Kvantinės statistikos ir kietojo kūno fizikose elementai

7. Kvantinės statistikos ir kietojo kūno fizikose elementai

Kvantinės statistikos samprata. Pagal klasikinę statistinę fiziką, bet

kokią materialiąją dalelę, pavyzdžiui elektroną, galima atskirti (

atpažinti ) nuo visų kitų tokių pačių dalelių. Kvantinė statistika

remiasi tapačių dalelių neatskiriamumo principu. Jį reikėtų suprasti

taip: jeigu kvantinė sistema, pavyzdžiui, sudaryta iš daugybės elektronų,

kurių masės, krūviai, sukiniai, kvantiniai skaičiai vienodi, jokiais

eksperimentais jų negalima atskirti vieno nuo kito. Klasikinė statistinė

fizika teigia, kad juos galima atskirti pagal jų padėtį erdvėje ir

impulsus. Ši statistika, dar vadinama Maksvelio ir Bolcmano statistika,

taikoma vadinamosioms neišsigimusioms dujoms. Kvantinėje mechanikoje

mikrodalelės trajektorija iš viso neturi prasmės ( tai išplaukia iš

Heizenbergo nelygybės ), jos būsena aprašoma bangine funkcija, iš kurios

galima apskaičiuoti tik tikimybę dalelę surasti vieno ar kito erdvės

taško aplinkoje. Kvantinė statistika taikoma išsigimusioms

kvantmechaninių dalelių dujoms. Dėl tokių dalelių prigimties skirtingumo

taikomos dvi kvantinės statistikos: fermionams – Fermio ir Dirako,

bozonams – Bozės ir Einšteino.

7.1. Neišsigimusios ir išsigimusios dujos

Kai nagrinėjama vvienarūšių ( tapatingųjų ) mikrodalelių, kurių skaičius N

>> 1, sistema, tokia sistema dažnai vadinama dujomis ( elektroninėmis,

neutroninėmis ir pan. ). Pagal savo elgseną “kolektyve” visos

mikrodalelės skirstomos į dvi grupes. Dalelėms, kurių sukinio kvantinis

skaičius s yra pusinis, (( s =1/2; 3/2.), galioja Paulio draudimo

principas – vienoje kvantinėje būsenoje negali būti dviejų ir daugiau

dalelių, turinčių visus tuos pačius kvantinius skaičius. Taigi, šios

dalelės – elektronai, protonai, neutronai ir kt. – yra “individualistės”.

Joms galioja kvantinė Fermio ir Dirako statistika, todėl jos dar

vadinamos fermionais.

Dalelės, kurių sukinio kvantinis skaičius s =0;1;2.), elgiasi kitaip

nei fermionai: kiekvienoje kvantinėje būsenoje šių dalelių gali būti bet

kiek. Taigi, jos yra “kolektyviškos”,joms galioja Bozės ir Einšteino

statistika, o pačios vadinamos bozonais. Tai fotonai, fononai, mezonai ir

kt.

Mikrodalelių fermioniškumas ar bozoniškumas išryškėja tada, kai dalelės

pretenduoja į tą pačią būseną. Sakykime, tapatingųjų dalelių skaičius N,

o joms skirta G skirtingų būsenų. Dalelių susitikimo vienoje būsenoje

tikimybę apibūdina santykis N/G. Jei GG>>N, tuomet N/G<<1 ( * ), ir

susitikimo vienoje būsenoje tikimybė nykstamai maža. Tokios dujos,

kurioms galioja minėta nelygybė, vadinamos neišsigimusiomis, o pati

nelygybė – neišsigimimo sąlyga. Klasikinių dalelių energijos yra

nekvantuotos, todėl jų galimų būsenų G( ( . Tokių dalelių dujoms visada

tenkinama minėtoji nelygybė, jos visada neišsigimusios.

Mikrodalelių parametrai gali kisti diskretiškai, todėl jų būsenų

skaičius gali būti baigtinis, o santykis N/G ( 1. Tokiu atveju

tapatingųjų dalelių susitikimo vienoje būsenoje tikimybė didelė, tokios

dalelių sistemos vadinamos išsigimusiomis.

7.2. Pasiskirstymo funkcija

Pasiskirstymo funkcija išreiškia dalelių pasiskirstymą pagal būsenas,

pavyzdžiui, energijas W. Pasiskirstymo funkcija f(W) parodo vidutinį

dalelių skaičių būsenoje W. Fermionams ji dar parodo būsenos užpildymo

tikimybę ir tenkina nelygybę 0( f(W) (1. Pavyzdžiui, f(W) =1/2 reiškia ,

kad pusę laiko ši būsena yra užimta fermiono, o kitą pusę – ne. Labai

mažame energijų intervale W – W+dW galimų būsenų skaičius dG(W)(dW. Įrašę

nuo W priklausantį proporcingumo koeficientą g(W), gauname:

[pic],arba [pic].

Dydį g(W) vadiname būsenų tankiu. Jis lygus būsenų skaičiui,

tenkančiam vienetiniam energijų intervalui. Sistemos dalelių skaičius dN,

turintis energijas intervale W –W+dW,apskaičiuojamas taip:

[pic]

Dydis dN dar vadinamas pilnąja statistinio pasiskirstymo funkcija. Taigi,

norint rasti dN, būtina žinoti būsenų tankį ir pasiskirstymo funkciją.

7.3. Fazinė erdvė

Fizikinių objektų visuma vadinama fizikine makroskopine sistema.

