Aukštosios matematiko teorijos špera
1.Stačiakampė lentelė,sudaryta iš m*n sk.,surašytų taip,kad kiekvienoje eilutėje yra n sk.O kiekviename stulpelyje m sk,vadinama matrica.Matricos žymimos didžiosiomis lotyniško alfabeto raidėmis,jų elementai-atitinkamomis mažosiomis raidėmis su dviem indeksais:1-sis indeksas rodo, kurioje eilutėje yra minimas elementas,2-sis-kuriame stulpelyje.
2.Matricos formatas T(A)=m*n.Pvz.Matrica A=(254)
(891),
sudaryta iš dviejų eilučių ir trijų stulpelių,užrašome A2*3 ,jos formatas T(A)=2*3
.3.Matrica ,kurios eilučių sk lygus stulpelių sk, t.y. m=n,vadinama kvadratine n-tos eilės matrica.
n=23
45
4.Matrica,kuri gaunama sukeitus matricos A eilutes ir stulpelius vietomis,vadinama matricos A transportuota matrica Žymima AT
A=(254); AT=254
5.Kvadratinę mmatricą,kurios tik pagrindinės istižainės elementai nelygūs nuliui,vadiname įstrižaine.Vienetine-tai kvadratinė matrica,kurios pagrindinės istrižainės elementai yra vienetai, o visi kiti elementai nuliai.Istriž
100
A=020
003
vienet.E=10
01
6.Dvi matricos su vienodu eilučių ir stulpelių sk.vadinamos to paties tipo (formato)matricomis
A=34 A=52
25 83
7.Matricas galima sudėti,atimti, sudauginti.
8.Kvadratinę matricą vadinam atvirkštine duotąjai matricai,jei jų sandauga lygi vienetinei matricai.Tik kvadratinės matricos turi atvirkštinę matricą ir kurių determinantas lygus0. Pvz.AA-1 =E
9.Determinantas-tai sk.,priskiriamas kvadratinei matricai ir apskaičiuojamas pagal tam tikrą taisyklę.
10.determin schema
II eil.
a11 a12
a21 a22 =a11a22-a12a21
III eil.
a11a12a13a11a12
a21a22a23a21a22 =+++—
a31a32a33a31a32
11. MMij-tai determinantas,kuris lieka išbraukus i eilutę ir j stulpelį.
1354 461
A=2461 M11=321
7321
12.Minoras Mij su ženklu (-1)i+j vadinamas elemento aix adjunktu ir žymimas Aik.
213
A=321
102
A21=(-1)3*M21=
-13=-(2-0)=-2
02
13.Kramerio f-lė
X1=Δ1 , X2=Δ2,..,Xn=Δn
A A A
14.atvirkštinė matricos metodas
a11x1+a12x2+..+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+..+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+..+annxn=bn
a11a21.a1n x1
a21a22.a2n x2
A= . . . . x=.
an1an2.ann x n
b1
B=b2
b3
15.gauso metodo esmė
Sudaroma išplėstoji matrica A/B.Elementariųjų pertvarkymų pagalba šią matricą reikia suvesti į trikampio ar trapecijos pavidalą.Iš šios matricos vėl užrašoma lygčių sistema,kurią pradedama spręsti nuo paskutinės lygties,-
16. Matematiniai modeliai:1)Tikslo funkcija 2)Apribojimai 3)Kintamųjų neneigiamumo sąlyga.
17.Tiesinio programavimo uždavinio sprendiniu vadinamas toks neneigiamų sk-ių x1,x2,.,xn rinkinys,kuris tenkina apribojančias sąlygas,t.y. įstačius šias reikšmes į bet kurią apribojimo sistemos lygtį ar nelygybę,turi nepasikeisti tos lygties ar nelygybės ženklas.
18.funkcijos riba taške. Apibrėžimas ir geometrinė prasmė.
Skaičius b vadinamas f-jos f(х) riba taške a , jeigu bet kurį ε>0 atitinka tokia taško a aplinka Vδ(a) (х≠a), kad su visais х iš šios aplinkos, atitinkamos
f-jos reikšmės patenka į taško b aplinką Vε(b).
