ARITMETINIAI ŽENKLAI

Skaitmenis, aritmetinių veiksmų žymėjimo ženklus ir kitus matematikos

simbolius žmonės kūrė pamažu per daugelį amžių, glaudžiai siedami juos su

aritmetika. Dauguma jų atsirado iš piešinių, brėžinių, raidžių ir žodžių

santraukų. Tai ilgai trukusios matematikos raidos rezultatas.

Kai kurie matematinių sąvokų ženklai atsirado dar senovėje. Tačiau

vieningų aritmetinių simbolių nebuvo net iki XV a. Iki šio amžiaus visi

dydžiai ir veiksmai, sąlygos bei atsakymai buvo reiškiami tik žodžiais.

Todėl tų laikų algebra vadinama retorine, t.y. žodine. Tik antrojoje XV a.

pusėje kai kuriose Europos šalyse atsirado pirmieji algebros simboliai ir

buvo pradėtos vartoti raidės.

XVI amžiaus pabaigoje prancūzų matematikas Fransua Vietas, remdamasis

prieš jį susiformavusia simbolika, pradėjo raidėmis žymėti ne tik

nežinomuosius, bet ir prie jų esančius koeficientus, pradėjo vartoti bendrą

raidinę simboliką. Tačiau užrašydamas lygtis, F. Vietas vietoj simbolių dar

vartojo daug žodžių. Vietoj lygybės ženklo jis rašė žodį “lygu” ir t.t.

Dar XV – XVI a. sudėtis buvo žymima lotyniška raide p ( pirmoji žodžio

plus – “daugiau” raidė ), atimtis – raide m ( pirmoji žodžio minus –

“mažiau” raidė ). SSudėčiai žymėti buvo vartojamas ir lotyniškas žodis et (

reiškiantis “ir”), kuris, kaip manoma, greitraštyje virto ženklu + .

Ženklai + ir – jau pasitaiko XV a. devintojo dešimtmečio rankraščiuose, bet

spausdinti pirmą kartą pasirodo Vidmano aritmetikoje. XVII a. minusas buvo

žymimas – . ŽŽenklas – randamas ir L. Magnickio “Aritmetikoje”.

Dabartinėje matematikoje vyrauja vienodi aritmetiniai ženklai ir

žymenys. Jais naudojasi visame pasaulyje.

SUDĖTIS. Tai prie skaičiaus a pridėti skaičių b – reiškia skaičių a

pakeisti b vienetų. Bet koks skaičius, prie jo pridėjus teigiamą skaičių,

padidėja, o pridėjus neigiamą skaičių, sumažėja. Sudėtis žymima simboliu

“+” ( plius ).

PVZ.: 26+12=38;

-14+2= – 12

Sudėties savybės:

Su bet kuriuo skaičiumi a yra teisinga lygybė:

0+a=a+0=a; a+(- a)=0

Su bet kuriais skaičiais a ir b teisinga lygybė:

a+b=b+a

Su bet kuriais skaičiais a,b ir c teisinga lygybė:

(a+b)+c=a+(b+c)

Taikant šias sudėties savybes, veiksmus galima atlikti bet kuria

tvarka ir paprasčiau apskaičiuoti kelių dėmenų sumą. Jeigu reikia sudėti

keletą teigiamų ir neigiamų skaičių, galima atskirai sudėti teigiamus ir

atskirai neigiamus skaičius, po to prie teigiamų skaičių sumos pridėti

neigiamų sskaičių sumą.

Sudedant paprastąsias trupmenas su vienodais vardikliais, sudedami jų

skaitikliai, o vardiklis paliekamas tas pats.

PVZ.: (+(=(

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėti galima pakeisti trupmenų

su vienodais vardikliais sudėtimi. Norint sudėti trupmenas su ne vienodais

vardikliais, reikia rasti tų trupmenų bendrą vardiklį, paprastesnį negu

vardiklių sandauga, ir daugiklius, o skaitiklius sudėti.

