tiek mažesnę palūkanų normą už indėlio priėmimą negu tai darytų 365 dienų metuose susitarimo atveju. Kitaip sakant, investuotojas gaus palūkanas už realų dienų skaičių, tačiau „palūkanų normos metų“ trukmė priklausys nuo rinkos susitarimo. Taip yra pinigų rinkoje. Obligacijų atveju viskas yra kiek sudėtingiau. Obligacijos kartą, du arba keturis kartus per metus išmoka susikaupusias palūkanas griežtai proporcingai metinei palūkanų normai, t.y. jeigu palūkanas moka kas šešis mėnesius, tai kas pusmetį mokama griežtai pusė metinės palūkanų normos. Tačiau kai reikia paskaičiuoti sukauptas palūkanas už tam tikrą nepilną laikotarpį, pavyzdžiui, kotiruojant kainą, tada naudojami įvairūs rinkos susitarimai. Praktikoje rinkos dalyviai visada pasitikslina, koks dienų skaičiavimo susitarimas bus naudojamas ppalūkanoms skaičiuoti.

Sudėtinės palūkanos

Sudėtinės palūkanos (angl. eompound interest) yra palūkanų mokėjimai ne tik už nominalą, bet ir už neatsiimtas gautas palūkanas (susikaupusias palūkanas). Kitaip sakant, daroma prielaida, kad palūkanos bus gaunamos periodiškai ir galės būti reinvestuotos ta pačia norma, tokiu būdu per investicijos laikotarpį uždirbdamos papildomas pajamas. Realybėje dažniau tenka reinvestuoti kitokia negu nominalios sumos palūkanų norma.

kur: I – per n laikotarpių susikaupusios palūkanos (pinigine išraiška);

N – nominali vertė (pvz., paskolos) pradiniu laiko momentu;

i – metinė palūkanų norma (procentas)(išreikšta dešimtaine trupmena);

n – laikotarpių (pavyzdžiui, metų) skaičius.

Pavyzdžiui, jeigu 843 LTL investuojami 3 metams už 6,5 proc. metinių palūkanų, tai po trejų metų investuotojas gaus 175,30 litus:

Jeigu palūkanos mokamos dažniau negu kartą per metus, vis tiek reikia įvertinti kiekvieno vidinio mokėjimo reinvestavimą:

kur: I – per n laikotarpių susikaupusios palūkanos (pinigine išraiška);

N – nominali vertė (pvz., paskolos) pradiniu laiko momentu;

i – metinė palūkanų norma (proeentas)(išreikšta dešimtaine trupmena);

n – laikotarpių (pavyzdžiui, metų) skaičius;

f – mokėjimų skaičius metuose.

Pavyzdžiui, jeigu 843 LTL investuojami 3 metams už 6,5 proc. Metinių palūkanų, bet palūkanos mokamos (pridedamos prie pradinės, vėliau prie susikaupusios sumos) kas ketvirtį, tai po trijų metų investuotojas

gaus 179,90 litus:

Metinė procentinė norma

Dažnai paskolą ir palūkanas reikalaujama mokėti ne laikotarpio pabaigoje, o mokant palūkanas ir po dalį skolos per kelis kartus.

Tokiu atveju pagal paprastųjų palūkanų formulę skaičiuoti uždirbamų arba mokamų palūkanų nepavyks, todėl palūkanų norma apskaičiuojama kaip metinė procentinė norma (angl. annual pereentage rate, APR). APR yra paskolos, kredito kaštai metine forma (t.y. procentais per metus).

kur: Mn – išmokėjimų skaičius per metus;

Mviso – išmokėjimų skaičius per skolos laiką;

N – skolos nominali vertė; <

Iviso – bendra skolos palūkanų suma.

