mano eiles
1.1.1 Skaičių eilutės apibrėžimas ir konvergavimas
1 apibrėžimas. Reiškinys u1+u2+.+un+. arba vadinamas skaičių eilute; un – eilutės bendrasis narys. un – eilutės nariai, sn – dalinės eilutės sumos, kai nN.
2 apibrėžimas.Jeigu eilutės dalinių sumų seka konverguoja, tai sakome, kad eilutė konverguoja; jeigu seka ( sn, nN) diverduoja, tai eilutė diverguoja.
3 apibrėžimas.Jeigu eilutė konverguoja, tai jos dalinių sumų , sn sekos riba vadinamas eilutės suma ir žymima u1+u2+.+un+.:=S arba .
4 apibrėžimas. Eilutė, sudaryta pradedant n+1 nariu, tačiau paliekan narių užrašymo tvarką taip kkaip eilutėje, vadinama eilutės n-tąja liekana ir žymima arba un+1+un+2+.
1 teorema: (Koši kriterijus). Skaičių eilutė konverguoja tada ir tik tada, jeigu bet kuriam >0 egzistuoja toks numeris n, kad su visais nn ir bet kuriuo p0 teisinga nelygybė | un+1+un+2+.+u n+p|<.
Būtinoji eilutės konvergavimo sąlyga: jeigu eilutė konverguoja, tai jos narių seka yra nykstama.
1.1.2 Bendrosios konverguojančių eilučių savybės
2 teorema: 1)Jeigu eilutė konverguoja, tai konverguoja ir bet kokia šios eilutės liekana;
2) jeigu egzistuoja konverguojanti eilutės liekana, tai konverguoja ir pati eilutė.
3 teorema: JJeigu eilutė konverguoja, tai eilutė , R konverguoja ir .
4 teorema: Jeigu eilutės ir konverguoja, tuomet eilutė , vadinama duotųjų eilučių suma, konverguoja, ir jos suma yra U+V, kai U:= ir V:= .
1.1.3 Teigiamosios eilutės
5 apibrėžimas. Jeigu eilutėje , un0, nN, tai eilutę vadinsime teigiamąja, jei un>0 – griežtai teigiamąja.
5 teorema: Teigiamoji eilutė konverguoja tada ir tik tada, kai jos dalinių sumų seka apibrėžta.
6 teorema: Jeigu teigiamoji eilutė konverguoja ir jos suma yra S, tai pakeitus eilutės narių išsidėstymo tvarką ir numeraciją, eilutė konverguos ir S=S’.
7 teorema: Tarkime duotos dvi eilutės: ir . Be to po kurio nors nario n0, unvn, n>n0. Tada, konverguojant , konverguos ir ; diverguojant , diverguos ir .
8 teorema: Sakykime eilutė yra teigiamoji, o – griežtai teigiamoji ir . Tuomet teisingi tokie teiginiai:
a) jeigu K=0 ir eilutė konverguoja, tai konverguos ir ;
b) jeigu K=+ ir eilutė konverguoja, tai konverguos ir ;
c) jeigu KR+, tai abi eilutės elgiasi vienodai.
8 įrodymas: 1) Iš ribos apibrėžimo išplaukia, kad kkai K=0, . Jeigu eilutė konverguoja, tai iš (7) teoremos išplaukia, kad konverguoja ir eilutė .
2) Jeigu K=+, tai . Todėl konverguojant didesniajai konverguos ir .
3) Jeigu KR+, tai gauname . Eilutės elgiasi vienodai.
9 teorema: (Koši radikalusis požymis). Tarkime, kad eilutė – teigiama. Tuome jeigu egzistuoja , tai esant L<1, eilutė konverguoja; kai L>1 – eilutė diverguoja; kaiL=1 – požymis netinkamas konvergavimui nustatyti.
