mat anlize

Rasti f-jų apibrėžimo ir kitimo sritis:

Funkcijos apibrėžimo sritis:

Funkcija apibrėžta, kai x kinta tarp –1 ir 1.

x2 įgyja reikšmes intervale [0;1]. Reiškinys 1-x2 taip pat kinta intervale [0;1].

Todėl funkcijos kitimo sritis: .

Ats.:

Kai x>=0, funkcija , jos apibrėžimo sritis:

Kai x<0, funkcija , jos apibrėžimo sritis:

Sujungiame abi sritis: funkcijos apibrėžimo sritis yra

Kai x kinta tarp –1 ir 1, reiškinys kinta tarp 0 ir 1.

Todėl kitimo sritis

Ats.: ir .

Funkcija apibrėžta, kai

Logaritmas kinta nuo intervale .

Ats: ,

Funkcija apibrėžta, kai reiškinys po logaritmu teigiamas.

Funkcijos kitimo sritis: .

Reiškinys 5x-x2-6 šiame intervale įgyja reikšmes nuo 0 iki ymax.

Reiškinio 5x-x2-6 maksimumo taškas:

Kai x=2,5, 5x-x2-6=0.25

O funkcijos kitimo ribos bus tarp -µ ir lg0.25.

Ats.: ir

Funkcija apibrėžta, kai

Randame lygties –x2+2x-2 =0 šaknis:

, todėl lygtis neturi šaknų.

Vadinasi, visas reiškinys po šaknimi yra neigiamas.

Funkcijos apibrėžimo sritis tuščia: nėra tokių x reikšmių, kuriose y būtų apibrėžta.

Ats.: Æ.

Kadangi šaknis yra vardiklyje, reikškinys po šaknimi turi būt teigiamas ir nnelygus nuliui, t.y. didesnis už nulį:

Lygtis x2+2x+3=0 šaknų neturi: ( ), todėl vardiklis visada didesnis už nulį. Funkcija apibrėžta visuose taškuose

Kitimo sritis : y irgi gali įgyti visas reikšmes iš intervalo .

Ats.: ir .

Kai x>0 , funkcija y ttampa tokia: (funkcija apibrėžta).

Kai x<0, funkcija y tampa tokia: (funkcija apibrėžta).

Todėl funkcijos apibrėžimo sritis – visi skaičiai

Funkcija kinta nuo 0 iki + .(šaknies traukimo rezultatas – teigiamas skaičius).

Ats.: ir .

Rasime, kada reikšinys pošaknyje teigiamas:

Kai x>=1, funkcija apibrėžta:

Funkcija apibrėžimo srityje gali įgyti bet kurią reikšmę nuo 0.

Ats.: ir .

Kadangi šaknis yra kubinė, tai po šaknies ženklu gali būti bet koks skaičius – t.y. funkcijos apibrėžimo sritis .

Kitimo sritis – .

Ats.: ir .

10.

Reiškinys po kvadratine šaknimi turi būti neneigiamas:

Vardiklis negali būti lygus nuliui: .

Logaritmuojams reiškinys turi būti teigiamas:

Sprendžiame kiekvieną lygtį ir nelygybę atskirai:

Lygtis turi šaknis x=2 ir x=3.

Todėl ir .

(čia narį atmetėme, nes ženklui jis įtakos neturi – teigiamas).

Spręsime intervalų metodu. Atidedame ttaškus 0,2,3.Kai x=10, paskutinė nelygybė tenkinama.

Atidėjus grafike bei pridėjus pirmosios nygtybės sprendinį, gauname , kad antrojo funkcijos sumos nario apibrėžimo sritis yra tarp 0 ir 2 bei tarp 3 ir 4.

Kadangi jau aukščiau radome X intervalus, tai ir spręsdami šią nelygybę, imsime tik tuos sprendinius, kurie patenka į sritį .

Kadangi ir , tai įskaitant anksčiau rastus apribojimus,

Bendras sprendinys:

Pirmojo nario kitimo ribos – tarp 0 ir 1, o antrojo (logaritmo) – daugiau už 0.