Bendra palūkanų suma yra apskaičiuojama padauginant skolos sumą iš nustatytos palūkanų normos (angl. stated, contract arba ad-on ratc) ir metų skaičiaus. Pavyzdžiui, jei 1 000 LTL paskola turi būti grąžinta per dvejus metus kasmėnesiniais mokėjimais, o nustatyta palūkanų norma (iš esmės paprastoji metinė palūkanų norma) yra 10 proc., tai:

Metinė procentinė norma viršija nustatytą, nes likusi skolos dalis yra mažesnė už pradinę skolos sumą. Be to, APR įskaičiuoja ir visus mokesčius už paskolos aptarnavimą ((kaip reguliarių išmokų dalis), todėl APR ypač tinka palyginti skirtingų paskolų davėjų siūlomas paskolas ir jų sąlygas. Ypač populiaru naudoti APR reklamuojant vartojimo paskolas, būsto paskolas, paskolas automobiliams isigyti išsimokėtinai ir pan. Tačiau tokia palūkanų normos išraiška kasdieninėje finansų institucijos vveikloje naudojama palyginti retai – daugumos instrumentų palūkanų normos išreiškiamos ir skaičiavimai atliekami remiantis paprastųjų palūkanų norma.

Ekvivalentinė palūkanų norma

Ekvivalentinė palūkanų norma (angl. equivalent interest rate) yra palūkanų norma, pagal kurią skaičiuojant, gaunamos tos pačios palūkanų pajamos, kaip ir pagal kitą palūkanų normą, tačiau esant skirtingam sudėtinių palūkanų skaičiavimo dažnumui (angl. different frequency of compounding). Faktine palūkanų norma (angl. effcctivc interest rate) vadinama ekvivalentinė palūkanų norma, kai sudėtinės palūkanos skaičiuojamos kasmet (angl. annual compounding). Nuolatine sudėtine palūkanų norma (angl. continuously compounded interest rate) vadinama ekvivalentinė palūkanų norma, kai sudėtinės palūkanos skaičiuojamos nuolat, t.y. kai laikotarpis tarp palūkanų kaupimo momentų yra be galo mažas. Ekvivalentinės palūkanų normos beveik nenaudojamos praktikoje, jos daugiau taikomos teoriniuose skaičiavimuose, taip pat opcionų vertinimo modeliuose. <

Norint palyginti dviejų investicijų nustatytas (nominalias, arba paprastąsias) palūkanų normas, reikia suskaičiuoti jų faktines palūkanų normas.

Sakykime, nustatoma metinė palūkanų norma, palūkanas mokant kas d1, dieną. Tada ekvivalcntinė palūkanų norma kas d2 dienų mokančiai palūkanas investicijai bus:

kur: in – nustatyta metinė palūkanų norma;

d1 – nominalios palūkanų normos palūkanų mokėjimo dažnumas;

d2 – ekvivalentinės palūkanų normos palūkanų mokėjimo dažnumas;

m – dienų skaičius metuose, priklausomai nuo dienų skaičiavimo susitarimų.

Pavyzdžiui, metinė palūkanų norma 153 dicnų investicijai yra 6,51 proc. <

kur: in – nustatyta metinė palūkanų norma;

d1 – nominalios palūkanų normos palūkanų mokėjimo dažnumas;

d2 – ekvivalentinės palūkanų normos palūkanų mokėjimo dažnumas;

m – dienų skaičius metuose, priklausomai nuo dienų skaičiavimo susitarimų.

kur: if – faktinė palūkanų norma;

d1 – nominalios palūkanų normos palūkanų mokėjimo dažnumas;

m – dienų skaičius metuose, priklausomai nuo dienų skaičiavimo susitarimų.

Pagal pavyzdį:

kur: in – nustatyta metinė palūkanų norma;

dl – nominalios palūkanų normos palūkanų mokėjimo dažnumas;

m – dienų skaičius metuose, priklausomai nuo dienų skaičiavimo susitarimų.

