ARITMETINIAI ŽENKLAI

IR ŽYMENYS

KAUNO “VERSMĖS” VID. MOKYKLOS MOKINĖ

NERINGA STATKEVIČIŪTĖ

Skaitmenis, aritmetinių veiksmų žymėjimo ženklus ir kitus matematikos simbolius žmonės kūrė pamažu per daugelį amžių, glaudžiai siedami juos su aritmetika. Dauguma jų atsirado iš piešinių, brėžinių, raidžių ir žodžių santraupų. Tai ilgai trukusios matamatikos raidos rezultatas.

Kai kurie matematinių sąvokų ženklai atsirado dar senovėje. Tačiau vieningų aritmetinių simbolių nebuvo net iki XV a. Iki šio amžiaus visi dydžiai ir veiksmai, sąlygos bei atsakymai buvo reiškiami tik žodžiais. Todėl tų laikų aalgebra vadinama retorine, t.y. žodine. Tik antrojoje XV a. pusėje kai kuriose Europos šalyse atsirado pirmieji algebros simboliai ir buvo pradėtos vartoti raidės.

XVI amžiaus pabaigoje prancūzų matematikas Fransua Vietas, remdamasis prieš jį susiformavusia simbolika, pradėjo raidėmis žymėti ne tik nežinomuosius, bet ir prie jų esančius koeficientus, pradėjo vartoti bendrą raidinę simboliką. Tačiau užrašydamas lygtis, F. Vietas vietoj simbolių dar vartojo daug žodžių. Vietoj lygybės ženklo jis rašė žodį “lygu” ir t.t.

Dar XV – XVI a. sudėtis buvo žžymima lotyniška raide p ( pirmoji žodžio plus – “daugiau” raidė ), atimtis – raide m ( pirmoji žodžio minus – “mažiau” raidė ). Sudėčiai žymėti buvo vartojamas ir lotyniškas žodis et ( reiškiantis “ir”), kuris, kaip manoma, greitraštyje virto žženklu + . Ženklai + ir – jau pasitaiko XV a. devintojo dešimtmečio rankraščiuose, bet spausdinti pirmą kartą pasirodo Vidmano aritmetikoje. XVII a. minusas buvo žymimas – . Ženklas – randamas ir L. Magnickio “Aritmetikoje”.

Dabartinėje matematikoje vyrauja vienodi arirmetiniai ženklai ir žymenys. Jais naudojasi visame pasaulyje.

SUDĖTIS. Tai prie skaičiaus a pridėti skaičių b – reiškia skaičių a pakeisti b vienetų. Bet koks skaičius, prie jo pridėjus teigiamą skaičių, padidėja, o pridėjus neigiamą skaičių, sumažėja. Sudėtis žymima simboliu “+” ( plius ).

PVZ.: 26+12=38;

-14+2= – 12

Sudėties savybės:

Su bet kuriuo skaičiumi a yra teisinga lygybė:

0+a=a+0=a; a+(- a)=0

Su bet kuriais skaičiais a ir b teisinga lygybė:

a+b=b+a

Su bet kuriais skaičiais a,b ir c teisinga lygybė:

(a+b)+c=a+(b+c)

Taikant šias sudėties savybes, veiksmus galima atlikti bet kkuria tvarka ir paprasčiau apskaičiuoti kelių dėmenų sumą. Jeigu reikia sudėti keletą teigiamų ir neigiamų skaičių, galima atskirai sudėti teigiamus ir atskirai neigiamus skaičius, po to prie teigiamų skaičių sumos pridėti neigiamų skaičių sumą.

Sudedant paprastąsias trupmenas su vienodais vardikliais, sudedami jų skaitikliai, o vardiklis paliekamas tas pats.

PVZ.: +=

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėti galima pakeisti trupmenų su vienodais vardikliais sudėtimi. Norint sudėti trupmenas su ne vienodais vardikliais, reikia rasti tų trupmenų bendrą vardiklį, paprastesnį negu vardiklių sandauga, ir ddaugiklius, o skaitiklius sudėti.

