Nuolatinė elektros srovė

NUOLATINĖ ELEKTROS SROVĖ

1. Elektros srovės stipris ir srovės tankis

Elektros srovė yra bet koks kryptingas elektros krūvių(tiksliau sakant

elektringųjų dalelių ar įelektrintų kūnų) judėjimas. Laisvųjų elektronų

metaluose ar teigiamųjų bei neigiamųjų jonų elektrolituose judėjimas,

įelektrinto bet kokio kūno slenkamasis ar sukamasis judėjimas yra elektros

srovės pavyzdžiai. Tačiau dažniausiai kalbėdami apie elektros srovę turime

galvoje kryptingą elektringųjų dalelių judėjimą medžiagoje ar vakuume.

Šios elektringosios dalelės dar vadinamos krūvininkais.

Tekant elektros srovei atsiranda naujų reiškinių, kurie nebūdingi

nejudantiems krūviams. Iš jų paminėtini:

1) Šiluminis veikimas. Laidininkas, kuriuo teka eelektros srovė, įšyla.

2) Cheminis veikimas. Tekant elektros srovei gali kisti medžiagos

cheminė sudėtis. Šis reiškinys būdingas tik medžiagoms, kuriose krūvininkai

yra jonai, pavyzdžiui, elektrolitams – vandeniniams druskų, rūgščių ar

šarmų tirpalams.

3) Magnetinis veikimas. Elektros srovė kuria magnetinį lauką.

Pavyzdžiui, arti laido padėtos magnetinės rodyklės kryptis pakinta, kai

laidu ima tekėti elektros srovė.

Magnetinis srovės veikimas, skirtingai nuo šiluminio ir cheminio, yra

bendriausias. Jis pasireiškia visais elektros srovės atvejais, netgi judant

masyviems įelektrintiems kūnams, kada šiluminio ir cheminio veikimo nesti.

Cheminio veikimo nesti tekant srovei medžiagomis, kuriuose krūvininkai yra

laisvieji elektronai, pavyzdžiui, metalais. Šiluma neišsiskiria tekant

srovei superlaidininkais.

Pagrindinė kiekybinė elektros srovės charakteristika yra srovės stipris.

Jis lygus krūviui, pratekančiam laidininko skerspjūviu per laiko vienetą.

Jei per be galo mažą laiko intervalą dt prateka elektros krūvis dq, tai

srovės stipris

[pic]

(3.1)

Krūvis, pratekantis per baigtinį laiko intervalą t, pagal (3.1) yra

[pic]

(3.2)

Jeigu srovės kryptis laikui einant nekinta, tokia srovė vadinama

nuolatine srove, jei nesikeičia ir jos stipris – pastoviąja nuolatine

srove. Pastoviosios nuolatinės srovės atveju I=const, todėl ją galima

rašyti prieš integralą. Tuo atveju (3.2) užrašysime taip:

[pic]

(3.3)

o (3.1) –

[pic]

(3.4)

Srovės stiprio SI vienetas yra amperas (1 A). Tai pagrindinis vienetas.

Jis nusakomas remiantis srovių magnetine sąveika.

Srovės stipris I yra algebrinis skaliarinis dydis. Jis gali būti

teigiamas arba neigiamas. Sutarta teigiamąja elektros srovės kryptimi

laikyti tą kryptį, kuria juda teigiamieji krūviai.

Nustatysime sąsają tarp srovės stiprio I ir krūvininkų kryptingo

judėjimo greičio v bei jų skaičiaus tankio n. Tarkime, kad skerspjūvio, pro

kurį teka srovė, plotas S, o kiekvieno kkrūvininko krūvis q0 (52 pav.). Pro

šį plotą per laiko vienetą pralėks tie krūvininkai, kurie nutolę nuo jo

atstumu, ne didesniu už vidutinį kryptingo judėjimo greitį v. Tų krūvininkų

skaičius lygus nvS, o jų krūvis q=q0nvS. Taigi

[pic]

(3.5)

|[pic] |

Kitas svarbus srovę apibūdinantis dydis yra srovės tankis j. Jis lygus

krūviui, pratekančiam per laiko vienetą pro vienetinį plotą, statmeną

krūvių judėjimo krypčiai:

[pic]

(3.6)

Remdamiesi (3.6) galime užrašyti:

[pic]

(3.7)

|[pic] |

Jei plotelis dS nestatmenas krūvininkų judėjimo krypčiai, tuomet

[pic] (53 pav.), ir pagal ((3.7)

[pic] (3.8)

(3.8) lygybę galima užrašyti kaip vektorių [pic][pic]ir [pic] skaliarinę

sandaugą:

[pic]

(3.9)

Srovės, tekančios pro bet kokio baigtinio dydžio plotą S, stipris

apskaičiuojamas integruojant (3.9):

[pic]

(3.10)

Jeigu srovės tankis visame skerspjūvio plote vienodas, (3.10) lygybė tampa

[pic]

(3.11)

o jei dar ir [pic]kryptis sutampa su ploto S normalės kryptimi –

[pic]

(3.12)

Srovės tankio SI vienetas yra 1 A/m2.