9 įrodymas: Iš ribos apibrėžimo išplaukia, kad , kad ; jeigu L<1, tai . Todėl ir iš (7) tteoremos išplaukia eilutės konvergavimas, nes eilutė – konverguoja;
jeigu L>1 ir baigtinis, tai ir gauname . Todėl eilutė diverguoja, nes – diverguoja.
10 teorema: (Dalambero požymis). Tarkime, kad eilutė griežtai teigiamoji ir egzistuoja riba . Tuomet eilutė konverguoja, kai L<1; diverguoja, kai L>1, jeigu L=1, šis požymis neinformatyvus.
11 teorema: (Koši integralinis požymis). Tarkime, kad teigiama eilutė yra tokia: ; čia f(n) yra funkcijos f(x) reikšmė, kai x=n. Funkcija f(x) apibrėžta, kai x1, teigiama tolydi ir monotoniškai mažėjanti. Tuomet konvergavimo (divergavimo) prasme eilutė ir netiesioginis integralas ekvivalentūs.
11 įrodymas: Dėl funkcijos monotiškumo, kai nxn+1, n1 turime , todėl ir .
Sumuodami panariui nelygybes, gauname , arba . Iš čia išplaukia, kad konverguojant eilutei , dalinė suma sm monotoniškai auga ir apibrėžta, t.y egzistuoja riba smS, kai m+, tuo pačiu egzistuoja ir baigtinis netiesioginis integralas .
Antra vertus, jei eilutė diverguoja, tai sm – didėjanti ir neapibrėžta.
Taigi eilutė ir netiesioginis integralas konverguoja ir diverguoja vienu metu.
1.1.4 Absoliutinis ir reliatyvusis konvergavimas.Alternuojančios eilutės
6 apibrėžimas. Jeigu eilutė konverguoja, tai eilutė yra vadinama absoliučiai konverguojančia. Jeigu euilutė , o eilutė konverguoja, tai eilutė – reliatyviai konverguojanti.
12 teorema: Jeigu eilutė konverguoja absoliučiai, tai ji konverguoja.
7 apibrėžimas. Eilutę , vadinsime alternuojančiąja eilutė, t.y.
13 teorema: (Leibnico). Jeigu alternuojančios eilutės nariai cn sudaro nnykstančią seką, t.y. cn+10, mN. Todėl egzistuoja baigtinė riba . Aišku, kad
s2m-1=s2m+c2m, todėl , nes c2m0, m+. Pastebėsime, kad visada s2m|x0|.
<>
Laipsninės eilutės konvergavimo spindulys- neneigiamas skaičius R arba + toky kad su visais |x|R diverguoja.
<>
9 Teorema: Laispninė eilutė konverguoja tolygiai kiekvienoje atkarpoje [a;b] – konvergavimo intervalo viduje. T.y. –R
Funkcijos norma tenkina tokias savybes:
1. , išskyrus, galbūt, baigtinį taškų skaičių atkarpoje [a,b];
2. – Minkovskio nelygybė.
3. , su visais (alfa priklauso R)
5 Apibrėž. Sakome, kad funkcijų seka (fn, nN) konverguoja į funkciją vidutinio kvadratinio nuokrypio atkarpoje [a,b] prasme (arba normos L’2 prasme), jeigu
.
1.3.2 Ortogonaliosios funkcijų sistemos
Turime normos sąvoką erdvėje L‘2, tai funkcijas L‘2= L‘2(a,b), kurioms ||||=(,)1/2=1, vadinsime normuotomis.
6 apib. Dvi funkcijas , L‘2 vadiname ortogonaliosiomis tarpusavyje, jei (,)=0. Dalimis tolydžių atkarpoje [a,b] funkcijų sistema 1,2,3.(baigtinė ar begalinė) vadinama ortogonaliąja, jei funkcijos turi teigiamą normą ir poromis ortogonaliosios. Jeigu norma =1, tuomet sistema vadinama ortonormuotąja, t.y.:
Iš 6 apibrėžimo išplaukia, kad kiekviena ortogonaliųjų funkcijų sistema 1,2,3. N tiesiškai nepriklausoma erdvėje L‘2 t.y. iš sąlygos:
