Diferencialinių lygčių paruoštukė

Diferencialines lygtys (1) u’v+v’u+p(x)uv=f(x).(5) ar-

F-ija F(x,y,y’)=0.(1) vadin pa- ba u arba v iskeliam pries skliaus-

prasta dif lygtimi y’=f(x,y).(2) tus: uv’+u(v’+p(x)v)=f(x).(6).

F(x,y,y’,y”,.,y(n))=0.(3)-n eiles Is (6): v’+p(x)v=0.(7); u’v=

paprasta dif lygtimi. f(x).(8).Is (7) v’=-p(x)v

Y(n)=f(x,y,y’,.,y(n-1)).(4). dv/dx=-p(x)v ; dv/v=-p(x)dx ;

Dif lygties eile nusako auksciau- v=c1e- p(x)dx.(9).(9)(8):

sios isvestines eile,o laipsni- u’ c1e- p(x)dx=f(x) ;(du/dx)c1=

auksciausios eiles isvestines f(x)e- p(x)dx ; du=1/c1 f(x)e- p(x)dxdx

laipsnis.y=y(x) ,x(a,b) ir ten- u=1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2.(10).

kintu (1)arba(3)lygti ir butu is- (9) ir (10)(3): y=uv=

sprendziama C atzvilgiu. =[1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2] c1e- p(x)dx=

(x,y,C)=0.Bendras sprendinys =e- p(x)dxf(x)e- pp(x)dxdx+c2 c1e- p(x)dx

reiskia integraliniu f-iju seima. Tiesiniu dif. lygciu sprendimas

F(x,y,y’,y”)=0 (x,y,C1,C2)=0. Lagranzo metodu

Dif lygtis,i kuria ieina keli nepri- Duota y’+p(x)y=f(x).(1).Suda-

klausomi kintamieji vadin dali- rom jai atitinkama homogenine

nem isvestinem. lygti y’+p(x)y=0.(2)

Kosi uzdavinys formuluojamas, dy/dx=-p(x)y ; dy/y=-p(x)dx ;

kai tenkina sal.:yx=x0=y0. ln y=-p(x)dx+lnC ; ln y/C=

Pirmiausia randam bendra spren- dini,o po to i ji istatom pradines sal. ir randam pastovuji C.

Apytikslis dif.lygciu sprendimas

izoklinu budu

y’=f(x,y).(1).y’=tg=k,

k=const

f(x,y)=C

Dif.lygtys su atskiriamais kinta-

maisiais 1)P(y)dy=Q(x)dx.(1)

dy/dx=Q(x)/P(y) P(y)dy=Q(x)dx

y=(x,C).

2)P1(y)Q1(x)dy+P2(y)Q2(x)dx=0

P1(y)dy/P2(y)+Q2(x)dx/Q1(x)=0

yx=x0=y0.Randame C0 y=(x,C0)

Baigus spresti lygti reikia patikrin-

ti ar Q1(x)=0 ir P2(y)=0 tenkina

pradine ssal..Jei tenkina,tai yra pa-

vieniai sprendiniai.

3) y’=f(ax+by+C). Pazymim

ax+by+C=u u=u(x) y’=f(u).

Homogenines dif lygtys ir ju

sprendimas

1)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.(1)

P(x,y) ir Q(x,y)-to paties laipsnio

homogenine f-ija.P(tx,ty)=tnP(x,y)

..(2).P(tx,ty)=P(x,y). y’=f(x,y)

y’=f(1,y/x)=(y/x).(3) .(y=ux;

u=u(x);y’=u’x+u;u=y/x.).

2)Gali buti,kaddif lygtis yra homogenine x-so atzvilgiu

x’=(x/y); x=uy x’=u’y+u u=(y).