Sakysime, ją sudaro N dalelių. Sistemos būsenai aprašyti mikroskopiniais

parametrais reikės 6 N kintamųjų, kadangi kiekvienos dalelės būsena

nusakoma trimis erdvinėmis koordinatėmis x, y, z ir trimis judesio kiekio

projekcijomis px, py, pz. Visų dalelių koordinatės ir judesio kiekiai

sudarys 6 N-matę fazinę erdvę. Šios erdvės koordinačių ašių skaičius būtų

lygus 6 N. Kiekvienos dalelės mikrobūseną atitiks taškas x, y, z, px, py,

pz – fazinis taškas. Taigi, N nesąveikaujančių tapatingųjų dalelių būsena

nusakoma N fazinių taškų rinkiniu. Padalinkime fazinę erdvę į mažus 6N-

mačius elementus, kurių kiekvieno tūris [pic]

[pic], ( a )

čia[pic] – realios erdvės tūrio elementas, [pic] – impulsų erdvės

elementas. Klasikinės dalelės erdvinės koordinatės ir impulso projekcijos

gali kisti tolydžiai, t. y. tūris [pic] gali būti nykstamai mažas.

Laisvųjų dalelių ( jų neveikia jėgų laukas, todėl jų potencinė energija

lygi nuliui ) būsenai aprašyti patogu ir pakanka naudotis trimate impulsų

erdve

[pic] ( b )

čia V – dalelių sistemos tūris.

Kvantinės dalelės pasižymi banginėmis savybėmis. Kadangi joms taikomas

neapibrėžtumo principas, jų fazinė erdvė į tūrio elementus dalijama kiek

kitaip. Kvantinės dalelės būsenos x, y, z, px, py, pz negalima atskirti

nuo būsenos x+dx, +dy, z+dz, px+dpx, py+dpy, pz+dpz, jeigu sandauga [pic]

mažesnė už h3 ( h – Planko konstanta ). Ši sandauga yra fazinės erdvės

tūrio elementas. Taigi, fazinės erdvės elementarusis tūris

[pic] [pic] (c )

aprašo vieną kvantinės dalelės būseną ir jis vadinamas fazinės erdvės

elementariuoju narveliu. Laisvųjų bei klasikinių mikrodalelių [pic],

todėl jų impulsų erdvės elementarusis narvelis

[pic] ( d ).

Būsenų tankis. Apskaičiuokime energijų W – W+dW intervalo

laisvosios mikrodalelės kvantinių būsenų skaičių. Dalelės energiją ir

impulsą sieja lygybė

[pic], todėl [pic] ( 1 )

Remdamiesi (( 1 ), impulsų erdvėje brėžiame spindulių p ir p+dp

koncentrinius sferinius paviršius. Jų ribojamo sferinio sluoksnio tūris

[pic], ( 2 )

Šiame tūryje telpančių skirtingų kvantinių būsenų ( elementariųjų narvelių

)skaičius

[pic], ( 3 )

Kvantinės dalelės būsenų tankis, atsižvelgus į tai, kad [pic]

[pic] ( 4 )

Iš ( 1 ) ir ( 4 ) galimą būsenų skaičių išreiškiame energija

[pic] , ( 5 )

o būsenų tankį

[pic] ( 6 )

Reikia įsidėmėti, kad elektronų būsenų tankis yra dvigubai didesnis, nes

kiekvienas elementarusis narvelis atitinka dvi elektrono būsenas,

besiskiriančias erdvine sukinio orientacija

[pic] ( 7 ).

Idealiųjų dujų neišsigimimo kriterijus. ( 5 ) suintegravę rėžiuose nuo 0

iki W, gautume būsenų skaičių šiame intervale

[pic] ( 8 )

Idealiųjų dujų molekulės energija [pic], todėl [pic][pic]. Šią išraišką

įrašę į (*), gauname tokią neišsigimimo sąlygos išraišką

[pic]

[pic] ( 9 )

Pavyzdžiui azoto dujos normaliomis sąlygomis yra neišsigimę ( kairioji

nelygybės pusė joms ≈ 10-6 ). Vadinasi, joms gerai turi tikti Maksvelio ir

Bolcmano statistika. Apskaičiavę kairiąją nelygybės pusę elektroninėms

dujoms metale, pamatytume, kad jos neišsigimę bus tik tada, kai temperatūra

viršys 105 K. Taigi, visais realiais metalo egzistavimo atvejais

elektroninės dujos yra išsigimę, ir joms reikia taikyti Fermio ir Dirako

statistiką.

Iš tos pačios nelygybės seka, kad neišsigimusią būseną galima pasiekti

keliant dujų temperatūrą T

ir mažinant jų koncentraciją [pic]. Silpnai

legiruotuose puslaidininkiuose laisvųjų elektronų koncentracija paprastai

neviršija 1022 m-3, todėl netgi kambario temperatūroje tokie

puslaidininkiai nėra išsigimę ir jų laisviesiems elektronams galima taikyti

klasikinę Maksvelio ir Bolcmano statistiką.

7.4. Bozės ir Einšteino bei Fermio ir Dirako skirstiniai

Vienu iš pagrindinių kvantinės statistikos, kaip, beje, ir klasikinės

statistikos objektų yra idealiosios dujos. Taip yra todėl, kad daugeliu

atvejų realią dalelių sistemą galima nagrinėti kaip idealiąsias dujas.

Kvantinė mechanika visas mikrodaleles skirsto į dvi grupes: 1)

bozonus, t.y. daleles, aprašomas ssimetrinėmis banginėmis funkcijomis; 2)

fermionus, t.y. daleles, aprašomas antisimetrinėmis banginėmis

funkcijomis. Fermionams galioja Paulio draudimo principas: viename

fazinės erdvės elemente negali būti daugiau kaip vienas fermionas. Bozonų

gali būti daug.