Atsižvelgę į (3.5) lygybę, srovės tankio vektorių [pic] galime taip

susieti su vidutiniu kryptingo krūvininkų judėjimo greičiu [pic]:

[pic]

(3.13)

Atkreipsime dėmesį, kad laisvieji elektronai, panašiai, kaip dujų

molekulės, visą laiką netvarkingai (chaotiškai) juda. Tai šiluminis

judėjimas. Elektronų šiluminio judėjimo greitis kambario temperatūroje yra

gana didelis ir siekia apie 105 m/s, o kryptingo judėjimo greitis paprastai

esti v≈1 mm/s. Kryptingas laisvųjų metalo elektronų judėjimas kartais

vadinamas dreifu, o greitis v – elektronų dreifo greičiu.

Bendru atveju elektros srovę gali sąlygoti ne vien tik elektronų, bet ir

kitokių krūvininkų (pvz., jonų elektrolituose ar dujose, skylių

puslaidininkiuose) kryptingas judėjimas. Judant kelių rūšių krūvininkams jų

įnašai į srovė sumuojasi. Tuo atveju (3.13) virsta

[pic]

(3.14)

[pic]

2. Elektrinis laukas tekant nuolatinei srovei

Tekant elektros srovei krūvininkai juda veikiami elektrinio lauko. Taigi

šiuo atveju, skirtingai negu elektrostatikoje, laidininke turi būti

elektrinis laukas

[pic]

(3.15)

Kadangi elektrinio lauko stipris ir potencialas susiję sąryšiu (1.48),

tai iš (1.48) ir (3.15) išplaukia, kad tekant srovei įvairių laidininko

taškų potencialai turi būti skirtingi.

Teigiamieji krūvininkai juda lauko kryptimi, o neigiamieji – prieš lauko

kryptį. Taigi srovės tankis turi būti nukreiptas lauko kryptimi:

[pic]||[pic]Laidininko paviršiuje [pic] ir [pic] turi sutapti su paviršiaus

liestinės kryptimi, nes srovės tankio vektorius [pic] nekerta šoninio

paviršiaus. Žinome, kad lauko stiprio tangentinė dedamoji dvi aplinkas

skiriantį paviršių praeina nepakisdama (žr. (1.107)). Už laidininko, prie

pat jo paviršiaus, ji turi būti tokia, kaip ir laidininke, tačiau ji ten

sumuosis su normaline dedamąja, kuri elektrostatikoje ir tebuvo. Todėl

šalia laidininko prie pat jo paviršiaus elektrinis laukas jau nebus

statmenas laidininko paviršiui, o sudarys su juo tam tikrą kampą

[pic]

Elektrinio lauko linijos esant cilindriniam laidininkui elektrostatikos

atveju pavaizduotos 54 pav., a), o tekant srovei – 54 pav., b).

|[pic] |

Tekant srovei, kaip ir elektrostatikos atveju, lauką laidininke bei

šalia jo sukuria to laidininko paviršiuje esantys krūviai, tik tų krūvių

pasiskirstymas esti kitoks, tad pakinta ir jų kuriamas laukas.

[pic]

3. Tolydumo lygtis ir srovės pastovumo sąlyga

Laidininke, kuriuo teka elektros srovė, mintyse paimkime bet kokį

uždarąjį paviršių S. Juo apribotą tūrį pažymėkime V, o tame tūryje esantį

krūvį q. Kadangi uždariesiems paviršiams sutarta normalės, taigi ir

[pic] teigiamąja kryptimi laikyti išorinę kryptį, tai sutinkamai su (3.10)

[pic]

(3.16)

yra per laiko vvienetą iš to paviršiaus ištekantis teigiamasis krūvis. Taigi

(3.16) išreiškia teigiamojo krūvio tūryje V sumažėjimą per laiko vienetą:

[pic] (3.17)

(3.17) vadinama tolydumo lygtimi. Iš esmės ji išreiškia krūvio tvermės

dėsnį.

(3.17) yra srovės tolydumo lygties integralinė išraiška. Norint gauti

diferencialinę išraišką, reikia tarti, kad paviršius S bei juo apribotas

tūris V darosi be galo maži. Tūrinį krūvio tankį pažymėję ρ, krūvį q

išreikškime pasinaudodami (1.17) ir įrašykime į (3.17):

[pic] (3.18)

Pritaikę vektoriui [pic]matematinę Gauso teoremą panašiai, kaip tą darėme

vektoriui [pic] (žr. 1.26)), gauname:

[pic]

[pic] (3.19)

Iš (3.18) ir (3.19) išplaukia, kad

[pic] (3.20)

(3.20) lygybė vadinama srovės tolydumo lygties diferencialine išraiška.