Teorinė dabartinė palūkanų norma

Dabartinė palūkanų norma (angl. spot rate) yra esamu momentu galiojanti palūkanų norma tam tikram laikotarpiui paskolintiems pinigams, pvz., 6 proc. metams, 7 proc. dvejiems metams. Kitaip tariant, dabartinės palūkanų normos yra metinės diskonto normos šiuo atveju pirmų ir antrų metų gale gaunamiems pinigams. Jei investuotojas gauna paskolą ir jai nustatomos palūkanos, tai ta palūkanų norma yra dabartinė palūkanų norma. Viduje jokių pinigų srautų neatsiranda, laikotarpis į smulkesnius periodus neskaidomas. Todėl galima sakyti, kad dabartinės palūkanų normos yra nulinio kupono obligacijų pelningumai. Jos parduodamos su nuolaida ir investuotojas galiojimo pabaigoje atgauna visą nominalią jos vertę, kuri gali būti traktuojama kaip pirkimo kaina ir susikaupusios palūkanos. Tos palūkanos yra skaičiuojamos remiantis dabartine palūkanų norma, kkuri nustatoma išleidžiant obligacijas. Dabartinė palūkanų norma yra nustatoma tokia, kad būtų atspindėtas galiojimo laikotarpio terminas. Kuo jis ilgesnis, tuo didesnė palūkanų norma turi būti siūloma. Per laiką iki galiojimo pabaigos nėra jokių pinigų srautų ir laikotarpis nėra skaidomas, pavyzdžiui į pusės mctų laikotarpius, kaip kuponinių obligacijų atveju. Kuponinių obligacijų kuponas nėra nustatytas, kad atspindėtų obligacijų galiojimo laiką. Kupono norma yra skaičiuojama pusės mctų arba mctų laikotarpiams. Pavyzdžiui, jei turime dvi dviejų laikotarpių (pirmieji ir antrieji metai, 6 ir 7 proc. palūkanų normos atitinkamai) kuponines obligacijas A (10 proc. kuponas, mokamas kartą per metus) ir B (5 proc. kuponas, mokamas kartą per metus), tai jų rinkos kainos PA ir PB turėtų būti:

Tokiomis kainomis abi obligacijos suteiks rinkos reikalaujamą pelningumą (t.y. 6 proc. mctų termine ir 7 proc. dviejų metų terminui). Tačiau kuponinių obligacijų pelningumai iki galiojimo pabaigos yra abiejų laikotarpių dabartinių palūkanų normų vidurkis. Pelningumas iki galiojimo pabaigos yra ta viena ir vienintelė diskonto norma, kuri sulygina dabartinę obligacijos būsimųjų pinigų srautų vertę su esama rinkos kaina. Todėl šiuo atveju pelningumai iki galiojimo pabaigos bus skirtingi: obligacijai A – 6,953 proc. ir obligacijai B – 6,975 proc.:

Reikia atkreipti dėmesį, kad rinkos dabartinės palūkanų normos skirtingiems terminams yra skirtingos iir neatitinka pelningumo iki galiojimo pabaigos, kuris yra diskonto norma, taikoma vienoda visiems obligacijos terminams. Antra, nors laikotarpių skaičius buvo vienodas ir dabartinės normos buvo vienodos, gautos skirtingos kainos ir skirtingi pelningumai iki galiojimo pabaigos. Situacija, kai vienodų galiojimo terminų obligacijų pelningumai priklauso nuo pinigų srautų, vadinama kupono efektu (angl. coupon eflect). Kadangi pelningumą iki galiojimo pabaigos veikia kuponas, tai, išreiškiant palūkanų normų laiko struktūrą, geriau naudoti dabartines palūkanų normas (t.y. nulinio kupono obligacijų pelningumus tam tikriems terminams). Teoriškai palūkanų normos laiko struktūra atitinka dabartinės palūkanų normos ir galiojimo termino ryšį, o pelningumo kreivės – pelningumo iki galiojimo pabaigos ir galiojimo termino ryšį. Praktikoje skirtumas tarp jų yra labai mažas ir dažniausiai terminai vartojami sinonimiškai. Tačiau kai vertybinio popieriaus pinigų srautai yra neįprasti ir kai galiojimo terminas ilgas, skirtumas gali būti gana žymus.

