Lygčių ir nelygybių sistemos
Reikiamos formulės
Grafikiniui sprendimui
f(x) = kx – tiesė
f(x) = kx + b – lygiagrečios tiesės
f(x) = k – hiperbolė
x
f(x) = ax² – parabolė
(x- a)²+(y- b)² =r²
r – apskritimo spindulys
(a;b)- apskritio centro koordinatės
keitimo ir sudėties būdui
D = b² – 4 ac
D > 0
x= -b- D
2a
x = -b +D
2a
D < 0:
x = -b
2a
( a±b)² = a² ± 2ab +b²
(a – b) (a +b) = a² +b²
Truputis istorijos
Kiekvieno mokslo iistorija savotiška biografija. Įvairiai dėstomos biografijos, tačiau tikriausiai visi sutiks, kad išsami biografija turi apimti aprašomąjį gyvenimą nuo pat pradžių. Tačiau tai sunku padaryti, nes aprašomasis herojus yra toks mokslas kaip matematika.
Visi žino, kad matematika – tai aritmetika, algebra, geometrija, trigonometrija ir t. t. Tačiau paklausus, kodėl aritmetika ar algebra yra matematika, dauguma sutriktų. Taigi kas yra matematika? Per visą matematikos raidą buvo pateikta daugybė įvairių apibrėžimų, kurie vis kitaip nusakydavo jos esmę.
Pasak legendos, senovės graikų matematikas Pitagoras įį smalsuolio klausimą, kas yra matematika, taip atsakęs: „ Kalbi graikiškai, o nežinai kas, kas yra matematika. Mathématiké – tai juk mathéma, mathésis, – vadinasi, žinojimas, pažinimas. Be šios, tas žodis neturi prasmių.“ Kitam graikų išminčiui Platonui matematika tilpo geometrijos rrėmuose. Ankstyvųjų viduramžių arabų mokslininkams matematika – tai al gabr (nario perkėlimas iš lygybės pusės į kitą) ir al muskabala ( panašių narių sutraukimas). Žymus XVII a. prancūzų filosofas ir matematikas R. Dekartas, nusprendęs suvienyti visas matematikos šakas, taip nusakė jos esmė : „Kiekvienas, geriau pagalvojęs, supras, kad matematikai priskiriami tik tie mokslai, kuria nagrinėja arba tvarką, arba matą; ir visiškai nesvarbu, ar šis matas bus ieškomas skaičiams, figūroms, žvaigždėms, garsams ar kokiam nors kitam dalykui“. Matematinės analizės kūrėjui G. Leibnicui matematika buvo mokslas apie funkcijas.
Taigi kiekvienas apibrėžimas atskleidžia tą matematikos dalį, kuri tuomet būdavo labiausiai nagrinėjama, aktualiausia. Tačiau visi teiginiai yra teisingi, o sudėjus juos į krūvą gausime tikslų matematikos apibrėžimą.
Babiloniečių matematinės žinios buvo ypač gilios. Išnagrinėjus jų mmolines matematines lenteles, pasirodė, kad kai kurios jų yra savotiški „uždaviniai“ ir , kad ten buvo sprendžiami ne tokie jau paprasti uždaviniai. Štai vienas jų : „dauginamasis ir daugiklis yra 2,5“. Dauginamąjį pažymėjus x, o daliklį – y, šį uždavinį galima taip iššifruoti ( babiloniečiai laikė, kad daiginamojo ir daugiklio sandauga lygi 1) :
{xy =1,
{x + y = 2,5;
Kas yra ragavęs algebros, tuoj pasakys, jog šis uždavinys susiveda į kvadratinės lygties sprendimą. Štai jų užrašytas šio uždavinio ssprendimas :
1. „0,5 padaugink iš 2,5: 1,25”
2. “1,25 padaugink iš 1,25: 1,5625”.
3. “ ką iš ko reikia padauginti, kad gautume 0,5625: 0,75”.
4. “0,75 is 1,25 atimk: 0,5 bus dauginamasis“.
Patikrinę šiuos skaičiavimus pamatysime, kad babiloniečiai uždavinį išsprendė teisingai. Dar daugiau, jie atlikinėjo tokius pat veiksmus, kokius turėtume daryti mes, pasitelkę gerai žinomą formulę, nusakančią kvadratinės lygties sprendimus jos koeficientus. O tai reiškia, kad babiloniečiai mokėjo spręsti kvadratinės lygtis.
