Analizės pradmenys 10 – 12 klasėms

TURINYS

FORMULĖS 3

Trigonometrija funkcijos ir lygtys 6

Trigonometrinių reiškinių pertvarkymai. 19

Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas 20

Rodiklinių lygčių sprendimas 24

Rodiklinių nelygybių sprendimas 28

Logaritminės lygtys 30FORMULĖS

Trikampis. S= sinC = ;

a2 = b2 +c2 – 2bc cosA, ,

čia a, b, c – trikampio kraštinės, A, B, C – prieš jas esantys kampai, p – pusperimetris, r ir R – įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų spinduliai, S – trikampio plotas,

Skritulio išpjova. S = , l = , čia  – centrinio kampo didumas laipsniais, S – išpjovos plotas, l – išpjovos lanko iilgis, R – apskritimo spindulys.

Ritinys. V = Spag  H = R2H,

Sšon = 2RH (šoninis paviršius)

Spag = R2, d2 = H2 +(2R)2 (d – ašinio pjūvio įstižainė),

C = 2R (C – apskritimo ilgis),

Spav = Sšon + 2Spag = 2RH + 2R2 = 2R (H + R).

Kūgis. Nupjautinis kūgis. Spag = R2,

Saš. pjūv = R  H, l2 = R2 + H2,

Sšon = Rl,

Spav = Sšon + Spag = Rl + R2 = R (l + RR),

V = ;

čia R ir r – kūgio pagrindų spinduliai, Sšon – šoninio paviršiaus plotas, V – tūris,

H – aukštinė, l – sudaromoji.

Nupjautinės piramidės tūris. V = ;

čia S1 S2 – pagrindų plotai, H – aukštinė.

Piramidė. VV = SH; čia S – pagrindo plotas, H – piramidės aukštinė.

Taisyklingoji piramidė. r – įbrėžto apskritmo spindulys, R – apibrėžto apskritimo spindulys,

S3 = 3 , S6 = 2 , Sšon = ,

ha – apotema, ha – šoninės sienos aukštinė

Spav = Sšon + 2Spag, V = .

Taisyklingoji prizmė. Spag = , S6 = , r3 = ,

R3 = , r6 = , R6 = a (r – įbrėžto apskritmo spindulys, R – apibrėžto apskritimo spindulys)

Sšon = Ppag  H = 3a  H (Ppag – pagrindo perimetras),

Spav = Sšon + 2Spag ,

V = Spag  H

Rutulys. Spav = 4 , čia Spav – rutulio paviršiaus plotas,V – tūris,

R – spindulys.

Rutulio nuopjovos tūris. V = ; <

čia R – spindulys, H – nuopjovos aukštinė.

Kubas. Spag = a2, dk = a (dk – kubo įstrižainė),

Sšon = 4a2, ds = a (ds – šoninės sienos įstrižainė),

Spav = 6a2,

S = ,

V = a3.

Stačiakampis gretasienis. Spag = ab, d2 = a2 + b2 + H2 (d – stačiakampio gretasienio įstižainė, H – aukštinė),

Sšon = Ppag  H = 2(a + b)  H (Ppag – pagrindo perimetras),

Spav = Sšon + 2Spag = 2 (ab ++ aH + bH),

V = Spag  H = ab  H.

Vektorių skaliarinė sandauga. ; čia  – kampas tarp vektorių ir .

Trigonometrinės funkcijos.

1+tg2 =

sinx = a, x = (-1)k arcsine + k, k Z, -1 ;

cosx = a, x = -1 ;

tgx = a, x = arctga + k, k Z.

2cos2 = 1 + cos2, sin ( , cos( .

sin , cos + cos = 2cos ,

cos – cos = -2sin .

Logaritmo pagrindo keitimo formulė. logab =

XI klasėTrigonometrija funkcijos ir lygtys

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos:

arcsinx = y, , kur siny = x

arccosx = y, , kur cosy = x

arctgx = y, , kur tgy = x

arcctg = y, , kur ctg = x.

Trigonometrinių lygčių sprendimas

sinx = a,

x = (-1)narcsina+n, n = 0,

sinx = -a,

x = (-1)narcsina+n, n = 0,

sinx = 0,

x = n, n = 0,

sinx = 1,

x = , n = 0,

sinx = -1,

x = – , n = 0,

cosx = a,

x = , n = 0,

cosx = -a,

x = , n = 0,

cosx = 0

x = , n = 0,

cosx = 1,

x = 2n, n = 0,

cosx = -1,

x =  + 22n, n = 0,

tgx = a,

x = arctg + n, n = 0,

tgx = 0,

x = n, n = 0,

tgx = 1,

x = – , n = 0,

tgx = -1,

x = – , n = 0,

ctgx = a,

x = arcctga + n, n = 0,

ctgx = 0,

x = – , n = 0,

ctgx = 1,

x = x = – , n = 0,

Neigiamo argumento atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

arcsin(-x) = -arcsinx

arccos(-x) =  – arccosx

arctg(-x) = -arctgx

arcctgx(-x) =  – arctgx

Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas

1. Apskaičiuokite

a) arcsin ,

nes arcsin , arctg ir arccos .

b) arcsin , nes arcsin ,

arccos .

c) tg , nes arctg1 = .

2. a) sinx = – .

x =

Ats.:

b) cosx = – .

x =

Ats.:

a) tgx = – .

x = arctg

x = –

d) cos2x = .

2x =

x = Ats.: .

e) 6sin

sin

x = Ats.: .

f) 2cos

2cos

cos

2x –

2x =

x = Ats.: .

ctg

5x +

5x =

x = Ats.:

Uždaviniai.

1. Apskaičiuokite:

a) 2arccos1 – arctg Ats.:

b) arcos(-1) – arcsin Ats.: .

