Begalybė

Mokslas apie begalybę

Begalybė.Kartu su kintamojo dydžio ir funkcijos sąvokomis svarbų vaidmenį kuriant diferencialinį bei integralinį skaičiavimą suvaidino begalybės idėja. Jos atsiradimas dingsta amžių glūdumoje.

Lingvistikos duomenys rodo, kad iš pradžių žmonės mokėjo skaičiuoti tik iki dviejų. Paskui skaičių atsarga išsiplėtė iki šešių: netgi XIX a. rastos gentys, skaičiavusios taip: ,,vienas, du, duvienas, du-du, du-du-vienas, du-du-du”, o viską, kas sudarė daugiau kaip šešis, vadindavo ,,daug”. Ir šiandien rusų patarlėse ir priežodžiuose skaičius ,,septyni” pakeičia žodį ,,daug” (,,Septyni vieno nelaukia”, ,,Septynis kkartus išmatuok, vieną kartą nukirpk” ir pan.). Yra pagrindo manyti, kad lietuviai vietoj ,,daug” sakydavo ,,devyni” (,,Susirinko devynios galybės žmonių”, ,,Devyni vyrai gaidį pjovė”, ,,Susiraukęs kaip devynios pėtnyčios” ir pan.). Paskui didžiausiu pasidarė skaičius 40, po to ši riba pasistūmėjo iki 100, vėliau – iki 1000. Bet ir šių skaičių neužteko suskaičiuoti žvaigždėms danguje, smiltelėms jūros krante, lapams miške. Žiūrėdami aukštyn, žmonės mąstydavo, koks beribis dangus ir kiek daug žvaigždžių. Šie jausmai išreikšti Lomonosovo eilėse:

,,Nušvito skliautas žvaigždėmis skaisčiom;

Erdvė bedugnė, o žžvaigždžių – nesuskaičiuot”.

Išradus pozicinę skaičiavimo sistemą, galima buvo išvardyti labai didelius skaičius. Pvz., vienoje babiloniečių lentelėje pateikti visi skaičiaus 608+10607195955200000000 dalikliai. Indų knygose apskaičiuojamas ,,atomų” kiekis, telpantis 3200 lanko ilgiuose (jis lygus 108470495616000), o vienoje jų pasakojama apie mūšį, kkuriame dalyvavo 1023 beždžionių. Šių sakmių autoriai nesijaudino, kad toks beždžionių kiekis netilps visoje Saulės sistemoje. Jie džiaugėsi, galėdami operuoti milžiniškais skaičiais.

Senovės Graikijoje nebuvo žinoma pozicinė skaičiavimo sistema (matyt graikų matematikai nesidomėjo praktiniais klausimais), tačiau Archimedas sukūrė žymėjimų sistemą, pagal kurią galima išvardyti skaičius nuo 1 iki 108×1016 parašytume popieriaus juostoje taip, kad viename metre tilptų po 400 skaitmenų, tai juosta būtų ilgesnė už atstumą nuo Žemės iki Saulės Archimedas įrodė, kad smiltelių kiekį, telpantį rutulyje, kurio spindulys lygus atstumui nuo Žemės iki nejudančių žvaigždžių sferos (tuo metu manyta, kad visos žvaigždės pritvirtintos prie sferos, kurios centre yra Žemė), galima išreikšti daug mažesniais skaičiais.

Operuodami milžiniškais skaičiais, žmonės pradėjo galvoti, kad paties didžiausio skaičiaus nėra, kad po kkiekvieno jų eina kitas, o natūrinių skaičių aibė yra begalinė. Šiandien ši idėja suprantama net IV klasės mokiniams, bet kažkada ji buvo svarbus teorinio mąstymo laimėjimas, po kurio jau galima kelti klausimą apie erdvės beribiškumą. Kas yra už nejudančių žvaigždžių sferos? Ar turi Visata ribą? Mąstydami apie tai, senovės graikų filosofai pradėjo pasaulį įsivaizduoti kaip bekraštį. ,,Kur bestovėtų karys, savo ietį jis gali ištiesti dar toliau:, mokė VI a. pr. m. e. Gyvenęs filologas Anaksimandras. Šiandien jau žinome, kad šis tteiginys įrodė tik erdvės neaprėžtumą, bet ne begalybę.