kR, x[a,b], išplaukia, kad
1.3.3 Apibendrinta Furjė eillutė.
Sakykime, kad turime ortogonaliųjų funkcijų sistemą ir funkcija f L‘2(a,b) – dalimis tolydžioji atkarpoje [a,b]. Be to, tarkime, kad atkarpoje [a,b] teisinga lygybė: , koeficientai k – realieji sk. Jeigu abi lygybės puses padauginam iš kokios nors funkcijos m(x), m – fiksuotas, galime eilutę integruoti panariui, tai dėl funkcijų k ortogonalumo, lengvai apskaičiuojamas koeficientas k :
, skaičiai m, kuriuos randame pagal šią formulę yra pavadinti funkcijos f(x) Furjė koeficientais ortogonaliojoje sistemoje
7 apib. Ortogonaliojoje funkcijų sistemoje eilutė susieta su funkcija fL‘2(a,b) sąryšiu:
t.y. kai , vadinama f-jos fL‘2(a,b) Furje eilute.
1 teorema. Jeigu sistema ortonormuota, tai bet kuriai funkcijai fL‘2 norma:
minimizuojam atžvilgiu k, kuomet k=(f,k), – Furje koeficientai, t.y.:
Pasinaudoję skaliarinės sandaugos savybėmis:
Lygybę gauname tik tada kai k=(f,k), , 1 teorema įrodyta.
Aišku, kad , esant bet kokiam N, nes , priėję prie ribos N+, gauname Beselio nelygybę:
, atvejis kai vadinamas Parsevalio ir Steklovo lygybe.
Taigi kitaip sakant, ortonormuotoji sistema yra tokia sistema, kad bet kuriai funkcijai fL‘2(a,b) teisinga Parsevalio ir Steklovo lygybė.
1.3.4 Trigonometrinės Furjė eilutės.
Turime f-jas fL‘2(-,) ir pareikalaukime, kad jos būtų periodinės (periodu 2). Tuomet tokių f-jų erdvę žymėsime L‘*2=L‘*2(-,), jeigu nagrinėsime trigonometrinių funkcijų sistemą (1,sinx,cosx,sin2x…sin nx,cos nx) tai ji yra ortogonali atkarpoje [-,]. Šioje sistemoje apskaičiuokime Furjė koeficientus funkcijai fL‘*2(-,) t.y.
, iš (7) (9) ir susieję su kiekviena f-ja fL‘*2(-,) trigonometrinę Furjė eilutę:
,
2 teorema.
Funkcijos fL‘*2(-,) Furjė eilutė konverguoja prie funkcijos f vidutinio kvadratinio nuokrypio prasme, t.y.:
šiuo atveju lygybė reiškia: f-ja f yra jos trigonometrinės Furjė eilutės, kuri konverguoja prie funkcijos f vidutinio kvadratinio nuokrypio prasme atkarpoje [-,] (periodo ilgio) suma. Apskaičiavę tiesioginį integralą
remiantis 2 teorema jei fL‘*2(-,), tai . Todėl riboje teisinga lygybė:
iš čia išplaukia, kad Furjė koeficientai nykstamai mažėja (n+), nes dešnėje pusėje esanti skaičių eilutė konverguoja.
3 teorema. Jeigu f-ja f intervale (-,) dalimis glodi t.y. ji pati ir jos pirmoji išvestinė arba tolydi arba turi pirmos eilės trūkius baigtinėje taškų aibėje intervale (-,), periodinė f(x+2)=f(x), tai jos Furjė eilutė konberguoja su visomis x reikšmėmis. Jos suma lygi funkcijai f(x) to funkcijos tolydumo taške ir skaičiui: t.y. vienpusių ribų aritmetiniam vidurkiui, jeigu x- f-jos trūkio taškas.