2. Išspręskite lygtis:

a) sinx = Ats.:

b) cosx = Ats.:

c) tgx = Ats.:

d) – Ats.:

e) 2tg Ats.:

g) Ats.:

Paprasčiausių nelygybių sprendimas

1. sinx <

Sprendimas:

Braižome funkcijų y ž sinx ir y = grafikus.

Duotosios nelygybės sprendiniai – tai ašies Ox taškas tuose intervaluose, kur sinusoidė yra žemiau tiesės y = . Tuos intervalus brėžinyje paryškiname. Paryškintų intervalų galus (taškus x1 ir x2, ir ) nustatome išsprendę lygtis: sinx = , = , = , x1 = , x2 = .

Pridėję 2n, parašome visus nelygybės sprendinius:

+ 2n < x < + 2n arba + 2n < x < + 2n

x  ir x  .

Išrenkame vieną iš atsakymų.

Ats.: x  .

2. cos2x > . Pažymėkime 2x = t, 0,7.

Braižome funkcijų y = cost ir y = 0,7 grafikus.

Duotosios nelygybės sprendiniai – tai ašies Ox taškai intervaluose, kur kosinusoidė yra virš tiesės y = . Tuos intervalus brėžinyje paryškiname. Paryškinto intervalo galus (taškus t1 ir t2) nustatome išsprendę lygtis cost = , t1 = ir t2 = .

Pridėję 2k, parašome visus nelygybės sprendinius + 2k < t < + 2k

– < x <

Ats.: – < x < .

Trigonometrinių lygčių, pakeistų paprastosiomis lygtimis, sprendimo būdai

Pavyzdžiai:

1. 2cos

Sprendimas:

Kadangi cosx , tai lygtį perrašome taip

4cos

cos arba cos

x x

Ats.: ; .

2. 5cos2x = sinx – 6.

Sprendimas:

Kadangi cos2x = 1 – 2sin2x, tai lygtį perrašome taip

5 , atskliaudžiame sudauginant ir gainame:

5 – 10sin2x = sinx – 6

10sin2x + sinx – 6 – 5 = 0 arba 10sin2x + sinx – 11 = 0

Pažymime sinx = b ir gauname kvadratinę lygtį:

10b2 + b – 11 = 0

D = 1 + 4  10  11 = 441 = 212

b1 = , b2 = =

Vadinasi arba sinx = 1, tada x = , 1 ir ši lygtis neturi sprendinių, nes -1,1 < -1.

Ats.: .

3. sin

Sprendimas:

-(cos cos gavome lygtį:

-cos2x arba + cos2x = 0

Pažymime cos2x = a, gauname lygtį

a2 + a = 0

a(a+1) = 0 a= 0 arba a +1 = 0 a = -1.

Vadinasi cos2x = 0, tada 2x =

x = arba cos2x = -1, tada 2x =  + 2k, k  Z

x =

Ats.: x = ;

4. ccos

Sprendimas:

cos . Kadangi cos , tada

cos3x – 2cos4xcos3x = 0

cos3x(1 – 2cos4x) = 0

cos3x = 0 arba 1 – 2cos4x = 0

3x = 1 = 2cos4x

x = cos4x =

4x =

x =

Ats.: ; .

5. ctgxc.osx – ctgx – cos1 ++ 1 = 0

Sprendimas:

Lygties kairiąją pusę išskaidome dauginamaisiais

ctgx(cosx – 1) – (cosx -1 ) = 0

(cosx – 1)(ctgx – 1) = 0

cosx = 1 arba ctgx = 1

x = 2n, n  Z. x =

Ats.: 2n, n  Z; .

6. sin

Srendimas:

Suprastiname kairiąją pusę

sinxcosx(sin2x – cos2x) = sin4x = –

sin2x = 2sinxcosx 4x = (-1)

-2sinx  cosx  (cos2x – sin2x) = 4x = (-1)

-sin2x  cos2x = x = (-1)

-2sin2x  cos2 =

-sin4x =

Ats.: (-1) .

7. 4cos

Sprendimas:

Kadangi cos2x = 1 – sin2x, tada perrašome lygtį taip

4  (1 – sin2x) + sinx = 1. Atskliaudžiame sudauginant ir gauname

4 – 4sin2x + sinx – 1 = 0 arba -4sin2x + sinx + 33 = 0

Dauginame iš (-1) ir gauname -4sin2x – sinx – 3 = 0. Pažymime sinx = c,

gauname kvadratinę lygtį: 4c2 – c – 3 = 0

D = 1 + 4  4  3 = 49 = 72

c1 = , c2 = .

Vadinasi sinx = 1, tada x = ir sinx = – , tada

x = (-1)

Ats.: ; (-1)

8. sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0

Sprendimas:

Abi lygties puses padaliję iš cos2x (cosx 0 arba x + n), gauname

tg2x – 4tgx + 3 = 0

Pažymime tgx = b ir gauname

b2 – 4b + 3 = 0, kurią išsprendę gauname b1 = 3 ir b2 = 1.

Sprendžiame dvi lygtis:

tgx = 3 ir tgx = 1

x = arctg3 + n, n  Z ir x =

Ats.: arctg3 + n, n  Z; .

9. 1 – 2sin2x = 6cos2x

Sprendimas:

Kadangi 1 = sin2x + cos2x, sin2x = 2sinxcosx, tai

sin2x + cos2x – 4sinxcosx – 6cos2x = 0

sin2x – 4sinxcosx – 5cos2x = 0

Abi lygties puses padalykite iš cos2x, gauname tg2x – 4tgx – 5 = 0

Pažymime tgx = b, gauname kvadratinę lygtį

b2 – 4b – 5 = 0, išsprendę gauname

b1 = 5, b2 = -1.

