Matematikos istorija
Aukštakalnio pagrindinė mokykla
Matematikos referatas
1 tema: Matematika ir jos istorija
2 tema: Lietuvių liaudies matematika
Atliko: Greta Slavinskaitė, 8g
Laura Damauskaitė, 8g
Utena
Matematika ir jos istorija
Kas yra matematika? Daugelis pasakytu, kad į šį klausimą ne taip jau sunku ir atsakyti. Jie tuoj imtų vardinti, kad matematika – tai aritmetika, algebra, geometrija. Tačiau jeigu paklaustume, kodėl būtent aritmetika ar geometrija yra matematika, jie sutriktų. Tad klausimas, kas yra matematika, nėra toks jau paprastas. O jei taip, tai pamėginkime pažiūrėti kaip aatsakydavo žymiausi visų laikų pasaulio matematikai.
Pagal vieną legendą, senovės graikų matematikas Pitagoras (V a. pr. m. e.) smalsuolį, kuris jį paklausė, kas yra matematika, taip sugėdino: ,,Kalbi graikiškai, o nežinai, kas yra matematika. Matematike, mathema, mathesis reiškia ,,žinojimą”, ,,pažinimą”. Šis žodis neturi kitos reikšmės”. Kitam graikų išminčiui Platonui matematika tilpo geometrijos rėmuose. Gal todėl jis prie savo mokyklos – Akademijos durų ir pakabino reikalavimą: ,,Tegul čionai neįžengia tas, kas nemoka geometrijos”. O ankstyvųjų viduramžių arabų mokslininkams matematika – tai al-džerb iir al-mukabala, t. y., algebra – visai priešinga antikos graikų pažiūroms. Žymus XVII a. prancūzų filosofas ir matematikas R.Dekartas, nusprendęs suvienyti matematikos šakas, taip nusakė jos esmę: ,,Kiekvienas, geriau pagalvojęs, supras, kad matematikai priskiriami tik tie mokslai, kurie nagrinėja arba ttvarką, arba matą; ir visiškai nesvarbu, ar šis matas bus ieškomas skaičiams, figūroms, žvaigždėms, garsams ar kokiam nors kitam dalykui”. Matematinės analizės kūrėjui G.Leibnicui matematika – tai mokslas apie funkcijas. O prancūzų matematikų grupei, pasivadinusiai N.Burbaki vardu, matematika yra ,,mokslas apie matematines struktūras”.
Matome, kad ir mokslo autoritetai menkai tegali mums padėti – vieno amžino, viską apimančio matematikos apibrėžimo nebuvo ir nėra. Kiekvienas žinomas apibrėžimas nusako tą matematikos turinio dalį, kuri tuomet buvo labiausiai nagrinėjama, išryškina tą matematikos pusę, kuri buvo aktualiausia. Laikui bėgant, matematikos turinys keitėsi, tad ir apibrėžimas pasirodydavo esąs per siauras. Pateikti ,,galutinį” matematikos apibrėžimą, vadinasi, apgenėti šio amžinai žaliuojančio ir kerojančio mokslo medžio šakas, iš anksto pasmerkti jį vienpusiam augimui. Ar tik ne tai paskatino žymų vokiečių mmatematiką R.Kurantą pasakyti, kad ,, į klausimą, kas yra matematika, negali duoti protingo atsakymo nei filosofiniai apibendrinimai, nei semantiniai apibrėžimai, nei išsamūs aprašymai. Negalima tiesiogiai atsakyti į klausimą, kas yra muzika arba tapyba. Niekas negali įvertinti šių meno formų, jeigu nejaučia, kas yra ritmas, harmonija ir dvasia muzikoje arba forma, spalva ir kompozicija tapyboje. O matematikoje tiesioginis kontaktas su jos elementais yra dar reikalingesnis”.
