branduolio sluoksninis modelis
2.1 Branduolio sluoksninis modelis. Magiškieji skaičiai
Branduolio modelius galima suskirstyti į dvi dideles klases: mikroskopinius, kurie nagrinėja atskirų nukleonų būsenas branduolyje ir kolektyvinius, nagrinėjančius suderintinį didelių nukleonų grupių judėjimą branduolyje. Mikroskopinio branduolio modelio būdingas pavyzdys – viendalelis sluoksninis modelis, o kolektyvinio – lašo modelis.
Viendalelis sluoksninis branduolio modelis yra analogiškas atomo sluoksniniam modeliui, kuriame daugelio kūnų sąveikos uždavinys sprendžiamas kaip vieno kūno: nagrinėjamas nesąveikaujančių tarp savęs, tik tenkinančių Paulio principą elektronų judėjimas išoriniame Kulono (branduolio) lauke. Taigi atomo sluoksninis modelis grindžiamas ddviem esminiais teiginiais.
dalelių (elektronų) sąveikos mažumas
išorinio traukos lauko, kurio potencialas , egzistavimas.
Nė viena iš šių sąlygų branduolyje netenkinama. Branduolys – tai stipriai sąveikaujančių tankiai išsidėsčiusių dalelių sistema. Branduolio traukos lauką sukuria vidinės tarpnukleoninės jėgos. Nukleonai branduolyje dažnai susiduria vienas su kitu ir keičiasi energija. Vidutinis nukleonų laisvasis lėkis mažesnis negu branduolio radiusas.
Dėl šių faktų tenka daryti išvadą, kad nukleonai branduolyje negali judėti nuostoviomis orbitomis ir būti nusakomi ilgai nekintančiais kvantiniais skaičiais, t.y. jie negali pasiskirstyti sluoksniais. Tačiau eksperimentiniai rrezultatai privertė pripažinti sluoksninį modelį.
Jį suformulavo 1949 m. Marija Gepert-Majer (M. Goeppert-Mayer), O. Hakselis (O. Haxel), Dž. Jensenas (J. H. D. Jensen), ir H. Ziusas (H. E. Suess ). Esminį vaidmenį taikant sluoksninį modelį nukleonams vaidina Paulio principas. Šis pprincipas labai apriboja dviejų fermionų sąveikos galimybes, kai jų energijos nedidelės. Iš tikrųjų, nesužadinto branduolio žemiausi energijos lygmenys iki Fermio lygmens yra užpildyti, todėl nukleonų sąveika, kurios metu privalo pasikeisti jų energija, neįmanoma. Nukleonai yra priversti pasilikti tose pačiose būsenose, jų laisvasis lėkis yra didesnis negu branduolio skersmuo ir todėl galima apibrėžti jų nuostovias judėjimo orbitas, bei kvantinius orbitinio momento, sukinio ir pilnutinio momento skaičius.
Pagrindinis faktas, kuriuo remiasi sluoksninis branduolio modelis, yra vadinamųjų magiškųjų protonų ir neutronų skaičių egzistavimas. Branduoliai, kurių protonų arba neutronų (o ypač jeigu abiejų iškart) skaičius lygus 2, 8, 20, 50, 82, 126, išsiskiria didesniu stabilumu, paplitimu gamtoje ir dar kai kuriomis kitomis tik jiems būdingomis savybėmis. Magiškuosius skaičius 1934 m. nustatė V. Elzaseris (V. EElsasser) ir A. Bartletas (A. Bartlett).
Magiškųjų skaičių egzistavimą grindžia tokie eksperimentiniai faktai:
didesnis branduolių paplitimas 2.1.1 pav.
2.1.1. pav. Vidutinių ir sunkiųjų branduolių santykinis paplitimas gamtoje
branduolių masės yra mažesnės negu jų artimiausių kaimynų
didžiausia, lyginant su kaimyniniais branduoliais neutrono atskyrimo energija
daug didesnė pirmosios sužadintos būsenos energija 2.1.2 pav.
