matematika-ktu-pirmo-kurso-spera
MATEMATIKOS ŠPARGALKE
1. Matricos, jų rūšys, matricų veiksmai.
Matrica vad skaičių surašytų į m eilučių ir n stulpelių lentelę. Jeigu matricoj sukeisim vietom eilutes su stulpeliais, tai gausim transponuotą matricą AT. Matricos turinčios po vienodą eilučių ir stulpelių skaičių vad tos pačios eilės matricos. Dvi tos pačios eilės matricos vad lygiom jeigu jų atitinkami elementai lygūs (A=B, aij= bij). Sudedant tos pačios eilės mat jų atitinkamus element sudedam (C=A+B, cij=aij+bij). Dauginant mat iš pasirinkto daugiklio iš jo dauginamos kiekvienas mat elementas (C=kA,cij=kaij, kk=const). Pastaba; sudaugint galima tik tokias dvi matric kai pirmosios mat stulpelių skaičius lygus antros mat eilučių skaičiui. C= AB kur mat cij elementai gaunami mat A itosios eilutės element padauginus iš atitinkamai B j-ojo stulpelio elementų ir gautas sandaugas sudėti. Mat veiksmam galioja šie dėsniai: (A+B)+C=A+ (B+C), k(A+B)= kA+kB, AB¹BA, A(B+C)=AB+AC, mat E vad vienetine matrica, EA=AE=A, mat O vad nuline, A-B= A+ (-1)B.
2. Determn, jų apskaič.
Kiekvienai kvadratinei matricai yra priskiriamas skaičius vad šios matric determinantu |A|.antros eilės mat ddeterm aps taip pagrindinė istrižainė minus šalutinė istriž. Trečios eilės pagal trikampių taisyklę.
3. Minoras ir adjunktas.
Jeigu mat A išbrauksim tą eilutę ir stulpelį, kurių susikirtime yra elementas aij tai iš likusių neišbrauktų elementų galėsim sudaryt naują mat kurios determ Mij vvad mat A minoru, atitinkančiu elementą aij. Minoras paimtas su atitinkamu ženklu vad adjunktu Aij. Aij= (-1)i+j Mij.
4. Determ skaič skleidžiant juos minorais.
Datermin lygus sumai sandaugų sudarytų iš determ bet kurios eilutės (stulpelio el-ement) ir juos atitinkančių minorų paimtų su atitinkamu ženklu. Prieš minorą rašo- mas minuso ženklas kai jo indeksų suma yra nelyginis skaičius. Ši determ skaičiavimo taisyklė taikoma ne tik trečio eilės de- term, bet ir aukštesnės eilės (M12= – , M13= +). |A|= (-1)i+1ai1 Mi1+ (-1)i+2 ai2 Mi2+.+ (-1)i+jaij Mij+.+ (-1)i+nain Min.
5. Determin sąvybės.
1.Matric A determ ir jai transponuotos AT determ yra lygus |A|=|AT|. Išvada: determ eilutės ir stulpeliai yra lygeverčiai. Dėl to visus teiginius tinkančius determ eilutėm galima taikyti ir determ stulpeliam. 2. Jeigu determ kurios nnors eilutės visi elementai lygus 0, tai toks determ lygus 0. 3. Sukaitus determinante vietomis dvi gretimas eilutes determ keičia ženklą. 4. Determ bet kurios eilutės elementų bendrą daugiklį galima iškelti prieš deter ženklą. 5. Determ turintis dvi vienodas eilutes lgus 0. 6. Determ reikšmė nepasikeis jeigu prie jo bet kurios eilutės pridėsim kitos šio determ eilutės elementus padaugintus iš pasirinkto daugiklio. 7. Jeigu determinanto |A| bet kurios eilutės elementų adjuktus padauginsim atitinkamai iš skaičių b1,b2,b3,.,bn ir gautas sandaugas sudėsim, ttai gausim skaičių lygų determ |B| kuris gaunamasc determinante |A| minėtą eilutę pakeitus skaičiais b1,.., bn. 8. Determ bet kurios eilutės elementų ir atitinkamų kitos eilės adjunktų sandauga yra lygi 0.
6. Matricos rangas.
Jeigu matricoj paimsim bet kurias k eilutes ir k stulpelius ir iš jų susikirtime esenčių elementų sudar ysim kosios kvadratinę matricą, tai šios matric determ vad matricos A k-osios eilės minoru. Ap: Aukščiausia minoro nelygaus nuliui eilė vad matricos rangu Jeigu matricos A aukščiausias nelygus 0 minoras yra r-osios eilės tai matricos rangas yra lygus r (rangA=r). sąvybės:1. Transponuojant matricą rangas nesikeičia (rangA=rangAT)2.Atliekant elementarius m atricų perdir bimus rangas nesikeičia. Pastaba: elementariais matricų veiksmais vad tokie veiksmai:1.sukeisti vietomis matricų eilutes (stulpelius).2.padauginti visus matric elementus iš daugiklio nelygaus 0. 3.prie bet kurios matric eilutės (stulpelio) elementų pridėti kitos eilutės (stulpelio) elemntus padaugintus iš pasirinkto daugiklio. Matricas kurias gauname vieną iš kitos elementarių veiksm pagalba vad ekvivalenčiomis (A~B). Ap: Stačiakampė matrica Am*n kurios pagrindinėj ištrižainėj pirmiejo elementai yra vienetai, o visi kiti 0 vad kanonine matrica. Kiekvieną matricą elementarių veiksmų pagalba galima pertvarkyti į kanoninę. Tada vienetų skaičius pagr istriž yra lygus matricos rangui.