Vadinasi tgx = 5, tada x = arctg5 + n, n  Z ir tgx = -1 x = –

Ats.: arctg5 + n, n  Z; –

10. sin2x –

Sprendimas:

Abi lygties puses padalijame iš cosx 0 ir gauname tg2x – = 0

tg2x =

2x =

x =

Ats.: .

11. sin2x + 2 cos2x = 0

Sprendimas:

2sinxcosx + 2 cos2x = 0

2cosx(sinx + cosx) = 0

cosx = 0 – pašalinis sprendinys

sinx + cosx = 0, abi puses padaliję iš cosx 0, gauname

tgx ++ = 0 tgx = –

x = – .

Ats.: – .

12. sin5x – sin4xcosx = 2sin3xcos2x

Sprendimas:

sin5x – sin4xcosx – 2sin3xcos2x = 0

sin3x (sin2x – sinxcosx – 2cos2x) = 0

sin3x = 0 arba sin2x – sinxcosx – 2cos2x = 0

sinx = 0 abi puses padaliję iš cos2x gauname

x = n, nZ tg2x – tgx – 2 = 0. Pažymime tgx = y ir gauname

kvadratinę lygtį y2 – y – 2 = 0, kurią išsprendę gauname:

y1 = 2 ir y2 = -1

Sprendžiame dvi lygtis:

tgx = 2 tgx = -1

x = arctg2 + n, n  Z x = –

Ats.: n, n Z; arctg2 + n, n  Z; –

Uždaviniai.

1. Išspręskite lygtis:

a) 2sin2x – 3sinx +1 = 0. Ats.:

b) 2sin2x – 2cos2x = 1. Ats.:

c) sin22x = cos22x + 2cos4xcosx. Ats.:

d) cos2x = cosx. Ats.: 2k, k  Z.

e) 4sinxcosx = Ats.: (-1)

f) cos2 – sin2 = sin2x. Ats.: + n, n  Z; (1)

g) (cosx – sinx)2 = cos2x Ats.: n, n  Z;

h) 1 + 2sin2x + 2cos2x = 0 Ats.: – -arctg3 + k, k  Z.

i) 2sin2x – 5cosx +1 = 0 Ats.:

j) Ats.: – ;

Savarankiškam darbui

1. 1 –– cosx = sinx

2. 4sin4x + 4sin2xcos2x = 2

3. 2sin2x = 3cosx

4. (cosx + sinx)2 = cos2x

5. sin5x – sin3x +sinx = 0

6. 5sin2x – 4cosxsinx + 3cos2x = 2

7. cos3xtgx = 0

8. cos2x + 3sinx – 2 = 0.Trigonometrinių reiškinių pertvarkymai.

Bendrasis kursas

I variantas Iivariantas

1. Duota: cos = -0,6 ; 90o <  < 180o 1. Duota: sin = – ; 180o <  < 270o

Raskite tg Raskite ctg

2. Suprastinkite: 2. Suprastinkite:

a) 2 – sin2 – cos2 a) 1 + cos2 – sin2

b) b) cos (1 + tg) – sin (1 + ctg)

c) cos4 + sin2 cos2 c) sin2 cos2 + sin4

3. Įrodykite tapatybę 3. Įrodykite tapatybę

a) cos4 + sin2 cos2 + sin2 = 1 a) sin2 cos2 + sin4 + cos2 = 1

b) sin – b) cos –

c) sin4 + cos4 + 2sin2cos2 = 1

Atsakymai

I variantas II variantas

1. – 1.

2. a) 1 ; b) sin2 ; c) cos2 2. a) 2cos2 ; b) 0 ; c) sin2.Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas

Bendrasis kursas

I variantas II variantas

1. Išspręskite lygtis:

a) 1. sin2x = a) 1. co3x =

2. cos 2. sin

3. tg 3. tg

b) 1. cos2x = + sin2x b) 1. 4sinx cosx = 1

2sin2x – 5sinx + 2 = 0 2. 2cos2x + 5cosx + 2 = 0

3. cos2x + 5sinx – 3 = 0 3. 7cosx – 4sin2x = 0

2. Išspręskite nelygybes:

a) cosx > – a) cosx < –

b) sin2x < 0 b) sin2x > 0

c) tg c) tg

Atsakymai

I variantas II variantas

1. a) 1. (-1) ; 1. a) 1. ;

2. ; 2. (-1) ;

3. ; 3. n.

b) 1. ; b) 1. (-1) ;

2. (-1) ; 2. ;

3. (-1) ; 3. ir (-1) .

2. a) – ; 2. a)

b) b)

c) c)

Išplėstinis kursas

I variantas

I. Išspręskite lygtis:

1. 2cos2x = 3sinx

a) x = , b) x = (-1) ,

c) x = (-1) , d) x = (-1) .

2. tgx + ctgx = 2

a) x = , b) x = , c) x =

d) x = – .

3. 3sin2x + sinx cosx = 2cos2x

a) x = b) x = &–

x = – srctg x = arctg

c) x = d) x =

x = arctg1,5 + k, k  Z

e) kitas atsakymas

1. 1 + cosx = 2cos , pastaba: 1 + cos2x = 2cos2x

2. 3tg2x – tgx = 00

II. Išspręskite lygčių sistemą:

III. Raskite funkcijų y = sinx ir y = sin grafikų susikirtimo taškų abscises.

IV. Išspręskite nelygybes: sinx .

ctg .

Išplėstinis kursas

I variantas II variantas

1. Jei sin + cos = , apskaičiuokite: 1. Jei sin – cos = ,

sin cos. apskaičiuokite: sincos.

2. Jei f(x) = cos2x – 3sinx. Raskite 2. Jei f(x) = sin2x + cosx. Raskite

a) f(0) ; b) f ; c) f a) f(0) ; b) f ; c) f .