Kiekvieną palūkanų normos laiko struktūros grafiką galima laikyti santykiu tarp nulinio kupono obligacijos pelningumo ir galiojimo termino. Kiekviena obligacija be priešlaikinio išpirkimo galimybės gali būti teoriškai laikoma nulinio kupono obligacijų rinkiniu. Jame teorinės nulinio kupono obligacijos gaunamos iš kiekvieno kupono mokėjimo ir nominalo mokėjimo termino gale. Tokių nulinio kupono obligacijų terminas sutampa su kiekvieno kupono mokėjimo data ir

obligacijos išpirkimo data. Pavyzdžiui, jeigu per obligacijos terminą bus mokami 5 skirtingo termino kuponai ir grąžinamas nominalas termino gale, tai teoriškai tokia obligacija gali būti laikoma šešių penkis skirtingus terminus turinčių nulinio kupono obligacijų deriniu. Kuponinės obligacijos vertė (rinkos kaina) turi būti lygi visų teorinių nulinio kupono obligacijų dabartinei vertei. Jei taip nėra, galima pasipelnyti.

Sužinoti kokia yra nulinio kupono obligacijų vertė galima iš atitinkamo galiojimo termino Iždo vekselių (kurie yra nulinio kupono vertybiniai popieriai) pelningumų. Tie pelningumai ir yra ddabartinė palūkanų norma. Grafinis santykio tarp dabartinės palūkanų normos (t.y. nulinio kupono obligacijų pelningumo) ir galiojimo termino pavaizdavimas vadinamas dabartinės palūkanų normos kreive (angl. spot rate curve). Iš pelningumo kreivės galima išvesti teorinę, dabartinės palūkanų normos kreivę. Ši teorinė dabartinės palūkanų normos kreivė yra viena iš pagrindinių koncepcijų, vertinant visus skolos vertybinius popierius, nes bet kuris iš jų gali būti traktuojamas kaip nulinio kupono obligacijų ir tam tikrų speeifinių charakteristikų (pavyzdžiui, galimybės išpirkti prieš laiką) bei individualaus rizikos priedo derinys. <

Teorinę dabartinės palūkanų normos kreivę galima išvesti iš grupės Iždo vekselių ir kuponinių Iždo vertybinių popierių pelningumų. Naudojama hipotetinė kaina, pelningumai iki galiojimo pabaigos ir galiojimo terminas. Pagrindinis principas – Iždo kuponinio vertybinio popieriaus vertė turi būti lygi nulinio kupono IIždo vertybinių popierių rinkinio vertei. Galima sudaryti teorię dabartinės palūkanų normos kreivę skaičiuojant nulinio kupono pelningumus ilgesniems terminams iš trumpesnių terminų instrumentų (angl. bootstrapping). Sakykime, turime pusės metų termino 8 proc. pelningumo Iždo vekselį. Šis 8 proc. pelningumas yra pusės metų termino dabartinė palūkanų norma. Jei metų termino Iždo vekselio pelningumas yra 8,3 proc., tai tas pelningumas atitinka metų termino dabartinę palūkanų normą. Turint šias dvi dabartines palūkanų normas, galima apskaičiuoti 1,5 metų dabartinę palūikanų normą nulinio kupono obligacijai. Ji turi būti lygi dabartinei 1,5 metų kuponinio Iždo vertybinio popieriaus vertei. Diskonto norma yra pinigų srautą atitinkanti dabartinė palūkanų norma. Jei obligacijos nominalas yra 100 LTL, kuponas 8,5 proc., o kaina 99,45 LTL, tai iš 1,5 metų kuponinio vertybinio popieriaus bbus gaunami tokie pinigų srautai:

kur: YTM1 = pusė 6 mėnesių teorinės dabartinės palūkanų normos (0,04) (pusė – nes laikotarpio ilgis pusė metų, o palukanų norma – metinė);

YTM2 = pusė 1 metų teorinės dabartinės normos (0,0415);

YTM3 = pusė 1,5 metų teorinės dabartinės normos.