7. Atvirkštinė matrica.
Ap. Kvadratinės matricos A atvirkštine matric A-1 vad tenkinanti sąlygą A*A-1=A-1A=E. Iš matricos A adjunktų ssudarysim naują matricą. Jeigu matricos A determ nelygus 0, tai A-1=1/|A|*Ć. Įrodymas: Imkim matricos sandagą A* ? šios sandaugos elementai bij bus gaunami sudauginus matricos A i-osios eilutės ir matric? j-ojo stulpelio atitinkamus elementus ir šias sandaugas sudėjus bij=ai1Ai1+ai2Ai2+..+ainAin. kai i=j, tai bij=|A|.kai i¹j, tai bij=0.A*Ć=|A|*E.A*Ć= |A|*E|:|A|¹0,1/|A|*A*Ć=E(1).Analogiškai yrodytu me, kad A*Ć=|A|*E|:|A|¹0, gautume Ć/|A|*A=E(2). Sulyginę (1)ir(2) turėsim A*?/|A|=Ć/|A|*A=E. Prisiminę ly gybę A*A-1= A-1A= E: A-1= Ć/|A|.
8.Tiesinių lygč sistemos sprend atvirkštinės matric metodu.
Duota n lygčių su n nežinomųjų sistema: (brėž.1)A*X=B|*A-1;A-1AX=A-1B;EX=A-1B; X= A-1B.
9. Kramekerio formulė.
Duota n lygčių su n nežinomųjų sistema: (brėž.1)A*X=B|*A-1;A-1AX=A-1B;EX=A-1B; X=A-1B.Turime,kad X=A-1B=1/|A|ĆB. x1= |A1|/|A|; x2=|A2|/|A|;xn=|An|/|A|.
10. Gauso metodas.
Turime m lygčių ir n nežinomųjų (brėž 2). Parašom (1) lygčių sistemą atitinkančią išplėstinę matricą (brėž 3). Šią matricą pertvarkom į tokią matricą, kad pagrindinėj is- triž pirmieji skaičiai būtų vienetai, o po ja esantys būtų nuliai (brėž 4). Norėdami iš matricos A/B gauti mat (2) galima su matricos eilutėm atlikti veiksmus: 1. Sukeisti eilutes vietom, 2. Padauginti eilutės ele- mentus iš pasirinkto daugiklio, 3. Pakeisti bet kurią eilutę pridedant jos kitos eilutės elementus, padaugintus iš pasirinkto daugiklio. Gavę (2) matricą rašome ją atitinkančią lygčių sistemą (brėž 5). Šią siste- mą spręsdami nuo paskutinės lygties nesunkiai rasim visa nežinomųjų reikįmes. Pastaba: Jeigu pertvarkant mat AA/B atsiranda eilutė (000..00) tai ją galima išbraukti. Ją at itiktų lygtis (0x1+ 0x2+..+0xn=0), ją ten- kina visos reikšmės. Jei atsiranda eilutė (00..0d) d¹0,tai ją atitinka eilutė 0x1+0x2 +..+0xn=d, tai sistema yra nesuderinta, nėra sprendinių. Jeigu pertvarkant matricą nežinom lieka daugiau nei lygčių tada nežin (x1,x2,..,xr) paliekam kairėj pusėj, o nežin (xr+1,xr+2,..,xn) perkialem į lygčių dešinę pus ią ir žiųrime į juos kaip į laisvuosius narius. Tada (x1,x2,..,xr) bazinius nežin išreikšime laisvais nežin (xr+1, xr+2,..,xn). Laisviem než- in parinkę bet kokias reikšmes turėsim be galo daus sprendinių.
11. Kronekerio – kapelio teorema.
Duota m tiesinių lygčių ir n nežinomųjų sistema: brėz 6). Kron – kap teorema: kad tiesinių lygčių sistema būtų suderinta būtina, kad sistemos pagrindinės matricos ran gas būtų lygus sistemos išplėstinės mat ricos rangui (rangA= rangA/B). Išvados: jeigu suderintos lygčių sistemos rangas yra r, o nežinomųjų skaičius n ir r=n, tai sis tema turi vienintelį sprendinį. Jeigu r F1F2: 2a>2c, a>c, a2>c2, a2-c2> 0. Teigiamą skaičių a2-c2 pažymėkim b2.b2= a2- c2. b2x2+ a2y2= a2b2| :a2b2, x2/a2+y2/b2=1 – kanoninė elipsės lygtis. a–didysis pus ašis, b–mažasispusašis, 2a–didžioji ašis, 2b– maž oji ašis. e= c/a – eleipsės ekscentricetas (mažesnis už 1).
22.Hiperbolė.