Dar anksčiau žmonės suprato, kad pasaulis yra amžinas ir begalinis. Ši idėja išreikšta tokioje Rytų alegorijoje:

,,Štai deimantinis tūkstančio uolekčių aukščio kalnas. Vieną kartą per šimtmetį atskrenda paukštelis ir galanda į jį snapą. Kai jis nugaląs visą kalną, praeis pirmoji amžinybės akimirka”.

Taip atsirado begalinio visomis kryptimis ir amžino pasaulio modelis. Drąsiausieji mąstytojai (pvz., Heraklitas) mokė, kad pasaulis neturėjo pradžios ir ne dievai jį sukūrė.

Atomistika ir begalinės mažybės. Apsipratę su begalybės idėja, mąstytojai pradėjo galvoti ir apie be galo mažus dydžius, kurie gaunami neribotai dalijant daiktus į dalis. Kasdieninė patirtis mokė, kad duoną, obuolį, vyno asotį galima padalyti vaišių dalyviams. Kiekvieną gautąją dalį galima dalyti į dar smulkesnes dalis. Bet ar yra šios dalybos riba? Atsakyti į tokį klausimą tik iš patirties neįmanoma. Čia juk kalbama apie tokias smukias dalis, kurių negalėjo matyti net pats akyliausias žmogus. Todėl klausimas apie daiktų dalumo ribą iš patirties sferos persikėlė į samprotavimų sferą.

Atsirado dvi pagrindinės mokyklos, kurių viena mokė, kad begalinė dalyba galima, o antroji teigė, kad esti mažiausios medžiagos dalelės – atomai, kurie toliau nesidalija (graikų kalbos žodis ,,atomas” reiškia ,,nedalus”). Atomistai ir jų priešininkai skirtingai traktavo tik materijos prigimtį. O ttuo, kad erdvė yra neribotai dali, neabejojo netgi patys aršiausi atomizmo šalininkai.

V a. pr. m. e. Viduryje paaiškėjo, kad iš prielaidos apie begalinį erdvės dalumą, neatsargiai elgiantis, galima gauti paradoksalių išvadų. Filosofas Zenonas Elėjietis, remdamasis šia prielaida, įrodinėjo, kad. pasaulyje nėra judėjimo. Juk, sakė jis, skrendanti strėlė, pirmiau negu pataiko į tikslą, turi nuskrieti pusę kelio, iki tol – ketvirtį, dar anksčiau – vieną aštuntąją kelio ir t.t. Kadangi erdvė yra neribotai dali, tai dalijimo pusiau procesas nesibaigs ir srėlė niekada neskries. Šią išvadą paneigia paprasčiausias eksperimentas, aprašytas A. Puškino eilėraštyje:

,,Judėjimo nėra, išminčius vienas teigė,

Bet kitas ėmė vaikščioti prieš jį,-

Štai atsakas geriausias dievaži-

Ir tuščias nenaudingas ginčas baigės”.

Bet visgi Zenono argumentai parodė, jog begalybė to mato matematikoje suprantama naiviai. Būtent iš jo samprotavimų pirmą kartą paaiškėjo, kad atkarpą galima padalyti į begalinę aibę atkarpų, kurių kiekviena yra baigtinio ilgio. Iki Zenono atkarpa visada buvo dalijama tik į lygias dalis. Tuomet, didinant dalių skaičių, jų ilgis neribotai mažėdavo. Zenono aporijų filosofinę reikšmę sudarė tai, kad jos atskleidė tikrąjį judėjimo, erdvės ir laiko prieštaringumą. Ir šiandien teorinėje fizikoje atsiranda sunkumų, šiek tiek primenančių Zenono prieštaravimus. Tik Zenono paradokse begalinis buvo dalių, kurias turi nuskrieti strėlė, skaičius, o šiuolaikinėje fizikoje begalinė yra eelektrono ir jo sukuriamo elektromagnetinio lauko sąveikos energija. Ir galbūt Zenono bei šiuolaikinių fizikų kliūčių priežastys yra kažkuo giminingos – abiem atvejais iškyla klausimas, ar galima mikropasauliui taikyti sąvokas, atsiradusias tyrinėjant didelius objektus, ir kokia yra erdvės mažos dalies sandara.