3. Apskaičiuokite reiškinio 3. Apskaičiuokite reiškinio

reikšmę, kai tg = 3 reikšmę, kai tg= 2

4. Suprastinkite 4. Suprastinkite

a) a)

b) (sin2 + 3cos2)2 + (cos2 – 3sin2)2 b) (2sin3 – 3cos3)2 + (2cos3 +

+ 3sin3)2

c) c)

5. Įrodykite tapatybę: 5. Įrodykite tapatybę:

a) a) =

= 2cos.

Atsakymai

I variantas II variantas

1. – 1.

2. aa) 1 ; b) -4; e) -1 2. a) 1 ; b) 0 ; c)

3. 4,5 3. –

4. a) cos2 ; b) 10 ; c) sin 4. a) ; b) 13 ; c) cosx.

Išplėstinis kursas

II variantas

I. Išspręskite lygtis:

1. 2sin2x – 5 = -5cosx

a) x = n, n  Z, b) x =  + 2n, n Z, c) x = + 2n, n Z, d) x = 2n, n  Z.

2. tgx + ctgx = -2

a) x = + n, n  Z, b) x = + n, n  Z, c) x = – + 2n, n Z,

d) x = – + n, n  Z.

3. 4sin2x = 3sinx cosx + cos2x

a) x = + n, n  Z b) x = + n, n  Z

x = arctg4 + k, k  Z x = -arctg + k, k Z

c) x = + n, n  Z d) x = – + n, n  Z

x = arctg + k, k  Z x = arctg + k, k  Z

e) kitas atsakymas

II. Išspręskite lygčių sistemą:

III. Raskite funkcijų y = sin ir y = – sinx grafikų susikirtimo taškų abscises.

IV. Išspręskite nelygybes: cosx

tg .Rodiklinių lygčių sprendimas

1 tipas. a = 1, a > 0, a 1.

Duotoji lygtis ekvivalenti lygčiai f(x) = 0.

2 tipas. a = a , a > 0, a 1.

Dutoji lygtis ekvivalenti lygčiai f(x) = g(x).

3 tipas. pa

Duotoi lygtis sprendžiama naujo kintamojo įvedimo metodu.

Pažymime ax = y ir sprendžiame lygtį py2 + qy + r = 0.

4 tipas. Lygtys sprendžiamos iškeliant už skliaustų bendrą dauginamąjį.

Pavyzdžiai:

1. 3 2. 10

Sprendimas: Sprendimas: x =

x – 4 = 00 10 Ats.: .

x = 4

Ats.: 4. 10

2x =

3. 2 4. 2

Sprendimas: Sprendimas:

2 (2  5)

2 10

x2 = 3 -2x

x2 + 2x – 3 = 0

x+1 = 25 Pagal Vieto teoremą

x = 24 x1 + x2 = -2 x1 = -3

Ats.: 24. x1  x2 = -3 x2 = 1 Ats.: -3, 1.

5. 3,24 , x 6. 0,04

Sprendimas: Sprendimas:

(1,8)2 = 3,24

1,8 =

-2 2,25x – 0,5 = 4

6 = ; 2 = 2,25x = 4,5

Ats.: 4. x = 2 Ats.: 2.

7. 3x – 3x-2 = 24

Sprendimas:

3x – 3x 3-2 = 24 arba 3x – 3x  .

3x  x = 3

3x = 24  Ats.: 3.

3x = 27 = 33

8. 4

Sprendimas:

(22)x+1,5 + 2x+2 = 4

22x+3 + 2x+2 = 4

22x  23 + 2x  22 – 4 = 0

22x  8 + 4  2x – 4 = 0

Pažymime 2x = b, 22x = b2

2b2 + b – 1 = 0

D = 1 + 2  4  1 = 9

b1 = , b2 =

Dabar sprendžiame dvi lygtis:

2x = -1 ir 2x =

2x > 0 su visomis reikšmėmis, pirmoji lygtis sprendinių neturi, iš antrosios lygties xx = -1.

Ats.: -1.

9. 0,51-2x – 0,251-x + 053-2x = 48

Sprendimas:

0,51-2x – ((0,5)2)1 + 053-2x = 48

0,51-2x – 0,52-2x + 053-2x = 48

0,51  0,5-2x – 0,52  0,5-2x + 0,53  0,5-2x = 48.

Pažymime 0,5 ir gauname

0,5a – 0,25a + 0,125a = 48

a(0,5 – 0,25 + 0,125) = 48 arba a  x = 48

a 

a = 128, dabar 0,5-2x = 128

22x = 27

2x = 7

x = 3,5 Ats.: 3,5.

10. 26  5 , x -1

Sprendimas:

26  5

pažymime 5 = b. 5 = b2, gauname kvadratinę lygt:

-5b2 + 26b -5 = 0

5b2 – 26b + 5 = 0

D = 676 – 4  5  5 = 676 – 100 = 576 = 242

b1 = , b2 =

Dabar sprendžiame dvi lygtis:

5 5

x + 1 = 1

x = 0 Ats.: 0.

11. 4cos2x + 4 = 3

Sprendimas:

Kadangi cos2x = 2cos2x-1, tai gauname

42 + 4 – 3 = 0

Pažymime 4 = b, 42 = 42  4-1 =

+ b – 3 = 0

b2 + 4b – 12 = 0 Išsprendę šią kvadratinę lygtį gauname:

b1 = -6 ir b2 = 2

Dabar sprendžiame dvi lygtis:

4 =2 4 = -6

2 = 2 Neturi sprendinių, nes 4 > 0.

2cos2x

= 1

cos2x =

cosx = ir cos = –

cosx = cosx = –

x = ; x =

Ats.: ; x =

Uždaviniai.

1. 0,82x-3 = 1 Ats.: 1,5.

