Funkcijos

FUNKCIJOS MONOTONIŠKUMAS.1.teorema.Būtinas funkcijos monotoniškumo požymis.Jei funcija f(x) intervale(a;b) didėja(mažėja) , tai jos išvestinė tame intervale yra neneigiama ( neteigiama) , t. y. f”(x)>0 (f”(x)<0).Tarkime kad funkcija y=f(x) didėja intervale (a;b) , tuomet, suteikus argumentui pokyti ∆x>0,gaunamas funkcijos pokytis∆y>0, o kai ∆x<0, tai ir ∆y<0. Todėl visada ∆y/∆x>0. Jei šioje nelygybėje pereitumėme prie ribos , kai ∆x—0, tai gautume , kad lim ∆–0 ∆y/∆x>0, t. y. f”(x)>0. 2 TEOREMA.Pakankamas funkcijos monotoniškumopožymis. Jei funkcijos f(x) išvestinė f”(x)>0 (f”(x)<0 intervale (a,b) , ttai funkcija f(x) tame intervale didėja (mažėja) .Tarkme kad x1,x2 (a;b), x1x2.Remdamiesi Lagranžo teorema ,parašome lygybe f(x2)-f(x1)f”(c)(x2-x1),(c yra tarp x1 ir x2), be to , f”(c)>0.Jei x10, todėl ir f(x2)-f(x1)>0; iš čia f(x2)>f(x1), vadinasi , f (x) didėja. Jei x2f(x2). Taško x1 aplinka V(x1) yra intervalas (x1-; x1+), o taško x2 aplinka V(x2) – intervalas (x2-; x2+).Funkcijos maksimumus ir minimumus vadiname jos ekstramumais , o tas argumento reikšmes x1 ir x2, kurias atitinka funkcijos maksimumas ir minimumas , – ekstramumo ttaškais . Iš apibrėžimo aišku , kad funkcijos ekstramumo sąvoka lokali – susieta tik su taško aplinka : ji yra mažiausia arba didžiausia funkcijos rekšmė toje aplinkoje . Vadinasi funkcijos maksimumas gali būti mažesnis net už minimumą arba funkcija gali tturėti kelis maksimumus ar minimumus. TEOREMA. BŪTINA EKSTRAMUMO SĄLYGA. Jei diferencijuojama funkcija taške xx0 turi ekstremumą , tai f’(x0)0. Tarkime kad taške x0 funkija turi maksimumą . Tuomet yra intervalas (x0-; x0+), kurio vidiniame taške x0 funkcija įgyja didžiausią reikšmę . Rementis ferma teorema f’(x0)0 . PASTABA.1) Diferencijuojama funkcija ekstremumą gali turėti tik su tomis argumento reišmėmis , su kuriomis f’(x)0, bet ne atvirkščiai. 2) Ekstremumą funkcija gali turėtiir tuose taškuose , kuriose ji tolydi, o f’(x) neegzistuoja. IŠVADA: norint kad funkcija tam tikrame taške turėtų ekstremumą, jos išvestinė tame taške turi būti lygi nului arba neegzistuoti.3 APIBRĖŽIMAS. Visus taškus , kuriose funkcijos išvestinė lygi nului arba neegzistuoja , vadinama tos funkcijos kritiniais taškais.