Hiperbole vad geometrinė vieta plokštumos taškų, kurių kiekvieno atstumu iki dviejų pastovių taškų,
vad židiniais skirtumas yra pastovus. Hiperbolės židiniai yra taškuose F1(c, 0), F2(-c, 0). Hiperbolės bet kurio taško M(x, y) atstumu iki židinių skirtumas yra 2a. Rasim hiperbolės lygtį. (brėž 12) Pagal apibrėž |MF2|- |MF2|= 2a. kadangi MF2{-c-x; y}, tai vektoriaus modulis |MF2|= Ö((c+x)2+ y2), MF1{c-x, -y}, |MF1|= Ö((c-x)2+ y2), Ö((c+ x)2+ y2)- Ö((c-x)2+ y2)= 2a. sutvarkom šią lygtį analogiškai kaip ir elipsės lygtį, gausime tikią lygtį: x2/a2- y2/b2= 1 – kanoninė hiperbolės lygtis. kur b2= c2- a2, e= c/a – hhiperbolės ekscentricetas. x2- y2= a2 – lygiaašė hiperbolė. Tiksliam hiperb pavidalui nustatyti išnagrinėsim hiperbolės asimptotę – vad tiesė prie kurios nutoldamos artėja hiperb šakos. (brėž 13) x2/a2- y2/b2= 1, kai y= ±bx/a. įrodisim, kad tiesė y= bx/a yra hiperbolės x2/a2- y2/b2= 1 asimptotė. Iš hiperbolės lygties išskaičiuojame y: y2/b2= x2/a2- 1, y2/b2= (x2- a2)/a2, y2= b2(x2- a2)/a2, y= ±bÖ(x2- a2)/a. Argumento x reikšmę atitinkančią pažymime yt, o hip tiesę pažym yh, yt= bx/a, yh= bÖ(x2- a2)/a, yh- yt= b/a (Ö(x2- aa2)-x). Kai x artėja į ¥, tai yh- yt= b/a (Ö(x2- a2)- x)= (b(Ö(x2- a2)- x))(Ö(x2- a2)+ x))/ (a(Ö(x2- a2)+ x))=(b(x2- a2- x2))/(a(Ö(x2- a2)+x))= -ba/(Ö(x2- a2)+ x) – mažėja (artėja į nulį) arba yh artėja prie yt, vadinasi hiperb šakos aartėja prie tiesės y= bx/a ir yra asimptotė.
23. Parabolė.
Parabole vad geometrinė vieta plokštumos taškų, vienodai nutolusių nuo pastovaus taško vad židiniu ir pastovios tiesės, vad direktise. Rasim kanoninę lygtį parabolės, kurios F(p/2, 0) o direktisės lygtis y= -p/2.(brėž14). Pagal parabolės apibrėž turėsim, kad |NM|= |FM, NM{x+ p/2; 0), FM{x-p/2; y}, Ö(x2+ p/2)2= Ö((x- p/2)2+y2), (x+p/2)2= (x-p/2)2+ y2, x2+ px+ p2/4= x2- px+ p2/4+ y2, y2= 2px – kanoninė lygtis. p – parabolės parametras. (brėž 15, 16, 17, 18). Įšvada: parabolė yra simetrinė tai koordinatų ašiai kuri lygtyje yra pirmojo laipsnio.
24. Bendroji plokštumos lygtis.
Plokštumos padėtis erdvėje R3 bus pilnai nusakyta, jeigu žinosim tašką M0(x0, y0, z0) esantį plokštumoje ir vektorių n{A, B, C} statmeną plokštumai. Pagal 2 vektorių statmenumo sąlygą turėsim, kkad jų skaliarinė sandauga lygi 0. M0Mn= 0, M0M{x-x0, y-y0, z-z0}, n{A, B, C}: A(x-x0)+ B(y-y0)+ C(z-z0)= 0 lygtis plokštumos einančios per tašką (x0, y0, z0), kai jos normalinis vektorius n yra statmenas plokštumai, D= -(Ax0+ By0+ Cz0) – jis duotai plokštumai pastovus dydis: Ax+ By+ Cz+ D= 0 – Bendroji plokštumos lygtis. priklausomai nuo to kokie yra koeficientai A, B, C, D skiriami atskiri bendrosios plokštumos atvejai. 1) Kai D= 0, turim lygtį Ax+ By+ Cz+ D= 0, kurią ttenkina taško O(0; 0; 0) koordinatės. Vadinasi ši lygtis reiškia plokštumą einančią per koordinačių pradžią. 2) Kai D¹ 0, bet vienas iš koefic A, B, C lygus 0, pvz C=0, tada turėsim Ax+ By+ D= 0, šios plokštumos normalinis vektorius bus statmenas OZ ašiai (nes jo 3 projekcija = 0). Reiškia, pati plokštuma bus lygiagreti z ašiai. Analogiškai kai B= 0 ir kai A= 0. Išvada: pirmojo laipsnio lygtis, kurioje nėra 1 kurio nors iš 3 kintamųjų, erdvėje reiškia plokštumą, lygiagrečią tai koordinačių sistemos ašiai, kurios koord lytyje trūksta. 3) Kai D=0 ir dar bent vienas iš koefic A, B, C irgi = 0, tai gausime vieną iš lygčių: Ax+ by= 0, ar kitas. Pirmiausia, tokio pavidalo lygtis reiškia plokštumą, einančią per koord pradžią ir lygiagr vienai iš koord ašiai, priklausomai nuo to, kurios koord lygtyje trūksta. Išvada: pirmojo laipsnio lygtis, kurioje nėra kurio nors vieno iš trijų kintamųjų ir laisvojo nario, erdvėje reiškia plokštumą, einančią per tą koord sistemos ašį, kurios koord lygtyje trūksta. 4) Kai D¹ 0, bet du iš koef = 0, pvz B= 0, C=0, tada turėsim Ax+ d= 0. Šioje lytyje trūksta koord y, vadinas lygtis reiškia plokštumą, lygiagr y ašiai. Joje trūksta ir z, oo tai reiškia ir lygiagr z ašiai, o tas tolygu, kad plokštuma yra lygiagr yoz plokštumai. Analogiškai, kai A= C= 0 ir A= B= 0. Išvada: pirmojo laipsnio lygtis, kurioje nėra kurių nors dviejų kintamųjų iš trijų, erdvėje reiškia plokštumą, lygiagrečią tai koord sistemos plokštumai, kurių koord lygtyje trūksta (arba ši plokštuma yra statmena tai koord sistemos ašiai, kuri koord yra lygtyje). 5) Kai bendroje plokštumos lygtyje du koef prie kintamųjų koord ir laisvas narys = 0, bendroji plokštumos lygtis įgis vieną iš pavidalų Ax= 0, Bx= 0, Cx= 0 arba x= 0, y= 0, z= 0. Pvz. x= 0. Ši plokštuma turi eiti per y ir z ašis ir per koord pradžią. Tai bus tiesiog koordinatinė plokštuma yoz.
