Apibrežtinis integrantas
22. Apibrėžtinio integralo apibrėžimas ir geometrinė prasmė. 1-7 jo savybės.
Sakykime, kad atkarpoje [a;b] apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija f(x). Figura, apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų- tiesių x= a ir x=b, iš viršaus – funkcijos f(x) grafiko, vadinama kreivine trapecija. Apskaičiuosime šios trapecijos plota: atkarpą taškais bet kaip padaliname į n dalių. Kiekvienoje dalyje bet kur pasirin-kime po tašką c ir suraskime funkcijos reikšmę tame taške. Kiekvieną atkarpą laikydami kraštine, nubraižykime stačiakampį, kurio pagrindas xi=xi-xi-1, o aukštinė lygi f(ci). GGausime laiptuotą figūrą. Apskaičiuokime jos plotą. Kiek-vieno stačiakampio plotas bus lygus f(ci)
, todėl visos laiptuotos figūros plotas lygus tokių demenu sumai. Laiptuotos figūros plotas bus tuo artimesnis kreivinės trapecijos plotui, juo bus mažesnės atkarpos. Pažymekime max xi raide . Tikslią kreivinės trapecijos ploto reikšmę S gausime apskaičiavę sumos ribą, kai 0. Vadinasi,
Aprašytą procedurą pritaikykime bet kokiai tolydžiai funkcijai f(x), apibrėžtai intervale [a;b]:
1) sudarykime sumą
, kuri vadinama Rymano integraline suma
2) Apskaičiuokime šios sumos ribą, kai
Apibrėžimas: Jei egzistuoja baigtinė integralinės ssumos riba, kai 0, nepriklausanti nuo atkarpos [a;b] skai-dymo būdo bei nuo parinktų taškų ci, tai ta riba vadinama funkcijos apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a;b]. Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu
Taigi
skaičiai a ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu rėžiais. Ši formulė rrodo, kad galima formaliai integralinės sumos ribą pakeisti apibrėžtiniu integralu. Jeigu funkcijos f(x) integralinė suma turi baigtinę ribą, tai funkciją vadiname integruojama Rymano prasme atkarpoje [a;b] arba integruojama atkarpoje [a;b].Taigi geometrinė prasme integralas yra kreivines trapecijos plotas.
Apibrėžtinio integralo savybės : sakykime, kad f(x) ir g(x) integruojamos atkarpoje [a;b]. Tuomet teisingi šie teiginiai:
1.
čia ir – konstantos.
2. Apibrėžtiniame integrale darėme prie-laidą, kad ab, tai sutarsime, kad
3. Kad ir kokie būtų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė:
4. Jei f(x)>=0, tai
5. Jei f(x)>=g(x)atkarpoje [a;b], tai
6. Tarkime, kad m=min f(x), M=max f(x), kai x priklauso [a;b]. Tada
23. Vidurinės reikšmės teorema.
Teorema: Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai egzistuoja atkarpos taškas c, kuriame:
Įrodymas: Kadangi funkcija tolydi atkar-poje [a;b], tai jji šioje atkarpoje ygyja mažiausią ir didžiausią reikšmę m ir M, todėl m<=f(x)<=M. Tuomet teisingos nelygybės. Padaliję jas iš b-a>0, gauname
Taigi pagal teoremą apie tolydžios atkar-poje funkcijos tarpinę reikšmę jis yra funkcijos f(x) tarpinė reikšmė, įgyjama, pvz, kuriame nors taške c. Todėl iš čia ir gauname
iš čia gaunasi:
Pvz.:
24. Apibrėžtinis integralas su kintamu vir-šutiniu rėžiu. Jei funkcija f(x) integruo-jama atkarpoje [a;b], tai ji bus integruo-jama ir atkarpoje [a;b], xe [a;b]. Nagrinėsime integralą
, kuris geometriškai reikštų kreivinės tra-pecijos turinčios kintamą kraštinę ,, plotą. Aišku, kad tokios trapecijos plotas bus kintamas ir priklausys nuo x. Todėl
Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai ((x))’=f(x) šios atkarpos taškuose. Įrodymas: Kintamajam x suteikiame pokytį x ir apskaičiuojame pokytį :
=(x+x)- (x)=
Šiam integralui taikome vidurinės reikšmės teoremą. Tuomet
Pasinaudosime išvestinės apibrėžimu:
Kadangi cx,kai x0, tai dėl f(x) tolydumo
Taigi ’(x)=f(x)
Ši lygybė reiškia, kad funkcija(x) yra funkcijos f(x) pirmykštė atkarpoje [a;b].
Išto gauname svarbią išvadą: kiekviena tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi
pirmykštę funkciją (x)=
25 Niutono ir Leibnico formulė
Teorema. Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b] ir F(x)- kuri nors jos pirmykštė šioje atkarpoje, tai
Įrodymas. Remiantis ankstesne teorema (Jei fukcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai ((x))’=f(x) šios atkarpos taškuose.), galima teigti, kad tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi pirmykštę, lygią
Kadangi pagal sąlygą F(x) irgi yra funkcijos f(x) pirmykštė, tai jos turi skirtis tik konstanta, todėl
Įrašę į šią lygybę reikšmę x=a, gauname
0=F(a)+C, C=-F(a).