Tačiau jei negalime pateikti tikslaus matematikos apibrėžimo, tai dar nereiškia, kad mes iš viso nesugebame skirti šio mmokslo nuo kitų. Pagrindinis matematikos ypatumas slypi jos metode – nuoseklioje abstrakcijoje, logiškai griežtoje aksominėje dedukcijoje ir tolesniame apibendrinime. Be abstrakcijos ir objekto idealizacijos neįmanomas joks mokslas. Tačiau tiktai matematikoje jos yra suabsoliutinamos. Čia vienos matematikos sąvokos yra formuojamos remiantis kitomis, vienas teorijas apibendrina kitos, daug sudėtingesnės. Todėl ir neįmanoma pateikti ,,galutinio” matematikos apibrėžimo, – juk dabar negalima dar pasakyti, kaip atrodys pastatytas ( jei apskritai bus pastatytas ) matematikos rūmas. Tad čia sunku atsekti tas tikrovės reiškinių sritis, kurių atspindžiu gali būti laikoma viena ar kita matematikos sąvoka. Nors pirminių matematikos sąvokų – kvadrato, skritulio, trikampio – pirmavaizdžius dar galime surasti realiame pasaulyje, tačiau kitų prototipus atsekti darosi vis sunkiau. Matematika įgyja sąlygini savarankiškumą ir pati ima kurti savo tyrinėjimų pasaulį, kurį kai kas vadina matematiniu. Jei taip, tai ar kartais matematikai negresia pavojus nukrypti į klystkelius ir tapti tik pačios savęs mokslu? Nuo šio pavojaus ją lyg tvirtos granitinės uolos saugo du Heraklio stulpai – dedukcija ir logika. Juos abu geriausiai gali apibūdinti žodis ,,įrodymas”. Matematikos pagrindų – teoremų, lemų, teiginių – teisingumas yra nustatomas įrodinėjant. Kai matematikas įrodo kokį nors teiginį, tai jis matematikoje įsitvirtina amžiams, jo teisingumo neišklibins nei eksperimentų rezultatai, nei nauji atradimai. Todėl matematikai nnepripažįsta jokių ,,darbinių hipotezių”. Matematikoje ,,darbinė hipotezė” egzistuoja, kol ji yra įrodinėjama, o kai teiginys jau įrodytas, jis iš ,,darbinės hipotezės” virsta visada ir visur teisinga teorema. Todėl matematika dažnai yra vadinama griežčiausiu, tiksliausiu, logiškai pagrįsčiausiu mokslu. Kartais matematikų reikalavimas visur laikytis loginio tikslumo kai kam atrodo tiesiog liguistas atsargumas ir yra įvairių anekdotų šaltinis. Pasakojama kad kartą, keliaudami po Škotiją, trys draugai pamatė pievoje ganantis juodą avį. Astronomas sušuko: ,,Žiūrėkit, Škotijoj visos avys juodos”. Fizikas jį pataisė: ,,Škotijoj kai kurios avys juodos”. O matematikas pareiškė: ,,Galima teigti, kad Škotijoje yra bent viena pieva, kurioje ganosi bent viena avis, kurios bent vienas šonas yra juodas”. Tačiau kaip nebūsi atsargus, jei žinai, kad racionalinių skaičių ( sveikų skaičių ir jų santykių ) yra tiek pat, kiek ir natūriniu (sveikų teigiamų), nors atrodytų, jog racionalinių yra nepalyginti daugiau, o su skriestuvu ir liniuote galima nubrėžti taisyklingą septyniolikakampį, bet negalimą nubrėžti taisyklingo devyniolikakampio. Tad ne veltui logika yra vienas tų stulpų, ant kurių laikosi isas matematikos rūmas.