Idealiosios dujos iš bozonų – Bozė – dujos – aprašomos Bozės ir

Einšteino skirstiniu. Bozonų pasiskirstymas pagal energijas išplaukia iš

vadinamojo didžiojo kanoninio Gibso pasiskirstymo teigiant, kad tapačių

bozonų skaičius nagrinėjamoje kvantinėje būsenoje gali būti bet koks:

[pic] ( 10 )

Ši formulė vadinama Bozės ir Einšteino skirstiniu. Ji nusako vvidutinį

bozonų skaičių i – tojoje būsenoje, kurios energija Wi, k – Bolcmano

konstanta, T – termodinaminė temperatūra, ( – cheminis potencialas.

Pastarasis proporcingas sistemos vidinės energijos pokyčiui į sistemą

papildomai įvedus vieną dalelę.

Idealiosios dujos iš fermionų – fermidujos &– aprašomos Fermio ir

Dirako skirstiniu:

[pic]. ( 11 )

Jeigu [pic]((1, tiek Bozės ir Einšteino, tiek Fermio ir Dirako

skirstiniai pavirsta klasikiniu Maksvelio ir Bolcmano skirstiniu

[pic], kur [pic].

Taigi, kai temperatūra aukšta, abiejų tipų „kvantinės“ dujos panašios

į klasikines dujas.

7.5.Elektroninės dujos. Fermio energija ir lygmuo

Laidumo arba laisvieji elektronai kristale ar plazmoje vadinami

elektroninėmis dujomis. Elektronų pasiskirstymui galioja Paulio

principas: vienoje kvantinėje būsenoje negali būti dviejų ar daugiau

elektronų, turinčių visus tuos pačius kvantinius skaičius. Taigi pagal

kvantinę teoriją netgi absoliutinio nulio temperatūroje negali būti

užpildytas vien tik žemiausias energijos lygmuo. Paulio principas verčia

elektronus „energijos laiptais“ kopti aukštyn.

Kadangi pagal kvantinę mechaniką elektroninės dujos yra fermionai( jų

sukinio kvantinis skaičius s = 1/2 ), jų pasiskirstymas ppagal energijas

nusakomas Fermio ir Dirako skirstiniu. Jeigu elektroninių dujų cheminį

potencialą pažymėsime (0, vidutinį elektronų skaičių energijų intervale

nuo W iki W+dW išreikšime taip:

[pic]

Iš ( 11 ) lygybės seka, kad kai elektroninių dujų temperatūra lygi 0K,

skirstinys fF(W)= 1, jeigu W < (0, ir fF(W) = 0, jeigu W > (0. Šios

funkcijos grafikas pateiktas 1 pav. Matome, kad kai energija lygi

cheminiam potencialui, skirstinys tampa lygiu nuliui. Tai reiškia, kad 0K

temperatūroje visi energetiniai lygmenys iki llygmens, kurio energija lygi

cheminiam potencialui, imtinai yra užpildyti elektronais. Visi aukštesnių

energijų lygmenys yra laisvi. Taigi, cheminis potencialas (0 ir yra ta

didžiausia energija, kurią gali turėti elektronas 0K temperatūroje. Ši

didžiausia galima energija vadinama Fermio energija (WF = (0). Tai

įvertinę, Fermio ir Dirako skirstinį užrašome taip:

[pic]

Aukščiausias energijos lygmuo, kurį užima elektronai 0K temperatūroje,

vadinamas Fermio lygmeniu. Šis lygmuo bus tuo aukštesnis, kuo didesnis

bus elektroninių dujų tankis. Taigi, elektrono išlaisvinimo iš metalo

darbą reikia atskaitinėti ne nuo potencialo duobės dugno, kaip tai daro

klasikinė teorija, o nuo Fermio lygmens.

Pagal klasikinę teoriją 0K temperatūroje laisvojo elektrono vidutinė

energija turėtų būti lygi nuliui ( [pic] ). Kvantinėje mechanikoje taip

nėra. Vadinasi, žemose temperatūrose elektroninėms dujoms klasikinė

fizika netinka. Dėl to tokios dujos vadinamos išsigimusiomis.. Ribą, virš

kurios kvantiniai efektai nustoja vyrauti, išreiškia išsigimimo

temperatūra T0. Ji surandama iš lygybės [pic]. Elektronams metale T0 (

104K. Tai reiškia, kad elektroninės dujos kietuosiuose metaluose išsigimę

visada.

Aukštesnėse už 0K temperatūrose elektronai gali įgyti ir didesnes už

Fermio lygmenį energijos vertes ( 2 pav.), kadangi jie turi ir šiluminės

energijos, todėl tam tikros dalies elektronų suminė energija viršija

Fermio lygmenį.Apskaičiavę gautume, kad jei elektronų energija lygi

Fermio lygmeniui ( WW=WF ), fF(W) = 1/2. Taigi, bendriausiu atveju Fermio

energija apibrėžiama taip: tai energija lygmens, kurio užpildymo tikimybė

lygi 1/2.

7.6. Fononai. Metalų šiluminė talpa ( 20-tas klausimas )

Kietuosiuose kūnuose šiluminiame judėjime dalyvauja kristalą

sudarantys struktūriniai elementai – atomai, molekulės, jonai, o

metaluose dar ir laisvieji elektronai. Dėl to kietųjų kūnų vidinė

energija bendruoju atveju susideda iš viejų dedamųjų: 1) gardelės

vidinės energijos; 2) elektroninių dujų (metaluose) vidinės energijos.

Trumpai paanalizuosime pirmąją dedamąją.

Kietojo kūno gardelės vidinė energija lygi gardelės mazguose esančių

dalelių, vadinamų osciliatoriais, svyravimo energijų sumai. Kiekvieno

osciliatoriaus energija lygi jo kinetinės ir tarpusavio sąveikos

potencinės energijos sumai. Cikliniu dažniu ( virpančio osciliatoriaus

energijos pokytis [pic] (čia n = 1, 2, 3,. – sveikasis skaičius) yra

kvantuotas. Taigi gardelės energija gali kisti tik šuoliais. Mažiausias

osciliatoriaus (gardelės) energijos pokytis vadinamas energijos kvantu.