Ats.:

Parašykite pirmuosius penkis ssekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:

1. .

Sprendimas.

Ats.:

Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:

Sprendimas.

Ats.: 1; 6; 6; 12; 20; .

Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:

Sprendimas.

Ats.:

Parašykite pirmuosius penkis sekos { } narius, kai bendrojo nario formulė yra:

Sprendimas.

Galime daryti išvadą, kad sekos {xn} nariai periodiškai kartosis kas antrą narį:

4; 2/3; 4; 2/3;..

Ats.:

Apskaičiuokite šias sekų ribas:

Sprendimas.

Padalinsime skaitiklį ir vardiklį iš n:

(nes ).

Ats.: -5/4.

Visuose tokio tipo uždaviniuose skaitinklisir vardiklis dalinami iš didžiausio n laipsnio . Šiuo atveju didžiausias n laipsnis yra tiesiog n. Kai padaliname , atsiranda nariai tipo , kurie (kai n artėja į begalybę) artėja į nulį.

Panašiai sprendžiamas ir du sekantys uždaviniai.

Sprendimas. Skaitiklį ir vardiklį dakliname iš n2.

Ats.: .

Sprendimas.

Pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardilkį daliname iš n , antrosios – iš n2.

Ats.: 0.

nes artėja į 0.

Ats.: 0.

artėja į 0 todėl, kad 2/3 mažiau už 1.

Sprendimas.

Padaliname ir padauginame iš dydžio :

(čia pasinauojome formule ).

Daliname skaitiklį ir vardiklį iš :

Ats.: 0.

Visi tokio tipo uždaviniai (kur yra šaknis minus šaknis), sprendžaiamio tokiu pačiu būdu: padauginama ir padalinama iš dydžio su priešingu ženklu – tada skaitiklyje ppritaikoma formulė ir dažnaiusiai reiškinys supaprastėja.

Sprendimas.

Kai n artėja į begalybę, narys 1/n artėja į nulį, o yra skaičius tarp –1 ir 1. Taigi turimė ribą, kur baigtisnis skaičius dauginamas iš 0:

Ats.: 0

Kyla įtarimas, kad sąlygoje iš tiesų turi būti .

Jei taip būtų, uždavinys būtų sprendžiamas taip:

6*.Pasinaudojame žinoma riba:

(čia ).

Ats.:

Apskaičiuokite šias sekų ribas:

Pertvarkome reiškinį:

Skaitiklis ir vardiklis dalinamas iš (didžiausio laipsnio).

nes (skaitiklio didžiausias laipsnis 8 mažesnis už vardiklio 9).

Ats.: 0

Padaliname skaitiklį ir vardiklį iš n4:

ats.: 80/17.

Rasti funkcijų ribas:

Sprendimas.

Vardiklis x2-x-2=0

Todėl vardiklį galima išskaidyti .

Todėl

ats.: 1/3

Išskaidysime vardiklį, iš pradžių išsprendę lygtį:

Įrašome į ribą:

ats.: ¾.

Sprendimas.

Ats.: 0

Sprendimas.

Padauginsime ir padalinsime skaitiklį ir vardiklį iš reiškinių bei

ats.: 4/9

Sprendimas

Padauginsime skaitiklį ir vardiklį iš :

Ats.: 1/6

Pertvarkome reiškinį

Tokį rezultatą gavome padalinę kampu .

Įrašome į ribą.

Kadangi narys 4-x susiprastino, galima įrašyti reikšmę x=4:

Sprendimas.

Vardiklį ir skaitiklį dalinsime iš x2:

Ats.: 3/2

Sprendimas.

Vardiklį ir skaitiklį dalinsime iš x2:

ats.: 0

Gali būti bloga sąlyga!

Sprendimas pagal sąlygą –

Ats.: ¥

Sprendimas kaip būna sąlygose:Turėtų būti sąlyga tokia

Dauginsime ir dalinsime iš reiškinio

Dalinsime skaitiklį ir vardiklį iš x:

ats.: -1/2

10.

Sprendimas.:

ats.: 7

11.

Sprendimas.