3)y’=f((a1x+b1y+C1)/(a2x+b2y+C2))

Pazymim x=x1+mdx=dx1

y=y1+ndy=dy1

y’=dy/dx=dy1/dx1 x,y,y’(1)

dy1/dx1=f1((a1(x1+m)+b1(y1+n)+C1)/

(a2(x1+m)+b2(y1+n)+C2))=

=f1((a1x1+b1y1+a1m+b1n+C1)/(a2x1+

b2y1+a2m+b2n+C2)) .m ir n paren-

kam taip,kad a1m+b1n+C1=0 ir

a2m+b2n+C2=0.(2).

a) a1 b1

a2 b2 0,tada (2) tures vieninte-

li sprendini ir rasim m ir n reiks-

mes.Istate gausim:x1=x-m ir

y1=y-n.(2a).

dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1)/(a2x1+b2y1))=f1((a1+b1(y1/x1))/(a2+b2(y1/x1)))=

=(y1/x1).(3).Pazymeje y1/u1=u;

y1=ux1;u=u(x1);y1’=u’x1+u statom

i (3).Gausim lygti,kurioje atsiskirs

kintamieji.Suintegrave vietoje u ra-

som u=y1/x1,po to istatom i (2a).

b)a1/a2=b1/b2c1/c2,tada gausim taip: a1/a2=b1/b2=ka1=a2k ,b1=

=b2k .dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1+c1)/

(a2x1+b2y1+c2))=f1((a2kx1+b2ky1+

+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=f1((k(a2x1+

+b2y1)+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=((kz+

+c1)/(z+c2));z=a2x1+b2y1 .Toliau

rasim z’,atsiskirs kintamieji.

c)a1/a2=b1/b2=c1/c2 .Tada a1/a2=

=b1/b2=c1/c2=ka1=a2k ;b1=b2k ;

c1=c2k .dy1/dx1=f((a1x1+b1y1+c1)/

(a2x1+b2y1+c2))=f1(k) ;dy1=f(k)dx1;

y1=f(k)dx1 .

Pirmos eiles tiesines dif. lygtys

y’+p(x)y=f(x).(1) x’+q(y)x=(y)

ay’+p(x)by=f(x)/a .p(x) ir f(x)-api-

br.,tolyd. x[a;b].Jei f(x=0),tai

y’+p(x)y=0.(2)-tiesine homoge-

nine.Jei f(x)0 ,tai y’+p(x)y=f(x)-

tiesine nehomogenine.

Bernulio metodas Duota:y’+p(x)y=f(x).(1).Bendras

sprendinys y=uv.(3),cia u=u(x) ir

v=v(x);y’=u’v+v’u.(4).(3)ir(4)

=-p(x)dx ; y/C=e-p(x)dx ; C=C(x);

y=Ce-p(x)dx.(3)-homogenines lyg-

ties bendras sprendinys.

y=C(x) e-p(x)dx.(4). y’=C’(x) e-p(x)dx

+C(x) e-p(x)dx(-p(x)).(5).(4)ir(5)

statom i (1): C’(x) e-p(x)dx-

-C(x)p(x)e-p(x)dx+ C(x)p(x)e-p(x)dx=

=f(x) ; C’(x) e-p(x)dx=f(x)

C(x)=f(x)ep(x)dxdx+C.(6).(6)

(4)

y=(f(x)ep(x)dxdx+C)e-p(x)dx.

Bernulio dif.lygtys Bernulio dif.

lygtis:y’+p(x)y=f(x)y ;ir

(Jei =1,gautume lygti su atskiria-

mais kint. y’+p(x)y=f(x)y ;dy/dx=

y(f(x)-p(x)); dy/y=(f(x)-p(x))dx).

p(x),f(x) tolydi,diferenc.x(a,b)

y’+p(x)y=f(x)y 1/y y0 (y=0

pirminis sprend.).y’y-+p(x)y1-=

=f(x).Pazymim y1-=z ,(1-)y1–1y’=

=z’ ; (1-)y-y’=z’ ;y-y’=z’/1-

(z’/1-)+p(x)z=f(x).

Dif. lygtys su pilnais diferencial.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.(1).PirQ-

Dif. f-ijos iki n eiles srityje D:

axb ir ccyd. Jei turime u=

=u(x,y),tai du=(u/x)dx+(u/y)

dy.(2).Jei P(x,y)/x=u/x.

(3) ir Q(x,y)/y=y.(4).

d(u(x,y))=0 u(x,y)=0 . Q/x=

=P/y .Sprendimas : is(3) u/x=

= P(x,y)/x ; u=P(x,y)dx+(y).