2. 27-3x = Ats.: 1,5.

3. 2x+2 + 2x = 5 Ats.: 0.

4. 9x – 6  3x – 27 = 0 Ats.: 2.

5. 4x – 14  2x – 32 = 0 Ats.: 4.

6. 5x+1 – 3  5x-2 = 122 Ats.: 2.

7. Ats.: 2.

8. 8-x = 16 Ats.: – .

9. Ats.: -2, -1.

Savarankiškas darbas

1. 3x+2 + 33x = 30

2. 4x – 3  2x = 40

3. 9-x = 27

4. 3x+1 – 4  3x-2 = 69

5. 2x + 2x-3 = 18

6. 52x – 3 – 2  5x-2 = 3

7. 5x – 0,2x-1 = 4

8. 27-1  32x = 81

10. 2  3x + 3x-2 = 57Rodiklinių nelygybių sprendimas

1. 25-6x > . Kadangi , gauname nelygybę:

25-6x > 2-3. Pagrindas 2 > 1, pagal rodiklinės funkscijos savybes (funkcija didėja apibrėžimo srityje). Gauname:

5 – 6x > -3

-6x >-5 –3

-6x > -8

x < Ats.: x  .

2. < 32, kadangi 32 = 25 = pagrindas 0 <

< pagrindas 0 <

pagal rodiklinės funkcijos savybes (funkcija mažėjanti apibrėžimo srityje), gauname

-2x + 5 > -5

-2x > -10

x < 5

Ats.: ((- .

3. 0,6 < 1. Kadangi 1 = 0,60, tai gauname

0,6 < 0,60

2×2 +4x> 0

x2 + 2x > 0

x(x + 2) > 0

x = 0 x = -2

Ats.: x  (- ;-2) (0;+ ).

Sprendimas:

5 

Ats.: [-1;+ ).

Uždaviniai.

1. 54x -7 > 1 Ats.: (1,75; ).

2. 0,7x < 2 Ats.: (-2; ).

3. 40,5×2-3 > 8 Ats.: (- ; -3) (3; + ).

4. Ats.: (- ; 0).Logaritminės lygtys

Rodiklinė funkcija y = ax (kur a > 0, a 1) yra monotoniškai didėjanti, kai a > 1 ir monotoniškai mažėjanti, kai 0 < a < 1. Todėl ji turi atvirkštinę funkciją, kuri vadinama logaritmine ir žymima y = loga x (kur a > 0, a 1). Logaritminė ir rodiklinė funkcijos su ttuo pačiu pagrindu yra tarpusavyje atvirkštinės.

loga b (a >0 ir a 1) egzistuoja, jei b > 0

Logaritmas pagrindu a skaičiaus b lygus laipsnio rodikliui, kuriuo reikia pakelti pagrindą, kad gauti skaičių b. Logaritmas pagrindu 10 vadinamas dešimtainiu ir žymimas lg.

ac = b loga b = c

Pagrindinė logaritmo tapatybė:

Savybės

1) Kai a >1 ir b > 1, tai loga b >0

Kai a> 1, o 0 1, tai loga b <0

Kai 0 < a < 1 ir 0 < b < 1, ttai loga b >0.

2) Jei loga b = loga c, tai b =c.

3) Jei a > 1 ir loga b > loga c, tai b >c.

4) Jei 0 < a <1 ir loga b > loga c, tai b < c.

5) loga 1 = 0, nes ao = 1.

6) loga a = 1, nes a1 = a.

Sandaugos, dalmes ir lapsnio logaritmai

loga(x1x2.xk) = logax1 + logax2 + . + logaxk, kur a > 0, a 1, x1 >0.

loga = loga x1 – logax2, kur a >0, a 1, x1 >0, x2 >0.

loga xk = k logax, x > 0, a 1, a >0.

Pastaba. Jeigu x < 0, o k – lyginis skaičius, tai loga xk = kloga , kur a 1, a > 0

Perėjimo nuo pagrindo b prie pagrindo a formulė

logbx = , kur x >0, b > 0, b 1, a 1, a > 0.

logba = .

kur a 1, a > 0, x >0.

, kur a 1, a >0, k 0.

Pavyzdžiai:

1. Apskaičiuokite:

a) 9

b) 2

c) log

Pastaba : 0,5

d) 3log

Pastaba: , nes log ir log

log

e) lg tg

f) log

Pastaba: .

2. Raskite x:

a) log , x > 0 (Pagal logaritmo apibrėžimą)

x =

x = Ats.:

b) log

x > 00 ir x 1, kadangi . Gauname

-2log x = 53 = 125

log Ats.: 125.

5 = x

c) log . Pagal logaritmo apibrėžimą x > 0.

x = 8 Ats.: 8.

d) log3x = log38 – log38.

Suprastiname dešinę lygties pusę:

log318 – log38 = log3 = log39 = 2, nes 8 = (23) = 2

Gavome: log3x = 2

x = 32 = 9

Ats.: 9.

e) log4x = 2 log43 + log449 – log427.

Suprastinkime dešinę lygties pusę:

2 log43 + log449 – log427 = log432 + log449 – log427 = log49 + log47 – log43 = log4

Gavome lygtį: log4x = log421

x = 21 Ats.: 21.

3. Išlogaritmuokite pagrindu 10, kai

x = .

lgx = lg

4. Nurodykite funkcijų apibrėžimo sritį:

a) y = log2 (x2 – 9), egzistuoja logaritmas tik teigiamo skaičiaus, todėl

x2 – 9 >0

x2 >9

Nuliai: x = 3 ir x = -3

x  (- ; -3) (3; + ).