2.1.2 pav. Pirmosios sužadintos būsenos energijos įvairiems izotopams
Magiškieji branduoliai turi užpildytus sluoksnius ir dėl to išsiskiria dideliu nuostovumu, panašiai kaip inertinės dujos, kurių atomuose elektronų sluoksniai yra užpildyti.
2.2. Branduolio energijos lygmenys
Sluoksninį branduolio modelį galima fformuluoti todėl, kad daugelio dalelių branduolyje uždavinys gali būti performuluojamas į viendalelinį. Vidurkinant atskirus artiveikius taprnukleoninius sąveikos potencialus, susidaro beveik vienodas visiems nukleonams traukos potencialas (potencinė duobė), kuriame nukleonai apytiksliai nagrinėjami kaip nepriklausomos dalelės.
Nagrinėkime sferinį sluoksninį modelį, kai nukleonai yra sferiškai simetriškoje potencinėje duobėje, o duobės pavidalas parenkamas artimiausias realiam branduoliniam – vadinamasis Vudo (R. Wood) ir Sakso (R. Sachs) potencialas.
,
2.2.1
čia V0 = 40-50MeV, R-branduolio radiusas, a 0,55fm.
Parinkus modelinį potencialą, galima spręsti Šredingerio lygtį. Jeigu – branduolio hamiltonianas, o – atskiro nukleono hamiltonianas, tai nuostovioji Šredingerio lygtis branduoliui
,
2.2.2
o vienam nukleonui
,
2.2.4
Vieno nukleono banginė funkcija, nusakanti jo orbitinį judėjimą,
,
2.2.5
priklauso nuo trijų kvantinių skaičių: n = 1,2,3,. – radialinis kvantinis skaičius, L – orbitinis judėjimo kiekio momento kvantinis skaičius, m – jo projekcija į z ašį. Apibrėžtai L vertei nukleono energija tuo didesnė, kuo didesnis n.
Kaip ir atomo elektronams, nukleono būsena priklauso nuo jo orbitinio ir sukinio momentų savitarpio orientacijos. Nukleonų sukinio ir orbitos momentų sąveiką nusako priedas prie branduolio potencialo (2.2.1.). Tuomet, visas branduolio potencialas tampa
,
2.2.6
čia V1 – Vudo ir Sakso potencialas, o V2 < 0.
Įvertinus (2.2.6) potencialą, nukleonų lygmenys su apibrėžta L verte suskyla į ddu pagal pilnutinį nukleono kvantinį skaičių j = L ± ½. Lygmuo, kurio j = L + ½, nusileidžia gilyn, nes vienodos sukinio ir orbitinio momento orientacijos nukleonas stipriau sąveikauja su kitais. Potencialo (2.2.6) sąlygota nukleono energijos lygmenų schema pateikta 2.2.1 pav.
2.2.1 pav. Branduolio energijos lygmenų schema, įskaitant L ir S sąveiką [4]
Šiame paveiksle matyti, kad skilimo pagal pilnutinį momentą j dydis priklauso nuo L vertės ir yra tuo didesnis, kuo L didesnis. Pradedant nuo L = 4, skilimas toks didelis, kad žemesnysis lygmuo su maksimaliomis j ir L vertėmis nusileidžia žemyn iki ankstesniojo sluoksnio.
Sluoksniai ir posluoksniai užpildomi nukleonais prisilaikant Paulio principo. Pagrindinėje būsenoje būna užimti žemiausi lygmenys. Protonų ir neutronų viendaleliai lygmenys užpildomi atskirai ir nepriklausomai. Parodyta 2.2.1 pav. pilnaviduriais ir tuščiaviduriais skrituliukais branduolio 16O užpilda yra teisinga tik apytiksliai. Dėl Kulono sąveikos protonų viendaleliai lygmenys pasislenka aukštyn, lyginant su neutronų lygmenimis, protonų potencinė duobė yra seklesnė ir ji papildyta už branduolio ribų esančia Kulono potencialo asimptotika. Tai matyti 2.2.2 pav.
