Dirichle principas. Krastinio elemento metodas.

Kas yra kas?

Kartais tenka spęsti neįprastus uždavinius, kurie iš pirmo žvilgsnio su matematika neturi nieko bendro. Tai logikos uždaviniai. Jų gausu spaudoje galvosūkių kertelėse, detektyvuose, nuotykių aprašymuose. Tokiems uždaviniams spręsti iš tikrųjų nereikia ypatingo matematikos žinių- užtenka sveiko proto ir nuovokos.

Kur tiesa?

Dažnai logikos uždavinių sprendimą palengviną sprendimo būdas, vadinamas “bandymų ir klaidų metodu”. Jo esmę ir algoritmą galima nusakyti taip:

• pagal uždavinių klausimą darome įvairias prielaidas;

• remdamiesi sąlygos teiginiais tikrinime kiekvienos prielaidos teisingumą ir darome atitinkamas išvadas.

P.S Sprendimą apipavidaliname sudarydami kelias llenteles (ar vieną bendrą lentelę) arba užrašydami samprotavimų grandinę sakiniais.

Dirichlė principas

Dirichlė* principas juokais vadinamas “narvelių ir triušių” principu. Pavyzdžiui, negalima dviejuose narveliuose uždaryti septynių triušių taip, kad kiekviename narvelyje jų būtų ne daugiau kaip trys. Iš tikrųjų, jei kiekviename narvelyje būtų ne daugiau kaip trys triušiai, tai iš viso triušių būtų ne daugiau kaip 3×2=6, o tai prieštarauja sąlygai (yra septini triušiai)

Dirichlė principą galėtume suformuoti taip:

Jeigu į n narvelį patalpinti daugiau negu n triušių, tai bent viename narvelyje teks patalpinti nne mažiau kaip du triušius.

Bendresnė Dirichlė principo formuluotė:

Jeigu į n dėžių (narvelių) reikia patalpinti daugiau negu n x k rutulių (triušių), tai bus bent viena dėžė (narvelis), į kurią pateks daugiau negu k rutulių (triušių)

Kraštinio elemento metodas

Kraštinio elemento metodas- vviena iš uždavinių sprendimo metodų, patariantis ieškant atsakymo į uždavinio klausimą nagrinėti tam tikrą kraštinį objektą. Pavyzdžiui, kai uždavinyje kalbama apie atkarpos taškų aibę, metodus siūlo panagrinėti kraštinį (kairiausia arba dešiniausią) aibės tašką. Kai uždavinyje duota tam tikrą skaičių aibė, kraštinio elemento metodas pataria panagrinėti didžiausią ar mažiausią iš šių skaičių. Žinoma, šis metodas (kaip ir bet kuris kitas) padeda ne visada.

160.

1 būdas. Užpildome vardų- pavardžių lentelę, panaudodami uždavinio informaciją. ( Prie ženklų “+” ir “-“ nurodytas ženklo parašymo eilės numeris.)

Vardas

Pavardė

Jonas

Petras

Juozas

Petraitis

Jonaitis

Juozaitis +5

-1

-6 -2

-8

+9 -4

+7

-3

2 būdas. Kadangi Juozas ne Juozaitis, o jis gyvena viename name su Petraičiu, tai Juozas yra Jonaitis, Jonas Petraitis, o Petras Juozaitis

Atsakymas; Jonas Petraitis, Petras Juozaitis, Juozas Jonaitis.

162.

Staliūno tėvas yra stiklius. Bataičio – stalius. Stikliaus – batsiuvys.

176.

Tas kuris kalbėjo ttrečias gal ir yra teisesnis už pirma, bet vis vien yra neteisus. Vadinasi teisiausias yra antrasis, kuris teigė, kad ryt bus giedra ir saulė. Belieka išsiaiškinti kuris iš vaikinų ką pasakė. Kadangi Vytas niekad neatspėja, tai jis kalbėjo pirmas. Antras kalbėjo Laurynas, nes jis kai kada atspėja. Visų teisiausias yra Jonas, nes jis visada atspėja. Vadinasi Jonas sakė, kad ryt bus giedra ir saulė.

189.

Tegul a1, a2, a3,..,an- duotieji skaičiai. Sudarykite n sumų:

a1,

a1 + a2,

a1 + a2 + a3,

……

a1 + a2 ++ a3 +..+ an.

Jei bent viena iš jų dalijasi iš n, tai teiginys teisingas. Sakykime, kad nei viena iš jų nesidalija iš n. Tada dalijamos iš n jos gali duoti tik liekanas 1,2,..,n-1.

Čia “narvelis”- liekanos, o “triušiai”- sumos. Kadangi “narvelių yra n-1, o sumų n, tai pagal Dirichlės principą bus “narvelis”, kuriame yra daugiau kaip viena suma, t.y bent dvi sumos. Tų sumų skirtumas dalijasi iš n , ir yra lygus kuriam nors duotajam skaičiui arba kelių skaičių sumai.

Kitas būdas. Nagrinėkime n+1 skaičių: 0, a1,a2,+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+..+an. Liekanų dalijant juos iš n yra daugiausia n. Vadinasi, bent du skaičiai turi tą pačią liekaną, tai gi jų skirtumas dalijasi iš n.

212.

Tarkime, kad aibė yra baigtinė. Imkime dešiniausia tašką (jeigu tokių taškų yra keli,

aukščiausiai esanti ) Nagrinėkime atkarpą, kurios vidurio taškas jis yra. Jei atkarpa

nėra vertikali , tai vienas iš jos galų bus dešiniau ,- prieštara. Jei atkarpa vertikali , tai

jos viršutinis galas bus irgi dešiniausias, bet aukščiau už nagrinėta tašką. Prieštara,

nes iš visų dešiniausiu taškų nagrinėjimasis taškas yra aukščiausias. Vadinasi, tokių

taškų aibė begalinė.