Ats.: x  (- ; -3) (3; + )

b) y = log3(2x – 1)

2x – 1>0

2x > 1

x > Ats.: x  .

c) y = lg (-3×2 + 5x + 2)

-3×2 + 5x + 2 < 0

3×2 – 5x – 2 <0, nustatome funkcijos nulius

3×2 – 5x – 2 = 0

D = 25  4  3  2 = 25 ++ 24 = 49 = 72

x1 = , x2 =

3×2 – 5x – 2 = 3(x – 2)(x – ) <0

x 

Ats.: x  .

d) y = lg

arba (x +2)(x – 2) >0

x  (- ; -2) (2; + ).

Ats.: x  (- ; -2) (2; + ).

Uždaviniai.

Apskaičiuokite:

1. 16 Ats.:

2. log4 log16256 + log4 Ats.:

3. log Ats.: 7.

4. 16 Ats.: 160.

Raskite x:

1. log3x = 2 log37 + log332 – log3196. Ats.: 7.

2. log = – Ats.:

3. logx Ats.: 512.

Nurodykite funkcijos apibrėžimo sritį:

1. y = log3(1-2x) Ats.:

2. y = log Ats.: (- ; 0) (2; + ).

Išspręskite logaritmines lygtis:

1) log3(3x – 5) = log3(x – 3) x > 3 (lygties ažibrėžimo sritis)

3x – 5 > 0 x -3 > 0

x > x > 3

Pagal savybes

3x – 5 = x – 3

3x – x = 5 – 3

2x = 2

x = 1 Ats.: sprendinių nėra, nes 1 <3.

2) log2(x2 – 3x + 10) = 3 Duotosios lygties apibrėžimo sritis – bet koks realus skaičius.

Pagal logaritmo apibrėžimą:

x2 – 3x + 10 = 23

x2 – 3x + 2 = 0

Pagal Vieto teoremą

x1 + x2 = 3 x1 = 2

x1  x2 = 2 x2 = 1 Ats.: 2, 1.

lg5x + lg(x – .1) = 1

x > 1 – duotosios lygties apibrėžimo sritis.

Pagal savybes lg5x  (x – 1) = 1, 1 = lg10

lg5x(x – 1) = 10

5x(x – 1) = 10

5×2 – 5x – 10 = 0

x2 – x – 2 = 0

Pagal Vieto teoremą

x1 + x2 = 1 x1 = 2

x1  x2 = -2 x2 = -1 Ats.: 2.

4) 2x – 1 > x >

lg(2x –– 1) = lg0,3 + 1; 1 = lg10

lg = lg0,3  10

= 3

2x – 1 = 9

x = 5 Ats.: 5.

lg(2x-19)-lg(3x-20)=-lgx

, lygties apibrėžimo sritis x >9,5

2x 2×2 – 22x + 20 = 0 arba

x2 – 11x + 10 = 0

Išsprendę šią kvadratinę lygtį gauname:

x1 = 1

x2 = 10 Ats.: 10.

6) log2 log3 (x -1) = 1 ; x -1 > 0 x > 1

log3 (x – 1) = 21

x – 1 = 32

x = 110 Ats.: 10.

7) log2 (3 + 2x) + log2 (5 – 2x) = 4

log2( 3 + 2x)(5 – 2x) = 4

(3 + 2x)(5 – 2x) = 24

15 + 5  2x – 3  2x – 2x  2x = 116

-22x + 2  2x – 1 = 0

Pažymime 2x = a gauname a2 – 2a + 1 = 0 (a – 1)2 = 0

a – 1 = 0

a = 1

Sprendžiame lygtį: 2x = 1

x = 0 Ats.: 0.

c) log3 x  log9x  log27x = , x >0.

Kadangi log9x =

log27x = log x = . Gauname

(log3x)3 = 8 log3x = log3x = 2

x = 32

x = 9 Ats.: 9.

9) logx+1(2×2 + 1) = 2

x > -1 ir x 0

Pagal logaritmo apibrėžimą:

2×2 + 1 = (x + 1)2

2×2 + 1 = x2 + 2x + 1

x2 – 2x = 0

x (x – 2) = 0

x = 0 ir x = 2 Ats.: 2.

10) 3log6x + log x = 4, x &> 0

Kadangi log x = gauname

3log6x – log6x = 4

2log6x = 4 log6x = 2

x = 62 = 36 Ats.: 36.

11) lg2x – lg = 0,5, x > 0.

Kadangi lg = lg x = lg x, gauname lygtį

lg2x – lg x – 0,5 = 0. Pažymime lg x = y ir gauname

y2 – y – = 0

2y2 – y – 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

y1 = y2 =

Dabar sprendžiame dvi lygtis:

lgx = 1 ir lgx = – <

x = 101 = 10 x = 10

Ats.: 10, 10 .

12) log3(log x – 3log2x + 5) = 2, x>0

log x – 3log2x + 5 = 32 = 9

log x – 3log2x – 4 = 0

Pažymime log2x = b ir gauname

b2 – 3b – 4 = 0

Pagal Vieto teoremą

b1 + b2 = 3 b1 = 4

b1  b2 = -4 b2 = -1

log2x = 4 ir log2x = -1

x = 24 = 16 x = 2 -1 = Ats.: 16, .

13) 4 = , x >0, x

Kadangi = 4-2 gauname

4 = 4-2

logx – 1 = -2

logx = -1

x-1 = arba

x = 3 Ats.; 3.

14) 5 = 125, x >0.

= 125

arba

125 = 125  5 5 = 53

1 = 5 3 – log32x = 3

50 = 5 arba log32x = 1

log32x = 0 2x = 30 = 1

2x = 30 x =

x = Ats.: .

15) (x – 1)logx25 = 0, x >0 ir x 1.

Sandauga lygi nuliui, kai vienas iš narių yra nulis

x – 1 = 0 arba logx25 = 0

x = 1 x0 = 25

1 25

Ats.: Sprendinių nėra.