Įspūdį, kurį padarė Zenono aporijos galima palyginti su perversmu fizikų mąstyme, atsiradus reliatyvumo teorijai. Po Zenono jau nebuvo galima taip nerūpestingai elgtis su begalybę, kaip tai darė jo pirmtakai. Samprotavimai, kuriuose vartojamas žodis ,,begalybė”, neteko vertės.

Išgelbėtį padėtį bandė žymiausias senovės atomistas. Demokritas. Jis sukūrė teoriją, kurioje bandė įrodyti, kad ne tik fiziniai kūnai sudaryti iš atomų, bet ir erdvė yra dali tik iki tam tikrų ribų, o paskui eina jos dalys, neturinčios nei formos, nei matmenų. Jeigu Demokrito bandymas pavyktų, šiuolaikinėje matematika gal būtų kitokia – ne tolydžio, o diskretinių dydžių matematika. Bet Demokrito nesugebėjo paaiškinti, kodėl kvadrato kraštinė ir įstrižainė yra nebendramatės. Juk, jeigu atkarpos sudarytos iš baigtinio skaičiaus nedalomų dalių, užtektų apskaičiuoti tokių dalių kiekį kvadrato įstrižainėje ir kraštinėje, kad galėtume jų ilgių santykį išreikšti trupmena. Be to, Demokritui nepasisekė paaiškinti, ar piramidės pjūviai lygūs. Jei jie, piramidė negali siaurėti į viršūnės pusę, o jei nelygūs, piramidė turi būti laiptuota (juk pagal Demokritą, nuosekliai dalijant piramidės aukštinę

pusiau, galiausiai gaunami nedalūs sluoksniai). Gali būti, kad pats Demokritas abejojo, ar ištikrųjų yra piramidės, rutuliai ir kiti geometriniai kūnai, ir laikė juos abstrakcija, t.y. įsivaizdavo laiptuotais kūnais su labai mažais laipteliais,kurių nesugeba skirti žmogaus jutimo organai. Demokrito darbai nepasiekė mūsų laikų. Apie juos sprendžiame iš to, ką pacitavo kiti filologai.

Aktualioji ir potencialioji begalybė. Kai paaiškėjo, kad Demokrito idėjų neįmanoma logiškai pagrįsti, filologai pradėjo ieškoti kitų kelių, norėdami paneigti Zenono samprotavimus. Aristotelis ėmė skirti aktualiąją, bei potencialiąją begalybę. Atsakydamas įį klausimą ,,Ar yra begalybė?”, jis sakė:

,,Begalybė, kaip jutimo organais suvokiamas begalinis kūnas arba dydis, neegzistuoja aktualiai. Begalybė egzistuoja potencialiai, begalinis yra judėjimas.”

Taigi Aristotelis manė, kad begalinis dalybos pusiau procesas yra galimas, bet negalima atkarpos dalyba į begalinę dalių aibę. Aristotelio mokiniai laikė nemokslišku supratimą, kad dydžiai sudaryti iš begalinės labai mažų dalių aibės. Jie sakė: ,,Mokslas teisingas tiek, kiek jis nesiremia prielaida, kad tolydus sudarytas iš nedalomo”.

Teko ir matematikams išvyti iš mokslo nedalomuosius, o kartu su jjais ir begalybę. Bet kokie samprotavimai, panaudojantys begalybės sąvoką, buvo uždrausti. Netgi judėjimo ir apskritai fizikiniais metodais stengtasi naudotis kuo mažiausiai – judėjimo sąvoka laikoma savaime suprantama, bet logiškai nepatikima.