Tolydumo lygtis, kuri išreiškiama (3.17) ar (3.18) lygybėmis, galioja

visada tekant bet kokioms srovėms, nes ji išreiškia krūvio tvermės dėsnį.

Tekant pastoviajai nuolatinei srovei krūvių pasiskirstymas erdvėje

neturi kisti laikui einant. Iš tikrųjų, jei krūvis q bei jo tūrinis tankis

ρ kistų laikui einant, tai kistų ir jų kuriamas lauko stipris E, nes šiuos

dydžius sieja Gauso dėsnis (žr. (1.23) ir (1.28)). O kintant E, kistų ir

srovės stipris I bei jos tankis j, taigi srovė būtų kintamoji, o ne

pastovioji nuolatinė. Tuo remiantis srovės pastovumo sąlygą remiantis

(3.20) galima suformuluoti taip:

[pic]

(3.21)

(3.21) lygybė rodo, kad pastoviosios nuolatinės srovės tankio linijos

yra uždaros ir neturi šaltinių.

[pic]

4. Omo dėsnis ir jo diferencialinė išraiška

Nagrinėsime dažniausiai praktikoje pasitaikantį atvejį, kai elektros

srovė teka medžiaga, kurioje yra laisvųjų krūvininkų. Tokią medžiagą

vadinsime laidininku, nors atskirais atvejais tai gali būti puslaidininkis

ar elektrolitas. Tačiau laisvųjų krūvininkų buvimo dar nepakanka srovei

atsirasti. Jų kryptingam judėjimui sukelti ir palaikyti reikia jėgos,

veikiančios tam tikra kryptimi. Kai ši jėga nustoja veikti, kryptingas

krūvininkų judėjimas greitai nutrūksta dėl varžos, sąlygotos laisvųjų

krūvininkų sąveikos su kitomis medžiagoje esančiomis dalelėmis (metalų

kristalinės gardelės jonais, priemaišiniais atomais, elektrolitų

neutraliosiomis molekulėmis ir pan.). Kryptingą laisvųjų krūvininkų

judėjimą sukelianti ir palaikanti jėga dažniausiai esti elektrinės

prigimties. Žinome, kad elektriniame [pic]stiprio lauke esantį krūvį q0

veikia jėga [pic] Taip pat žinome, kad elektrostatikos atveju laidininke

lauko nesti [pic]o įvairių laidininko taškų potencialai esti vienodi

(ϕ’const). Vadinasi, kad laidininku tekėtų elektros srovė, jame turi būti

elektrinis laukas [pic]ir potencialų skirtumas Δϕ.

1826 m. Omas (G. Ohm) nustatė, kad srovės stipris laidininke I tiesiai

proporcingas potencialų skirtumui (įtampai) tarp laidininko ggalų U: (I∼U).

Proporcingumo koeficientą pažymėję G, užrašysime:

[pic]

(3.22)

Dydis G vadinamas elektriniu laidumu. Iš (3.22) išreiškę G, turėsime:

G=I/U. Elektrinio laidumo SI vienetas vadinamas simensu (S). 1 S’1 A/1 V.

Dažniau naudojamas atvirkščias laidumui dydis R, vadinamas elektrine

varža: R’1/G. Tuomet OOmo dėsnis grandinės daliai užrašomas taip:

[pic]

(3.23)

Iš (3.23) išreiškę R, turėsime:

[pic]

(3.24)

Varžos SI vienetas vadinamas omu (Ω). 1 Ω’1 V/1 A’1 S−1.

Bandymais nustatyta, kad varža priklauso nuo laidininko medžiagos ir jo

geometrinių matmenų. Laidininko, kurio ilgis l ir pastovus skerspjūvio

plotas S, varža

[pic]

(3.25)

Čia dydis ρ vadinamas medžiagos savitąja varža. Savitoji varža priklauso

nuo laidininko medžiagos ir temperatūros. Iš (3.25) išreiškę ρ, turėsime:

[pic] ir nustatysime, kad savitosios varžos SI vienetas yra 1 Ω⋅1 m2/1 m’1

Ω⋅m. Taip pat iš (3.25) aišku, kad savitoji varža lygi varžai laidininko,

kurio ilgis l’1 m ir skerspjūvio plotas S’1 m2.

Atvirkščias savitajai varžai dydis σ vadinamas savituoju laidumu:

[pic]

Jo SI vienetas yra 1 Ω−1⋅m−1’1 S/m.