Kadangi , tai

, nes

Ats.: 2

12.

Sprendimas.

Dauginame skaitiklį ir vardiklį iš :

Čia naudojomės riba

Ats,: 2

13.

Sprendimas.: <

Reiškinys skliaustuose pertvarkomas taip:

Ats.:

14.

Sprendimas.:

ats.:

15.

Sprendimas.:

Ats,:

16.

Sprendimas.

, nes

Ats.: 0

17.

Sprendimas.

Ats.: e-2

18.

Sprendimas.:

Ats.: 1

19.

Sprendimas.

Apskaičiuoti išvestines šių funkcijų:

Naudosime formulę :

Ats.:

Naudosime formulę . (Mūsų atveju ir ).

Ats.:

Tai yra sudėtinė funkcija.

Ats.:

Sprendimas.

Naudosime formulę .

Kadangi , o

,tai

Ats.:

Sprendimas.

Kadangi , tai

Ats.:

Sprendimas.

Ats.:

Sprendimas.

Kadangi ir

Ats.:

Sprendimas.

Atskirai paskaičiuosime reiškinio po šaknimi išvestinę:

Kadangi , tai

Ats.:

Sprendimas.

Kadangi ir , tai

Ats.:

10.

Sprendimas.

Funkciją galima perrašyti taip:

Todėl

Ats.:

11.

Sprendimas.

Kadangi , tai

Ats.:

12.

Sprendimas.

Ats.:

13.

Sprendimas.

Taikysime sudėtinės funkcijos išvestinės formulę:

Ats:

14.

Sprendimas.

Taikysime sandaugos išvestinės formulę:

Ats.:

15.

sprendimas.

Ats.:

16. (naudodamiesi logaritmine išvestine )

Sprendimas.

Pertvarkysime funkciją

Pažymėkime eksponentės rodiklį:

u išvestinė: .

Funkciją f galima užrašyti taip: , o

Įrašome u ir u’ reikšmes:

Ats.:

17.

Sprendimas.

Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:

Išvestinė:

Ats.: .

18.

Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:

Ats.:

19.

sprendimas.

Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:

ats.:

20.

Sprendimas.:

Išvestinės ieškosime , pertvarkę funkciją:

ats.:

Tokie uždaviniai ,kur ieškoma išvestinės , pertvarkoma funkcija į

ir ieškoma išvestinės pagal principą:

Raskite neišreikštinių funkcijų išvestines:

Sprendimas.

Suprastiname iš 3 ir randame y’:

Ats.: .

Sprendimas.

Suprastiname iš 2 ir randame y išvestinę

Ats.: .

Sprendimas.

Ats.: .

Skaičiuojant neišreikštines, reikia ieškoti išvestinių kaip paprastai, tik kai ieškoma y iišvestinių prie jos pridėti y’

Raskite neišreikštinių funkcijų išvestines:

Sprendimas.

Narį .

Ieškome neišreikštinės funkcijos išvestinės

Išreiškiame y’:

׀ ּx2

Ats.:

Sprendimas.

Ats.:

Rasti funkcijų, išreikštų parametrinėmis lygtimis, išvestines:

Sprendimas.

Rasime išvestinę

Rasime išvestinę:

Ieškoma išvestinė lygi:

Ats.

Sprendimas.

Rasime išvestinę

Ieškoma išvestinė lygi:

nes .

Ats.:

(pastaba – kotangentas ctg kartais žymimas cot).

Sprendimas.

Rasime išvestinę

Ieškoma išvestinė

Ats.: tg t

Sprendimas.

Ieškoma išvestinė

Ats.: tg t.

Teorija

Visi uždaviniai ieškant parametrinės išvestinės, sprendžiami pagal tą pačią schemą:

· Rasti išvestines ir (pagal t).

· Įrašyti į fformulę

Rasti ribas, remiantis Lopitalio taisykle

Sprendimas.

Kai x artėja į nulį, ir skaitiklis, ir vardiklis artėja į nulį.Galime taikyti Lopitalio taisyklę.:

Įrašome į ribą, pertvarkome vardiklį ir suprastiname:

Ats.: -1/2.