Kietojo kūno dalelėsveikia viena kitą stipriomis ryšio jėgomis, todėl

jų virpesių pobūdis yra sudėtingas. Kadangi dalelių tankis milžiniškas (

[pic]1028 m-3 ), jų individualų judėjimą aprašyti neįmanoma. Vietoje jo

nagrinėjamas visų gardelės dalelių kolektyvinis virpejimas. Tarkime, kad

absorbavus šviesos fotoną ar gavus šiluminių virpesių energijos iš

kaimynų

osciliatoriaus energija pakito šuoliu. Tuomet pakinta ir osciliatoriaus

virpesių pobūdis – osciliatorius susižadins. Dėl dalelių sąveikos bus

žadinami iir kaimyninių dalelių virpesiai – kristalu sklis tamprioji

banga, vadinamoji šiluminė banga. Šiluminių bangų energija kinta

diskrečiai,o minimalus energijos pokytis vadinamas fononu.Taigi,

sužadintas osciliatorius savo perteklinę energiją perduoda šiluminei

bangai, t.y. fononui, „sukurdamas“ vieną, o kartais ir kelis fononus.

Pagal de Broilį kiekvieną bangą galima pakeisti tam tikra kvazidalele

(t.y. netikra dalele). Tada tampriąją bangą atitiks kvazidalelė, kuri ir

vadinama fononu.Fonono energija lygi osciliatoriaus kvanto energijai:

[pic]

Naudojant fononų sąvoką paprasčiau tirti kietojo kūno savybes. Atomai,

molekulės ar jonai yra kietojo kūno struktūriniai vienetai, o fononai

atlieka judesio jame nešėjų vaidmenį, t.y. dalelių šiluminiai virpesiai

pakeičiami fononų srautu. Fononų srautas vadinamas fononinėmis dujomis.

Fononai, kaip ir kitos bangos, aprašomi tampriąsias bangas

apibūdinančiais parametrais:

a) fononų dažnis ω lygus jį sukūrusių osciliatorių virpesių dažniui. O

jis priklauso nuo gretimų struktūrinių dalelių padėties, kuri yra

atsitiktinė. Taigi, fononų dažnis yra įvairus, tačiau jis negali

viršyti didžiausio dažnio ωm, vadinamojo Debajaus dažnio:

[pic]

Čia N – dalelių skaičius kristale, V – jo tūris, u – fononų fazinis

greitis.

b) fononų bangos ilgis [pic]yra ribotas: [pic]. Iš gardelės diskretinės

struktūros išplaukia, kad joje negali susidaryti trumpesnės už [pic]

bangos (a – gardelės konstanta). Fononų galima ilgiausia banga [pic] (L –

kūno didžiausias tiesinis matmuo).

Šiluminės talpos sąvoka. Jeigu kūnui suteikus šilumos kiekį dQ jo

temperatūra pakyla dydžiu dT tai dydis [pic] vadinamas kūno šilumine

talpa. Ji priklauso nuo paties kūno ir šildymo sąlygų. Jei temperatūrų

pokyčiai nedideli, šiluminis plėtimasis nežymus, todėl izobarinė šiluminė

talpa Cp ir izochorinė CV beveik lygios. Jū skirtumas kambario

temperatūroje neviršija 5%. Jei šiluminio plėtimosi nepaisoma (dV = 0),

tai i6 pirmojo termodinamikos d4sniogauname, kad kirtojo k8no 6ilumin4

talpa

[pic]

Čia dU – kūno vidinės energijos pokytis.

Gardelės šiluminė ttalpa. Iš fononinio modelio išplaukia, kad kristalo

gardelės vidinė energija lygi fononinių dujų energijai, t.y. visų

kristalo fononų energijų sumai. Ji išreiškiama specialiosiomis

funkcijomis, tačiau žemų arba aukštų temperatūrų srityse ją galima

nusakyti elementariosiomis funkcijomis.

1 atvejis. Žemose temperatūrose (T< nuo temperatūros nepriklauso

ir apytiksliai lygus gardelės konstantai a (≈ 10-10 m). P.Drudė gavo

tokią metalų savitojo laidumo išraišką:

[pic]

Čia n – laisvųjų elektronų koncentracija, m – elektrono masė. Elektronų

šiluminio judėjimo vidutinis greitis ~[pic], todėl savitasis laidumas

[pic] ~ [pic], o savitoji varža [pic]~ [pic]. Eksperimentai rodo, kad

[pic] ~ T.

Šį teorijos ir eksperimento neatitikimą bandė ištaisyti H.A.Lorencas

1905 m. Jis elektronų dreifo greičiui skaičiuoti taikė Maksvelio

skirstinį, tačiau gavo lygiai tokią pačią dydžio [pic] priklausomybę nnuo

temperatūros.

Toliau metalų elektrinio laidumo teoriją tobulino vokiečių fizikas

A.Zomerfeldas (1928 m.). Jo teorijoje metalo laisvieji elektronai laikomi

kvantinėmis dujomis, o gardelė – fononinėmis dujomis. Pagal laidumo

kvantinę teoriją elektriniame laidume dalyvauja tik arti Fermio WF

lygmens esantys elektronai. Sukūrus išorinį elektrinį lauką, tik jie gali

dreifuoti kristale, pakildami į aukštesnius laisvus energijos lygmenis.

Šie elektronai sudaro nedidelę laisvųjų elektronų dalį. Todėl Zomerfeldo

teorijoje vidutinis laisvasis lėkis ir vidutinis dreifo greitis nusako

Fermio energijos elektronus:

[pic]

čia n – laidumo elektronų koncentracija, – elektronų, kurių energija

lygi Fermio energijai, vidutinis laisvojo lėkio ilgis, – tokių

elektronų vidutinis šiluminis greitis. Metaluose jis siekia apie 106 m/s

ir nuo temperatūros beveik nepriklauso.