16) lg2(10x) + lgx = 19, x >0

lg2(10x) = lg10x  lg10x = (lg10 + lgx)(lg10 + lgx) = (1 + lgx)(1 + llgx) = (1 + lgx)2 =

= 1 + 2lgx + lg2x

1 + 2lgx + lg2x + lgx = 19

lg2x + 3lgx – 18 = 0

lgx = a

a2 + 3a – 18 = 0

Pagal Vieto teoremą

a1 + a2 = -3 a1 = -6

a1  a2 = -18 a2 = 3

lgx = -6 ir lgx = 3

x = 10-6 x = 103 Ats.: 103 ; 10-6.

Uždaviniai

1. log x – log3x = 2. Ats.: 9;

2. log7(4x – .6) = log7(2x – 4). Ats.: Sprendinių nėra.

3. log (x2 – 4x – 1) = -2 Ats.: -1; 5.

4. log (2x – 3) = (2x + 3). Ats.: 3.

5. log2(x2 + 8) – log2(x -1) = log . Ats.: 4.

6. 3 = Ats.: 1; 16.

7. log2(22x + 16x) = 2 log412. Ats.: log43.

8. logx(x + 6) = 2. Ats.: 3.

9. lg2x2 – 3lgx2 = 4. Ats.: 100;

10. log (x2 – 3x) = 4. Ats.: -1; 4.

11. (x – 1)logx(x2 + 1). Ats.: Sprendinių nėra.

Savarankiškam darbui

1. lg(2x + 1) = 0,5 lg(1 – 0,3x).

2. log (x2 – 5x – 3) = 2.

3. log x – log x = 6.

4. log4(3x – 4) – log4(5 – x2) = 0,5.

5. log7x + log7(3x – 8) = 1 + 2log72.

6. log (x2 + 6x) = -2.

7. log3 + log = -1

8. 2log5(lgx) = log5(10 – 99lgx).

9. logx2 + log2x = 3 .

10. 5 = .

Logaritminių nelygybių sprendimas

Pavyzdžiai.

1. log3(3x – 2) > 0, duotosios nelygybės kintamojo reikšmių sritis.

3x – 2 >0

x >

logaritmo pagrindas – skaičius 3, visoje apibrėžimo srityje funkcija didėjanti, todėl

3x – 2 > 30

3x > 1 +2

3x >3

x >1 Ats.: (1 ; ).

d) log (3x – 2) > 0, x > – apibrėžimo sritis.

Logaritmo pagrindas – skaičius , visoje apibrėžimo srityje funkcija mažėja, todėl

3x – 2 <

3x < 1 + 2

3x < 3

x < 1 Ats.: x  .

e) log0,5(5x – 1) > log0,5(2x + 5),

x >

5x – 1 < 2x + 5

5x – 2x < 5 + 1

3x < 6

x <2 Ats.: .

f) log0,11

log0,11 < log0,111, nes 0 = log0,111

Ši nelygybė ekvivalenti sistemai:

arba >1

x2 + 1 visada teigiamas reiškinys, todėl

-x – 1 > 0 arba -(x + 1) >0

x + 1 < 0

x < -1 Ats.: (- ; -1).

Uždaviniai.

1. log4(6x – 8) > 2 Ats.: x  (4; + ).

2. log0,5(2x – 4) > -1 Ats.: x  (2 ; 3).

3. log16,3 > 0 Ats.: x  (1,5; + ).

Rodiklinių ir logaritminių lygčių sistemų sprendimas

Pavyzdžiai.

>0, y > 0.

Sprendžiame antrąjąlygtį – y2 + 8y – 12 = 0

y2 – 8y + 12 = 0

y1 + y2 = 8 y1 = 2

y1  y2 = 12 y2 = 6

Dabar apskaičiuosime kintamųjų x reikšmes x1 = 6 ir x2 = 2

Ats.: (6; 2) ir (2; 6).

Iš pirmosios lygties:

Sprendžiame antrąją lygtį; 3x  3  23  2x = 24

3x  2x  24 = 24 (3  2)x  24 = 24

6x = 1 arba 6x = 60 ir x = 0

y = 3 + 0

y = 3

Patikrinimas

Ats.: (0; 3).

29-7x = 21-x

9 – 7x = 1 + x

8 = 8x

x = 1

Dabar y = 9 – 7  1 = 2

Patikrinimas

Ats.: (1; 2).

4. x >0

3 + x = 10

3  3 + x = 10, bet 3 = x

9  x + x = 10

10x = 10

x = 1 y = 2 + log31 = 2 + 0 = 2 Ats.: (1; 2).

Uždaviniai

1. Ats.: (2; 4) ir (4; 2).

2. Ats.: (3; 1).

Įskaita

g) Duotos lygtys: 23-x = 1; 331-x = ; log2(x – 1) = 1; log4(5 + x) = 2.

Kokių lygčių šaknis yra skaičius 3?

h) Išspręskite lygtis: 2x = ; (0,2) = 5 ; ;

; log5x = 2; logx 0,04 = 2; logx = -3;

log3x – 1 = 0; log x = 4; log x – 2 = 0; log (2x+1) = log (x – 1);

log (x2 – 15) = 0.

3. Išspręskite nelygybes: 3 > ; ; 0,5 >8;

0,3 ; lg(x -1) >0; log (2 + 3x) ; log ; log .

Log5x < log54.

4. Nurodykite apibrėžimo sritį: y = lg(x2 – 4x + 10); y = lg ;

y = ; y = .