PAKANKAMOS EKSTREMUMO SĄLYGOS.1 TEOREMA. Jei funkcijos f(x) iišvestinė f’(x) keičia ženklą, pereidami per kritinį tašką x0, tai taške x0 funkcija f(x) turi ekstremumą:a) maksimumą kai f’(x) keičia savo ženklą iš + į -; b) minimumą, kai f’(x) keičia savo ženklą iš – į +.Įrodysime pirmą teoremos dalį antroji įrodoma analogiškai. Taško x0 aplinkoje pritaikome Lagrandžo teoremą: f(x)-f(x0)f’(c)(x-x0); čia c yra tarp x ir x0. Parinkime x0, xf(x). Parinkime x>x0. TUOmet x00, todėl f(x)- f(x0)<0, f(x0)>f(x). Taigi, reikšmė f(x0) yra didžiausia to taško aplinkoje. Remiantis apibrėžimu , taške xx0 funkcija turi maksimumą.2TEOREMA. Jei taške x0 funkcijos f(x) pirmoji išvestinė f’(x0)0, o jos antroji išvestinė f’’(x0) to taško aplinkoje V(x0) yra tolydi, be to f’’(x0)0, tai tame taške funkcija turi: a) maksimumą , kai f’’(x0)<0; b) minimumą, kai f’’(x0)>0. Įrodysime tik pirmąja teoremos dalį antroji įrodoma analogiškai. Kadangi antroji išvestinė yra pirmosios išvestinės f’(x) išvestinė, tai f’’(x0)lim xx0 f’(x)-f’(x0)/x-x0lim xx0 f’(x)/x-x0, nes f’(x0)0. Tarkime kad f’’(x0)<0. Tuomet ir f’(x)/x-x0<0. Kai x0. Kai x>x0, tai x-x0>0, todėl f’(x)<0. Išvestinė pakeitė ženklą iš + į- , todėl pagal 1 taisyklę taškas x0- maksimumo taškas.PASTABA. Antroji taisyklė netinka , kai taške x0 f’(x0) neegzistuoja . Ji netinka ir tada, kai f’(x0)0. Tuomet reikia taikyti pirmąja taisyklę.

DIDŽIAUSIOJI IR MAŽIAUSIOJI FUNKCIJOS REIKŠMĖS ATKARPOJE.Iš tolydžiųjų funkcijų sąvybių žinome , kad tolydi atkarpoje [a;b] funkcija įgyja didžiausią bei mažiausia reikšmes M ir m: Mmax f(x),x[a;b] mmin f(x) , x[a;b]. Panagrinėkime kokiose taškuose funkcija gali įgyti šias reikšmes. Kai x[a;b], tai kritinių taškų yra du – x1 ir x2; mf(x2)0, Mf(b). Kai x[a1;b1], tai kritiniu taškų yra keturi: x1, x2, x3, x4: mf(a1)=f(x2)=0, M=f(x3). Kai x[a2;b2], tai kritimnių taškų nėra , funkcija mažėjanti ir mf(b2), M f(a2).taigi ,matome kad funkcija didžiausią ir mažiausią reikšmes gali įgyti kkritiniuose taškuose arba atkarpos galuose. Todėl norint rasti šias reikšmes reikia :1) rasti kritinius taškus priklausančius atkarpai[a;b]; 2) apskaičiuoti funkcijos reikšmes tuose taškuose ; 3) apskaičiuoti funkcijos reikšmes atkarpos[a;b] galuose , t.y.f(a) ir f(b); 4 ) iš visų gautų reikšmių išrinkti mažiausią reikšmę m ir didžiausią reikšmę M.

BENDROJO FUNKCIJOS TYRIMO IR JOS GRAFIKO BRAIŽYMO SCHEMA.1) Nustatome funkcijos f(x) apibrėžimo sritį. Jeigu yra trūkio tašku , apskaičiuojame funkcijos ribas jiems iš kairės ir dešinės, taip pat ribas apibrėžimo srities galuose. 2) Ištiriame ar funkcija lyginė ar nelyginė, periodinė ar ne. Lyginiai funkcijai teisinga lygubė f(-x)f(x) , jos grafikas yra simetriškas Oy ašies atžvilgiu. Nelyginiai funkcijai teisinga ligybė f(-x)-f(x), jos grafikas simetri6kas koordinačių sistemos pradžios kaško atžvilgiu . Periodiniai funkcijai teisinga ligybė f(x+T)f(x); čia T- periodas (T>0). 3) Surandame funkcijos grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis taškus :išsprendžiame lygtį f(x)0 ir apskaičiuojame reikšmę f(0). 4) Surandame funkcijos monotoniškumo (didėjimo , mažėjimo) intervalus bei ekstremumus. 5)Nustatome funkcijos grafiko iškilumo aukštyn ir žemyn intervalus bei perlinkio taškus. 6) Randame grafiko vertikąliąsias ir pasvirąsias asimptotes. 7) Braižome funkcijos gafiką.