Elektronų vidutinį laisvąjį lėkį Zomerfeldo teorija sieja su elektronų

ir fononų susidūrimais. Pastarųjų tikimybė tiesiog proporcinga fononų

tankiui nf, todėl dydis ~ 1/nf. Kai metalo temperatūra daug didesnė

už Debajaus temperatūrą TD, tuomet fononų tankis ~ T . Tuomet elektronų

vidutinis laisvasis kelias < lF > ~1/T, vadinas, laidumas [pic] ~ 1/T

(arba savitoji varža [pic] ~ T). Taigi, dydžių [pic] ir [pic]

priklausomybės nuo temperatūros atitinka bandymų rezultatus.

Žemose temperatūrose (T << TD) fononų tankis nf ~ T3 bei kuriami

ilgųjų bangų fononai. Jų impulsai yra maži, todėl eelektronų sklaida bus

nežymi. Dėlšių dviejų reiškinių elektronų vidutinis laisvasis lėkis

proporcingas T-5, o savitoji varža [pic] ~T5. Taigi, dėl Fermio elektronų

fononinės sklaidos 0K temperatūroje metalų savitoji varža [pic] Taip ir

būtų idealiame, neturinčiame defektų kristale. Taigi, tik pritaikius

elektronų sklaidai fononinį aiškinimą, pavyko aprašyti metalų savitosios

varžos priklausomybę nuo temperatūros.

Superlaidumas. Kai kurių metalų savitoji varža žemiau vadinamosios

krizinės temperatūros Tk pasidaro neišmatuojamai maža ([pic]<10-21Ω.m).

Šis 1911 m. Gyvsidabryje aptiktas reiškinys vadinamas superlaidumu.

Žemiausią krizinę temperatūrą turi iridis (1,40K), aukščiausią niobis

(9,22K).

Superlaidumo teoriją 1957 m. Sukūrė JAV fizikai Dž.Bardinas, L.Kuperis

ir Dž.Šriferis. Ji vadinama BKŠ teorija. Superlaidumą ši teorija aiškina

taip. Metalo viduje judantis elektronas poliarizuoja kristalinę gardelę,

t.y. šiek tiek pritraukia teigiamuosius jonus. Taip susidaro teigiamojo

krūvio kvazidalelė – poliaronas. Pagal BKŠ poliaronas gali pritraukti

kitą elektroną, t.y. sudaryti vadinamąją Kuperio porą. Pagal kvantinę

mechaniką porą gali sudaryti tik tie elektronai kurių sukiniai yra

priešingų krypčių, o partneris porai gali būti nutolęs iki 10-6 m.

Kuperio poros sukinys lygus 0, t.y. šis darinys yra bozonas. Dėl to

porų energija gali būti vienoda, o jos gali užimti tą patį energijos

lygmenį. Tokią Kuperio porų visumą vadina Bozės kondensatu. Sukūrus

metale elektrinį lauką, ne atskiros poros, o jų vvisuma dalyvauja krūvio

pernešimo procese. Porų visuma jau negali prarasti energiją mažomis

porcijomis, todėl metalų laidumas pasidaro labai didelis, o savitoji

varža – nykstamai maža.

Elektronų traukos sąveika poroje yra silpna. Norint ją suardyti, porai

reikia suteikti dydžio Wg energiją, kuri vadinama Kuperio poros

energetiniu plyšiu. Jo vertė yra 10-4 ÷ 10-2 eV . Energetinio plyšio

plotis priklauso nuo temperatūros: jai didėjant, plotis mažėja. Kai

temperatūra pasidaro lygi arba didesnė už krizinę, energetinis plyšys

išnyksta, t.y. dėl kristalo gardelės virpesių Kuperio poros suyra.

Metalas iš superlaidininko tampa paprastu laidininku.

Jeigu grynųjų metalų superlaidumas pasiekiamas artimose absoliutiniam

nuliui temperatūrose, tai metalų oksidų krizinė temperatūra ( perėjimo į

superlaidžią būseną ) yra gerokai aukštesnė. 1988 m. pagaminta keramika (

Tl, Ca, Ba, Cu oksidų mišinys ), kurios krizinė temperatūra lygi 125 K.

Šių medžiagų superlaidumo teorija dar nesukurta, tačiau manoma, kad ir

juose srovę perneša Kuperio poros.

7.8. Kristalai. Atomų energijos lygmenų skilimas susidarant kristalui.

Energijos juostos ( 22-as klausimas )

Išsprendę Šrėdingerio lygtį, galėtume surasti kristalo galimų energijų

vertes. Tačiau, kadangi kristalą sudaro daugybė atomų, išspręsti

Šrėdingerio lygtį nėra paprasta. Žymiai paprasčiau Šrėdingerio lygtis

sprendžiama elektronui, judančiam išoriniame elektriniame lauke, t.y.

atomų branduolių ir visų kitų elektronų sukurtame periodiškai kintančiame

lauke.

Įsivaizduokime kkristalo susidarymą iš atskirų atomų. Kol atomai

izoliuoti, t.y. toli vienas nuo kito, jų energetiniai lygmenys sutampa.

Mažėjant atstumui tarp atomų, dėl jų tarpusavio sąveikos, atskirų atomų

energetiniai lygmenys pasislenka, išsiskaido ir išplinta į juostas,

sudarydami taip vadinamą juostinį energetinį spektrą. Atstumai tarp

gretimų suskilusių lygmenų priklauso nuo sąveikos stiprumo, t.y. nuo

atstumo tarp atomų. Nusistovėjus tam tikram atstumui tarp atomų, kristalo

energijos lygmenys susigrupuoja į juostas (1 pav.). Kiekvieną energijos

juostą nusako kvantiniai skaičiai n ir l. Juostos plotis priklauso nuo

atstumo tarp atomų. Energijos lygmenų skaičius juostoje lygus [pic] , nes

atomų skaičius kristale N = ( 1022 ÷1023 ) cm-3. Dėl to atstumai tarp

gretimų energijos lygmenų yra 10-22 ÷ 10-23 eV eilės, taigi, praktiškai

energijos lygmenys susilieja. Tokių energijų juosta vadinama leistine.