ATIMTIS. Norint iš vieno skaičiaus atimti kitą, reikia prie turinio

pridėti skaičių, priešingą atėminiui.

PVZ.: 169 – 152= 17;

– 20 – 39= – 59 ; 41 – ( – 17 )= 58

Dviejų skaičių sskirtumas yra teigiamas, kai turinys yra didesnis už

atėminį, ir neigiamas, kai turinys mažesnis už atėminį. Kai turinys ir

atėminys lygūs, skirtumas lygus nuliui. Atimtimi galima spręsti įvairius

dydžių kitimo uždavinius.

Norint iš vienos trupmenos atimti kitą trupmeną su tuo pačiu

vardikliu, reikia iš pirmos trupmenos skaitiklio atimti antrosios trupmenos

skaitiklį, o vardiklį palikti tą patį. Atiminėjant trupmenas su skirtingais

vardikliais, pirmiausiai randame bendrąjį tų trupmenų vardiklį ir

dauginamuosius, o skaitiklius atimame vieną iš kito.

PVZ.: ( – (=(

DAUGYBA. Daugybos ženklą X 1631m. įvedė anglų matematikas Viljamas

Otredas. Tašku daugybos veiksmą visada žymėjo įžymus XVII a. vokiečių

matematikas G. Leibnicas ( iki tol tašku daugybos veiksmą žymėjo

Regiomontanas ( XV a.), vėliau, 1631m., Tomas Hariotas ).

Padauginti, reiškia, vieną skaičių padidinti kito skaičiaus kiekiu.

PVZ.: 5·6=30;

23,12·0,33=7,62

Dauginant du skaičius su skirtingais ženklais, reikia sudauginti tų

skaičių modulius, o prieš gautą atsakymą parašyti minuso ženklą.

PVZ.: −33·12= –396

Keičiantis bet kurio dauginamojo ženklui, keičiasi ir sandaugos

ženklas, o modulis lieka tas pats. Jeigu keičiasi abiejų dauginamųjų

ženklai, tai sandaugos ženklas keičiasi du kartus, todėl jis lieka

nepakitęs:

8 ·1,1= 8,8;

( –8 )·1,1= – 8,8;

( – 8 )·( –1,1)= 8,8

Dauginant du neigiamus skaičius, reikia dauginti jų modulius. Sandauga

gali būti lygi nuliui tik tada, kai nors vienas dauginamasis lygus nuliui.

PVZ.: 555,198 · 0 = 0

Norint sudauginti trupmeną iš trupmenos, reikia sudauginti jų

skaitiklius bei sudauginti vardiklius ir pirmąją sandaugą rašyti trupmenos

skaitiklyje, o antrąją – vardiklyje.

PVZ.: ( · ( = (

DALYBA. Pirmą kartą dvitaškiu dalybos veiksmą užrašė Džonsas 1633m.

Anglijoj ir JAV iki šiol dalyba kartais žymima ženklu ÷ , kurį įvedė Džonas

Pelis. G. Leibnicas dalybos veiksmą irgi žymėjo dvitaškiu.

Padalinti – tai pirmąjį skaičių sumažinti antrojo skaičiaus kiekiu.

PVZ.: 32 : 8 = 4

Dalinant iš neigiamo skaičiaus, kaip ir dauginant, atsakymo ženklas

virsta neigiamu:

PVZ.: ( – 22 ) : 3,66 = (– 6,01);

Padalinus du neigiamus skaičius, atsakymas bus teigiamas. Dalinant

nulį iš bet kokio skaičiaus, nelygaus nuliui, gaunamas nulis.

642 : 0 = 0

Norint padalinti vieną trupmeną iš kitos, reikia pirmąją trupmeną

padauginti iš trupmenos, atvirkštinės antrajai.

PVZ.: ( : ( = ( · ( = (

LYGYBĖ. Ji žymi veiksmo atsakymą.

PVZ.: 6 + 9 = 15

Lygybės ženklą “=” pradėjo vartoti anglų gydytojas Robertas Rekordas

1557m.