Priminsime, kad nuosekliai sujungtų keliu laidininkų varža llygi atskirų

laidininkų varžų sumai:

[pic]

(3.26)

o lygiagrečiai sujungtų laidininkų laidumas lygus atskirų laidininkų

laidumų sumai:

[pic]

(3.27)

arba

[pic]

(3.28)

Jei laidininko skerspjūvio plotas arba savitoji varža nėra pastovūs (55

pav.), varžą galima apskaičiuoti integruojant:

[pic]

(3.29)

Kad galėtume apskaičiuoti (3.29) integralą, turime žinoti, kokiu dėsniu

kinta ρ ir S išilgai laidininko.

|[pic] |[pic] |

Nustatysime sąsają tarp srovės tankio j ir elektrinio lauko stiprio E

tame pačiame laidininko taške. Tam bet kokios formos laidininke, kuriuo

teka srovė, mintyse išskirkime srovės tankio vektoriaus [pic]kryptimi be

galo mažą laidininko elementą, kurio ilgis dl ir skerspjūvio plotas

dS (56 pav.). Šiuo elementu tekančios srovės stipris dI’jdS, įtampa tarp jo

galų dU’Edl, o jo varža [pic] Įrašę šias išraiškas į Omo dėsnio (3.23)

formulę, turėsime:

[pic]

arba suprastinę

[pic]

Kadangi j ir E yra vektoriniai dydžiai, o ρ ir σ – skaliarai, be to,

[pic]||[pic], pastarąją formulę galima užrašyti ir vektoriškai:

[pic] (3.30)

(3.30) išreiškia Omo dėsnio diferencialinę (vietinę, lokalią) formą, nes

susieja dydžius tame pačiame laidininko taške.

[pic]

5. Krūvininkų judris ir relaksacijos trukmė

Tekant srovei krūvininkai dreifuoja veikiami elektrinio lauko, todėl jų

dreifo greitis proporcingas lauko stipriui: (v∝E). Proporcingumo

koeficientą pažymėję μ, užrašysime:

[pic]

(3.31)

Proporcingumo koeficientas μ vadinamas krūvininkų judriu. Išreiškę jį iš

(3.31), gauname:

[pic]

(3.32)

Kaip matome iš (3.32), judris yra lygus vienetinio stiprio elektriniame

lauke įgytam krūvininkų dreifo greičiui.

Judrio SI vienetas nustatomas iš (3.32):

[pic]

Atsiradus elektriniam laukui, dreifo greitį v krūvininkas įgyja per tam

tikrą vidutinį laiką τ. Taigi vidutinis krūvininko pagreitis

[pic]

(3.33)

Pagal antrąjį Niutono dėsnį krūvininko pagreitį galime išreikšti ir

šitaip:

[pic]

(3.34)

Čia F – krūvininką veikianti jėga elektriniame lauke, m – krūvininko masė.

Iš (3.33), (3,34) ir (3.32) lygybių nustatome, kad dreifo greitis

[pic]

(3.35)

o judris

[pic]

(3.36)

Nustojus veikti elektriniam laukui, krūvininkai praranda dreifo ggreitį v

per laiką τ sąveikaudami su laidininko atomais. Šis laikas τ vadinamas

krūvininkų relaksacijos trukme.

Pasinaudodami (3.30), (3.13) ir (3.32) lygybėmis, medžiagų savitąjį

laidumą galime išreikšti ir taip:

[pic]

(3.37)

o esant kelių rūšių krūvininkams vietoje (3.13) pasinaudoję (3.14) gausime:

[pic]

(3.38)

[pic]

6. Pašalinės elektrovaros (ev)

|[pic] |

Jeigu laidininku sujungsime įelektrinto kondensatoriaus plokšteles, ims

tekėti elektros srovė (57 pav.). Bet ši srovė bus nepastovi ir trumpalaikė,

nes krūviai greitai neutralizuojasi, potencialų skirtumas tarp plokštelių

mažėja, kartu mažėja ir elektrinio lauko, taip pat ir srovės, stipris.

Norint pasiekti, kad tekėtų nuolatinė pastovi srovė, reikia įrenginio,

kuris perkeltų tiek teigiamųjų krūvių iš neigiamosios plokštelės į

teigiamąją (arba neigiamųjų krūvių iš teigiamosios plokštelės į

neigiamąją), kiek jų per tą patį laiką neutralizuojasi tekant srovei. Tokio

krūvių perkėlimo negali atlikti elektrostatinis laukas, nes jis veikia

krūvius priešinga kryptimi, negu turi būti perkeliami krūviai. Taigi

nuolatinės srovės šaltinyje be elektrostatinių jėgų krūvius turi veikti ir

neelektrostatinės kilmės jėgos, kurios šiuo atveju vadinamos pašalinėmis

jėgomis. Jų prigimtis gali būti labai įvairi (cheminė – galvaniniuose

elementuose, akumuliatoriuose, elektromagnetinė – dinamo mašinose, šiluminė

– termoelementuose ir t. t.). Pašalinės jėgos gali veikti krūvius arba

visoje uždaroje grandinėje, arba tik kai kuriose jos vietose.

Svarbiausias fizikinis dydis, apibūdinantis pašalines jėgas, vadinamas

elektrovara (sutrumpintai žymimas EV arba ev). Elektrovara yra fizikinis

dydis, lygus pašalinių jėgų darbo, atliekamo perkeliant teigiamąjį krūvį

uždara grandine, ir to krūvio santykiui:

[pic][pic]

(3.39)

Elektrovaros SI vienetas yra 1 J/1 C’1 V. Jis yra toks pat, kaip ir

potencialo ar potencialų skirtumo (įtampos) vienetas.