Taigi kada matematika atsirado? Iškart pateikiame ir atsakymą, tada kai atsirado pats žmogus. Ne veltui tarybinis filosofas A. Čanyševas rašo : „Mąstymo kalvė – matematika, kad ir kokia primityvi ar empirinė ji būtų“.
Lygčių sistemos
Pagrindinė lygčių sistemų sprendimo idėja yra sutraukti jas į vieną kintamojo lygtį. Lygčių sistemos dažniausiai sutraukiamos į vieną lygtį, taikant iš esmės du sistemų pertvarkymo metodus.
1.keitimo būdas, kada vienas kurios nors sistemos lygties kintamasis išreiškiamas likusiais šios lygties kintamaisiais. Po to gautas reiškinys įrašomas vietoje to kintamojo į visas likusias sistemos lytis. Lygčių skaičius ir kintamųjų skaičius sumažėja vienetu. Taip darydami ir toliau, galiausiai gauname vieną vieno kintamojo lygtį.
2.sudėties būdas, kada, panariui sudėjus arba atėmus dvi sistemos lygtis (paprastai iš anksto pertvarkytas), pasiseka vieną kintamąjį pašalinti ir kartu sumažinti bendrą sistemos kintamųjų skaičių. Žinoma, sprendžiant lygčių sistemas, taikomi bendrieji lygčių sprendimo mmetodai: kintamųjų pakeitimas ir skaidymas dauginamaisiais.
Ypatingų sunkumų atsiranda, sprendžiant lygčių sistemas su parametrais (raidiniais koeficientais). Šie sunkumai iš esmės susiję su tuo, kad sistemos sprendinius reikia nagrinėti, imant įvairias parametrų reikšmes. Dažnai paaiškėja, kad su įvairiomis parametrų reikšmėmis sistema turi skirtingas sprendinių
formules
SUDĖTIES BŪDAS: KEITIMO BŪDAS:
{ y – 2x = 1, { x + y = 8,
{ 6x – y = 7 ; { xy = – 20;
{ -2x + y = 1, { x = 8 – y,
+ { 6x – y = 7 ; { xy = – 20;
4x = 8 / : 4
x = 2 {x = 8 – y,
{ (8 – y) = – 20;
y – 2 2 = 1,
y – 4 = 1 { x = 8 – y,
y = 1 + 4 { 8y – y² = – 20;
y = 5
{x = 2 , – y² + 8y + 20 = 0 / (- 1)
{y = 5; y² – 8y – 20 = 0
a = 1
Ats .: (2; 5) b =-8
c = – 20
D =b² – 4ac = ( – 8)² – 44 1 ( -20) = 64 + 80
=144= 12² D > 0
y = 8 – 12 = -4
2 1 2
y = 8+12 = 20 = 10
21 2
{x = 8 –(-2)=10, { x= 8 – 10= -2,
{ y = -2; { y=10;
Ats.: ( 10; -2 )
GRAFIŠKAI
{ y =x²
{ x² + y² = 16
y = x² x² + y² = 16
O ( 0;0) r= 4
x -2 -1 0 1 2
y 4 2 0 1 4
s.:
B ( 2; 3,6)
Uždavinys
Dviejų skaičių suma lygi 12, o jų sandauga 35. Raskite tuos skaičius.
Sprendimas
Sakykime, kad vienas skaičius x, o kitas y, tuomet x + y = 12, xy =35
{ x+ y = 12,
{xy = 35;
{ x = 12 – y,
{ (12-y)y =35;
{ x = 12 – y,
{12y – y² = 35;
-y² + 12y – 35 = 0 / ( -1)
y² – 12y + 35 =0
a=1
b = -12
c =35
D = b² – 4ac = (-12)² -4 1 35 = 144 – 140 = 4 = 2²
D > 0
y= 12 – 2 = 10 = 5
21 2
y= 12 + 2 = 14 = 7
21 2
{y =
5 , { y = 7,
{x = 12 – 5; { x =12 – 7;
{ x =7, { x = 5,
{ y = 5; { y = 7;
ats.:
{ x =7, { x = 5,
{ y = 5; { y = 7;
Informacija imta iš:
L. Fridmanas, J. Tureckis, V. Stecenka
Kaip išmokti spręsti uždavinius
A. Baltrūnas
Pirmieji matematikos žingsniai
O. Orė
Kvietimas į skaičių teoriją