Energijų intervalai, skiriantys vieną leistinę juostą nuo kitos, vadinami

draustinėmis juostomis. Draustinėse juostose elektronų būti negali. Tiek

draustinių, tiek leistinių juostų plotis nuo kristalo matmenų

nepriklauso. Kuo silpnesnis valentinių elektronų ryšys su atomų

branduoliais, tuo platesnės leistinės juostos.

7.9.Metalai, puslaidininkiai ir dielektrikai juostinės teorijos požiūriu

( 23-as klausimas )

Atskirų atomų energijos lygmenys elektronais užpildomi remiantis

Paulio ir energijos minimumo principu. Jeigu, pvz., kažkoks atomo lygmuo

pilnai užpildytas elektronais, tai ir iš jo susidariusi juosta taip

pat

bus pilnai užpildyta. Iš neužpildytų lygmenų susidaro neužpildytos, iš

dalinai užpildytų – dalinai užpildytos juostos. Bendruoju atveju

išskiriama valentinė juosta, kuri yra sudaryta iš atskirų atomų vidinių

elektronų sluoksnių energijos lygmenų. Ji elektronais užpildyta pilnai.

Kita juosta, sudaryta iš išorinių elektronų energijos lygmenų, yra arba

dalinai užpildyta, arba laisva. Tai vadinamoji laidumo juosta.

Kristalų elektrinis laidumas priklauso nuo valentinės juostos užpildymo

elektronais ir juostų išsidėstymo (2 pav.). Elektrinio lauko veikiamas,

elektronas laisvojo lėkio nuotolyje įgyja 10-4 ÷ 10-8 eV energiją, taigi

gali ppereiti į tos pačios juostos aukštesnės energijos lygmenį, aišku,

jeigu jis neužpildytas. Tokios energijos pereiti į kitą energijų juostą

nepakanka. Taigi, medžiaga, kurios valentinė juosta užpildyta nepilnai, yra

laidininkas ( Au, Ag, Cu.) (a). Kietasis kūnas bus laidininkas ir tuomet,

kai valentinė ir laidumo juostos persidengs ( Mg, Ca, Zn.) (b). Galimas ir

toks atvejis, kai vietoje dalinai užpildytų dviejų juostų susidaro viena

visiškai užpildyta valentinė ir viena visiškai laisva laidumo juosta, o jas

skiria draustinė juosta (c). Priklausomai nuo pastarosios pločio medžiagos

skirstomos į puslaidininkius ir dielektrikus. JJeigu kristalo draustinės

juostos plotis yra keleto elektronvoltų eilės ( 1 eV=1,6 . 10-19J ),

šiluminio judėjimo energijos nepakanka elektronams peršokti iš valentinės į

laidumo juostą. Toks kristalas yra dielektrikas visame realių temperatūrų

diapazone. Jeigu draustinės juostos plotis [pic], tai jau kambario

temperatūroje laidumo juostos eelektronų koncentracija nėra labai maža,

tokia medžiaga vadinama puslaidininkiu.

7.10. Puslaidininkiai. Savasis puslaidininkių laidumas ( 24-tas klausimas

)

Puslaidininkiai – tai medžiagos, kurių valentinė juosta 0K

temperatūroje pilnai užpildyta ir nuo laidumo juostos atskirta gana

siaura ([pic]) draustine juosta. Puslaidininkiais tokios medžiagos

vadinamos dėl to, kad pagal laidumą jos yra tarp laidininkų ( metalų ) ir

dielektrikų. Puslaidininkiai yra kai kurie IV, V ir VI grupių elementai

–Si, Ge, As, Se, Te ir jų cheminiai junginiai. Skiriamas savasis ir

priemaišinis puslaidininkių laidumas. Savuoju laidumu pasižymi chemiškai

gryni puslaidininkiai – Si, Ge, InSb, GaAs.). 0K temperatūroje gryni

puslaidininkiai yra dielektrikai. Keliant temperatūrą, kai kurie

elektronai iš viršutinių valentinės juostos lygmenų gali peršokti į

apatinius laidumo juostos lygmenis (3 pav.). Sukūrus puslaidininkyje

elektrinį llauką, šie elektronai ima judėti prieš lauko kryptį, sukurdami

elektros srovę. Elektronui iš valentinės peršokus į laidumo juostą,

valentinėje juostoje lieka vakansija, t.y. vadinamoji “skylutė”. Jeigu

puslaidininkyje sukurtas elektrinis laukas, skylutės vietą gali užimti

elektronas iš gretimo energijos lygmens, o jo buvusioje vietoje atsiras

skylutė. Taigi, skylutės slenka elektrinio lauko kryptimi, elektronai –

prieš. Dėl to grynuosiuose puslaidininkiuose stebimas skylinis ir

elektroninis laidumas. Elektronų koncentracija laidumo juostoje ir

skylučių valentinėje yra lygios:

[pic]

Srovės tankis lygus elektronų ir skylių srovių ssumai: [pic]:

[pic]

čia un ir up – elektronų ir skylių judriai, [pic] – puslaidininkinės

medžiagos savitasis laidumas, [pic]- elektrinio lauko puslaidininkyje

stipris.

Grynuosiuose puslaidininkiuose Fermio lygmuo yra draustinės juostos

viduryje (3 pav ). Energija, reikalinga elektronui perkelti iš valentinės

juostos viršaus į laidumo juostos dugną ( aktyvacijos energija ) yra lygi

draustinės juostos pločiui [pic]. Laidumo juostoje atsiradus elektronui,

valentinėje juostoje buvusioje elektrono vietoje atsiranda skylutė.