(5). y=(P(x,y)dx)y’+y’(y).Ran-

dam (y).Vietoj y statom (4).

Antros eiles tiesines nehomog. dif.lygtys.Bendro sprendinio

struktura

y”+a1y’+a2y=f(x).(1),x(a,b)

y”+a1y’+a2y=0.(2).Jei (2)lygties

bendras sprend.y0=C1y1+C2y2 ,tai

(1) lygties bendr.spren.y=y0+y ;

y-(1) dif.lygties betkoks atskiras

sprend.Irodymas:y’=y0’+y’.(4)

y”=y0”+y”.(5).(3),(4)ir(5)(1):

y0”+y”+a1(y0’+y’)+a2(y0+y)=f(x);

[y0”+a1y0’+a2y0]+[y”+a1y’+a2y]=

=f(x),pirmus skliaustus prisilygi-

nam 0.L(y)=y(n)+a1y(n-1)+..+a0y ;

L(y)=f(x).(1). y=y0+y ;y0L(y)=

=0 ir yL(y)=f(x).Atskiras spren-

dinys L(y)=f(x).

1)Duota: y(n)+a1y(n-1)+..+any=0 ;

L(y)=0. y”+py’+qy=0.(1) p,qR

bendras sprend..Tegul 1ir2-sk.,

kurie ispildo sal.(y’-1y)’-2(y’-

-1))e(2-1)xd(2-1)x ;y= e1x(C/

/(2-1)e(2-1)x+C) ;C/(2-1)=C2;

y=C2e2x+C1e1x.(7);(y’-1y)’-

-2(y’-1y)=0.(2).Is(2):y”-1y’-

-2y’+12y=0 ;y”-(1+2)y’+

+12y=0; 1+2=-p ; 12=q ;

2+p1+q=0.(8).

2)y”+py+qy=0 ; 2+p+q=0 ; 1=

=2= ; R.Is(6):y=exCe0dx ;

y= exCdx ;y= ex(Cx+C1).Tegul

C=C2 ,y= ex(C1+C2x).(9).

3)y”+py’+qy=0 ; 2+p+q=0 ;

1,2=i.(10).

Eulerio fformule:

eix=cosx+isinx.(12).

e-ix=cosx-isinx (12)(11)

y=(A1+iA2)ex(cosx+isinx)+

+(1+i2) ex(cosx-isinx)= ex{

A1cosx+iA2cosx+iA1sinx+

+i2A2sinx+1cosx+i2cosx-

-i1sinx-i22sinx}= ex{[A1+

+1)cosx+(2-A2)sinx]+i[(A2+

+2)cosx+(A1-1)sinx]}.(13).

(A2+2)cosx+(A1-1)sinx=0.

Kai x=0,tai A2+2=0 ;A2=-2.(14)

Kai x=/2 ,tai A1-1=0 ;A1=1.

(15).(14)ir(15)(13): y= ex(2A1

cosx+22sinx).Jei 2A1=C1 ,

22=C2 ,tai y=ex(C1cosx+C2sinx)..

Antros eiles tiesines nehom.dif.

lygtys su pastoviais koeficientais

Duota:y”+py’+qy=f(x).(1)p,qR

=-p(x)dx ; y/C=e-p(x)dx ; C=C(x);

y=Ce-p(x)dx.(3)-homogenines lyg-

ties bendras sprendinys.

y=C(x) e-p(x)dx.(4). y’=C’(x) e-p(x)dx

+C(x) e-p(x)dx(-p(x)).(5).(4)ir(5)

statom i (1): C’(x) e-p(x)dx-

-C(x)p(x)e-p(x)dx+ C(x)p(x)e-p(x)dx=

=f(x) ; C’(x) e-p(x)dx=f(x)

C(x)=f(x)ep(x)dxdx+C.(6).(6)(4)

y=(f(x)ep(x)dxdx+C)e-p(x)dx.