25. Taško atstumas iki plokštumos.
Rasim taško M0(x0, y0, z0) atstumą iki plokštumos Ax+ By+ Cz+ D= 0, M1M0{x0- x1, y0- y1, z0- z1), n{A, B, C}, M1M0.n= |M1M0|.|n|.cos( ÐM1M0, n), M1M0.n= |d|. |n|. (±1), d= ± M1M0.n/|n|, d= |M1M0.n/ n|= ((x0- x1)A+ (y0-y1)B+ (z0-z1)C)/ Ö(A2+ b2+ C2)= |(Ax0+ By0+ Cz0- (Ax1+ By1+ Cz1))/ Ö(A2+ b2+ C2)|. M1(x1, y1, z1)Î Ax+ By+ Cz+ D= 0Þ Ax1+ By1+ Cz1+ D= 0, -(Ax1+ By1+ Cz1)= D: d= |(Ax0+By0+ Cz0+ D)/ Ö(A2+ b2+ C2)|.
26. Tiesės erdvėje RR3 kanoninės ir parametrinės lygtys.
Tiesės padėtis erdvėje R3 bus pilnai nusakyta jeigu žinisim tašką M0(x0, y0, z0) per kurį eina tiesė ir vektorių s{l, m, n} lygiagretų tiesiai. Vektorius s vad tiesės krypties (linkmės) vektorium. Imame bet kurį tiesės tašką M(x, y, z) tada vektorius M0M||s. tada M0M= t.s. Žinom, kad vektorių ir projekcijų veiksmai vienodi, tai M0M{x-x0, y-y0, z-z0} s{l, m, n}. Sistema ({) x-x0= tl, y-y0= tm, z-z0=tn, sistema x= x0+ tl, y= y0+ tm, z= z0+ tn – parametrinės tiesės lygtys. Šias lygtis išsprendę t atžvilgiu turėsim: t= (x-x0)/ l, t= (y-y0/ m, t= (z-z0)/ n. sulyginę dešniąsias puses gauname: (x-x0)/ l= (y-y0)/ m= (z-z0)/ n – kanoninės lygtys tiesės einančios per tašką (x0, y0, z0), kai vektorius turi projekcijas s{l, m, n}.
27. Kanoninės lygtys tiesės duotos 2 plokštumų susikirtime.
Duotos dvi plokštumos (P1): A1x+ B1y+ C1z+ D1= 0, (P2): A2x+ B2y+ C2z+ D2= 0. Jeigu šios plokštumos nėra lygiagrečios tai jų susikirtime gausim tiesę. Tiesės bet kurio taško M(x, y, z) koord turės tenkinti abiejų plokštumų lygtis. reiškia: sistema ({) A1x+ B1y+ C1z+ D1= 0, A2x+ B2y+ C2z+ D2= 0. Tiesę t duotą 2 plokštumų susikirtimu užrašysim kanoniniu pavidalu: (x-x0)/ (n1*n2)x= (y-y0)/ (n1*n2)y= (z-z0)/ (n1*n2)z – kanoninė
tiesės lygtis.
28. Lygtis tiesės einančios per 2 duotus plokštumos taškus.
M1(x1, y1, z1); M2(x2, y2, z2), tiesės linkmės vektorius yra s= M1M2{x2-x1, y2-y1, z2-z1}. Rasim kanoninę lygtį: M1(x1, y1, z1), s= {x2-x1, y2-y1, z2-z1}: (x-x1)/ (x2-x1)= (y-y1)/ (y2-y1)= (z-z1)/ (z2-z1) – lygtis tiesės einančios per 2 duotus taškus.
29. Polinė koordinačių sistema.
Erdvėje R2 žinome stačiakampę koordinačių sistemą kurią sudaro 2 tarpusavyje statmenai susikertančios ašys Ox ir Oy. erdvėj R2 yra naudojama ir polinė koord sistema, kurią sudaro taškas O vad poliniu ir aašis Op – polinė ašis. Kiekvieną skaičių (r, j) pora apibrėžia taško M padėtį erdvėj R2. (r, j) – taško M polinės koordinatės (M(r, j)). Rasim ryšį tarp taško M stačiakampių ir polinių koordinačių. r – taško M spindulys, j – taško M polinis kampas. (brėž 19). Oxy, M(x, y), pol. kord. s. M(r, j). Iš DOAM turime, kad r2= x2+ y2, r= Ö(x2+ y2); tgj= y/x, j= arctgy/x. Iš to paties trik matom: x= rcosj, y= rsinj.