ATIMTIS. Norint iš vieno skaičiaus atimti kitą, reikia prie turinio pridėti skaičių, priešingą atėminiui.

PVZ.: 169 – 152= 17;

– 20 – 39= – 59 ; 41 – ( – 17 )= 58

Dviejų skaičių skirtumas yra teigiamas, kai turinys yra didesnis už atėminį, ir neigiamas, kai tuerinys mažesnis už atėminį. Kai turinys ir atėminys lygūs, skirtumas lygus nuliui. Atimtimi galima spręsti įvairius dydžių kitimo uždavinius.

Norint iš vienos trupmenos atimti kitą trupmeną su tuo pačiu vardikliu, reikia iš pirmos trupmenos skaitiklio atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti tą patį. Atiminėjant trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausiai randame bendrąjį tų trupmenų vardiklį ir dauginamuosius, o skaitiklius atimame vieną iš kito.

PVZ.:  – =

DAUGYBA. Daugybos ženklą X 1631m. įvedė anglų matematikas Viljamas Otredas. Tašku daugybos veiksmą visada žymėjo įžymus XVII a. vokiečių matematikas G. Leibnicas ( iki tol tašku daugybos veikmą žymėjo Regiomontanas ( XV a.), vėliau, 1631m., Tomas Hariotas ).

Padauginti, reiškia, vieną skaičių padidinti kito skaičiaus kiekiu.

PVZ.: 5•6=30;

23,12•0,33=7,62

Dauginant du skaičius su skirtingais ženklais, reikia sugaudinti tų skaičių modulius, o prieš gautą atsakymą parašyti minuso ženklą.

PVZ.: −33•12= –396

Keičiantis bet kurio dauginamojo ženklui, keičiasi ir sandaugos ženklas, o modulis lieka tas pats. Jeigu kkeičiasi abiejų dauginamųjų ženklai, tai sandaugos ženklas keičiasi du kartus, todėl jis lieka nepakitęs:

8 •1,1= 8,8;

( –8 )•1,1= – 8,8;

( – 8 )•( –1,1)= 8,8

Dauginant du neigiamus skaičius, reikia dauginti jų modulius. Sandauga gali būti lygi nuliui tik tada, kai nors vienas dauginamasis lygus nuliui.

PVZ.: 555,198 • 0 = 0

Norint sudauginti trupmeną iš trupmenos, reikia sudauginti jų skaitiklius bei sudauginti vardiklius ir pirmąją sandaugą rašyti trupmenos skaitiklyje, o antrąją – vardiklyje.

PVZ.:  •  = 

DALYBA. Pirmą kartą dvitaškiu dalybos veiksmą užrašė Džonsas 1633m. Anglijoj ir JAV iki šiol dalyba kartais žymima ženklu ÷ , kurį įvedė Džonas Pelis. G. Leibnicas dalybos veiksmą irgi žymėjo dvitaškiu.

Padalinti – tai pirmąjį skaičių sumažinti antrojo skaičiaus kiekiu.

PVZ.: 32 : 8 = 4

Dalinant iš neigiamo skaičiaus, kaip ir dauginant, atsakymo ženklas virsta neigiamu:

PVZ.: ( – 22 ) : 3,66 = (– 6,01);

Padalinus du neigiamus skaičius, atsakymas bus teigiamas. Dalinant nulį iš bet kokio skaičiaus, nelygaus nuliui, gaunamas nulis.

642 : 0 = 0

Norint padalinti vieną trupmeną iš kitos, reikia pirmąją trupmeną padauginti iš trupmenos, atvirkštinės antrąjai.

PVZ.:  :  =  •  = 

LYGYBĖ. Ji žymi veiksmo atsakymą.

PVZ.: 6 + 9 = 15

Lygybės žženklą “=” pradėjo vartoti anglų gydytojas Robertas Rekordas 1557m.