Kadangi taip sukuriama krūvininkų pora, vienam krūvininkui sukurti

reikalinga dvigubai mažesnė energija. Taigi, Fermio lygmuo ir yra ta

energija, nuo kurios vyksta elektronų ir skylučių sužadinimas. Kadangi

grynųjų puslaidininkių draustinės juostos plotis [pic], Fermio ir Dirako

skirstinys laidumo juostoje virsta Maksvelio ir Bolcmano skirstiniu (

įvertinome, kad [pic]):

[pic](*).

Kadangi, kaip elektronų koncentracija laidumo juostoje, taip ir skylučių

valentinėje proporcingi f(W), puslaidininkinės medžiagos savitasis

laidumas gali būti išreikštas taip:

[pic],

čia γo – konkretų puslaidininkį charakterizuojanti konstanta.

Didėjant temperatūrai, puslaidininkių laidumas auga ( metalų –

priešingai ), nes didėja elektronų koncentracija laidumo juostoje.

Vienas iš plačiausiai naudojamų puslaidininkių yra silicis. Tai IV

grupės elementas. Jo išoriniame sluoksnyje yra keturi elektronai,

kovalentinėmis jungtimis susiję su kaimyniniais atomais (4 pav.).

Absoliutinio nulio temperatūroje grynas silicis yra dielektrikas, kadangi

visi valentiniai elektronai sudaro chemines jungtis. Keliant ttemperatūrą,

kai kurios jungtys nutrūksta ir dalis elektronų tampa laisvais, o jų

vietose atsiranda skylutės. Kai puslaidininkyje elektrinio lauko nėra,

tiek laisvieji elektronai, tiek skylutės juda chaotiškai, kai elektrinis

laukas yra, elektronai juda prieš, skylutės elektrinio lauko kryptimi.

Puslaidininkio tūryje greta krūvininkų generacijos vyksta ir

rekombinacija – iš laidumo juostos elektronai, atidavę dalį energijos

gardelei ar išspinduliavę energijos kvantus, sugrįžta į valentinę juostą.

Dėl to kiekvieną temperatūrą atitinka tam tikra elektronų ir skylučių

koncentracija, išreiškiama (*) lygybe.

7.11. Priemaišinis puslaidininkių laidumas ( 25-tas klausimas )

Priemaišinis laidumas realizuojamas dalį kristalinės gardelės mazguose

esančių atomų pakeitus didesnio arba mažesnio valentingumo kitų elementų

atomais. 5 pav. pavaizduota kristalinė gardelė silicio, legiruoto

penkiavalenčiu fosforu. Keturiais valentiniais elektronais fosforas

sudaro kovalentines jungtis su kaimyniniais silicio atomais, penktasis

elektronas lieka nepanaudotas. Normaliose temperatūrose jo šiluminio

judėjimo energijos pakanka atskilti nuo atomo ir tapti laisvu.

Skirtingai nuo savojo puslaidininkių laidumo nagrinėjamuoju atveju

kovalentinė jungtis nenutrūksta ir skylutė neatsiranda. Nors netekęs

elektrono priemaišos atomas turi nesukompensuotą teigiamąjį krūvį, bet

šis krūvis susijęs su atomu ir kristale judėti negali. Žinoma, priemaišos

atomas gali pasigauti prie jo priartėjusį elektroną, bet dėl gardelės

šiluminių svyravimų elektronas tuojau pat išsilaisvins. Taigi

puslaidininkyje, legiruotame didesnio valentingumo priemaišomis yra tik

vieno tipo judrieji kkrūvininkai – elektronai. Sakoma, kad tokio

puslaidininkio laidumas yra elektroninis arba n-tipo, o tokį laidumą

sukuriančios priemaišos – donorinės.

Panagrinėkime laidumą, kai legiruojančios priemaišos valentingumas yra

mažesnis. 6 pav. pavaizduota kristalinė gardelė silicio, legiruoto

trivalenčiu boru. Trijų valentinių boro elektronų nepakanka jungtims su

kaimyniniais silicio atomais sudaryti. Dėl to viena jungtis lieka

neužpildyta ir bet kuriuo metu į ją gali patekti elektronas iš kaimyninės

jungties. Elektronui užpildžius jungtį, jo buvusioje vietoje atsiranda

skylutė, kurios padėtis vėlgi gali kisti, t.y. skylutė gali judėti

kristalo tūryje. Priemaišos atomas, prisijungęs papildomą elektroną, turi

nesukompensuotą neigiamąjį krūvį, tačiau pastarasis surištas su atomu ir

srovės pernešime nedalyvauja. Taigi puslaidininkyje, legiruotame mažesnio

valentingumo priemaišomis, taip pat yra tik vieno tipo judrieji

krūvininkai – skylutės. Toks laidumas vadinamas skyliniu, pats

puslaidininkis – p-tipo, o tokį laidumą sąlygojančios priemaišos –

akceptorinėmis.

Tiek donorinės, tiek akceptorinės priemaišos iškreipia gardelės

elektrinį lauką, dėl ko kristalo draustinėje juostoje atsiranda

priemaišiniai lygmenys. Fermio lygmuo n-tipo puslaidininkiuose yra

viršutinėje draustinės juostos pusėje, p-tipo puslaidininkiuose –

apatinėje draustinės juostos pusėje (7 pav.). Kylant temperatūrai, Fermio

lygmuo abiejų tipų puslaidininkiuose pasislenka link draustinės juostos

vidurio.