Atomistiškai samprotaudamas, Demokritas apskaičiavo piramidės tūrį. Pasmerkus jo idėjas, reikėjo iieškoti naujų būdų šiai formulei gauti, kurti geometrinių dydžių apskaičiavimo procedūrą, kurioje nebūtų nei begalinių mažybių, nei nedalomųjų. IV a. pr. m. e. tokią procedūrą sugalvojo graikų matematikas Eudoksas. Jis sukūrė išsėmimo (kitaip nykimo) metodą, kurį taikydamas, iš teiginių apie daugiakampių ir prizmių plotą bei tūrį jis gaudavo atitinkamus teiginius apie sudėtingesnių figūrų plotą ir tūrį.

Pavyzdžiui, norėdamas įrodyti, kad dviejų skritulių plotų santykis lygus jų skersmenų ilgių kvadratų santykiui, Eudoksas iš pradžių pritaikydavo atitinkamą teiginį įbrėžtiems į šiuos skritulius taisyklingiems daugiakampiams. Po to šiuolaikinis matematikas pereitų prie ribos. Graikams šis kelias buvo uždarytas, todėl Eudoksas ėjo aplink. Jis tardavo priešingai, kad skritulių plotų santykis didesnis už skersmenų kvadratų santykį. Po to į šiuos skritulius jis įbrėždavo taisyklingus daugiakampius, turinčius ttiek daug kraštinių (bet visgi baigtinį jų skaičių), kad daugiakampių plotas mažai skyrėsi nuo skritulių ploto.

Pasirodė, kad šių daugiakampių plotų santykis lygus skersmenų kvadratų santykiui (tai jau buvo žinoma prieš įrodymą), antra vertus, jis didesnis už šį santykį (nes tokią savybę turi skritulių plotų santykis, o daugiakampio plotas beveik nesiskiria nuo skritulio ploto). Suprantama, Eudokso įrodymas daug griežtesnis ir detalesnis, bet dėl gausių lemų bei išvadų toks griozdiškas, kad netgi žmogui, suprantančiam dalyko esmę, sunkiai suvokiamas. Iš prielaidos, kad sskritulių plotų santykis didesnis už skersmenų kvadratų santykį, gaunamas prieštaravimas, o prielaida, kad jis yra mažesnis už skersmenų kvadratų santykį, paneigiama tokiais pat samprotavimais. Lieka viena – tarti, jog šie du santykiai lygūs. Kaip mėgdavo sakyti Šerlokas Holmsas, ,,tai, kas lieka, pašalinus viską neįmanomą, yra tiesa”.

Eudokso metodą sėkmingai taikė Archimedas, išvesdamas piramidės ir rutulio tūrio formules, parabolinės nuopjovos (figūros, apribotos parabolės lanku ir styga, į kurią šis lankas remiasi) bei spiralės išpjovos ploto formules ir t.t. Tačiau vėlesnių kartų mokslininkas buvo neaišku, kaip Archimedas jas gavo, nes išsėmimo metodu galima ištirti tai, kas klaidinga, bet neįmanoma atrasti to, kas teisinga.

Įspėti šią mįslę pavyko tik po dviejų tūkstantmečių, kai buvo sukurtas integralinis skaičiavimas, leidęs be vargo išspręsti dar sudėtingesnius uždavinius. 1906 m. Peterburgo universiteto privatdocentas Popadopulas Keramevsas vieno Jeruzalės vienuolyno bibliotekoje rado pergamente parašytą teologijos traktatą. Kadangi viduramžiais pergamentas buvo labai brangus, tai vienuoliai dažniausiai ištrindavo arba nuplaudavo pagonišką senovinių knygų tekstą ir aprašydavo kurio nors jų išgalvoto didžiojo kankinio gyvenimą arba samprotavimus, kodėl trejybė vienaesmė. Jei vienuolis nepasižymėjo uolumu, nuplautą rankraštį, nors ir sunkiai, būdavo galima perskaityti. Kai Popadopulas Keramevsas paskelbė dalį nuplauto teksto, metematikos istorikas danas Heibergas iš karto suprato, kad vienuolis pražudė Archimedo darbų rankraštį. PPo didelių pastangų tekstą pavyko atkurti. Pasirodė, kad didžiąją Archimedo darbų dalį mokslininkai jau žinojo. Bet vienas buvo nežinomas – laiškas Erastostenui, kuriame Archimedas atskleidė savo metodus ir mokė ne tik kaip įrodinėti, bet ir kaip atrasti naują.