30. Skaičių seka iir jos riba.
Jeigu kiekvienam natūriniam skaičiui n tam tikru būdu galima priskirti skaičių xn, tai turime skaičių seką. x1, x2, .. ,xn arba {xn} xn – bendras sekos narys. Turėdami bendrąjį narį galime užrašyti bet kurį sekos narį, o tuo ppačiu ir visą seką: xn= 1/n, x1= 1, x2= ½, x3= 1/3; {1/n}à 1, ½, 1/3, .. ,1/n,.. Kad išsiaiškinti sekos ribos sąvoką imkim keletą pvz: 1) {1/n}= 1, ½, 1/3,.., à 0. 2) {(n+ 1)/n}= 2, 3/2, 4/3,.. à 1. 3) {(-1)n/n}= -1, ½, -1/3,. à 0. 4) {(-1)n}= -1, 1, -1,..Iš šių pvz matom, kad kai nà ¥, sekos 4) neartėja priejokio vieno skaičiaus, sekos 1) nariaiartėja prie 0, sekos 2) artėja prie 1. Skaičius prie kurio artėja sekos nariai vad sekos riba. Ap.: Skaičius a vad sekos {xn} riba, jeigu kiekvienam kiek norima mažam skaičiui e> 0 galima rasti tokį natūrinį skaičių N, kad visiems n> N teisinga nelygybė |xn-a|< e. nà ¥ lim xn= a, kai nnà ¥, tai ir xnà a – Ribos apibrėž. Seka turinti ribą vad konverguojančia, o neturinti ribos – diverguojančia. Išsiaiškinsim sekos geometrinę reikšmę. Iš nelygybės |xn-a|< e turėsim, kad -e< xn-a< e arba a-e< xn< a+e. Intervalas [a-e, a+e], kurio viduryje yra taškas a, o intervalo spindulys e, vad taško a, e – aplinka. Pagal ribos apibrėž skaičius a bus sekos {xn} riba, jeigu kiekvienam laisvai pasirinktam kiek norima mažam skaičiui e> 0, galima rasti tikį natūrinį skaičių N, nuo kkurio pradedant sekos nariai xN+1, xN+2,. patenka į taško a e – aplinką. Skaičius N visada priklauso nuo pasirinktos e reikšmės. Pakeitus e, keisis N. Pvz: Įrodyti, kad skaičius a= 0 yra sekos {xn= (-1)n/n} riba. Pagal sekos ribos api brėž turėsim, kad |(-1)n/n- 0|< e; |(-1)n/n|< e; 1/n< e, kai e= 0,1, tai 1/n< 1/10, n>10, vadinasi imdami n reikšmes didesnes už N= 10 turėsim, kad |xn-0|< 0,1, kai n> 10. nà ¥ lim(-1)n/n= 0. e= 0,001, 1/n< 1/1000, n> 1000, N= 1000, visi sekos nariai tenkins lygybę |xn-0|< 0,001.
31. Monotoninės ir aprėžtos sekos.
Seka {xn} vad didėjančia, jeigu visiems n teisinga nelygybė xn< xn+1. Seka {xn} vad mažėjančia, jeigu visiems n teisinga nelyg xn> xn+1. Didėjančios ir mažėjančios sekos vad monotoninėmis. Seka {xn} – aprėžta iš viršaus, jeigu egzistuoja tiks skaičius M, kad su kiekviena reikšme n, teisinga nelygybė xn£ M. M – sekos viršutinis rėžis. Kiekvienas kitas skaičius M1> M, taip pat sekos viršutinis rėžis. Seka {xn} – aprėžta iš apačios, jeigu galima rasti tokį N, kad visiems n būtų patenkinta sąlyga xn³ N. N – apatinis rėžis. Kiekvienas kitas skaičius N1< N taip pat yra apatinis rėžis. Seka {xn} vad aprėžta, jeigu ji aprėžta ir iš viršaus iir iš apačios, kai N£ xn£ M, parinkę k= min{|N|, |M|}, |xn|£ k, (-k£ xn£ k). seka {xn} – aprėžta jeigu egzistuoja toks skaičius k> 0, kad su kiekviena reikšme n teisinga nelygybė |xn|£ k.
32. Skaičius e.
skaičius e yra imamas logoritmų pagrindu. Logaritmai, kurių pagrindas yra e vad natūriniais ir žymimi lnx= logex. nà¥lim (1+ 1/n)n= e.
33. Funkcijos riba taške.
Duota funkcija y= f(x) apibrėžta taško a aplinkoje. Išskyrus patį tašką a. Ap: Skaičius b vad f(x) funkcijos riba taške a, jeigu kiekvienam, kiek norima mažam skaičiui e> 0 galima rasti tokį skaičių d> 0, kad visiems x¹ a tenkinantiems sąlygą |x-a|< d, yra teisinga nelygybė |f(x)- b| a lim f(x)= f(a+0)= b2. Funkcijos ribos iš kairės arba iš dešnės vad vienpusėmis ribomis. Vienpusių ribų apibrėž: 1. Skaičius b1 vad funkcijos f(x) riba taške a iš kairės, jeigu kiekvienam, kiek norima mažam skaičiui e> 0 galima rasti tokį skaičių d> 0, kad esant patenkintai sąlygai x-a< d yra teisinga nelyg |f(x)-b2| 1. Kai b1= b2= b, tada riba xàa lim f(x)= b. Jeigu b1¹ b2, tada riba xàa lim f(x) – neegzistuoja. Kad funkcija f(x) kokiame tai taške turėtų ribą, ji šiame taške turi turėti ribas ir iš kairės ir iš ddešnės, ir jos turi būti lygios.