Pašalinę jėgą pažymėkime Fp. Tada uždaroje grandinėje atliktas pašalinės

jėgos darbas

[pic]

(3.40)

Įrašę (3.40) į (3.39), gauname:

[pic] (3.41)

Čia

[pic]

(3.42)

yra pašalinių jėgų lauko stipris.

Bendru atveju, jei krūvininkus veikia elektrostatinė ir pašalinės jėgos,

Omo dėsnio diferencialinė forma (3.30) užrašoma taip:

[pic]

(3.43)

(3.43) abi puses skaliariškai dauginkime iš [pic]ir integruokime uždaru

kontūru L:

[pic] (3.44)

Skerspjūvio plotą pažymėję S, (3.44) lygybėje vietoj j įrašykime I/S ir I

iškelkime prieš integralo ženklą, nes visame integravimo kelyje I vertė ta

pati. Be to, (3.44) dešinės pusės pirmasis integralas lygus nuliui, nes

elektrostatinis laukas yra potencialinis, o antrasis integralas sutinkamai

su (3.41) lygus ε. Taigi (3.44) galime užrašyti taip:

[pic]

(3.45)

(3.45) lygybėje integralas reiškia uždaros grandinės suminę varžą

(žr.(3.29)). Galime tarti, jog uždara grandinė susideda iš dviejų dalių:

išorinės ir vidinės. Išorinę grandinę sudaro prie srovės šaltinio gnybtų

prijungtų laidininkų varža, o vidinę – tarp tų gnybtų šaltinio viduje

esančių medžiagų varža. Išorinės grandinės varžą pažymėję R, o vidinės

grandinės r, (3.45) lygybę užrašysime taip:

[pic],

(3.46)

arba

[pic]

(3.47)

(3.46) arba (3.47) išreiškia Omo dėsnį uždarajai elektros grandinei.

Atsižvelgę į Omo dėsnį grandinės daliai (žr. (3.23)), (3.46) galime

užrašyti taip:

[pic]

(3.48)

Čia U yra šaltinio gnybtų įtampa, o Ir dar vadinama įtampos kritimu

vidinėje varžoje. Iš (3.48) matyti, jog

[pic]

(3.49)

t. y. kai srovės šaltinis tiekia srovę išorinei grandinei, jo gnybtų įtampa

esti mažesnė už jo ev dydžiu Ir. Tačiau jei I’0, tada U’ε. Todėl šaltinio

elektrovarą galima ir taip nusakyti: elektrovara lygi šaltinio gnybtų

įtampai, kai šaltiniu srovė neteka. Tuo paprastai naudojamasi norint

praktiškai išmatuoti srovės šaltinio ev.

[pic]

7. Srovės darbas ir galia. Džaulio dėsnis ir jo diferencialinė išraiška

Panagrinėkime grandinės dalį. Tarkime, kad tos dalies įtampa U, o ta

grandine tekančios nuolatinės srovės stipris I. Jei per laiką t prateka

krūvis q, elektrinis laukas atlieka darbą

[pic]

Kadangi tekant nuolatinei pastoviai srovei [pic] tai srovės atliktas darbas

[pic]

(3.50)

Elektros srovės darbas grandinės dalyje lygus įtampos, srovės stiprio ir

laiko, per kurį atliekamas darbas, sandaugai.

Pagal energijos tvermės dėsnį šis ddarbas turi būti lygus nagrinėjamos

grandinės dalies energijos pokyčiui. Jeigu grandinės dalyje judančių

laidininkų nėra ir nevyksta jokie cheminiai kitimai, tai padidėja jos

vidinė energija, t. y. padidėja temperatūra. Šiuo atveju visas srovės

darbas virsta šiluma: Q’A. Temperatūros didėjimo mechanizmas toks:

krūvininkai (pavyzdžiui, metalo laisvieji eelektronai), veikiami elektrinio

lauko jėgos, įgyja papildomą kinetinę energiją, kurią paskui atiduoda

gardelei susidurdami su jos mazguose esančiais jonais.

Pasinaudodami Omo dėsniu grandinės daliai (3.23), šilumos kiekį,

išsiskyrusį per laiką t, galime išreikšti ir taip:

[pic] (3.51)

(3.51) formulė išreiškia Džaulio (J. P. Joule) dėsnį, kurį žodžiais

galima taip suformuluoti: šilumos kiekis, išsiskiriantis laidininke, kai

juo teka srovė, lygus srovės stiprio kvadrato, laidininko varžos ir laiko

sandaugai.