Tačiau jei norime ką nors įrodyti, turime remtis kokiais nors žinomais teiginiais. Priešingu atveju, matematika primins girnas, į kurias kažkas pripylė įvairiausio niekalo ir tikisi gauti puikiausių miltų. Tad matematinėje teorijoje turime ištisą teiginių hierarchiją, kuri bbaigiasi pirminiais teiginiais, vadinamomis aksiomomis, kurių įrodinėti jau nereikia. Aksioma – tai teorema, turinti ,,alibi”. Aksiomos yra tas cementas, kuris sujungia į vieną visumą pagrindinius matematikos objektus, sudarydamos tą pagrindą, ant kurio iš teoremų kuriama matematinė teorija. Pirmasis pabandė taip sudėlioti visą matematikos (tiksliau, geometrijos) rūmą antikos matematikas Euklidas (III a. pr. m. e.). Jo sukurti ,,Elementai” yra geriausias dedukcinio metodo įkūnijimo pavyzdys. Juose pirmiausia apibrėžiamos pačios pagrindinės matematikos sąvokos, t. y., nusakomi tie kertiniai akmenys, kurie bus įmūryti matematikos pamate. Vėliau aksiomomis ir postulatais yra nusakomi ryšiai tarp šių bendriausių matematinių objektų, o po to jau įrodinėjamos teoremos ir kuriamas matematikos pastatas.
Tačiau kiek reikia aksiomų, kad galėtume pastatyti šį rūmą? Kiekvienas pasakys, kad geriausia būtų, jei kiekvieną suformuluotą teiginį galima būtų arba įrodyti, arba paneigti, t.y. kad mūsų dedukcinė teorija, kai iš bendrų priimtų teiginių išvedami daliniai, būtų pilna. Bet neužmirškime, kad matematika eina apibendrinimo keliu, – vienas sąvokas pakeičia abstraktesnės, vienus rezultatus nurungia kiti, bendresni. Tad jei dedukcinė teorija yra pakankamai sudėtinga ir išplėtota ( o tokia jau yra aritmetika ), tai ji nėra pilna. Ir iš jos aksiomų negalima išvesti visų tos teorijos teiginių. Tai 1931 m. įrodė austrų logikas K.Gedelis. Tiesa, tokiu atveju aksiomas galima
pertvarkyti, praplėsti taip, kad ankščiau neišvedamus teiginius būtų galima iš aksiomų išvesti. Tačiau ankščiau ar vėliau vėl atsiras neišvedamų teiginių ir vėl teks pertvarkyti aksiomų sistemą. Taip visą laiką. O kadangi begalinės aksiomų sistemos negali būti, tai negalimas visiškas mąstymo proceso matematikoje formalizavimas. Vadinasi, matematikos rūmą, kurį galima įsivaizduoti pastatytą iš blokų – matematinių dedukcinių teorijų, galima ir plėsti, ir statyti vis aukštesnį.
Nusprendusio tapti matematikos architektu laukia keletas vilkduobių. Į vieną jų įpulsime, jei pasirinkta aksiomų sistema bus prieštaringa, t. yy., jei remdamiesi ja įrodysime du vienas kitam prieštaraujančius teiginius. Taip pat suklupsime, kai į aksiomų tarpą įtrauksime teiginį, kurį galima įrodyti remiantis likusiomis aksiomomis, tiksliau sakant, jei aksiomą laikysime potencialią teoremą. Ilgai matematikai abejojo, ar V.Euklido postulatas, teigiantis, kad per tašką, esantį šalia duotos tiesės, tegalima nubrėžti tik vieną lygiagrečią jai tiesę, nėra įrodomas teiginys. Mat dauguma Euklido aksiomų yra lyg ir savaime aiškios, be to, jų formuluotės visai paprastos. V.Euklido postulatas ir savo matematiniu turiniu, ir formulavimu skiriasi nnuo kitų aksiomų bei postulatų, kaip diena nuo nakties. Padėtis pasikeitė tik XIX a., kai matematikų N.Lobačevskio, J.Bojajo ir K.Gauso pastangomis buvo sukurta neeuklidinė geometrija, kurioje V.Euklido postulatas pakeistas priešingu teiginiu. Matematikoje pasirodė ,,beprotiška” teorija, kuri vis dėlto buvo griežtai llogiškas euklidinės geometrijos apibendrinimas ir gan greit surado pritaikymą A.Einšteino reliatyvumo teorijoje. Pasirodė, kad euklidinė geometrija yra neeuklidinės geometrijos dalinis atvejis. Kartu buvo įrodyta, kad Euklidas lieka teisus – V postulatas išties nepriklauso nuo kitų aksiomų bei postulatų, t.y., pats yra aksioma. Gal todėl Euklido ,,Elementai” tapo tokie populiarūs: išradus spaudą, po biblijos jie buvo labiausiai leidžiamas kūrinys. Net šiandien mokyklose mokomasi iš supaprastinto šio veikalo varianto. Teisingai pasakė amerikiečių matematikas T.Hysas ( 1861-1940 ) : ,,Euklido veikalas gyvens ir po to, kai visi mūsų dienų vadovėliai bus pakeisti kitais ir užmiršti. Tai vienas žymiausių antikos paminklų”.