Sprendimas.

Kai x artėja į nulį, ir skaitiklis, ir vvardiklis artėja į nulį. Taikome Lopitalio taisyklę.

Skaitiklio išvestinė:

Vardiklio išvestinė :

Įrašome į ribą:

Ats.: 0.

Galime taikyti Lopitalio taisyklę, nes turime neapibrėžtumą .

Kai x artėja į 1, vėl turime neapibrėžtumą . Dar kartą taikome Lopitalio taisyklę:

ats.: 1/2

(Lopitalio taisyklė čia pritaikyta 2 kartus. Galima taikyti tol, kol irašius skaičius, galime rasti ribą).

Sprendimas.

Kai x artėja į 1 , skaitiklis ir vardiklis lygus nuliui. Taikome Lopitalio taisyklę:

Ats.: .

Sprendimas.

Skaitiklio išvestinė :

Vardiklio išvestinė :

Įrašome į ribą:

Teorija:

Lopitalio taisyklė taikoma, kai turime neapibrėžtumą “nulis dalinamas iš nulio” arba “begalybė iš begalybės” ). Tada reikia rasti skaitiklio ir vardiklio išvestines.

Vienu žodžiu , vietoj skaitiklio įrašom skaitiklio išvestinę, vietoj vardiklio – vardiklio išvestinę.

Kartais būna , kad Lopitalio taisyklę reikia naudoti kelis kartus.

Gali ttip atsitikti, kad įrašius išvestines, skaitiklyje lieka skaičius, nelygus 0 , o vardiklyje – nulis. Tada riba lygi begalybei, ir skaičiavimai nutraukiami.

Jei po išvestinių radimo skaitiklyje ir vardiklyje lieko tokios reikšmės, riba:

· Skaitiklyje skaičius, nelygus 0 ir vardiklyje skaičius, nelygus 0 : galime skaičiuoti ribą (taip buvo visuose čia išspręstuose uždaviniuose);

· Skaitiklyje skaičius, nelygus nuliui, vardiklyje nulis : riba begalybė;

· Skaitiklyje 0 ir vardiklyje 0: dar kartą pritaikome Lopitalio taisyklę.

Jei būna neapibrėžtumas begalybė padalinta iš begalybės, gali taip atsitikti, kad pritaikius Lopitalio ttaisyklę, skaitiklyje lieka skaičius, o vardiklyje begalybė. Tada riba 0.

Skaitiklis – reiškinys viršuje, vardiklis – reiškinys apačioje.

Rasti funkcijų asimptotes:

Sprendimas.

Funkciją galime pertverkyti:

Ištirsime, ar yra horizontalios asimptotės:

Horizontalių asimptočių nėra.

Funkcija turi neapibrėžtumą taške x=0.

Vertikalioji asimptotė x=0.

Ieškosime pasvirųjų asimptočių y=kx+b.

, nes .

Kadangi k=1,

Pasviroji asimptotė y=kx+b, įrašius k=1 ir b=0:

y=x.

Ats.: Vertikalioji asimptotė x=0

Pasviroji asimptotė y=x.

2. .

Sprendimas.

Vertikalios asimptotės :

nes šiuose taškuose vardiklis lygus 0 ir .

Ištirsime, ar yra asimptotės y=kx+b:

Asimptotė y=kx+b=0x+1=1

y=1.

Ats.: horizontolioji y=1, vertikaliosios x=-1 ir x=1.

Sprendimas.

Kai x=-1, funkcijos vardiklis tampa lygus 0, o

Funkcija turi vertikalią asimptotę x=-1.

Asimptotė y=kx+b.

Horizontalių ir pasvirųjų asimptočių nėra.

Ats.: vertikalioji asimptotė x=-1.

Sprendimas.

Kai x=2 ir x=-2, funkcija turi vertikalias asimptotes, nes šiuose taškuose vardiklis lygus 0 .

Ieškosime asimptočių y=kx+b:

Asimptotė y=kx+b=0x-1=-1

y=-1.