Pagal galios P apibrėžtį P’A/t. Taigi elektros srovės galia

[pic]

(3.52)

Tuo atveju, kai visas srovės darbas virsta šiluma, galią galima

išreikšti ir taip:

[pic] (3.53)

Atkreipsime dėmesį, kad (3.50) ir (3.52) formules galima taikyti ir tuo

atveju, kai visa elektros energija ar jos dalis virsta ne tik šiluma, bet

ir mechanine, chemine ar kitokios formos energija, o (3.51) ir (3.53) –– tik

kai visa energija virsta šiluma.

Panagrinėkime energijos virsmus uždarojoje grandinėje, turinčioje

pašalinę elektrovarą ε. (3.48) formulės, išreiškiančios Omo dėsnį uždarajai

grandinei, abi puses padauginkime iš srovės stiprio I:

[pic]

(3.54)

Čia εI yra pašalinių jėgų išvystoma galia. Matome, kad ji lygi išorinės

grandinės (kuri nebūtinai visa virsta šiluma) ir vidinės grandinės

šiluminių galių sumai. Taigi grandine tekant srovei pašalinių jėgų

atliekamas darbas virsta kitų rūšių energija, o elektrinis laukas tik

padeda tą energiją perkelti iš šaltinio į kitas grandinės dalis.

Pagal (3.52) ar (3.53) galima apskaičiuoti tik visame laidininke

išsiskiriančią šiluminę galią. Jei laidininkas nevienalytis (pavyzdžiui,

nevienodas jo skerspjūvio plotas ar nevienoda savitoji varža), tai

išsiskirianti šiluma esti nevienodai pasiskirsčiusi jo tūryje.

Tačiau galima rasti būdą tam tikrame laidininko taške išsiskiriančiai

šiluminei galiai apskaičiuoti.

|[pic] |

Bet kokios formos laidininke mintyse išskirkime be galo mažą jo

elementą, kurio ilgis dl nukreiptas lygiagrečiai su srovės tankio

vektoriumi [pic], o skerspjūvio plotas dS – statmenai jam (58 pav.). Tokio

elemento varža

[pic]

o juo tekančios srovės stipris

[pic]

Jame išsiskirianti šiluminė galia pagal (3.53)

[pic] (3.55)

Čia dV’dl⋅dS – laidininko elemento tūris, o pagal (3.20) j’σE.

Fizikinis dydis

[pic]

(3.56)

vadinamas elektros srovės šiluminės galios tūriniu tankiu. Tai tūrio

vienete išsiskirianti šiluminė galia. Šiluminės galios tūrinio tankio w SI

vienetas yra 1 W/m3. (3.56) formulė vadinama Džaulio dėsnio diferencialine

(vietine, lokalia) forma. Pagal (3.56) apskaičiuojama šiluminė galia,

išsiskirianti tam tikrame laidininko taške. Visame laidininke išsiskirianti

šiluminė galia gali būti apskaičiuota integruojant:

[pic]

(3.57)

[pic]

8. Tiesinės grandinės. Kirchhofo taisyklės

Tiesine vadinama tokia grandinė, kurioje srovės stipris tiesiškai

priklauso nuo įtampos. Ta priklausomybė aprašoma (3.22) arba (3.23)

išraiškomis. Taigi grandinė yra tiesinė, jei jos laidumas G arba varža R

yra pastovūs, nepriklausantys nuo įtampos dydžiai. O jei varža priklauso

nuo įtampos, tokia grandinė yra netiesinė.

Visiškai tiesinių grandinių nėra, nes varža priklauso nuo temperatūros,

o pastaroji turi kisti kkeičiantis įtampai, nes išsiskiria Džaulio šiluma.

Tačiau esant mažoms įtampoms laidininkai praktiškai neįšyla, todėl jo varža

išlieka pastovi ir grandinė gali būti laikoma tiesine.

Ne visais atvejais sudėtingose grandinėse tekančių srovių stiprius

galima apskaičiuoti remiantis vien tik Omo dėsniu ir pasinaudojant

nuoseklaus, lygiagretaus bei mišraus varžų jungimo formulėmis (žr. (3.26),

(3.28)). Praktikoje dažnai pasitaiko šakotinės grandinės, kuriose, be to,

gali būti keletas įvairiai sujungtų srovės šaltinių. Šakotinės grandinės

pavyzdys parodytas 59 pav.

|[pic] |

Grandinės taškas, į kurį sueina trys ar daugiau laidų, vadinamas mazgu.

59 pav. schemoje yra 4 mazgai. Jie pažymėti A, B, C, D. Grandinės dalis,

jungianti du gretimus mazgus, vadinama šaka. Minėtoje schemoje yra 6 šakos:

AB, AC, AD, BC, CD ir BεD. Bet kuri uždara grandinė vadinama kontūru, pvz.,

BACB, BCDεB, BACDεB ir t. t. Kontūras, kurio viduje nėra šakų, vadinamas

elementariuoju kontūru. 59 pav. schemoje yra 3 elementarieji kontūrai:

BACB, ADCA ir BCDεB. Kiti kontūrai, pvz., BADCB, BACDεB, BADεB nėra

elementarieji.