Bernulio dif.lygtys Bernulio dif.

lygtis:y’+p(x)y=f(x)y ;ir

(Jei =1,gautume lygti su atskiria-

mais kint. y’+p(x)y=f(x)y ;dy/dx=

y(f(x)-p(x)); dy/y=(f(x)-p(x))dx).

p(x),f(x) tolydi,diferenc.x(a,b)

y’+p(x)y=f(x)y 1/y y0 (y=0

pirminis sprend.).y’y-+p(x)y1-=

=f(x).Pazymim y1-=z ,(1-)y1–1y’=

=z’ ; (1-)y-y’=z’ ;y-y’=z’/1-

(z’/1-)+p(x)z=f(x).

Dif. lygtys su pilnais diferencial.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.(1).PirQ-

Dif. f-ijos iki n eiles srityje D:

axb ir cyd. Jei turime u=

=u(x,y),tai du=(u/x)dx+(u/y)

dy.(2).Jei P(x,y)/x=u/x.

(3) ir Q(x,y)/y=y.(4).

d(u(x,y))=0 u(x,y)=0 . Q/x=

=P/y .Sprendimas : is(3) u/x=

= P(x,y)/x ; u=P(x,y)dx+(y).

(5). y=(P(x,y)dx)y’+y’(y).Ran-

dam (y).Vietoj y statom (4).

Antros eiles tiesines nehomog. dif.lygtys.Bendro sprendinio

struktura

y”+a1y’+a2y=f(x).(1),x(a,b)

y”+a1y’+a2y=0.(2).Jei (2)lygties

bendras sprend.y0=C1y1+C2y2 ,tai

(1) lygties bendr.spren.y=y0+y ;

y-(1) dif.lygties betkoks atskiras

sprend.Irodymas:y’=y0’+y’.(4)

y”=y0”+y”.(5).(3),(4)ir(5)(1):

y0”+y”+a1(y0’+y’)+a2(y0+y)=f(x);

[y0”+a1y0’+a2y0]+[y”+a1y’+a2y]=

=f(x),pirmus skliaustus prisilygi-

nam 0.L(y)=y(n)+a1y(n-1)+..+a0y ;

L(y)=f(x).(1). y=y0+y ;y0L(y)=

=0 ir yL(y)=f(x).Atskiras spren-

dinys L(y)=f(x).

1)Duota: y(n)+a1y(n-1)+..+any=0 ;

L(y)=0. y”+py’+qy=0.(1) p,qR

bendras sprend..Tegul 1ir2-sk.,

kurie ispildo sal.(y’-1y)’-2(y’-

-1y)=0.(2).Pazymim: y’-1y=

=z.(3); z=z(x).(3)(2):z’-2z=0

.(4).Is (4) dz/dx=2z ; dz/z=2dx;

ln|z|=2x+lnC ;ln|z/C|=2x ;z/C=

=e2x; z=C e2x.(5).(5)(3):

y’-1y=C e2x / e2x; (y’-1y)e-1x=

= C e2xe-1x;(ye-1x)’=Ce(2-1);

(ye-1x)=Ce(2-1)xdxy=e1x Ce(2-1)xdx.(6).Is (6):y= e1x(C(1/(2-

-1))e(2-1)xd(2-1)x ;y= e1x(C/

/(2-1)e(2-1)x+C) ;C/(2-1)=C2;

y=C2e2x+C1e1x.(7);(y’-1y)’-

-2(y’-1y)=0.(2).Is(2):y”-1y’-

-2y’+12y=0 ;y”-(1+2)y’+

+12y=0; 1+2=-p ; 12=q ;

2+p1+q=0.(8).

2)y”+py+qy=0 ; 2+p+q=0 ; 1=

=2= ; R.Is(6):y=exCe0dx ;

y= exCdx ;y= ex(Cx+C1).Tegul

C=C2 ,y= ex(C1+C2x).(9).

3)y”+py’+qy=0 ; 2+p+q=0 ;

1,2=i.(10).

Eulerio formule:

eix=cosx+isinx.(12).

e-ix=cosx-isinx (12)(11)

y=(A1+iA2)ex(cosx+isinx)+

+(1+i2) ex(cosx-isinx)= ex{

A1cosx+iA2cosx+iA1sinx+

+i2A2sinx+1cosx+i2cosx-

-i1sinx-i22sinx}= ex{[A1+

+1)cosx+(2-A2)sinx]+i[(A2+

+2)cosx+(A1-1)sinx]}.(13).