KREIVĖS IŠKILUMAS IR PERLINKIO TAŠKAI. 1apibrėžimas. Kreivė vadinama iškila aukštyn (žemyn) intervale (a;b) , jeigu visi tos kreivės taškai tame intervale yra po liestine (virš liestinės) , nubrėžta pper bet kurį kreivės tašką . 2 APIBRĖŽIMAS.Taškas M, kuris atskiria iškilą aukštyn kreivės dalį nuo iškilos žemyn dalies , vadinamas kreivės perlinkio vingio tašku (vingio ) tašku. 1TEOREMA jei intervale (a;b) fukcija f(x) turi antrąją išvestinę , kuri yra neigiama (teigiama) , tai kreivė tame intervale yra iškila aukštyn (žemyn). ĮRODYMAS. Sakykime kad funkcija f’’(x)<0. Per tašką(x0; f(x0)), x0(a;b) , nubrėžkime liestine T ir parašome jos lygtį yl-f(x0)f’(x0)(x-x0), ylf(x0)+f’(x0)(x-x0). Pasirinkime bet kurį intervalo (a;b) tašką x. Norėdami įrodyti kad kreivė yra iškyla aukštyn, turime įrodyti, kad liestinės taškai yra vitš kreivės taškų, t. y. kad ya-yb>0. Funkcija išreiškiame Teiloro formule:f(x)f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(c)/2(x-x0)2; čia c tarp x0 ir x. Randame skirtuma: ya-ybyl-f(x)f(x0)+f’(x0)(x-x0)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)-f’’(c)/2(x-x0)2-1/2f’’(c)(x-x0)2.Iš sąlygos f’’(x)<0 išplaukia, kad toks pat išvestins ženklas bus ir taške c , todėl ir f’’(c)<0. Kadangi (x-x0)2>0, tai ya-yb>0. Teorema įrodyta. 2 TEOREMA (būtina perlinkio taško sąlyga) . Jei taškas x0 yra perlinkio taškas, tai f’’(x0) 0 arba neegzistuoja. Pagal apibrėžimą perlinkio taškas atskiria iškylą aukštyn kreivės dalį nuo iškilos žemyn. Antrosios išvestinės ženklas tose dalyse yra skirtingas . Išvestinė pakeisti ženklą gali tik pereidama per nulinę reikšmę arba nutrūkdama. Iš to išplaukia teoremoje suformuluotas rezultatas. 3 TEOREMA Jei f’’(x0)0 arba f’’(x0) neegzistuoja it f’’(x), pereidama per tašką x0,

keičia ženklą , tai taškas x0-perlinkio taškas. Jei f’’(x)<0 kai x0, kai x>x0, tai į kairę nuo taško x0 kreivė yra iškyla aukštyn, o į dešinę nuo x0- iškila žemyn.

FUNKCIJOS GRAFIKO ASIMTOTĖS. APIBRĖŽIMAS. Tiesė vadinama kreivės asimptote, jei bet kurio kreivęės taško atstumas iki tos tiesės artėja prie 0 , taškui tolstant kreive. Asimptotės skirstomos į dvi grupes:vertikaliąsias ir pasvirąsias. A) vertikaliosios asimptotės. Jei nors viena iš šių ribų lim xa-0f(x), lim xa+0f(x), lim xa f(x) yra begalinė , tiesė xxa yra vertikalioji asimptotė. B) pasvirpsios asimptotės. Sakykime, kad tokios asimptotės lygtis ykx+b. Rasime koeficentus a ir b .taškas M(x;y) yra kreivės taškas, o N(x;ya)- asimptotės taškas, - kampas, kurį asimptotė sudaro su teigiama Ox ašies kryptimi. Pagal apibrėžimą, kai tiesė , einanti per taškus N ir P, yra asimptotė, tai limx∞MP0. MP pakeisime dydžiu MN. Kadangi /2 , o MNMP/cos, tai Mn0, kai MP0. Todėl limxMNlimx(y-ya)lim x(f(x)-kx-b)=0. Pritaike ribų dėsnius gauname b=limx(f(x)-kx). Be to , lim x(f(x)-kx-b)lim xx (f(x)/x-k-b/x)0, xx0. Kadangi sandaugos riba lygi nului. x0, tai antrojo dauginamojo riba turi būti lygi 0. Todėl limx(f(x)/x-k-b/x)0. Tačiau b/x 0, kai x, vadinasi lim x(f(x)/x-k)0, klim xf(x)/x. Atskiru atveju, kai k0, asimptotė yb yra tiesė lygegreti Ox ašiai. PASTABA. Jei apskaičiuodami kkoeficentus k ir b, gauname, kad bent viena iš ribų yra begalinė arba neegzistuoja, tai funkcijos grafikas asimptotės ykx+b neturi.