Tarkime, kad grandinės šakomis tekančių srovių stipriai yra I1, I2, I3,

. . ., I6, o jų kryptys tokios, kaip pavaizduota rodyklėmis.

Pirmoji Kirchhofo (G. Kirchhoff) taisyklė teigia, kad į mazgą sutekančių

srovių stiprių algebrinė suma lygi nuliui. Sumuojant sroves, į mazgą

įtekančias ir ištekančias sroves reikia rašyti su priešingais ženklais,

pvz., įtekančias su “+” ženklu, o ištekančias – su “−”. Žinoma, galima

daryti ir atvirkščiai. Pavyzdžiui, 59 pav. mazgui A užrašysime: I3−I4−I5’0.

Apibendrintai pirmoji Kirchhofo taisyklė užrašoma taip:

[pic] (3.58)

Antroji Kirchhofo taisyklė teigia, kad bet kokio uždaro kontūro šakomis

tekančių srovių stiprių ir varžų sandaugų algebrinė suma lygi tame kontūre

esančių šaltinių elektrovarų algebrinei sumai:

[pic] (3.59)

Norint užrašyti lygtį pagal antrąją Kirchhofo taisyklę, reikia laisvai

pasirinkti kontūro apėjimo kryptį (pagal arba prieš laikrodžio rodyklę).

Jei srovės šakoje kryptis sutampa su pasirinkta apėjimo kryptimi, tai

sandauga IkRk rašoma su “+” ženklu, jei ne – su “−” ženklu. Paskui dar

kartą ta pačia kryptimi apeinamas tas kontūras ir užrašoma (3.59) lygties

dešinė pusė – ev suma. Šiuo atveju būtina atsiminti: jei per šaltinį tenka

eiti potencialo didėjimo kryptimi (t. y. iš “−” į “+”), jo ev imama su “+”

ženklu, o jei potencialo mažėjimo kryptimi (iš “+” į “−”), jo ev rašoma su

“−” ženklu. Kad lengviau tą įsimintume, pailiustruosime piešiniais 60 pav.

kuriame lankelis su rodykle rodo ėjimo per šaltinį kryptį.

|[pic] |

Pavyzdžiui, 59 pav. kontūrui BADεB, pasirinkę apėjimo kryptį pagal

laikrodžio rodyklę, užrašysime:

I3R3+I4R4+Ir’ε.

Pastebėsime, kad pirmoji Kirchhofo taisyklė susijusi su srovės pastovumo

sąlyga. Jei į mazgą sutekančių srovių algebrinė suma nebūtų lygi nuliui,

tai laikui einant tame mazge kauptųsi teigiamas ar neigiamas

krūvis, taigi

ir elektrinio lauko stipris, o kartu ir srovės tankis bei stipris irgi

kistų, t. y. srovė nebūtų pastovi nuolatinė. Antroji Kirchhofo taisyklė

susijusi su elektrostatinio lauko potencialumu ir pašalinių elektrovarų

samprata.

Kirchhofo taisyklės įgalina apskaičiuoti srovės stiprius bet kokio

sudėtingumo nuolatinės srovės grandinėje, kai žinomos visos varžos

(išorinės ir vidinės) ir visos ev. Jei visos grandinės varžos yra pastovios

(t. y. nepriklauso nuo įtampos), tinkamai užrašius lygtis pagal pirmąją ir

antrąją Kirchhofo taisykles, gaunama tiesinių lygčių sistema. Kad ta

sistema turėtų vienintelį sprendinį, joje neturi būti ttiesiškai priklausomų

lygčių. Tam reikia laikytis šių reikalavimų:

1) jei grandinėje yra iš viso n mazgų, sudarant lygčių sistemą reikia

rašyti tik n−1 lygtį pagal pirmąją Kirchhofo taisyklę;

2) pagal antrąją Kirchhofo taisyklę rašyti tiek lygčių, kiek grandinėje

yra elementariųjų kontūrų.

Laikantis šių dviejų reikalavimų, sistemą sudarys tiek lygčių, kiek šakų

(tuo pačiu ir skirtingo stiprio srovių) yra grandinėje. Išsprendę ją,

nustatysime visų srovių stiprius.

Pastabos. a) Sudėtingoje grandinėje, ypač jei joje yra keletas įvairiai

sujungtų srovės šaltinių, srovės tekėjimo kryptį ne visada galima iš anksto

numatyti. Tačiau srovių kryptis prieš sudarant lygčių sistemą galima

pasirinkti laisvai. Jei išsprendus lygčių sistemą kurių nors srovių stiprių

vertės pasirodys esančios neigiamos, tai reikš, kad tos srovės iš tikrųjų

teka priešingomis kryptimis, negu buvo pasirinkta, o jų moduliai bus lygūs

tų srovių stipriams.

b) TTeiginys, kad pagal antrąją Kirchhofo taisyklę galima rašyti tiek

lygčių, kiek yra elementariųjų kontūrų, teisingas tik tuo atveju, jei

grandinės schema yra atvaizduota plokštumoje. Tūrinės schemos atveju lygčių

gali būti mažiau, negu yra elementariųjų kontūrų (žr. 1 pavyzdį).