(A2+2)cosx+(A1-1)sinx=0.

Kai x=0,tai A2+2=0 ;A2=-2.(14)

Kai x=/2 ,tai A1-1=0 ;A1=1.

(15).(14)ir(15)(13): y= ex(2A1

cosx+22sinx).Jei 2A1=C1 ,

22=C2 ,tai y=ex(C1cosx+C2sinx)..

Antros eiles tiesines nnehom.dif.

lygtys su pastoviais koeficientais

Duota:y”+py’+qy=f(x).(1)p,qR

y”+py’+qy=0.(2).y=y+y ,y-(2)

bendras spr.;y-(1)bendras spr.

x2+pq=0.(2a).Tegul 12R

y=C1e1x+C2e2x=C1y1+C2y2 ;

y1=e1x , y2=e2x ;y1/y2=const

y=?.Tegul f(x)=ex(Pmcosx+

Qnsinx).(4)PmirQn-“m”ir”n”ei-

les daugikliai.

1)Jei i-nera (2a) saknys

i1ir i2 ; y=

= ex(Pmcosx+ Qnsinx).(5)

2)Jei i-yra charakteringa

lygties(2a)saknis “k”-k,tai y=

= exxk(Pmcosx+ Qnsinx).(6)

Jei f(x)=f1(x)+f2(x)+.+fn(x)

y=y+y1+y2+.+yn.

Antros eiles tiesiniu nehomogen.

dif.lygciu sprendimas konstantu

varijavimo metodu(Lagranzo)

y+P1(x)y’+P2(x)y=f(x).(1)

P1(x),P2(x),f(x)-x(a,b).

L[y]=y”+P1(x)y’+ P2(x)y ;L[y]=

=f(x).(1)dif.lygtis ;L[y]=0.(2)

y1iry2 yra atskiri(2)sprendiniai,kai

y1/y2const. y”+P1(x)y’+P2(x)y=0

.(2). Bendras spr.yra:y=C1y1+

+C2y2.(3).y=C1(x)y1+C2(x)y2.

(4) ((1)lygties spr.)

C1(x)y1+C2(x)y2+ f(x) ; y= C1(x)y1+

+C2(x)y2-isvestine pagal Lagranza

randama tartum C1irC2butu pasto-

vus.(4) lygti diferencijuojam y’=

=C1’(x)y1+C2’(x)y2+C1(x)y1’+

+C2(x)y2’.(5).Pagal Lagranza

prielaida: C1’(x)y1’+C2’(x)y2’=0.

(6).(6)(5):y’=C1(x)y1+C2(x)y2.

(7). (7)diferencijuojam y”=

=C1’(x)y1’+C2’(x)y2’+C1(x)y1”+

+ C2(x)y2”.(8).(4),(7),(8)(1):

C1’(x)y1’+C2’(x)y2’+C1(x)y1”+

+C2(x)y2”+ P1(x)[C1(x)y1’+ +C2(x)y2’]+P2(x)[C1(x)y1+C2(x)y2]=

=f(x) ; C1(x)[y1”+P1(x)y1’+P2(x)y1]+

+C2(x)[y2”+ P1(x)y2’+P2(x)y2]+

+C1’(x)y1’+C2’(x)y2’=f(x)

y1iry2yra L[y]=0

C1’(x)y1+C2’(x)y2=0.(9)

C1’(x)y1’+C2’(x)y2’=f(x).(10)

Dif.lygciu sistemos

Dif.lygciu sist-tai lygciu visuma,

kai i kiekviena is ju ieina nepriklau-

somas kintamasis,ieskomos f-ijos

ir tu f-iju isvestine.

f1(x,y,z,dy/dx,dz/dx)=0.(1)

f2(x,y,z,dy/dx,dz/dx)=0

y=y(x)=?,z=z(x)=?.(2)

1(x,C1,C2)=0

2(x,C1,C2)=0 y|x=x0=y0 ;

z|x=x0=z0 .Rasim C10 irC20,t.y.(C1ir

C2).Normaline dif.lygciu sist.,kur

kairej pusej nezinomu f-iju pirmos

eiles isvestines,o desinej nepriklau-

somas kintamasis ir nezinomos f-ijos.