35. Funkcijos riba begalybėje.
Imkim funkciją f(x)= 1+ 1/x. didėjant |x|, trupmenos reikšmės artėja prie 0. Taigi, kai |x| reikšmės yra didelės, funkcijos f(x) reikšmės mažai skiriasi nuo 1. xà ¥ lim (1+ 1/x)= 1. Tegu funkcija y= f(x) apibrėžta visiems xÎ(-¥; +¥). Ap: skaičius b vad funkcijos f(x) riba, kai xà ¥, jeigu kiekvienam kiek norima mažam skaičiui e> 0, galima rasti tokį skaičių M> 0, kad visiems |x|> M yra teisinga nelyg |f(x)-b|< e, xà ¥ lim f(x)= b. Šiame apibrėž užrašę xà ¥, suprantam, jog xà -¥ ir xà +¥. Jeigu funkcija yra tokia, kad šiuos atvejus reikia nagrinėti atskirai tai rašom xà +¥ lim f(x)= b, xà -¥ lim f(x)= b.
36. Neapibrėžtai didėjančios funkcijos. Aprėžtos funkcijos.
Ap: Funkcijos y= f(x) riba, kai xà a yra lygi ¥, jeigu kiekvienam kiek norima dideliam skaičiui M> 0, galima rasti tokį skaičių d> 0, kad visiems x patenkinantiems sąlygą |x- a|< d yra patenkinama nelygybė |f(x)|> M: xà a lim f(x)= ¥. Ap: Funkc f(x) riba, kai xà ¥ lygi ¥ jeigu kiekvienam kiek norima dideliam skaičiui M> 0, galima rasti tokį skaičių N> 0, kad visiems |x|> N yra teisinga nelygybė |f(x)|> N: xà ¥
lim f(x)= ¥. Ap: Jeigu riba xà a lim f(x)= ¥ arba (xà ¥ lim f(x)= ¥), tai funkc f(x) vad neapibrėžtai didėjančia, kai xà a arba xà ¥. Ap: funkc y= f(x) vad aprėžta tam tikrame intervale (a, b), jeigu visiems xÎ (a, b) turime, kad |f(x)|< K, kur K> 0 kiek norima didelis skaičius.
37. Nykstačios funkcijos, jų sąvybės.
Funkcija a(x) vad nykstačia (nykstamai mažėjančia), kai xà a, jei riba xà a lim a(x)= 0 (xà a, xà ¥). Pritaikę rribos apibrėž turėsim: Ap: Funkcija a(x) vad nykstamai mažėjančia, kai xà a, jeigu kiekvienam e> 0, galima rasri tokį d> 0, kad esant patenkintai sąlygai |e-a|< d, yra patenkinta sąlyga |a(x)| 0, galėsim rastirasti tokį d1> 0, kad |a(x)|< e/2. Iš antros lygybės turėsim, kad kiekvien e> 0, galim rasti tokį d2> 0, kad |b(x)|< e/2. Parinkę d= min(d1d2), tada turėsim, kad taško a d – aplinkoj bus |a(x)|< e/2 ir |b(x)|< e/2. Prisiminę, kad sumos absoliutinis didumas yra nedidesnis uuž dėmenų absoliutinių didumų sumą turėsim, kad |a(x)+ b(x)|£ |a(x)|+ |b(x)|, |a(x)+ b(x)|< e/2+ e/2, |a(x)+ b(x)|< e. Gavom, kad taško a d – aplinkoj |a(x)+ b(x)|< e. T.y. a(x)+ b(x) – nykstamai maža funkcija. Analogiškai įrodomos sekančios sąvybės. 2) NNykst. m. funkc ir aprėžtos funkcijos sandauga yra nykstamai maža funkcija. 3) Sandauga dviejų nykstamai mažų funkcijų yra n.m.f. 4) Jeigu f(x) yra neaprėžtai didėjanti kai xà a, tai a(x)= 1/f(x) – n.m.f, kai xà a.
38. Ribų dėsniai.
1)Baigtinio skaičiaus funkcijų algebrinės sumos riba yra lygi šių funkčijų ribų algebriniai sumai: xà a lim (f(x)± j(x))= A± B. Įrodymas: žinom, kad funkcija nuo savo ribinės reikšmės skiriasi nykstamai mažu dydžių. Vadinasi iš lygybės xà a lim f(x)= A seka, kad f(x)= A+ a(x), a(x) – n.m.f, kai xà a. iš xà a lim j(x)= B, seka j(x)= B+ b(x), b(x) – n.m.f, kai xà a. tada f(x)± j(x)= (A+ a(x))± (B+ b(x))= (A± B)+ (a(x)±b(x)); a(x)± b(x) – n.m.f. Matome, kad ffunkcija f(x)± j(x) nuo skaičiaus A± B, skiriasi n.m.f a(x)± b(x). tai reiškia, kad skaičius A± B yra funkcijos f(x)± j(x) riba: xà a lim (f(x)± j(x))= A± B. Kiti dėsniai įrodomi analogiškai: 2) Baigtinio skaičiaus funkcijų sandaugos riba yra lygi šių funkcijų ribų sandaugai: xà a lim (f(x). j(x))= A.B. 3) Dviejų funkcijų santykio riba lygi šių funkcijų ribų santykiui, jeigu tik vardiklio riba ¹ 0: xà a lim f(x)/ j(x)= A/B, (B¹ 0). 4) Pastovų daugiklį galima iškelti pprieš ribos ženklą: xà a lim (C.f(x))= xà a Clim f(x)= CA, C= const.