PROCENTAI. Procento ženklas % kildinamas iš italų kalbos žodžio cento

( šimtas ), kuris procentiniuose skaičiavimuose dažnai buvo rašomas

sutrumpintai cto. Vėliau, greitraštyje paprastinant rašybą, raidė t virto

pasviru brūkšneliu ir taip atsirado dabartinis procento ženklas – %.

SKLIAUSTAI. Kaip ir aritmetikoje, algebroje vartojami skliaustai,

kurie nurodo veiksmų eilę: pirmiausia atliekami skliaustuose nurodyti

veiksmai.

PVZ.: (0,6739+1,4261) · 5557,55 : (16,7 · 2,9 – 42,13) =

=2,1 · 557,55 : ( 48,43 – 42,13 ) = 2,1 · 557,55 : 6,3 =

=1170,855 : 6,3 = 185,85

Jeigu skliaustų nėra, tai pirma dauginama arba dalinama, o po to

sudedama ir atimama. Skliaustai ir šiuolaikinis lygybės ženklas pirmą kartą

aptinkami XVI a. matematikų darbuose.

NELYGYBĖS ŽENKLAI. Pirmą kartą juos pavartojo anglų mokslininkas

Hariotas. Nelygybės ženklai yra du: > ( daugiau ) ir < ( mažiau ). Jie

pradėti vartoti pirmojoje XVII a. pusėje. Nelygybės ženklai naudojami

skaičiams palyginti.

PVZ.: 2<3<4;

68>44;

999<1001

LAIPSNIO RODIKLIS. Panašiai kaip Diofantas, XVI a. ir iš dalies XVII a.

Europos matematikai nežinomojo antrąjį laipsnį vadino “jėga” ( lotyniškai

cenzus ), arba “kvadratu” ( quadratus), trečiąjį laipsnį – “kubu” ( cubus

). Vietas vartojo šias santaupas: N ( numeris, skaičius ) – pirmajam

laipsniui žymėti, Q – antrajam, C – trečiajam, QQ – ketvirtajam ir t.t.

PVZ.: 1C–8Q=16N aequatur 40

Dabar rašoma taip:

x³ – 8x² +16x = 40

M. Štifelis rašė AAA vietoj A³; XVII a. pradžios anglų matematikas T.

Hariotas rašė aaaa vietoj a4 . Anglas Otredas 1631m. rašė Aq vietoj A², Ac

– vietoj A³, Aqq – vietoj A4, Aqc – vietoj A5 ir t.t.

Šiuolaikinį užrašą Y², Y³, Y4 ir t.t. pradėjo vartoti Dekartas ir

sistemingai jį

vartojo savo “Geometrijoje”. Dekartinis laipsnių žymėjimas,

kurį XVII a. vartojo Volis, Niutonas ir kiti, išliko ir iki šių dienų.

Reiškinys aⁿ vadinamas laipsniu, raidė n – laipsnio rodikliu, o raidė

a – laipsnio pagrindu.

PVZ.: 5² = 5 · 5 = 25;

4³ = 4 · 4 · 4 = 64

Susitarta laipsnį, kurio rodiklis 1, laikyti lygiu laipsnio

pagrindui.

PVZ.: 8¹ = 8 ;

(– 4,5)¹= – 4,5;

a¹ = a

Kai reiškinys be skliaustų ir turi laipsnių, tai, norint rasti to

reiškinio reikšmę, pirmiausia rreikia laipsnius pakeisti jų reikšmėmis, o

paskui atlikti kitus nurodytus veiksmus. Kai reiškinys su skliaustais,

pirmiausia atliekami veiksmai skliaustuose.

PVZ.: 2 + 5³ = 2 +125 = 127;

( 2 · 5 )³ = 10³ = 1000;

( 2 + 5)³ = 7³ = 343

ŠAKNIES ŽENKLAS. Nuo XIII a. italų ir kiti Europos matematikai šaknį

žymėjo lotynų kalbos žodžiu Radix ( šaknis ) arba sutrumpintai R, vėliau

Ŗ.XV a. N. Šiukė vietoj ( rašė R²12.

