Apskritimas

Pagrindinės sąvokos

Tiesės Atkarpa, jungianti apskritimo centą su bet kuriuo apskritimo tašku,

vadinama apskritimo spinduliu. Spinduliu vadinamas ir atstumas nuo

apskritimo centro iki bet kurio jo taško. Spindulys formulėse žymimas r

arba R.

Taškas, nutolęs nuo apskritimo centro už spindulį mažesniu atstumu,

vadinamas tašku apskritimo viduje, o taškas, nuo apskritimo centro nutolęs

didesniu už spindulį atstumu, vadinamas tašku apskritimo išorėje.

Tiesės Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinama apskritimo styga.

Styga, einanti per apskritimo centrą, vadinama apskritimo skersmeniu.

Skersmuo formulėse žymimas d arba D. Skersmens ilgis lygus dviems

apskritimo spinduliams (D = 22·R).

Vienoje stygos pusėje esanti apskritimo dalis, įskaitant ir stygos galinius

taškus, vadinama apskritimo lanku. Apskritimo lankas, susietas su

skersmeniu, vadinamas pusapskritimiu.

Viso apskritimo ilgis: [pic]

Apskritimo ribojama plokštumos dalis, vadinama skrituliu.

Apskritimo lygtis

Apskritimas yra antros eilės kreivė, kurios lygtis stačiakampėje (Dekarto)

koordinačių sistemoje, kai centro koordinatės (a, b), o spindulys r,

užrašoma formule:

[pic].

Ši lygtis vadinama bendrąja apskritimo lygtimi.

Apkritimo, kurio centras yra koordinačių pradžios taške (0, 0), lygtis yra:

x2 + y2 = r2. Ši lygtis vadinama kanonine apskritimo lygtimi.

Apskritimas yra atskiras elipsės atvejis.

Polinėje koordinačių sistemoje apskritimo koordinatės xx ir y išreiškiamos

taip:

x = a + r·cos(φ),

y = b + r·sin(φ).

Apibrėžtinis apskritimas

Apskritimas, kuris eina per visas daugiakampio viršūnes, vadinamas

apibrėžtiniu apskritimu, o daugiakampis vadinamas įbrėžtiniu daugiakampiu.

[pic]

Apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti vienintelį apskritimą. Iš to

galima daryti išvadą, kad vienintelį aapskritimą galima nubrėžti ir per bet

kuriuos tris plokštumos taškus, nesančius vienoje tiesėje.

Apie trikampį apibrėžto apskritimo centras yra to trikampio kraštinių

vidurio statmenų susikirtimo taškas.

Apskritimą apibrėžti galima tik apie tą keturkampį, kurio priešingųjų kampų

suma lygi 180°.

Apie kiekvieną taisyklingąjį daugiakampį galima apibrėžti vienintelį

apskritimą.

Įbrėžtinis apskritimas

Apskritimas, kuris liečia visas daugiakampio kraštines, vadinamas

įbrėžtiniu apskritimu, o daugiakampis vadinamas apibrėžtiniu daugiakampiu.

[pic]

Į trikampį galima įbrėžti vienintelį apskritimą. Į trikampį įbrėžto

apskritimo centras yra trikampio pusiaukampinių susikirtimo taške.

Į keturkampį galima įbrėžti apskritimą tik tuomet, kai keturkampio

priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios.

Į kiekvieną taisyklingąjį daugiakampį galima įbrėžti vienintelį apskritimą.

Apskritimo ir tiesės tarpusavio padėtis

[pic][pic][pic]

Tiesė ir apskritimas gali neturėti bendrų taškų (a), gali turėti vieną

bendrą tašką (b) arba du bendrus taškus (c).

Apskritimo kirstinė

Tiesė, turinti su apskritimu du bendrus taškus, vadima apkritimo kirstine.

Kirstinės savybės:

• Vienodai nuo centro nutolusių kirstinių ilgiai yra lygūs.

• To paties ilgio kirstinės visada yra vienodai nutolę nuo centro.

• Kirstinei statmenas apskritimo spindulys dalija ją pusiau.

• Atkarpa, jungianti kirstinės vidurio tašką ir apskritimo centrą, yra

statmena šiai kirstinei.

• Kirstinės vidurio statmuo eina per apskritimo centrą.

Apskritimo liestinė

Tiesė, turinti su apskritimu vieną bendrą tašką, vadinama apskritimo

liestine.

Liestinės savybės:

• Liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką ([pic]).

• Per lietimosi tašką išvestas liestinės statmuo eina per apskritimo

centrą.

• Iš bet kurio apskritimo išorėje esančio taško galima nubrėžti tik dvi

skirtingas apskritimo liestines.

• Iš to paties plokštumos taško nubrėžtų apskritimo liestinių atkarpos

(nuo taško, esančio apskritimo išorėje, iki lietimosi taškų) yra

lygios (AC = BC).

Dviejų apskritimų tarpusavio padėtis

[pic][pic][pic]

Du plokštumos apskritimai, kurių centrai sutampa, vadinami koncentriniais

(a). Du koncentriniai apskritimai, kurių spinduliai vienodi, sutampa, o

koncentriniai apskritimai su skirtingais spinduliais bendrų taškų neturi

(a).

Du nekoncentriniai apskritimai plokštumoje gali neturėti bendrų taškų (b ir

c), gali turėti vieną bendrą tašką (d ir e) arba du bendrus taškus (f).

[pic][pic][pic]

Dviejų apskritimų lietimosi taškas priklauso jų centrus jungiančiai tiesei.

Centrinis kampas

Kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre, o kraštinės kerta apskritimą,

vadinamas centriniu kampu.

Centrinio kampo, nedidesnio už pusapskritimį, laipsninis matas yra lygus jį

atitinkančio apskritimo lanko laipsniniam matui. Centrinis kampas, kuris

remiasi į pusapskritimį, yra ištiestinis ir jo laipsninis matas lygus 180

laipsnių.

Įbrėžtinis kampas

[pic]

Įbrėžtiniai kampai ACB ir ADB yra lygūs, nes remiasi į tą patį lanką

Kampas, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės kerta apskritimą,

vadinamas įbrėžtiniu kampu.

Įbrėžtinio kampo laipsninis matas yra lygus pusei jį atitinkančio

apskritimo lanko laipsninio mato.

Įbrėžtinio kampo savybės:

• Įbrėžtiniai kampai, besiremiantys į tą patį lanką yra lygūs.

• Įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į pusapskritimį, yra statusis.

• Įbrėžtinis kampas lygus pusei centrinio kampo, besiremiančio į tą patį

lanką.