16O branduolio energijos lygmenų diagrama, įskaitant Kulono sąveiką tarp protonų
Kai Z ir N didesni negu 50, lygmenų seka ir jų užpildymo tvarka protonams ir neutronams yra skirtingi: neutronai anksčiau užpildo lygmenis su mažesnėmis pilnutinio momento jj vertėmis. 2.2.1 lentelėje pateiktos protonų ir neutronų energijos lygmenų sekos ir atitinkami nukleonų skaičiai lygmenyse gerai dera su eksperimentiniais duomenimis [4].
Branduolio sukinį ir lyginumą viendalelis sluoksninis modelis nusako tiksliai trim atvejais:
Kai branduolio polygmenys pilnai užpildyti. Polygmenį nusako pilnutinis momentas J, ir jeigu jis užpildytas, tai jame kiekvienam nukleonui su +jz projekcijos verte atsiras nukleonas su – jz verte, o suminė polygmenio j ir viso branduolio J vertės lygios nuliui. Užpildyto polygmenio lyginumas teigiamas, nes jį sudaro lyginis skaičius 2j+1 nukleonų, kurių lyginumai vienodi.
2.2.1 lent. Protonų ir neutronų lygmenų užpildymo tvarka
Kai branduolys turi vienu nukleonu daugiau negu reikia pilnai užpildyti tam tikrą skaičių polygmenių. Užpildytų polygmenių branduolio būsena yra 0+, todėl viso branduolio sukinys ir lyginumas šiuo atveju lygus to vienintelio išorinio nukleono sukiniui ir lyginumui. Jeigu to nukleono būsena yra nLj, tai branduolio sukinys lygus j, lyginumas – (-1)L.
Kai branduolio išoriniam polygmeniui trūksta vieno nukleono. Jeigu trūkstamo nukleono būsena yra nLj, tai polygmenio sukinį ir lyginumą galima rasti iš sąlygos, kad užpildyto polygmenio sukinys lygus nuliui, o lyginumas teigiamas. Užpildyto polygmenio būsena yra tokia pati, kaip ir trūkstamo nukleono. Susidariusi situacija pagal analogiją su kristalo elektronų būsenomis vadinama skyle.
Visi žinomi eksperimentai patvirtina teorinio modelio išvadą, kad
pagrindinėje branduolio būsenoje vieno tipo nukleonai jungiasi poromis su priešingų ženklų pilnutinio momento projekcijomis jz . Tokių porų suminis momentas lygus nuliui. Atsižvelgiant į tai galima suformuluoti taisykles sukinių ir lyginumu vertėms branduolio pagrindinėje būsenoje nustatyti:
lyginiam lyginiam nuklidui JP lygus 0+
nelyginiam nuklidui J=j, P=(-1)L
nelyginiam nelyginiam nuklidui ;
čia j, L pilnutiniai ir orbitiniai nelyginio nukleono momentai.
Empirinė jungimosi į poras taisyklė papildo centrinį branduolio potencialą V(r) papildomu liekamuoju potencialu Vliek tokiu, kad pagrindinėje branduolio būsenoje vienos rūšies nukleonų porai viename polygmenyje eenergiškai naudinga turėti lygų nuliui suminį pilnutinį momentą. Taigi Vliek panaikina nukleonų poros išsigimimą pagal jų suminį J (0J2j) taip, kad žemiausias lygmuo atitinka vertę J0. Šis papildomas potencialas padidina branduolio ryšio energiją 1-3 MeV ir yra įtrauktas į empirinę Vaiczekerio formulę, kaip porų susidarymo narys.
Viendalelinio sluoksninio modelio rėmuose sužadintų branduolio būsenų susidarymas aiškinamas kaip vieno ar kelių nukleonų buvimas aukštesnės energijos būsenose. Paprasčiausias spinduliavimo spektras atitinka tokius sužadintus branduolius, kurie turi vieną nukleoną virš užpildyto posluoksnio arba vieną skylę. ŽŽemiausi tokio branduolio sužadinimai susidaro, kai išorinis nukleonas peršoka į aukštesnius polygmenis, o skylė – gilyn į žemesniuosius.