Dabar vartojamas šaknies ženklas yra kilęs iš XV – XVI a. vokiečių

matematikų vartoto ženklo. Jie algebrą vadino “kos”, o algebristus –

kosistais. Kai kurie XV a. vokiečių kosistai kvadratinę šaknį žymėjo tašku

prieš skaičių arba reiškinį, Greitraštyje šie taškai virto brūkšneliais, o

vėliau – simboliu ( . 1480m. lotynų kalba parašytame rankraštyje prieš

skaičių esantis vienas taškas ((( reiškė kvadratinę šaknį, du tokie ženklai

(((( – ketvirtojo laipsnio šaknį, o trys ((((( – kubinę šaknį.

Manoma, kad iš šių ženklų vėliau atsirado ženklas ٧, artimas

dabartiniam šaknies ženklui, tik be viršutinio brūkšnelio. Pirmą kartą šis

ženklas pasirodė 1525 m. Strasburge išspausdintoje vokiečių algebroje

“Greitas ir gražus skaičiavimas, kuris remiasi puikiomis algebros

taisyklėmis, vadinamomis Kos”. Knyga turėjo didelį pasisekimą ir buvo

perspausdinta daugelį kartų per visą XVI a., net iki 1615m. Šitą šaknies

ženklą XVI a. vartojo M. Štifelis, S. Stevinas. Pamažu šis žymuo išstūmė

ženklą R. Tik 1637 m. Renė Dekartas šaknies ženklą sujungė su horizontaliu

brūkšneliu ir savo “Geometrijoje” šaknies ženklą jau žymėjo √¯ .

Artimesnį šiuolaikinei šakniai simbolį vartojo Niutonas “Visuotinėje

aritmetikoje” ( 1685 m. ). Taip, kaip dabar, šaknį pirmą kartą užrašo

prancūzas Rolis 1690 m . savo knygoje “Algebros vadovėlis”. Dabartinis

šaknies ženklas visuotinai imtas vartoti tik XVIII a.

Būtinumas kelti laipsniu bei traukti šaknį, kaip ir kiti keturi

aritmetikos veiksmai, atsirado iš praktinės žmonių veiklos. Jau prieš 4000

m. Babilonijos mokslininkai, be daugybos ir atvirkštinių dydžių lentelių,

sudarinėjo skaičių kvadratų ir kvadratinių šaknų iš skaičių lenteles. Be

to, jie mokėjo apskaičiuoti kvadratinės šaknies iš bet kurio sveikojo

skaičiaus apytikslę reikšmę.

Aritmetine kvadratine šaknimi iš skaičiaus a vadinamas neneigiamas

skaičius, kurio kvadratas lygus a.

Aritmetinė kvadratinė šaknis iš skaičiaus a žymima taip: √¯a .

Ženklas √¯ vadinamas aritmetinės kvadratinės šaknies ženklu; reiškinys,

esantis po šaknies ženklu, vadinamas pošaknio ženklu.

PVZ.: √¯9 = 3² = 3

Bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas, todėl, kai a < 0,

reiškinys √¯a neturi prasmės.

PVZ.: Neturi prasmės: √¯–25;

√¯–3,7 ir t.t.

Aritmetinių kvadratinių šaknų daugybos ir dalybos taisyklės:

√¯a · √¯b =√¯ab, kai a ≥ 0, b ≥ 0;

√¯a : √¯b = √¯(, kai a ≥ 0, b > 0

Aritmetiniai ženklai ne iš karto buvo visuotinai pripažinti. Veiksmų

ir lygybių ženklai įsitvirtino tik XVII a. pabaigoje.

Matematinių ženklų ir simbolių atsiradimas palengvino matematikos

mokymąsi, skatino tolesnę jos raidą.

[pic]