Taigi
Įrodyta.
Skirtuma F(b)-F(a) įprasta žymeti F(x)ab. Tuomet Niutono ir Leibnico formulė rašoma taip:
.
26apibrėžtinio integralo skaičiavimas keičiant kintamąjį
Šis metodas pagrįstas tokia teorema.
Tarkime, kad integrale
kintamasis x pakeistas pagal formulę x=(t). Jeigu:
1) f(x) tolydi atkarpoje [a;b],
2) (t) ir ’(t) tolydžios atkarpoje [;],
3) (t) reikšmių aibė yra atkarpa [a;b], be to, ()=a, ()=b, tai
Įrodymas. Skaykime, kad F(x)-funkcijos
f(x) pirmykštė aatkarpoje [a;b]. Tuomet, panaudoję Niutono ir Leibnico formulę, gauname:
Išvestinę F'(j(t)) apskaičiuosime,
taikydami sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę
F'((t))=f ((t)) ’(t).
Vadinasi,
3.2
27.Integralas su simetriniais režiais. Tarkime, kad (x)-tolydi atkarpoje [-a,a](a>0)funkcija. Tuomet
Įrodymas.
Pirmajame integrale pakeisime kintamąjį: x=-t, dx=-dt. Kai x=-a, tai iš x=-t gauname t=a, o kai x=0, tai iš tos pačios lygybės turime t=0, todėl
Tuomet
Jei (x)-lyginė funkcija, tai (-x)=(x) ir (-x)+(x)=2(x). Jei (x) – nelyginė funkcija, tai (-x)=-(x) ir (-x)+(x)=0. Iš to išplaukia reikiama lygybė.
28Integravimas dalimis
Šis metodas pagrįstas tokia teorema.
Teorema. Sakykime, kad u(x) ir v(x) – diferencijuojamos atkarpoje [a;b] funkcijos. Tuomet
Įrodymas. Panaudoję lygybę d(uv)=udv+vdu bei Niutono ir Leibnico formulę, gauname:
Taigi
Iš čia
Įrodyta.
29Integralai (nN)
Pirmiausia įrodysime, kad šie integralai yra lygūs. Pakeiskime kintamąjį:x=/2-t,dx=-dt.Tuomet Dabar apskaičiuosime
integralą
Integruosime dalimis: u=sinn-1x, dv=sinxdx. Tuomet du=(n-1)sinn-2xcosxdx, v=-cosx. Vadinasi,
Kadangi
tai
Taigi gavome rekurentinį sarišį
In=(n-1)(In-2-In),In=(n-1)In-2-(n-1)In,In-(n-1)In =(n-1)In-2,In=((n-1)/n)In-2.Panaudoję šią formulę, gautumeIn-2=(n-3/n-2) In-4,
todel In=(n-1/n)(n-3/n-2) In-4.
Pratęsę šį procesą, gautume I1, kai n – nelyginis, arba I0, kai n – lyginis.
Kai n-lyginis (n=2m), tai
čia
Kai n – nelyginis (n =2m+1), tai
čia
Simboliu n!! (Skaitysime “dvigubas faktorialas”) pažymėsime vientik lyginių skaičių iki n sandaugą, jei n- lyginis, ir vien tik nelyginių iki n skaičių sandaugą, jei n – nelyginis. Tuomet
Trumpiau šias dvi lygybes galima parašyti taip:
31Integralo kovergavimas.
Tarkime, kad ; tada
Jeigu >1, tai -1>0 iir , kai x, todėl Taigi integralas konverguoja. Jeigu <1, tai
-1<0 , 1 – >0 ir x1-+, kai x+, todėl integralas diverguoja.
Kai = 1, tai
Vadinasi, integralas kon-verguoja, kai >1, ir diverguoja, kai <=1.
32Netiesioginių integralų su begaliniais
rėžiais konvergavimo požymiai.
1 teorema (Koši kriterijus). Integralas
konverguoja tada ir tik tada , kai
Sprenžiant uždavinius, Koši kriterijus
taikomas retai; dažniausiai paisoma kitų,
paprastesnių požymių.
2 teorema (palyginimo požymis ). Jeigu
su visomis x>=a reikšmėmis teisinga
lygybė 0<=f(x) =0, integralas
reiškia figūros, apribotos kreivės y=f(x), ašies Ox ir tiesių x=a, x=b, plotą, o netiesioginis integralas –
begalinės figūros, apribotos kreivės
y=f(x), ašies Ox ir tiesės x=a, plotą.
Pagal Niutono ir Leibnico formulę matyti,
Kad netiesioginis integralas
Konverguoja tada ir tik tada, kai egzistuoja baigtinė riba
33Trųkiųjų funkcijų netiesioginiai integralai.
Tarkime, kad funkcija f(x) yra tolydi intervale (a;b], o taške x=a turi antros rūšies trūkį. Taigi taške x=a ji yra neapibrėžta, kartu dėl šios priežasties neintegruojama atkarpoje [a;b]. Tačiau tarkime, kad į dešinę nuo taško a, pavyzdžiui, atkarpoje [a+ ; b] (0<