Laipsnio sąvokos apibendrinimas

Apskaičiuokite:

1 variantas

a) (7 d)

b) e)

c) 2  (-3) f) log 9  log

2 variantas

a) 12 d)

b) e) (log 2 + log 3 + 2

c) f) log 125 : log 64  log 81

Rodiklinių lygčių ir nelygybių sprendimas (bendrasis)

1. 3x – 2  3x-2 – 63 = 0

A 4 ; B -1 ; C 2 ; D 0

A 1 ; B -2 ; C ; D .0

A 0 ; B 1 ; C -1 ; D 2

4. 4

A -3 ir 1 ; B 4 ir 00 ; C 2 ; D 1 ir -2

A 2 ir 3 ; B -2 ir -3 ; C -6 ir 1 ; D 0 ir 6

6. 2x+3 = 4x

A 0 ; B 3 ; C -2 ; D -3

7. 4x – 10  2x-1 = 24

A 1 ir -3 ; B 3 ; C 1 ir 0 ; D 1

8. 2x+3 < 4x

A (3; + ) ; B (- ; -3) ; C (-3; 3) ; D (1; + )

A (-2; 3) ; B (-3; 2) ; C (- ; -3) (2; + ) ; D [2; + )

10.

A (- ; 0) ; B (0; + ) ; C (-1; 1); D (0; 1)

Rodiklinių lygčių ir nelygybių

sprendimas (išplėstinis)

A 5 ir -3 ; B -3 ir 5 ; C 1 ir -3 ; D 3 ir -1 ; E kitas atsakymas

A -1 ; B 0 ir 1 ; C 2 ; D (0; 1) ; E kitas atsakymas

3. 9  31-2x = 272-x

A 0 ; B 3 ; C 1 ; D -3 ; E kitas atsakymas

4. 9x-1 – 32x-4 = 72

A 2 ; B -2 ; C 3 ; D 0 ; E kitas atsakymas

5. 32x+1 – 8  3x = 3

A 3; – ; B 0; 1 ; C 1 ; -1 ; D 1 ; E kitas atsakymas

6. 3x-1 + 2  3-x-1 -1 = 0

A 1 ir 2 ; B 0 ir log32 ; C 1 ir 0 ; D kitas atsakymas

A 2 ir 3 ; B 0 ir 1 ; C -1 ir 0 ; D kitas atsakymas

8. 9x + 4x+1,5 = 6x+1

A log ir 2 log ; B -2 ir 0 ; C 1 ir 0 ; D 0; -1

9. 43x + 42x+1 = 4x + 4

A -1; 1 ; B 0 ; C -1 ir 0 ; D kitas atsakymas

10.

Sprendimas

;

4x = 8

x = 2

4 – y = 1

y = 3

(2; 3)

11.

A (- ; B {-3; 0) ; C (-3; 0) ; D [0; + ) ; E kitas atsakymas

12.

A [-1; ; B (- ; -1] ; C (- ; -1) ; D kitas atsakymas

13.

A (- ; -0,8) (1; + ) ; B (- ; 0) ; C (0; + ); D kitas aatsakymas

14.

A (-2; 0); B {0; 2) ; C (4; 1) ; D kitas atsakymas

Kontrolinis darbas

„Rodiklinės ir logaritminės lygtys bei nelygybės“

(bendrasis kursas)

I variantas

1. Apskaičiuokite:

a) Jei 12x = 3, paskaičiuokite 122x-1.

b) 12  6  (0,5)

c) 3

1 grupė 2 grupė

2. Išspręskite lygtis:

1. 6 1. log2(2x – 1) = 3

2. 225  152x+1 = 1 2. log5

3. 49x+1 = 3. lg(5x + 2) =

4. 9x – 10  3x + 9 = 0 4. log x – 2log2x = 3

5. * 5. *

3. Išspręskite nelygybes:

1. 1. log0,5(2x + 1) > -2

2. 2. log7(2x – 1) < 2

3. 0,7x < 3.

II variantas

1. Apskaičiuokite:

a) (27  2  2)

b) Jei 8x = 5, raskite 8-x+2

c) 8

1 grupė 2 grupė

2. Išspręskite lygtis:

1. 4 1. log

2. 3x + 3x+1 = 4 2. log4(1 – 2×2) = log4(1 – 6x)

3. 3. log4x + log4x(x – 6) = 2

4. 52x – 6  5x + 5 = 0 4. log

5.* 5.*

3. Išspręskite nelygybes:

1. ( )x-6 < 1. log

2. 2. .

3. 0,9x 3. log3(1 – x) > log3(3 – 2x)

Išplėstinis kursas

I variantas

1. Apskaičiuokite

a) log2a = 14 Raskite 1) log2(8a) 2) log2a3

b) c)

log4 log981 + log3

1 grupė 2 grupė

2. Išspręskite lygtis:

1. (1,5)x  1. log3(x – 2) + log3 (x + 4) = 3

2. 52x-3 – 2  5x-2 = 3 2. log

3. 0,23-2x + 3  0,042-x = 8 3. log5(3x – 1) – 2log5(2x + 1) = log 3

4. 4. log (1 – x) – 2log2(1 – x) = 3

5. 5.

3. Išspręskite nelygybes:

1. 3 1. log2(x2 – x – 2)

2. 2,5 2. (x – 33) log x

II variantas

3. Apskaičiuokite:

a) log3a = 2, log3b = 6. Raskite 1) log3(a2b) ; 2) log3

b) c)

d) 9

4. Išspręskite lygtis:

1 grupė 2 grupė

1. (0,4)x  1. log (x – 3) + log (x – 3) = 2

2. 27-5x – 2. log7(2x + 3) – 2log7 (3x + 1) = log 2

3. 5x – 3. log (x2 + 4x – 2) = -1

4. 4 4. log4

5. 5.

5. Išspręskite nelygybes:

1. 1. log2(x2 – 13x + 330) < 3

2. 2. (2x + 1)(log x + 2) > 0

Literatūros sąrašas

Matematikos žinynai ir enciklopedijos.