Paaiškėjo, kad rezultatus Archimedas gaudavo ,,neteisėtais” Demokrito metodais, naudodamasis nedalomosiomis figūrų dalimis. Ritinius, kūgius ir rutulius jis skaitydavo į ,,nedalomus” plonus skritulėlius, įrodydavo reikiamą teiginį su vienu tokiu skritulėliu, akcentuodavo, kad ši išvada tinka visiems skritulėliams, ir užbaigdavo sakiniu, kurį buvo griežtai uždraudę ortodoksalūs to meto matematikai: ,,Kadangi kūnas sudarytas iš tokių skritulėlių, kurie užpildo jį visą, tai teiginys tinka visam kūnui”. Dar reikia pridurti, kad Archimedas nebijojo samprotauti apie svertų pusiausvyrą, perkelti skritulėlių iš vienos vietos į kitą ir t.t. Beje, skaitytojas žino, kad Archimedas nagrinėjo ne tik grynosios matematikos, bet ir mechanikos, optikos, hidrostatikos klausimus, kad būtent jis nustatė plūduriuojančių kūnų dėsnius, ir todėl jo pomėgis samprotauti, pasitelkus mechaniką, visai nestebina.

Atomizmo atgimimas. Beveik per du tūkstantmečius po Zenono ir Demokrito, Platono ir Aristotelio ginčų atomistinis mokymas buvo prisimenamas retai. Tik romėnų poetas ir filosofas Lukrecijus Karas poemoje ,,Apie daiktų prigimtį” vėl propagavo ši, atrodytų jau užmirštą, mokymą.Vakarų Europoje mokslininkai scholastai kartojo paskui Aristotelį ir jo mokinius, kad medžiaga yra bbe galo dali, o apie erdvę bei laiką ir kalbos negali būti – jų begalinis dalumas atrodė aiškus savaime. Šiam požiūriui įsigalėti padėjo tai, kad žinomuose to meto mokslininkams matematiniuose Euklido ir Archimedo kūriniuose dominavo išsėmimo metodas, pagrįstas beribiu geometrinių figūrų dalumu.

Vienas pirmųjų atomizmą iš naujo pradėjo ginti Džordanas Brunas, kuris rašė: ,,Visų fizikos bei matematikos klaidų priežastis ir pagrindas yra tolydumo ir begalinio dalumo prielaidai”. Scholastai mokė, kad Visata yra ribota, o erdvė – be galo dali. Brunas manė, kad erdvė – neribota, o dalumas turi ribą. Kadangi Brunas ne tik griovė Aristotelio mokymą, bet ir skelbė biblijos legendoms prieštaraujantį Koperniko mokslą, inkvizicija nepraleido progos nubausti dievo niekintoją. 1600 m. Brunas buvo sudegintas Romoje Gėlių aikštėje. Beje, nuo Romos inkvizicijos mažai atsiliko Paryžiaus perlamentas. 1624 m. Paryžiuje buvo suimti mokslininkai, iškėlę atominę materijos sandaros tezę, ir išleistas perlamento potvarkis, reikalavęs bausti mirtimi visus, kurie išdrįs polemizuoti su senais ir pripažintais autoriais.

Bet daugelio mokslininkų šie rūstūs potvarkiai neveikė. Scholastiško mokslo autoritetas beviltiškai mažėjo, nes scholastai nesugebėjo spręsti gyvybiškai svarbių praktinių klausimų. O jų diena dienon daugėjo, ir nė vienas praktikas neketino laukti, kol matematikų gauti rezultatai bus griežtai įrodyti – atsakymo reikėjo kaip galima greičiau. Greitai išspręsti uždavinius

pavykdavo tik pasitelkus oficialiojo mokslo ir bažnyčios pasmerktas nedalomųjų ir begalinių mažybių sąvokos.