39. Neapibrėžtumai.
Žinant 2 funkcijų f(x) ir j(x) ribas, kai xà a arba xà ¥ ne visada galima pasakyti kokios bus tų funkcijų sumos, sandaugos ar dalmens ribos. Dažnai pasitaiko neapibrėžti reiškiniai. 1. Neapibrėžtumas – kai nagrinėjamas 2 nyks maž funkc f(x), j(x) santykis vad neapibrė-tumu 0/0. 2. Neap – kai nagr 2 neap didėjančių funkc santykiui f(x)/ j(x) vad neapibrėžt ¥/ ¥. 0/0; ¥/¥ – pagr neapibrėžtumai. Be jų dar yra 0¥; ¥-¥; 00; ¥0; 1¥ – neapibrėžtumai. Panaikinti neapibrėž reiškia rasti to reiškinio ribą, jeigu ji egzistuoja. Neapibrėžt panaikinimui dažnai pritaikomos tokios dvi pagr ribos: 1) xà 0 lim sinx/ x= 1. 2) xà ¥ lim (1+ 1/x)x= e. Įrodymai: įrodysim, kad riba xà 0 lim sinx/x= 1. (brėž 20) Įmame vienetinį aps ir kampą x, esentį 0< x< p/2. Iš brėž matom, kad SODA< Sišpjov ODA< SODC. ½ OD.AB< ½ R. ÈDA< ½ OD. DC, ½. 1. sinx< ½. 1. x. 1< ½ 1 1 tgx | .2, sinx< x< tgx| :sinx> 0, sinx/ sinx< x/ sinx< tgx/ sinx, sinx/ sinx> sinx/ x> sinx/ tgx, 1> sinx/ x> cosx, cosx< sinx< 1. Šioje nelyg pereikime pprie ribos, kai xà 0: xà 0 lim cosx< xà 0 lim sinx/ x< xà 0 lim 1, xà 0 lim cosx= 1, xà 0 lim 1= 1. Gavom, kad riba xà 0 lim sinx/ x yra tarp 1 ir 1, taigi xà 0 lim sinx/ x= 1. Įrodysim: xà ¥ lim (1+ 1/x)x= e. y= (1+ 1/x)x rasim šios funkc ribą, kai xà ¥ sekos xn= (1+ 1/n)n, kai nà ¥ riba lygi e. Kai xà +¥, imkim argumento reikšmių seką x1= 1, x2= 2.xn= n. Tada funkc reikšmių seka bus yn= {1+ 1/n}n. xà ¥ lim (1+ 1/n)n= e, tai xà +¥ lim (1+ 1/n)n= e. Rasim ribą, kai xà -¥ : xà -¥ lim (1+ 1/x)x .(1), u= -x, kai xà -¥, tai uà +¥, xà -¥ lim (1+ 1/x)x= uà +¥ lim (1+ 1/u)-u= lim ((u-1)/ u)-u= lim (u/ (u-1))u= lim ((u-1+1)/ (u-1))u= lim (1+ 1/ (u-1))u. z= u-1, u= z+1, uà +¥, zà +¥. zà +¥ lim (1+ 1/z)z+1= lim (1+ 1/z)z (1+ 1/z)= e.1= e. xà -¥ lim (1+ 1/x)x= e. (2). Sulyginę nelyg (1) ir (2), nesvarbu ar į +¥ ar į -¥, riba vienoda.
40. Nykstamų funkc palyginimai.
Duota 2 nyks maž funkc: f(x), jj(x) – n.m.f, xà a lim f(x)= 0, xà a lim j(x)= 0. 1) Jeigu riba xà a lim f(x)/ j(x)= 1, tai f(x) ir j(x) vad ekvivalenčiomis nykst maž funkc. (f(x)~ j(x)). 2) Jei xà a lim f(x)/ j(x)= b¹ 0 (b – baigtinis skaičius), tai funkcijos f(x) ir j(x) yra tos pačios eilės nykst maž funkc. 3) Jeigu xà a lim f(x)/ j(x)= 0, tai f(x) yra aukštesnės eilės n.m.f negu j(x). (f(x)= s j(x)). Jeigu xà a lim f(x)/ j(x)= ¥, tai (j(x)) yra aukštesnės rilės n.m.f negu f(x). (j(x)= s f(x)).