Šiuo savo kūriniu Euklidas pastatė paminklą ne tik dedukciniam metodui, bet ir matematikai kaip teoriniam mokslui. Todėl senovės Graikija, A.Einšteino žodžiais tariant, ,,yra Vakarų mmokslo lopšys”. Tiesa, kai kas gali paprieštarauti, jog daugelis matematinių tiesų buvo atrastos senovės Babilone ir Egipte visų tūkstantmečiu anksčiau. Tad kas yra matematikos kūrėjai – senovės babiloniečiai ar graikai? Neskubėkime atsakyti į šį klausimą. Senovės Babilonas buvo Rytų valstybė, kur viešpatavo tironija, tiksliau sakant, tai tipiška bronzos amžiaus valstybė. O į geležies amžių įžengusioje senovės Graikijoje susikūrė demokratinė santvarka, tiesa, labai savotiška, – demokratija laisviems piliečiams ir vergovė vergams. Atrodytų, skirtumas nedidelis, tačiau jo pakako. Juk Rytų valstybėse ( ssenovės Kinijoje, Egipte, Indijoje ir t.t. ) žmogus buvo arba beteisis, nieko vertas, dulkėse šliaužiojąs kirminas arba ,,pusdievis”, kuris su savo pavaldiniais galėjo elgtis kaip išmanė. O jei taip, tai ar gali paprastas mirtingasis būti kūrėju, mokslininku? Aišku, kad ne! Geriausiu atveju jis gali būti tik savotiškas tarpininkas tarp dievų ir žmonių, dievų išrinktasis, kuriam kartkartėmis kaip dovana, yra duodama nors idėja ar mintis. Todėl mokslas – šventas dalykas, ir juo užsiimti teisę turėjo tik žyniai; jų pareiga buvo ir bendrauti su dievais. O jei visi moksliniai atradimai yra tik dievų dovana, tai ar galima tokiu atveju reikalauti įrodymų, pagrindimų. Senovės Babilono žmonėms toks reikalavimas būtų buvęs tolygus šventvagystei, dievų paniekinimui. Todėl jų mokslinės žinios labiau priminė įvairių dogmų arba taisyklių rinkinį. Čia nerasime nė vieno įrodymo, o tik nurodymus.
Antikos Graikijoje buvo visai kas kita. Susikūrusi demokratinė santvarka suteikė laisviems piliečiams teisę abejoti, svarstyti, samprotauti, vadinasi, turėti savo nuomonę. Susiklosčiusi tradicija viską įrodyti pasireikšti ir moksle, tuo pačiu ir matematikoje, kuri buvo perimta iš senovės babiloniečių. Taip atsirado mokslinė diskusija, ji ir pagimdė tą ,,stebuklą”- teorinį mokslą, kurį, J.Berneto žodžiais, galima nusakyti kaip ,,graikišką mąstymą apie pasaulį”. Matematika susiformavo kaip dedukcinė sistema. N.Burbakis sakė: ,,Senovės Graikijoje ,,matematika” reiškė ,,įrodyti”. JJi savo apogėjų pasiekė Euklido ,,Elementuose”.