Pirmasis darbas, kuriame šios sąvokos panaudotos apskaičiuojant kūnų tūrį, atsirado didėjant praktiniams poreikiams, nors jų pobūdis ir buvo šiek tiek keistas. 1613 m. Austrijos karališkojo dvaro matematikas ir astrologas Johanas Kepleris kėlė vestuves. Ruošdamasis joms, jis nupirko kelias vynuogių vyno statines. Kepleris nustebo, kai pamatė, kad pardavėjas statinės talpą nustato, išmatavęs tik atstumą tarp angos, į kurią pylė vyną, ir paties tolimiausio nuo jos dugno taško. Bet jjuk taip metuojant neatsižvelgiama į statinės formą! Kepleris iškart suprato, kad jam prieš akis įdomiausias matematikos uždavinys – ką reikia matuoti, kad galima būtų pakankamai tiksliai apskaičiuoti statinės tūrį.

Uždavinį komplikavo tai, kad statinių forma neatitiko nė vieno senovės geometrų išnagrinėto atvejo – jos nebuvo nei rutuliai, nei parabolinės nuopjovos, nei elipsoidai. Spręsdamas šį uždavinį, Kepleris iš pradžių rado tūrį kūnų, gautų skritulio nuopjovos sukant apie stygą (atsižvelgdamas į tai, kuri dviejų nuopjovų sukama apie stygą, gautus kūnus pavadino obuoliu iir citrina). Paskui jis apskaičiavo žiedo, arba, kaip dabar sakoma, toro, tūrį. Bet statinė nebuvo panaši nė į vieną jų, ir Kepleriui teko pradėti nagrinėti kūnus, kurie gaunami sukant kūgio pjūvių – elipsės, parabolės ir hiperbolės – nuopjovas. Gautus sukinius jjis pavadino keistais vardais – svarainiu, kresnu aguročiu, kriauše, alyva, slyva ir netgi turkiška čalma.

Bet dar keistesni ortodoksalaus geometro požiūriu buvo tie metodai, kuriais jis gavo rezultatus. Pvz., norėdamas rasti toro tūrį, jis pjaustė jį plokštumomis, einančiomis per sukimosi ašį, į be galo plonus sluoksnius. Iš vidaus šie sluoksniai buvo siauresni negu iš išorės, todėl Kepleris ėmė jų storį per vidurį. Padauginęs storį iš sukamo skritulio ploto, jis apskaičiavo vieno sluoksnio tūrius. Be to, be galo mažų stygų sumą jis pakeitė apskritimo ilgiu. Kitą kartą Kepleris supjaustė sudėtingą geometrinę figūrą į be galo plonus sluoksnius, juos iš naujo sudėjo kita tvarka ir gavo cilindrinę nuopjovą – ritinio dalį, kurią nukerta plokštuma, einanti per pagrindo skersmenį. O jau apskaičiuoti tokios nnuopjovos tūrį jis sugebėjo.

Kai ir tokie ekstravagantiški metodai nepadėjo. Kepleris samprotavo iš analogijos, taikė skaitmeninius metodus ir t.t. Nenuostabu, kad matematikai, įsisavinę Archimedo metodų tik formaliąją pusę, o ne jų dvasią, užpuolė Keplerį. Bet pirmasis žingsnis buvo žengtas – mokslininkai suvokė, kad infinitezimaliųjų metodų (lotyniškai ,,infinitum” – begalybė), t.y. tokių sąvokų, kaip ,,be galo plonas sluoksnis”, ,,nedalomoji dalis” ir t.t., panaudojimas gali būti vertingas.

Kepleris šiuos metodus taikė astronominiuose tyrimuose. Kaip žinome, antrajame Keplerio dėsnyje kalbama apie elipsinės išpjovos pplotą. Bet senovės matematikoje nebuvo formulės tokiam plotui apskaičiuoti, ir Kepleriui teko pačiam ieškoti naujų kelių. Vietoj išpjovos ploto jis nagrinėjo ,,visų spindulių vektorių” sumą. Kiekvieną spindulį vektorių jis traktavo kaip be galo ploną išpjovą ir sumavo tokių išpjovų begalinę aibę.