Ats.: Vertikalios asimptotės x=2 ir x=-2.

Horizontali y=-1.

5. .

Sprendimas.

Vardiklio neapibrėžtumas:

Šios tiesės yra funkcijos vertikaliosios asimptotės.

Rasime asimptotes y=kx+b:

Todėl k=0, b=1.

y=kx+b=0x+1=1

Ats.: Vertikaliosios x=2, x=-2

Horizontalioji y=1.

Teorija. Asimptotės skirstomos į vertikaliąsias ir horizontaliąsias.

Vertikaliosios ieškomos taip:

Jei funkcija yra trupmena, ieškoma, kada vardiklis lygus nuliui. Šiuose taškuose ir yra asimptotės (vertikaliosios). Kitaip tariant: prilyginam vardiklį 0, randam šaknis a, b, c:

Tada asimptotės x=a, x=b, x=c. (patikrinimui reikia įrašyti tas reikšmes į funkciją – jei gauname trupmeną reiškia, tikrai vertikalioji asimptotė.

Kitos asimptotės. Tai yra hhorizontalios ir pasvirosios. Jos ieškomos pagal tokią schemą:

· Ieškoma riba . Jei gaunam begalybę, reikškia asimptočių nėra. Jei gaunam nulį (turėsim horizontalią) ar kitokį skaičių (turėsim pasvirąją asimptotę)– toliau ieškom ribos . Kai turim du skaičius k ir b, galime parašyti lygtį y=kx+b.

Nustatyti funkcijos iškilumo intervalus ir rasti perlinkio taškus:

Sprendimas.

Rasime pirmąją ir antrąją išvestinę:

Antroji išvestinė yra .

Taškai 0 ir 1 dalina visą x intervalą į 3 sritis: ]-µ; 0], ]0;1], ]1; -µ[.

Nustysime kiekvieno intervalo ženklą:

Funkcija iškila aukštyn ]0;1[ arba 01.

Perlinkio taškai x1= 0 ir x2=1.

Ats.:

Funkcija iškila aukštyn ]0;1[ arba 01.

Perlinkio taškai x1= 0 ir x2=1.

Sprendimas.

Rasime pirmąją ir antrąją išvestinę:

Prilyginame antrąją išvestinę nuliui

Reikšmės ir dalina visą x intervalą į 3 sritis: ]-µ; ],

] ; ], ] ;+µ[,

Funkcija iškila aukštyn ] ; ].

Funkcija įgaubta žemyn ]-µ; [U] ]-µ; ].

Perlinkio taškai .

Sprendimas.

Funkcija apibrėžta, kai x>0.

Rasime pirmąją ir antrąją išvestinę:

Antroji išvestinė lygi nuliui, kai

Funkcijos apibrėžimo sritis dalinama į du intervalus:

]0; e2] ir ]e2; +µ[.

Kai 0e2, funkcija iškila aukštyn

Perlinkio taškas x=e2.

Nustatyti funkcijos iškilumo intervalus ir rasti perlinkio taškus:

Sprendimas.

Rasime antrąją išvestinę:

prilyginame antrąją išvestinę nuliui:

Visas x intervalas dalinamas į 4 sritis:

Įrašę skaičių 10 gauname teigiamą funkcijos ženklą, todėl intervalų metodų suskirstome sritis:

Perlinkio taškai yra –2 ir 2 nes tada y’’ kkeičia ženklą.

Funkcija iškila aukštyn, kai y’’<0, t.y. intervaluose

Funkcija įgaubta žemyn, kai y’’>0, t.y. intervaluose

Ats.: Perlinkio taškai

Funkcija iškila aukštyn, kai y’’<0, t.y. intervaluose

Funkcija įgaubta žemyn, kai y’’>0, t.y. intervaluose

Kai x>0, funkcija yra

Rasime antrąją išvestinę

Prilyginame antrąją išvestinė nuliui:

Kai 03, antra išvestinė teigiama – funkcija įgaubta žemyn.

Perlinkio taškas x=3.

Kai x<0, funkcija tampa .