Pvz y1,y2,.,yn-nezinomieji,nepri-

klausomas kintamasis-x

dy1/dx=f(x,y1,y2,.,yn)

dy2/dx=f(x,y1,y2,.,yn)

dyn/dx=f(x,y1,y2,.,yn) . Kiekvie-

na lygciu sist,kuria galima isspres-

ti nezinomu f-iju pirmos isvestines

atzvilgiu,taip pat vadin. normaline

lygciu sist.Kiekviena n eiles dif.

lygti,ivede pazymejimus,galima

uzrasyti kaip normaline lyg.sist.

pvz y”’=f(x,y,y’,y”) ;y’=y1

y”=(y’)’=y1’=y2

y’=y1

y1’=y2

y2’= f(x,y,y1,y2).Galioja ir at-

virkstinis teiginys.Duota:

dx/dt=y.(1)

dy/dt=z.(2)

dz/dt=x-y-z.(3).(1) diferencij.

d2x/dt2=dy/dt.(4).(2)(4): d2x/dt2=

=z.(5).(5)diferencij.:d3x/dt3=dz/dt

.(6).(3)(6):d3x/dt3=x-y+z.(7).

(1),(5)(7):d3x/dt3=x-dx/dt+ d2x/dt2

x’”+x”+x’-x=0-trecios eiles homo-

genine su pastoviais koeficientais

3-2–1=0 ;2(+1)+(-1)=0 ;

(-1)(2+1)=0 ; (-1)=0 , =1

(2+1)=0 ; 2,3=i ; 2,3=i

x=C1e1t+et(C2cost+C3si ti i(8),(9)ir(10).RastumeC1,C2,C3ir

po to konkreciasC10,C20,C30ista-

tytume i(8),(9)ir(10).

Kanonine dif.lygciu sist-tai to-

kia sist,kuri yra isspresta nezino-mos f-ijos auksciausios isvestines

atzvilgiu.pvz

d2x/dt2=f1(t,x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt)

d2y/dt2=f1(t,x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt)

d2z/dt2=f1(t,x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt)

Kiekviena kanonine dif.lygciu sist.

galima ivedus naujus kintamuo-

sius pervesti i normaline ir spresti

kaip normaline.Tegul dx/dt=u ,

dy/dt=v , dz/dt=w .d2x/dt2=du/dt ,

d2y/dt2=dv/dt , d2z/dt2=dw/dt .

(viena sistema):dx/dt=u , dy/dt=v,

dz/dt=w, du/dt=1(t,x,y,z,u,v,w),

dv/dt=2(t,x,y,z,u,v,w), dw/dt=

=3(t,x,y,z,u,v,w).Galima kanonine dif.l.sist spresti kaip nnor-

maline ir neivedus nauju kintamuju

Aukstesniuju eiliu dif.lygtys.Pa-

grindines savokos.

F(x,y,y’,y”,.y(n))=0.(1). y(n)=

=f(x,y,y’,y”,.y(n-1)).(2).y-dife-

rencij. x(a,b).y=y(x)-tenkinanti(1)

y=f(x,C1,C2,.,Cn).(3).Bendras spr.reiskia integraliniu kreiviu sei-

ma y”=f(x,y,y’)

y=(x,C1,C2)

D: y|x=x0=y0.(4),

y’|x=x0=y0’.(5).y=(x,C10,C20).

Anyros eiles lygties sprendinys

reiskia integraline kreive,einan-

cia per taska M0ir turincia zinoma

krypti.Tarkime duota dif.l.(2)ir pradines sal: y|x=x0=y0, y’|x=x0=y0’,

., y(n-1)|x=x0=y0(n-1).(6),tada tokia

lygtis turi vieninteli spr.,jei f(x,y,

y’,y”,.,y(n-1))yra tolydi tasko

(x0,y0,y0’,.,y0(n-1))aplinkoje m to-

lydzios dalines isvestines:

f/y ; f/y’ ; f/y” ; /y(n-1)

x0(a,b) ,y=(x0,C10,C20,.,Cn0)

.(7).( x0,C10,C20,.,Cn0)=0.(8)

Aukstesniu eiliu atskiri atvejai

D:F(x,y,y’,y”,.y(n))=0.(1).