Taigi lim f(х)=b. Jeigu iš хх € Vδ(a) (х≠a)=> y € Vε(b)
Geometriškai tai reiškia, kad atitinkamos y reikšmės pateks į 2ε pločio juostą, apribotą teisėmis y=b-ε ir y=b+ε
19. f-jos riba, kai х artėja į begalybę. Apibrėžimas ir geometrinė prasmė.
Skaičius b vadinamas f-jos f(х) riba, kai
х→∞, jeigu bet kurį ε>0 atitinka toks M>0, kad su visais |х|>< atitinkamos f-jos reikšmės patenka į taško b aplinką Vε(b). Taigi lim f(х)=b, jeigu iš |х|>M=>y € Vε(b)
20. Vienpusės ribos
jeigu ieškant ribos, kai х→a, apsiribojama tik х reikšmėmis, eesančiomis į kairę nuo a, tai tokia riba vadinama funkcijos riba iš kairės ir žymima
lim f(х)=limf(х)=f(a-
0)=b1
o jeigu apsiribojama tik х reikšmėmis iš dešinės taško a pusės, tai tokia riba vadinama f-jos riba iš dešinės ir žymima
lim f(х)=limf(х)=f(a+
0)=b2
f-jos ribos iš kairės ir dešinės vadinamos vienpusėmis ribomis.
21. f-jų tolydumas ir trūkio taškai.
f-ja y=f(х) vadinama tolydžia taške х0 € D, jeigu ji apibrėžta šiame taške ir jo aplinkoje, be to limх→х0 f(х)=f(х0)
f-ja f(х) vadinama tolydžia taške х0, jeigu nykstamą argumento pokytį atitinka nykstamas f-jos pokytis.
Taškas х0 vadinamas f-jos f (х) pirmojo tipo tašku, jeigu jame egzistuoja baigtinės ribos iš kairės f(х0-0) ir iš dešinės f (х0+0), bet jos nėra tarpusavyje lygios: f(х0-0) ≠ f(х0+0)
Taškas х0 vadinamas f-jos f (х) antrojo tipo trūkio tašku, kai bent viena vienpusė f-jos riba taške neegzistuoja arba yra begalinė.
Taške х0 vadinamas f-jos f (х) pašalinamuoju trūkio tašku, jei f (х0-0) =f (х0+0)≠ f(х0)
22. f-jos išvestinės apibrėžimas ir geometrinė prasmė.
Jei egzistuoja baigtinė f-jos pokyčio Δy ir argumento pokyčio Δх santykio riba, kai Δх artėja prie nulio, tai ji vadinama f-jos y=f (х) išvestine taške х0.
23. Lapitalio taisyklė.
Jei f (х) ir g (х) yra tolydžios ir diferencijuojamos taško a aplinkoje, f-jos ir jeigu:
1.lim f ((х)=lim g (х)=0,
2.g’ (х) ≠0 taško х=a aplinkoje
3. egzistuoja lim f ‘(х)
х→a g ‘(х)
, tai egzistuoja ir
lim f (х)
х→a g (х) ir teisinga lygybė
lim f (х) lim f ‘(х)
х→a g (х) =х→a g ‘(х)
Lapitalio taisyklė taikoma neapibrėžtumams aiškinti. Ji remiasi Lapitalio teorema, iš kurios formuluotės aišku, kad Lapitalio taisyklė taikytina neapibrėžtumui 00
24. f-jos iškilumo intervalai ir perlinkio taškai.
Kreivė vadinama iškila aukštyn ( žemyn) intervale (a;b), jeigu visi tos kreivės taškai tame intervale yra po liestine ( virš liestinės), nubrėžta per bet kurį kreivės tašką.
Kreivės taškas M, kuris atskiria iškilą aukštyn kreivės dalį nuo iškilos žemyn dalies, vadinamas kreivės perlinkio tašku.