Greitis ir liestinė. Ploto ir tūrio skaičiavimas labai domino XVII a. matematikus. Bet infinitezimaliuosius metodus jie taikė, spręsdami ir kito tipo uždavinius – brėždami kreivių liestines. Šią matematikos sritį senovės geometrai mažai nagrinėjo, jie mokėjo brėžti tik kūgio pjūvių ir Archimedo spiralės liestines.

Liestinės brėžimas glaudžiai siejasi su greičio apskaičiavimu. Kai taškas juda kreive, greičio vektoriaus kryptis kiekvienu laiko momentu sutampa su liestine, o jo ilgis lygus judančio taško linijiniam greičiui. Pirmą bendrą liestinių brėžimo jis laikė kirstine, kurios abu susikirtimo su kraive taškai sutampa. Ieškodamas susikirtimo taškų, Dekartas spręsdavo algebrines lygtis, todėl jam užtekdavo ištirti sąlygas, kada algebrinės lygties šaknys sutampa. Tokiu būdu jis išmoko nubrėžti bet kokių algebrinių kreivių liestines. Dekarto metodu buvo galima rasti ir šių kreivių asimptotes, t.y. tieses, prie kurių kreivės artėja, toldamos į begalybę. Šios asimptotės – tai tiesės, liečiančios kreivę be galo nutolusiame taške.

Dekarto metodas netiko transcendentinėms kreivėms. Bet dauguma žinomų tuo metu transcendentinių kreivių buvo judančių taškų trajektorijos. Todėl, ieškant lliestinių ir greičių, buvo samprotaujama kinematiškai. Kai taško judėjimą galima išskaidyti į du judėjimus, pakanka rasti kiekvieno jų momentinį greitį, o paskui sudėti pagal lygiagretainio taisyklę.

Pvz., norėdami nubrėžti Archimedo spiralės liestinę tam tikrame taške M, per šį tašką brėžiame apskritimą bei jo spindulį ir apskritimo liestinėje bei spindulyje atidedame vektorius, kurių ilgiai lygūs sukamojo ir slenkamojo judėjimo linijiniams greičiams. Sudėję gautus vektorius, randame spirale judančio taško greičio vektorių. Jo kryptis rodo liestinės kryptį, o ilgis – greitį, kuriuo taškas juda spirale.

Tokiu pat būdu galima nubrėžti cikloidės liestinę. Cikloidę brėžiančio taško judėjimas išskaidomas į sukamąjį ir slenkamąjį, be to, šių judėjimų greičiai yra suderinti. Bet Dekartas sugalvojo išradingesnį uždavnio sprendimą. Jis pastebėjo, kad bet kuriuo laiko momentu taškas, kuriame riedantis apskritimas liečia tiesę, nejuda (panašiai, kaip bet kuriuo laiko momentu nejuda apatinis automobilio rato taškas). Todėl šiuo laiko momentu judėjimas yra tik sukimasis apie lietimosi tašką, o tokio judėjimo greičio vektorių rasti nesunku. Šiame liestinių brėžimo metode slypėjo didelės galimybės toliau plėtoti kinematiką – čia pirmą kartą iškelta momentinio sukimosi centro idėja, mintis, kad bet kokį neslenkamąjį judėjimą galima išskaidyti į sukamuosius judėjimus su kintamu centru ir kintamu kampiniu greičiu.

Visuotinė charakteristika. Mokslininkui, dirbančiam aktualioje mokslo srityje ir ilgai nneskelbiančiam rezultatų, kartais staiga tenka įsitikinti, kad kažkas kitas, irgi nagrinėjantis tuos pačius klausimus, gavo daugelį jo teiginių ir netgi pasistūmėjo toliau. Taip atsitiko Niutonui: kol jis stengėsi griežtai pagrįsti savo metodą, panašų skaičiavimą išrado kitas mokslininkas Leibnicas.