Tačiau, kurdamas savo ,,Elementus”, ir išmintingasis Euklidas vienoje vietoje suklupo. Ir kaip tik ten, kur stengėsi apibrėžti pagrindinius matematikos objektus. Čia jam nepavyko – visi šie apibrėžimai yra neefektyvūs. Štai tašką jis taip nusako: ,,Taškas yra tai, kas neturi dalių”. Tačiau juk ir drąsa bei meilė neturi dalių. Nejaugi ir jie gali pretenduoti į matematinio taško vietą? Todėl dabar priimta ne apibrėžti svarbiausius matematinius objektus, o tik aksiomomis pagrindinius ryšius tarp jų. Vokiečių matematikas D.Gilbertas prasitarė: ,,Jei mes sąvokas ,,erdvė”, ,,plokštuma”, ,,tiesė” pakeisime žodžiais ,,stalas”, ,,alaus ąsotis”, ,,bokalas”, tai matematika nuo jos nepasikeis”. Šiame posakyje jaučiama Getingeno aludžių, kur D.Gilbertas mėgdavo pasėdėti su savo mokiniais, dvasia. Ar ne todėl ir sakoma, kad matematika pati kuria nagrinėjamą dalyką, vadinamąjį matematinį pasaulį, kuris iš pirmo žvilgsnio mažą ką bendro turi su mūsų realiu pasauliu. Tačiau kaip paradoksalu: šis, rodos, nuo realios tikrovės labiausiai nutolęs mokslas yra pati veiksmingiausia priemonė pažinti jos reiškinius. Norėdami matematiškai aprašyti tyrinėjama reiškinį, mes pateikiame jo matematinį modelį. Tada pagrindinės matematinės sąvokos yra sukonkretinamos, ir mes nustatome formules, nusakančias mūsų nagrinėjamą reiškinį. Kitą vertus, rastos tuoj tampa savarankiškomis ir gali būti pritaikytos tirti kitus reiškinius. Vokiečių fizikas H.Hercas pasakė: ,,Negalima studijuoti tos nnuostabios teorijos nejaučiant kartkartėmis, jog matematinėse formulėse slypi savitas gyvenimas, jog jos protingesnės už mus, protingesnės už jų autorių ir duoda daugiau, negu mes į jas buvome įdėję”.
Bet jei matematika tapo universaliausia tikrovės pažinimo priemone, tai gal ji jau nesivysto, sustingo, tapo dogmatišku mokslu. Pats paviršutiniškiausias žvilgsnis į matematikų darbus sugriauna šią nuomonę. Visas žinias, kurias mes sukaupėme, galime įsivaizduoti kaip šviesos dėmę tamsiame nežinos pasaulyje. Kuo daugiau žinių, tuo didesnė ši dėmė. Tačiau jau Sokratas pastebėjo, jog tuo pat metu didesnis darosi ir šviesos (žinojimo) bei tamsos (nežinomybės) sąlytis. Vadinasi, daugėja ir problemų, kurias reikia išspręsti. Šį fenomeną XIX a. rusų matematikas P.Čebyševas taip apibūdino: ,,Matematikos istorijoje galima išskirti tris etapus. Iš pradžių matematines problemas pateikdavo dievai (pagal vieną legendą, antikoje garsų kubo padvigubinimo uždavinį pirmąkart suformulavo Delfų orakulas), vėliau tokie pusdieviai, kaip P.Ferma, B.Paskalis, I.Niutonas, o dabar juos formuluoja praktika”. Šie žodžiai ypač aktualūs pasidarė šiandien. ,,Mokslų karalienė” ( taip praeitame amžiuje matematiką pavadino vienas vienas žymiausių matematikų K.Gausas ) skirtingai nuo kitų dabarties karalienių ( ir karalių ), kurie tik valdo, bet nevadovauja, ir valdo, ir vadovauja. Ji turi tiek daug darbo, kad dabar ją imta vadinti mokslų tarnaite. Nerasime tokios mokslo šakos, kuri dabar nesinaudotų
matematikos paslaugomis. Ir kažin ar šiandien galėtume įsivaizduoti savo gyvenimą be šios karalienės ir tarnaitės. Visos matematikos šakos yra glaudžiai susijusios, susipynusios. Šiuolaikinė formuluojama matematika aibių teorijos sąvokomis ir pagrįsta aibių teorijos aksiomomis. Tos matematikos šakos, kurios naudojasi tolydumu, pirmiausia mat. analizė ir geometrija, grindžiamos topologija. Vektorinių erdvių teorija naudojasi tiesinės algebros metodais ir kartu sudaro mat. analizės (ypač funkcionalinės analizės) geometrinės kalbos pagrindą. Tikimybių teorija remiasi mato teorija ir funkcionaline analize. Skaičių teorijos šakos skiriamos pagal tai, kokie metodai jjose vyrauja. Analizinė skaičių teorija naudojasi analizės, algebrinė – algebros metodais. Alg. geometrija, susiformavusi mat. analizėje iš elipsinių integralų ir elipsinių funkcijų, Abelio integralų ir Rymano paviršių tyrimo, naudojasi alg. tipologijos, homologinės algebros ir komutatyviosios algebros metodais. Homologinė algebra išaugo iš alg. tipologijos.