Jeigu donoriniai lygmenys išsidėstę arti valentinės juostos viršaus (

o tai būna tada,kai penktasis valentinis elektronas stipriai susijęs su

savo

atomu ), tokių priemaišų įtaka puslaidininkio laidumui nežymi. Visai

kitaip yra tada, kai donoriniai lygmenys arčiau laidumo juostos dugno (7a

pav.). Šiuo atveju iš donorinio lygmens pereiti į laidumo juostą

elektronui reikia žymiai mažiau energijos. Tokios energijos elektronas

turi įprastose temperatūrose.

Akceptorinės priemaišos ženklią įtaką laidumui daro tuomet, kuomet jų

lygmenys yra netoli valentinės juostos viršaus (7b pav.). Iš valentinės

juostos į akceptorinį lygmenį perėjus elektronui, valentinėje juostoje

atsiranda skylutė.

Keliant puslaidininkio temperatūrą, priemaišinių krūvininkų

koncentracija greitai pasiekia soties vertę. ttai reiškia, kad

atsilaisvina praktiškai visi donoriniai lygmenys arba elektronais

užsipildo visi akceptoriniai lygmenys ( p-tipo puslaidininkiuose ). Be

to, kylant temperatūrai, vis labiau reiškiasi ir savasis laidumas,

sąlygojamas elektronų šuolių iš valentinės į laidumo juostą.Žemų

temperatūrų srityje vyrauja priemaišinis laidumas.

7.12. p-n sandūra

Sakysime, sudaromas geras p ir n tipų puslaidininkių kontaktas.

Pažymėsime, kad joks mechaninis sujungimas gero kontakto neužtikrina.

Gerą kontaktą, pvz., galima gauti į n-tipo silicį įlydžius indį, kuris

siliciui yra akceptorinė priemaiša. Trumpai aptarkime pn sandūroje

vykstančius fizikinius procesus. Sakykime, n-tipo puslaidininkio

išlaisvinimo darbas An, Fermio lygmuo WFn, p-tipo – atitinkamai Ap ir WFp

(8 pav.). Elektronai iš n-tipo puslaidininkio difunduos į p-tipo

puslaidininkį ( nes ten jų koncentracija maža ), skylutės – iš p į nn.

Elektronai p-tipo puslaidininkyje rekombinuoja su skylutėmis. Taip

susidaro storio d2 nuskurdintas sluoksnis. n-tipo puslaidininkyje

analogiškai susidaro nuskurdintas elektronais d1 storio sluoksnis. Tiek

vienas, tiek antras nuskurdintieji sluoksniai įsielektrina ( a pav.).

Susidaręs kontaktinis elektrinis laukas sustabdo tolimesnę laisvųjų

krūvininkų difuziją, nusistovi dinaminė pusiausvyra, susilygina Fermio

lygmenys. Kontaktinis elektrinis laukas išlenkia energetines juostas ( c

pav.). Išlinkus juostoms, susikuria potencialo barjerai ( kaip

elektronams, taip ir skylutėms ). Barjero aukštis [pic] priklauso nuo

pradinio Fermio lygmenų n ir p puslaidininkiuose skirtumo. Nuskurdinto

sluoksnio storis d siekia (10-6 – 10-7 ) m, kontaktinis potencialų

skirtumas – dešimtąsias volto dalis. Tokį potencialų skirtumą krūvininkai

galėtų įveikti tik esant kelių tūkstančių laipsnių temperatūroms,

įprastose temperatūrose toks kontaktas yra užtvarinis.

Nuskurdinto sluoksnio storį galima rreguliuoti išoriniu elektriniu

lauku ( išorine įtampa ). Jeigu išorinio lauko kryptis sutampa su

kontaktinio lauko kryptimi, atstojamojo lauko veikiami, tiek elektronai n-

tipo puslaidininkyje, tiek skylutės p-tipo puslaidininkyje judės tolyn

nuo kontakto ir nuskurdinto sluoksnio storis padidės (9 a pav.). Šiuo

atveju sakoma, kad p-n sandūra į elektros grandinę įjungta nelaidžiąja (

atbuline ) kryptimi, nes elektros srovė sandūra praktiškai neteka (

paaiškinti, kas vis dėlto teka ). Jeigu išorinio lauko kryptis priešinga

kontaktinio lauko krypčiai (9 b pav.), aatstojamojo lauko veikiami tiek

elektronai n-tipo puslaidininkyje, tiek skylutės p-tipo puslaidininkyje

juda link kontakto. Dėl to nuskurdinto sluoksnio storis ir varža labai

sumažėja. Taigi, šiuo atveju p-n sandūra elektros srovė teka, sandūra

įjungta laidžiąja ( tiesiogine ) kryptimi. p-n sandūros voltamperinė

charakteristika pavaizduota 10 pav. Kadangi tiesiogine kryptimi įjungtos

sandūros nuskurdinto sluoksnio storis ir varža priklauso nuo įtampos,

tokį jungimą atitinkanti voltamperinės charakteristikos dalis ( dešinioji

) yra netiesinė.

Kadangi p-n sandūros varžos tiesiogine ir atbuline kryptimis labai

skiriasi, tokia sandūra naudojama kintamajai srovei išlyginti (11 pav.).

p-n sandūra yra dviejų elektrodų vakuuminės lempos – diodo – analogas.

Dėl to puslaidininkiniai prietaisai, kurių pagrindas p-n sandūra taip pat

vadinami diodais ( pakalbėti apie privalumus, trūkumus, skirtumus ).

[pic]

———————–

1/2

[pic]

T>0K

fF(W)

[pic]

1pav.

ΔWg

2 pav.

ΔWg

3 pav.

ΔWg

4 pav.

5 pav.

6 pav.

-B

7a pav.

ΔWg

7b pav.

ΔWg

8 pav.

l.j.

v.j.

ΔWg

WFn

WFp

eUk

v.j.

WFp

WFn

ΔWg

l.j

[pic]

–

9 pav.

[pic]

–

[pic]

–

10 pav.