Periodinės f-jos f(x) išreiškimas Furjė eilute vadinamas harmonine analize. Sumuodami harmonikas , turime ir , galutinai: t.y. jeigu periodinė f-ja tenkina pakankamas skleidimo Furjė eilute sąlygas, ji išreiškiama begaline harmonikų, turinčių skirtingas amplitudes An ir fazes n, suma.
Jeigu f-ja f(x) lyginė, jos Furjė eilutė , jei nelyginė .
Jeigu f-ja f(x) periodinė su periodu 2, tai Furjė koeficientų integravimo intervalą galima pakeisti bet kuriuo kitu intervalu [,+2], R.
4 teorema. Sakykime f-ja f yra T-periodinė (T>0) ir integruojama atkarpoje [0,T]. Tada su kiekviena R reikšme f-ja f yra integruojama intervale [,+T] ir teisinga lygybė: .
Įrodymas: , kadangi f(x) periodonė:
ir , pagal teoremą galime gauti:
, todėl Furjė koeficientams teisingos lygybės:
, vadinasi tokiai funkcijai visada galima parašyti Furjė eilutę.
2.1 Kompleksinių skaičių sekos ir eilės.
1 apibrėžimas.Kompleksinį skaičių vadiname sekos (zn, nN) riba, jeigu bet kuriam >0 egzistuoja toks sekos nario eilės numeris n:=n(), kad su visais n>n galioja nelygybė: |zn-|<, tuomet rašme
1 teorema.Kompleksinių skaičių sekos (zn, nN) riba a:=a+ib, egzistuoja tik tada kai egzistuoja ribos . Įrodymas: jei egzistuoja riba tuomet iš 1 gauname,kad
kai n>n. Iš čia išplaukia ribų egzistavimas. Atvirkštinis teiginys išplaukia iš įverčio:
2 apibrėžimas.
Kompeksinių skaičių seka (zn, nN) neaprėžtai auga („konverguoja“ į begalybę) t.y. Jeigu .
3 apibrėžimas.
Tarkime (wn, nN) – kompleksinių skaičių wn=un+ivn (un, vnR) seka; algebrinį reiškinį
vadiname kompleksinių skaičių wn eilute.
4 apibrėžimas.Kompleksinių skaičių wn eilutė vadinama konverguojančia, jeigu egzistuoja dalinių sumų sekos (sn, nN) riba – skaičius SC, kuris vadinamas eilutės suma, t.y.
5 apibrėžimas.Eilutė vadinama (1) eilutės n-ąja liekana, jei (6) eilutė konverguoja ir jos suma S, tada:
2 teoremaKompleksinių skaičių eilutė konverguoja tik tada jei konverguoja eilutės ir ;
6 apibrėžimasKompleksinių skaičių eilutė vadinama absoliučiai konverguojančia, jei konverguoja eilutė
2 teoremaJei konverguoja absoliučiai tai ji konverguoja (!)
2.2.1 Taškų aibės plokštimoje.
1 apibrėžimas. Plokštumos C taškų aibė G vadinama atvirąja jei visi taškai zG yra vidiniai tos aibės taškai (pvz. Apskritimas, žiedas)
2 apibrėžimasAtviroji aibė G vadinama sritimi, jeigu ji jungi t.y. bet kuriuos du taškus z1,z2G galima sujungti laužte L priklausančia G {brėžinukas}
3 apibrėžimasTaškas z0 vadinamas aibės G krašto tašku, jeigu bet kurioje to taško aplinkoje yra taškų priklausančių G ir nepriklausiančių G. Visų atvirosios aibės G krašto taškų aibė vadinama aibės G siena. (žymim G).
4 apibrėžimas Aibė, kurią sudaro sritis G ir jos siena G vadinama uždarąja sritimi.
5 apibrėžimasAibė G vadinama aprėžtąja jei egzistuoja skritulys VR(0), kad G VR(0). Kitaip sakant aibė G aprėžtoji jei egzistuoja skaičius R>0, kad bet kuriam zG turime |z|R vadinamas eilutės konvergavimo spinduliu, o skritulys |z-z0|