Kitiems mokslams matematika yra metodas, padedantis formuluoti ir spręsti jų problemas. Glaudžiausius ir seniausius ryšius ji turi su mechanika, astronomija ir fizika. Tie ryšiai abipusiai: mechanika, astronomija ir fizika ne tik naudojasi matematikos rezultatais, bet ir sudaro pprielaidas sukurti tuos ar kitus tikrovės mat. modelius. Pvz., vienas iš svarb. stimulų dif ir integral. skaičiavimui buvo mechanikos poreikiai. Daugelio mechanikos ir fizikos problemų sprendimas pakeičiamas atitinkamų dif. lygčių nagrinėjimu. Reliatyvumo teorija mat. požiūriu yra specialiųjų Rymano daugdarų geometrija. AAtomo fizika, kristalografija naudojasi grupių teorija. Statistinė fizika ir kvantinė lauko teorija siejasi su tikimybių teorija ir mat. statistika. Skaičiavimo matematikos plėtotę skatino technikos mokslai, kuriems aktualu gauti skatinį uždavinio sprendinį. Dėl technikos poreikių susiformavo variacinis skaičiavimas. Vėliau jo pagrindu rutuliojosi optimalaus valdymo teorija. Dauguma dif. lygčių klasių buvo ištirtos, sprendžiant technikos problemas. Matematikos metodais (daugiausia tikimybių teorija ir mat. statistika) naudojamasi biologijoje, medicinoje, socialiniuose ekonominiuose ir humanitariniuose moksluose. Elektroninių skaičiavimo mašinų sukūrimas ypač išplėtė matematikos naudojimo kt. Moksluose ir liaudies ūkyje galimybes.
Pirmosios matematikos sąvokos atsirado pirmykštės bendruomenės laikais iš praktinės žmonių veiklos poreikių. Žmonių sąmonėje formavosi geometrinių figūrų vaizdiniai, imta lyginti vienarūšius dydžius, matuoti, skaičiuoti. Kartu su kitomis gamtos žiniomis kaupėsi pirmosios geometrijos ir aritmetikos žinios.