Niutonas sukūrė naująjį skaičiavimą, pradiniu tašku laikydamas fizikos uždavinius, o Leibnicas kėlė platesnes problemas – jis ieškojo universalaus ir logiško matematinio pažinimo metodo, o mokslą apie begalybę traktavo tik kaip pirmąjį tokio metodo pavyzdį. Ta prasme jis buvo Dekarto užmojų paveldėtojas, nes Dekartas, sujungdamas algebrą su geometrija, irgi bandė rasti bendrą raktą materialiojo pasaulio mįslėms įspėti. Bet, kaip jau minėjome, algebriniai Dekarto metodai netiko transcendentinėms funkcijoms. Reikėjo sukurti mokslą apie begalybę, be kurio neįmanoma toliau metodiškai plėtoti mokslo apie baigtinius dydžius.

Leibnico tikslas – ne tik sukurti mokslą apie skaičius ir erdvinę tvarką, bet ir ,,nuo idėjų analizės priklausantį daug svarbesnį skaičiavimą negu aritmetikos bei geometrijos skaičiavimas. Tai būtų visuotinė charakteristika, kuri man atrodo viena svarbiausių, galimų nagrinėti”.

Stengdamasis sukurti tokį mokslą, Leibnicas sudarinėjo savotiškus algoritmus, užbėgdamas už akių matematinės logikos idėjoms, nagrinėjo kombinatorikos problemas, planavo bendrosios algebros plėtojimo kelius.

To meto mokslo būklė neleido Leibnicui įgyvendinti visų sumanymų. Kaip vėliau rašė Imanuelis Kantas, ,,žymusis Leibnicas turėjo daug tikrų žinių, kuriomis praturtino

mokslą, bet dar didingesni buvo jo sumanymai, kurių įgyvendinimo veltui iš jo laukė pasaulis”. Tačiau, vadovaudamasis bendromis idėjomis, jis sugalvojo ypatingą be galo mažų dydžių skaičiavimą, kuris leido lengvai ir vienuodu būdu gauti rezultatus, pareikalavusius iš jo pirmtakų didelių pastangų. Ir šie, ir naujieji rezultatai, liečiantys įvairiausias funkcijas ir kreives, buvo gaunami pagal griežtai apibrėžtas taisykles. Kaip rašė pats Leibnicas, ,,šio naujojo skaičiavimo privalumas yra tas, kad jis atpalaiduoja vaizduotę, sprendžiant problemas, kurias Dekartas išmetė iš geometrijos, nes jos vedė įį mechaniką, o iš tikrųjų netiko jo skaičiavimui”.

Svarbus Leibnico nuopelnas plėtojant naujas matematines idėjas – apgalvotos pavadinimų ir žymėjimų sistemos sukūrimas. Tinkamos simbolikos stoka stabdo mokslo vystymąsi, trukdo mokslininkams reikštį idėjas. Todėl simbolių sistemos, o kartais ir atskirų simbolių parinkimas yra labai svarbus. Vykusiai parinkta simbolika tarsi paimta ant pečių didžiąją mokslininko protinio darbo dalį, palengvina kūrybos procesą. O kartais simbolikos dėka gaunami rezultatai, kurių negalima paaiškinti turimomis sąvokomis. Pasirodo, kad sąvokas reikia apibendrinti taip, jog su jomis bbūtų įmanoma paaiškinti ir šiuos, tik ,,formaliais” atrodančius rezultatus. Leibnicas akcentavo simbolikos įtaką kūrybos procesui. ,,Reikia pasirūpinti,- rašė jis, – kad žymėjimas būtų patogus atradimas. Taip dažniausiai būna, kai žymėjimas trumpai išreiškia ir tarytum atspindi intymiausią daiktų esmę. Tuomet stulbinančiai ssumažėja minties darbas.” Leibnico sukurta diferencialinio ir integralinio skaičiavimo simbolika pasirodė besanti labai apgalvota ir nesisekusi, tiek atitiko dalyko esmę, kad ir šiandien vartojama be pakeitimų.