PROCENTAI. Procento ženklas % kildinamas iš italų kalbos žodžio cento ( šimtas ), kuris procentiniuose skaičiavimuose dažnai buvo rašomas sutrumpintai cto. Vėliau, greitraštyje paprastinant rašybą, raidė t virto pasviru brūkšneliu ir taip atsirado dabartinis procento ženklas – %.

SKLIAUSTAI. Kaip ir aritmetikoje, algebroje vartojami skliaustai, kurie nurodo veiksmų eilę: pirmiausia atliekami skliaustuose nurodyti veiksmai.

PVZ.: (0,6739+1,4261) • 557,55 : (16,7 • 2,9 – 42,13) =

=2,1 • 557,55 : ( 48,43 – 42,13 ) = 2,1 • 557,55 : 6,3 =

=1170,855 : 6,3 = 185,85

Jeigu skliaustų nėra, tai pirma dauginama arba dalinama, o po to sudedama ir atimama. Skliaustai ir šiuolaikinis lygybės ženklas pirmą kartą aptinkami XVI a. matematikų darbuose.

NELYGYBĖS ŽENKLAI. Pirmą kartą juos pavartojo anglų mokslininkas Hariotas. Nelygybės ženklai yra du: > ( daugiau ) ir < ( mažiau ). Jie pradėti vartoti pirmojoje XVII a. pusėje. Nelygybės ženklai naudojami skaičiams palyginti.

PVZ.: 2<3<4;

68>44;

999<1001

LAIPSNIO RODIKLIS. Panašiai kaip Diofantas, XVI a. ir iš dalies XVII a. Europos matematikai nežinomojo antrąjį laipsnį vadino “jėga” ( lotyniškai census ), arba “kvadratu” ( quadratus), trčiajį laipsnį – “kubu” ( cubus ). Vietas vartojo šias santaupas:

N ( numeris, skaičius ) – pirmajam laipsniui žymėti, Q – antrajam, C – trečiajam, QQ – ketvirtajam ir t.t.

PVZ.: 1C–8Q=16N aequatur 40

Dabar rašoma taip:

x³ – 8x² +16x = 40

M. Štifelis rašė AAA vietoj A³; XVII a. pradžios anglų matematikas T. Hariotas rašė aaaa vietoj a4 . Anglas Otredas 1631m. rašė Aq vietoj A², Ac – vietoj A³, Aqq – vietoj A4, Aqc – vietoj A5 ir t.t.

Šiuolaikinį užrašą Y², Y³, Y4 ir t.t. pradėjo vartoti DDekartas ir sistemingai jį vartojo savo “Geometrijoje”. Dekartinis laipsnių žymėjimas, kurį XVII a. vartojo Volis, Niutonas ir kiti, išliko ir iki šių dienų.

Reiškinys aⁿ vadinamas laipsniu, raidė n – laipsnio rodikliu, o raidė a – laipsnio pagrindu.

PVZ.: 5² = 5 • 5 = 25;

4³ = 4 • 4 • 4 = 64

Susitarta laipsnį, kurio rodiklis 1, laikyti lygiu laipsnio pagrindui.

PVZ.: 8¹ = 8 ;

(– 4,5)¹= – 4,5;

a¹ = a

Kai reiškinys be skliaustų ir turi llaipsnių, tai, norint rasti to reiškinio reikšmę, pirmiausia reikia laipsnius pakeisti jų reikšmėmis, o paskui atlikti kitus nurodytus veiksmus. Kai reiškinys su skliaustais, pirmiausia atliekami veiksmai skliaustuose.

PVZ.: 2 + 5³ = 2 +125 = 127;

( 2 • 5 )³ == 10³ = 1000;

( 2 + 5)³ = 7³ = 343

ŠAKNIES ŽENKLAS. Nuo XIII a. italų ir kiti Europos matematikai šaknį žymėjo lotynų kalbos žodžiu Radix ( šaknis ) arba sutrumpintai R, vėliau Ŗ.XV a. N. Šiukė vietoj  rašė R²12.