Kaip pavyzdį užrašysime Kirchhofo lygčių sistemą grandinei, kurios

schema pavaizduota 61 pav. Joje 4 mazgai ir 3 elementarieji kontūrai, tad

lygčių sistemą sudarys 3 lygtys pagal pirmąją ir 3 pagal antrąją Kirchhofo

taisykles. Jei srovių kryptys ir kontūrų apėjimų kryptys pasirinktos

tokios, kaip parodyta rodyklėmis 61 pav., lygčių sistema bus tokia:

|[pic] |

[pic]

Pastebėsime, kad pagal Omo dėsnį grandinės daliai IkRk’Uk, tad antrąją

Kirchhofo taisyklę galima užrašyti ir taip:

[pic]

(3.60)

(3.60) formule tenka naudotis, jei kurioje nors grandinės šakoje yra

kondensatorių arba netiesinių rezistorių (žr. 2 ir 3 pavyzdžius).

1 pavyzdys. Tetraedro trijose briaunose įjungti srovės šaltiniai ε1’2 V,

ε2’4 V ir ε3’6 V, o kitose trijose – vienodi R’10 Ω varžos rezistoriai (61

pav.). Kokio stiprio srovės teka šaltiniais? Į šaltinių vidines varžas

neatsižvelkite.

Sprendimas

|[pic] |

62 pav. grandinėje matome 4 mazgus ir 4 elementariuosius kontūrus.

Tačiau nepriklausomi tik 3 kontūrai, nes parašius lygtis pagal antrąją

Kirchhofo taisyklę, tarkime, trims pasviriesiems kontūrams jau bus

panaudotos visos grandinės šakos, ir lygtis horizontaliajam kontūrui su

varžomis R būtų tiesinė ankstesnių lygčių kombinacija. Taip atsitiko todėl,

kad 62 pav. grandinės schema tūrinė. 63 pav. pavaizduota tos pačios

grandinės lygiavertė schema plokštumoje, kurioje matome 3 elementariuosius

kontūrus. Taigi šioje grandinėje yra 4 mazgai ir 3 elementarieji kontūrai.

Pasirinkę srovių kryptis ir kontūrų apėjimo kryptis, tarkime, tokias, kaip

pavaizduota 63 pav. užrašome tokią 6 lygčių sistemą:

[pic]

Išsprendę ją, apskaičiuojame šaltiniais tekančių srovių stiprius:

[pic]

[pic]

[pic]

2 pavyzdys. Grandinėje, kurios schema pavaizduota 64 pav., ε’9 V, ε1’18

V, ε0’27 V, R’270 Ω, R1’90 Ω, R0’180 Ω, C’1 μF. Pereinamieji procesai

pasibaigę. Kokia yra kondensatoriaus įtampa? Į šaltinių vidines varžas

neatsižvelkite.

Sprendimas

|[pic] |

Grandinėje yra 4 mazgai ir 3 elementarieji kontūrai. Pasirinkę srovių

kryptis, kontūrų apėjimų kryptis ir kondensatoriaus įtampos U poliškumą,

kaip pažymėta 64 pav. ir žinodami, kad nuolatinė pastovioji srovė per

kondensatorių neteka, sudarome tokią lygčių sistemą:

[pic]

Išsprendę ją, apskaičiuojame, kad

[pic]

Neigiamas sprendinys rodo, kad kondensatoriaus įtampos poliškumas yra

priešingas, negu buvo pasirinkta užrašant lygtis, o jo įtampa lygi 1,8 V.

3 pavyzdys. Grandinę sudaro du elementai, kurių elektrovaros ε1’2 V,

ε2’6 V, du rezistoriai, kurių varžos R1’6 Ω, R2’18 Ω, ir netiesinis

rezistorius, kurio voltamperinė charakteristika aprašoma lygtimi [pic](žr.

65 pav.). Apskaičiuokite srovių I, I1 ir I2 stiprius.

Sprendimas

|[pic] |

Netiesinio rezistoriaus įtampą pažymėkime U, o srovės stiprį jame I.

Tris lygtis užrašę remdamiesi Kirchhofo taisyklėmis ir dar prirašę

voltamperinės charakteristikos lygtį, gauname ttokią lygčių sistemą:

[pic]

Išsprendę ją, apskaičiuojame, kad U’1,40 V, I’0,36 A, I1’0,10 A, I2’0,26

A.

Pastebėsime, kad esant grandinėje netiesinių rezistorių (diodų,

tranzistorių, varistorių, termorezistorių ir pan.), Kirchhofo taisyklės

irgi galioja, tačiau gaunama netiesinių lygčių sistema, kuri gali turėti

nebūtinai vienintelį sprendinį.