Rasime antrąją išvestinę:

Prilyginame antrąją išvestinę nuliui:

Kadangi nagrinėjame x<0, tai šiame intervale perlinkio taškų nėra.

Reiškinys šiame intervale, todėl kai x<0 , funkcija iškila aukštyn.

x=0 yra lūžio taškas.

Ats.: lūžio taškas x=0

Perlinkio taškas x=3

Iškilumo intervalai:

Įgaubtumo intervalai

Nubrėžti funkcijų grafikus:

Sprendimas.

Funkcija neapibrėžta , kai

– lūžio taškas, t.y. turime asimptotes ir .

Funkcijos apibrėžimo sritis:

Pirmoji funkcijos išvestinė

Išvestinė ligi nuliui, kai x=0.

Funkcijos maksimumas x=0, y=1/4.

Kai x>0, funkcija mažėja,

Kai x<0, funkcija didėja.

Taške x=0 funkcija neapibrėžta. Funkcija ekstremumų neturi.

Antroji išvestinė:

Antroji išvestinė visame intervale teigiama – todėl funkcija įgaubta žemyn.

Susikirtimo su koordinačių ašimis taškai:

Kai x=0, y=1/4

Kai y=0, x=±1.

Asimptotės – vertikalios ir .

Horizontalios :

Horizontali asimptotė y=1.

Funkcija

neapibrėžta , kai

– lūžio taškas, t.y. turime asimptotę .

Funkcijos apibrėžimo sritis:

Pirmoji funkcijos išvestinė

Išvestinė ligi nuliui, kai

Intervale –10 neigiama – funkcija iškila aukštyn.

Susikirtimo su koordinačių ašimis taškai :

Susikirtimo su y ašimi funkcija neturi.

y=0, kai ,

Asimptotė – vertikali .

Horizontalios asimptotės :

Horizontali asimptotė y=x.

Kai x=1 ir x=-1, funkcija neapibrėžta.

Vertikalios asimptotės x=1 ir x=-1.

Funkcijos susikirtimo su koordinačių ašimis taškai:

Kai x=0, y=0 (0;0)

Y=0, kai

(0;0) , (2;0) , (-2;0).

Pirmoji funkcijos išvestinė:

Pirmoji išvestinė visame intervale yra teigiama – vadinasi, funkcija ddidėjanti.

Nėra reikšmių, su kuriomis y’=0, todėl funkcija ekstremumo taškų neturi.

Antroji išvestinė:

Antroji išvestinė lygi nuliui, kai

Šaknų x1 ir x2 nėra, nes <0.

Perlinkio taškai:

Antroji išvestinė –

y’’>0, kai – įgaubtumo žemyn intervalai

y’’<0, kai – iškilumo intervalai.

asimptotės:

Pasviroji asimptotė .

Sprendimas.

Funkciją perrašome taip:

Funkcija neapibrėžta, kai

Vertikalios asimptotės ir .

Funkcijos išvestinė:

Kai x>0, funkcija mažėja

Kai x<0, funkcija didėja.

Ekstremumo taškas x=0 (maksimumo taškas)

y(0)=0.

Antroji išvestinė:

Prilyginame antrąją išvestinę nuliui ( ):

šaknų neturi.

ir . Šios šaknys, kaip jau išnagrinėta aukščiau, nepatenka į funkcijos apibrėžimo ssritį (vardiklis lygus 0).

Antrą išvestinę galima perrašyti taip:

Skaitiklis yra teigiamas.

Perlinkio taškų nėra.

Asimptotės:

Horizontali asimptotė y=1.

Susikirtimais su koordinašių ašimis – taškas (0;0).

Kai x>1, funkcija tampa y=x-1. y’=1, y’’=0.

Funkcija kai x>1 didėja. Ekstremumo taškų nėra.

Kai x<1, funkcija tampa y=-x+1. y’=-1, y’’=0.

Funkcija kkai x>1 mažėja. Ekstremumo taškų nėra.

Grafikas –dvi pustiesės.

Susikirtimo taškai su koordinačių ašimis:

X=1, y=0 (1;0)

X=0 , y=1 (0;1)