1)D:isspresta dif. lygtis

y(n)=f(x),f-diferencij iki(n-1)eiles

intervale x(a,b). y(n-1)=f(x)dx+C1

y(n-2)=[f(x)dx+C1]dx+C2=

=[f(x)]dx+C1x+C2

2) F(x,y’,y”,.y(n-1))=0 ;

F(x,y(k),y(k-1),.,y(n-2),y(n-1))=0.Pa-

Zymim y(k)=z,z=z(x) ; y(k-1)=z’ ;

y(k-z)=z”. . (x,z,z’,z”,.zn-z)

Issprendziam z atzvilgiu ir grazi-

nam kintamuosius.

3) F(y,y’,y”,.y(n))=0.Pazymim

y’=P ,P=P(y) ,y”=(dP/dy)(dy/dx)=

=(dP/dy)P ;y”’=d[(dP/dy)P]/dy*

*dy/dx=[(d2P/dy2)P+(dP/dy)(dP/dy)]*

*P=[(d2P/dy2)P+(dP/dy)2]P.

Issprende grazinam kintamuosius.

Aukstesniu eiliu homog.dif.lyg-

tys.Bendro spr.struktura

D:y(n)+a1y(n-1)+a2 y(n-2)+.+ a0y=

=f(x).(1).n eiles dif.lygtis tiesine

nehomogenine,jei f-ja y ir jos visos

isvestines iki n eiles pirmame

laipsnyje.a1, a2,., a0 tolydzios

f-jos intervale x(a,b).a1=a1(x),

a2=a2(x),a0=a0(x)diferencijuojam.

Jei f(x)=0 ,y(n)+a1y(n-1)+.+a0y=0-

tiesine homogenine.(2).L[y]=

=y(n)+a1y(n-1)+a2 y(n-2)+.+ a0y ;

L[y]=f(x)-tiesine nehomogenine.

L[y]=0-tiesine homogenine.

y”+a1y’+y=0.(3).Teorema:Jei

y1=y1(x)ir y2=y2(x)yra (3)sprend,

tai ir y1=C1y1(x)ir y2=C2y2(x) yra

(3)lygties sprendiniai.Ir.Tegul(3)

lyg.spr.yra y=y1+y2;tada y=C1y1+

+C2y2 irgi spr.Reikia rasti y’=C1*

*y1’+C2y2’ ;y”= C1y1”+C2y2”stato-

me i (3):C1y1”+C2y2”+a1[C1y1’+

+C2y2’]+C1y1+C2y2=0 ;C1(y1”+

+y1+a1y1’)+C2(y2”+y2+a2y2’)=0 ,

kadangi y1iry2 yra spr.-irodyta.

y1=y1(x)ir y2=y2(x)yra (3)sprend,

kai jos yra tiesiskai nepriklausom.,

t.y. y1/y2=k ,nes y1=ky2 ; y=C1y1+

+C2y2=Cky2+Cy2= y2(Ck+C)=y2C1

y=C1y1+C2y2+.+ Cnyn ;y1,y2,..,yn-

tiesiskai nepriklausomi.

|y1 y2 .yn |

W=|y1’ y2’ . yn’|0

|y1(n-1)y2(n-1).yn(n-1)|

nt)

x= C1et+C2cost+C3sint.(8).Is(8)

ir(1):y=dx/dt=C1et-C2cost+C3sint

.(9).Is(2)ir(9):z=dy/dt= C1et-C2cost+C3sint.(10).Jei butu duo-

tos pradines sal.,tai jas reiktu staty-

iyi=0,kai i=0,i=1,n-tiesiskai

nepriklausomas.Jei iyi=0,kai bentvienas i0 i=1,n ,t.y.tiesiskai

priklausomas.