25. pirmykštė f-ja.
f-ja F(х) vadinama f-jos f (х) pirmykšte f-ja atkarpoje [a;b], jeigu visuose šios atkarpos taškuose х teisinga lygybė F’ (х)=f(х) arba dF (х)=f(х) dх
26. neapibrėžtinio integralo sąvoka ir savybės.
Jeigu f-ja F(х) yra f-jos f (х) pirmykštė f-ja, tai visuma f-jų F(х)+C vadinama f-jos f(х) neapibrėžtiniu integralu. Jis žymimas simboliu ∫ f (х) dх.
Savybės:
1. (∫ f(х) dх)’=f(х)
2. d(∫ f(х)dх=f(х)dх
3. ∫ dF (х) = F (х)+C
4. ∫ (α f(х)+β g(х))dх = α ∫ f (х) dх+β ∫ g(х)dх ,α,β-const.
28. apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė ir savybės.
Jei egzistuoja baigtinė integralinės sumos riba, kai λ→0, nepriklausanti nuo atkarpos [a;b] skaidymo bbūdo bei nuo parinktų taškų ci, tai ta riba vadinama f-jos f(х) apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a;b].
Savybės:
sakykime, kad f(х) ir g(х) (f(х,y) ir g(х,y))- integruojamos atkarpoje [a;b] f-jos.
1. teisiškumo savybė
∫ (α f(х)+βg(х)) dх =α∫ f(х) dх+ β∫g(х) dх; čia α,β-bet kokie realieji sk.
2. įvesdami apibrėžtinio integralo ∫ f(х)dх sąvoką, darome prielaidą, kad a‹b. Kai b‹a, tai sutarsime, kad
∫ f(х)dх=-∫ f(х)dх
3. adityvumo savybė. Kokie bebūtų sk. a,b,c, teisinga nelygybė.
∫ f(х) dх=∫ f(х)dх+∫f(х)dх, jei tik visi trys integralai egzistuoja.
4. neneigiamos f-jos integralo savybė. Jei f(х)≥0 atkarpoje [a;b], tai ∫f(х)dх≥0.
5.palyginimo savybė. Jei f(х)≥g(х) atkarpoje [a;b], tai ∫f(х) dх≥∫g(х)dх
6. įvertinimo savybė
m=min f (х), M=maх f(х). Tada m(b-a)≤
∫f(х)dх≤ M(b-a).
29.Niutono ir Leibnico formulė.
Jei f-ja f(х) tolydi atkarpoje[a;b] ir F(х) – kuri nors jos pirmykštė f-ja šioje atkarpoje, tai
∫ f(х)dх=F(b)-F(a).ši formulė vadinama Niutono ir Leibnico formulė. Skirtumą F(b)-F(a) įprasta žymėti F(х) │ba. Tuomet Niutono ir Leibnico formulė rašoma taip:
∫f(х)dх=F(b)-F(a)=
F(х) │ba
30.kokius žinote įvykius ir kam lygios arba kokiose ribose randasi jų tikimybės?
Būtinu įvykiu vadinamas įvykis, kuris būtinai įvyks, jeigu tik bus įgyvendinama apibrėžta sąlygų visuma S.
Negalimu įvykiu vadinamas įvykis, kuris negali įvykti, jeigu bus įgyvendinta apibrėžta sąlygų visuma S
Atsitiktiniu įvykiu vadinamas įvykis, kuris, esant įvykdytoms sąlygoms S, gali įvykti, arba neįvykti.
.Būtino įvykio tikimybė lygi
vienetui. Iš tikrųjų, jei įvykis būtinas, tai kiekvienas elementarus atvejis yra palankus įvykiui.
P(A)=mn=nn=1
2.Negalimo įvykio tikimybė lygi nuliui. Iš tikrųjų, jei įvykis negalimas, tai nė vienas iš elementariųjų įvykių nėra palankus. Tokiu atveju, m=0.
P(A)=mn=0n=0
3.Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius ir yra tarp 0 ir 1. iš tikrųjų, palankūs įvykiai yra tik dalis visų elementarių įvykių. Taigi, 0