41. Tolydžios funkcijos.
Funkcija y= f(x) vad tolydžia taške x0, jeigu ji yra apigrėžta šiame taške ir jo aplinkoje, be to funkc riba šiame taške sutampa su jos reikšme jame. xà xo lim f(x)= f(x0). (1). Panaudoję funkc ribos apibrėž turėsim, kad funkc f(x) yra tolydi taške x0, jeigu kiekvienam kiek norima mažam skaičiui e> 0, galima rasti tokį skaičių d> 0, kad esant patenkintai sąlygai |x- x0|< d yra patenkinta nelygybė |f(x)- f(x0)|< e. Skirtumas Dx= x- x0 vad argumento pokyčiu, o Dy= f(x)- f(x0) vad funkcijos pokyčiu Dy= f(x0- Dx)- f(x0). Iš pirmos lygybės turėsim, kad xà xo lim f(x) yra lygi xà xo lim
f(x0). Kai xà x0, tai Dx= x- x0à 0. xà xo lim f(x)= xà xo lim f(x0) (2). Iš (2) turėsim xà xo lim f(x)- xà xo lim f(x0)= 0 arba xà xo lim (f(x)- f(x0))= 0, Dxà 0 lim (f(x)+ Dy- f(x0))= 0, Dxà 0 lim Dy= 0. Funkcijos y= f(x) tolydumą taške x0 galime apibrėžti ir taip: Funkcija f(x) yra tolydi taške x0, jeigu šiame taške nykstamai mažą argumento pokytį atitinka nykstamai mažas funkcijos pokytis. Funkcija y= f(x) vvad tolydžia intervale [a, b], jeigu ji tolydi kiekviename šio intervalo taške. Tolydžios intervale [a, b] funkcijos grafikas yra ištisinė nenutrūkstanti kreivė. Tolydžių funkc sąvybės: Jeigu funkcijos f(x) ir j(x) yra tolydžios taške x0, tai ir funkcijos f(x)± j(x); f(x) j(x); f(x)/ j(x) – yra tolydžios taške x0. Įrodymas: jeigu f(x) ir j(x) yra tolydžios taške x0; xà xo lim f(x)= f(x0), xà xo lim j(x)= j(x0). Tada xà xo lim (f(x)+ j(x))= lim f(x)+ lim j(x)= f(x0)+ j(x0). Gavom, kkad f(x)+ j(x), kai xà x0 sutampa su funkcijos reikšme šiame taške f(x0)+ j(x0), todėl funkcija f(x)+ j(x) yra tolydi taške x0. Jeigu funkcija f(x) – tolydi [a, b] ir šio intervalo galuose funkcijos reikšmės yra prišingų žėnklų, tai intervalo vviduje bus bent viena argumento reikšmė, kuriai esant funkcija lygi 0.
42. Funkcijos trūkio taškai.
Kad funkcija f(x) būtų tolydi taške x0, turi egzistuoti riba xà xo lim f(x)= f(x0). Iš ribų teorijos žinome, kad funkcija kokiame tai taške turi ribą, tada kai ji šiame taške turi ribas iš kairės ir dešnės ir jei jos tarpusavyje lygios: f(x0- 0)= f(x0+ 0)= f(x0). Jeigu bent viena iš šios lygybės sąlygų yra nepatenkinta, tai funkcija f(x) taške x0 turi trūkį. Kvalifikuosim trūkio taškus. 1) taškas x0 vad funkc f(x) pirmos rūšies trūkio tašku, jeigu f(x0- 0)¹ f(x0+ 0) (brėž 21). Pirmos rūšies trūkio taške funkc grafikas daro baigtinį šuolį. 2) Taškas x0vad funkc f(x) antros rūšies trūkio tašku, jeigu bent viena vienpusė riba šiame ttaške yra begalinė arba neegzistuoja (brėž 22). 3) Taškas x0 vad funkc f(x) pašalinamuoju trūkio tašku, jeigu f(x0- 0)= f(x0+ 0)¹f(x0) (brėž 23). Šį trūkio tašką pašaliname funkc reikšmę f(x0) pakeisdami riba xà x0 lim f(x).
Turinys.
1. Matricos, jų rūšys, matricų veiksmai.
2. Determinantai, jų apskaičiavimas.
3. Minoras ir adjunktas.
4. Deteminantų skaič skleidžiant juo minorais.
5. Determ sąvybės.
6. Matricos rangas.
7. Atvirkštinė matrica.
8. Tiesinių lygčių sp atvirkšt mat metodu.
9. Kramerio formulės.
10. Gauso metodas.
11. Kronekerio – Kapeli teorema.
12. Teisinių homogen lygčių sistema.
13. Atkarpos dalijimas duotu santykiu.
14. Dviejų vektorių skaliar sandauga.
15. Dviejų vektor vektorinė sandauga.
16. Trijų vektor mišrioji sandauga.
17. Bendroji tiesės lygtis erdvėj R2.
18. Kampas ttarp dviejų tiesių.
19. Taško atstumas iki tiesės.
20. Apskritimas.
21. Elipsė.
22. Hiperbolė.
23. Parabolė.
24. Bendroji plokštumos lygti R3.
25. Taško atstumas iki plokštumos.
26. Tiesės erdvėj R3 kanoninės ir parametrinės lygtys.
27. Kanoninės lygtys tiesės duotos 2 plokštumų susikirtimu.
28. Lygtis tiesės einančios per 2 duotus taškus.
29. Polinė koordinačių sistema.
30. Skaičių seka ir jos riba.
31. Monotoninės ir aprėžtos sekos.
32. Skaičius e.
33. Funkcijos riba taške.
34. Vienpusės ribos.
35. Funkcijos riba begalybėje.
36. Neaprėžtai didėjančios funkcijos. Aprėžtos funkcijos.
37. Nykstančios funkcijos, jų sąvybės.
38. Ribų dėsniai.
39. Neapibrėžtumai.
40. Nykstamų funkcijų palyginimas.
41. Tolydžios funkcijos.
42. Funkcijos trūkio taškai.