Dabar vartojamas šaknies ženklas yra kilęs iš XV – XVI a. vokiečių matematikų vartoto ženklo. Jie algebrą vadino “kos”, o algebristus – kosistais. Kai kurie XV a. vokiečių kosistai kvadratinę šaknį žymėjo tašku prieš skaičių arba reiškinį, Greitraštyje šie taškai virto brūkšneliais, o vėliau – simboliu • . 1480m. lotynų kalba parašytame rankraštyje prieš skaičių esantis vienas taškas • reiškė kvadratinę šaknį, do tokie ženklai •• – ketvirtojo laipsnio šaknį, o trys ••• – kubinę šaknį.

Manona, kad iš šių ženklų vėliau atsirado ženklas ٧, artimas dabartiniam šaknies ženklui, tik be viršutinio brūkšnelio. Pirmą kartą šis ženklas pasirodė 1525 m. Strasburge išspausdintoje vokiečių algebroje “Greitas ir gražus skaičiavimas, kuris remiasi puikiomis algebros taisyklėmis, vadinamomis Kos”. Knyga turėjo didelį pasisekimą ir buvo perspausdinta daugelį kartų per visą XVI a., net iki 1615m. Šitą šaknies ženklą XVI a. vartojo M. Štifelis, S. Stevinas. Pamažu šis žymuo išstūmė ženklą R. Tik 1637 m. Renė Dekartas šaknies ženklą sujungė su hhorizontaliu brūkšneliu ir savo “Geometrijoje” šaknies ženklą jau žymėjo √¯ .

Artimesnį šiuolaikinei šakniai simbolį vartojo Niutonas “Visuotinėje aritmetikoje” ( 1685 m. ). Taip, kaip dabar, šaknį pirmą kartą užrašo prancūzas Rolis 1690 m . savo knygoje “Algebros vadovėlis”. Dabartinis šaknies ženklas visuotinai imtas vartoti tik XVIII a.

Būtinumas kelti laipsniu bei traukti šaknį, kaip ir kiti keturi aritmetikos veiksmai, atsirado iš praktinės žmonių veiklos. Jau prieš 4000 m. Babilonijos mokslininkai, be daugybos ir atvirkštinių dydžių lentelių, sudarinėjo skaičių kvadratų ir kvadratinių šaknų iš skaičių lenteles. Be to, jie mokėjo apskaičiuoti kvadratinės šaknies iš bet kurio sveikojo skaičiaus apytikslę reikšmę.

Aritmetine kvadratine šaknimi iš skaičiaus a vadinamas neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a.

Aritmetinė kvadratinė šaknis iš skaičiaus a žymima taip: √¯a . Ženklas √¯ vadinamas aritmetinės kvadratinės šaknies ženklu; reiškinys, esantis po šaknies ženklu, vadinamas pošaknio ženklu.

PVZ.: √¯9 = 3² = 3

Bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas, todėl, kai a < 0, reiškinys √¯a neturi prasmės.

PVZ.: Neturi prasmės: √¯–25;

√¯–3,7 ir t.t.

Arirmetinių kvadratinių šaknų daugybos ir dalybos taisyklės:

√¯a • √¯b =√¯ab, kai a ≥ 0, b ≥ 0;

√¯a : √¯b = √¯, kai a ≥ 0, b > 0

Aritmetiniai ženklai ne iiš karto buvo visuotinai pripažinti. Veiksmų ir lygybių ženklai įsitvirtino tik XVII a. pabaigoje.

Matematinių ženklų ir simbolių atsiradimas palengvino matematikos mokymąsi, skatino tolesnę jos raidą.

Naudota literatūra:

G. Gleizeris – “Matematikos istorija mokykloje. 4 – 6 kl.”, 1985 m.

G. Gleizeris – “Matematikos istorija mokykloje. 7 – 8 kl.”,1986 m.

S. Teliakovskis – “Algebra. Vadovėlis 8-9kl.”, 1987 m.

N. Vilenkinas, A. Česnokovas, S. Švarcburdas – “Matematika. Vadovėlis 6kl.”, 1988 m.