Manoma, kad mmatematikos terminas atsirado senovės Graikijoje VI a. pr. m. e. Tuo laikotarpiu pradėta sistemingai naudoti loginius matematinių faktų įrodymus; matematika tapo savarankišku mokslu. Pitagoras ir jo m-la išplėtojo pirmųjų matematikos teorijų – planimetrijos ir skaičių teorijos – pradmenis. Nagrinėjant skaičių dalumą, pradėta vartoti pirminio skaičiaus ir tarpusavyje pirminių skaičių sąvokas. Pitagorininkai apibrėžė ir tyrė aritmetinį, geometrinį ir harmoninį vidurkiu, sukūrė metodą, kaip gauti neribotą kiekį pitagorinių skaičių. V a. pr. m. e. pitagorininkai grynai deduktyviai įrodė, kad kvadrato kraštinė ir įįstrižainė nebendramatės, t.y. kad racionaliųjų skaičių nepakanka geometriniams dydžiams matuoti. IV a. pr. m. e. I pusėje jau buvo žinomi visi 5 taisyklingieji daugiasieniai: tetraedras, kubas, dodekaedras (atrasti dar pitagorininkų), oktaedras ir ikosaedras (atrasti Teteto, 410-368 pr. m. e.). Eudoksas sukūrė proporcijų teoriją, iš esmės pakankamą realiojo skaičiaus sąvokai pagrįsti. IV a. pr. m. e. Euklidas ,,Pradmenyse” susistemino ir deduktyviai išdėstė antikinę matematiką (geometriją, skaičių teorijos, ir algebros elementus, proporcijų teoriją). Šiame veikale buvo suformuluotas 2 skaičių bendro didž. daliklio radimo metodas (Euklido algoritmas), įrodyta, kad pirminių skaičių yra begalo daug, sudaryta geom. Progresijos baigtinio skaičiaus narių sumos formulė. III a. pr. m. e. Archimedas, toliau plėtodamas savo pirmtakų, pirmiausia Eudokso, idėjas, patobulino plotų ir tūrių skaičiavimo užuomazga. Apolonijas Pergietis sistemingai išdėstė kūgio pjūvių teoriją; ja vėliau naudojosi dangaus mechanika.
Senovės kinai naudojosi apytiksliais skaičiavimo metodais ir juos tobulino. V a. Dzu Čungdži 10-7 tikslumu nustatė skaičių . V-VI a. indai pradėjo vartoti nulį ir skaitmenis, kurie dabar vadinami arabiškaisiais, dešimtainę pozicinę skaičių numeraciją, iracionaliuosius ir neigiamuosius skaičius, sinuso ir kosinuso linijas; buvo žinoma kvadratinių lygčių sprendimo taisyklė, veiksmai su nuliu; nulis tapo skaičiumi. Išsaugoję sen. Graikų matematikos palikimą ir perėmę Indijos matematikų laimėjimus, IX-XV a. matematiką plėtojo arabų matematikai. Chorezmis pparašė pimrmajį alg. vadovėlį, sudarė veiksmų dešimtainėje pozicinėje sistemoje taisykles. Al Batanijus pradėjo vartoti sinusą, tangentą ir kotangentą, Abu’l Vefa vartojo visas trigonometrines f-jas ir jų tarpusavio išraiškas, sudarė 60-4 tikslumo sinusų ir tangentų lenteles, suformulavo sferinį trikampių sinusų teoremą. Omaras Chajamas suklasifikavo ir geometriškai išsprendė kubines lygtis. Nasyras ad Dinas Tusis sukūrė sferinę trigonometrija, Al Kašijus – dešimtainių trupmenų aritmetiką, nustatė binominių koeficientų sąryšį, 10-17 tikslumu apskaičiavo skaičiaus reikšmę. XII a. indų matematikas Bakara sudarė veiksmų su neigiamais skaičiais taisykles.
XII a. V.Europoje buvo išversta į lot. kalbą graikų ir arabų matematikų veikalų (Leonardas Pilietis, Italija). Iracionalieji skaičiai buvo traktuojami kaip nebendramačių dydžių santykiai (T. Bradvarynas, Anglija; N. Ormas, Prancūzija); buvo vartojami trupmeniniai, nulinis ir neigiamas laipsnio rodikliai. XVI a. I pusėje S.Feras, N.Tartalija, J.Kardanas ir L.Feraris (visi Italijoj) išsprendę III ir IV laipsnio lygtis. 1572 R.Bombelis (Italija) išplėtojo kompleksinių skaičių teoriją. 1585 S.Ševinas (Olandija) pradėjo vartoti dešimtaines trupmenas, 1591 F.Vietas (Prancūzija) – raidinę simboliką; algebra tapo simboline. 1614 Dž. Neperis ir 1617 H.Brigsas (abu Anglai) sudarė pirmąsias logaritmų lenteles.
XVII a. mašininė gamyba sąlygojo teorinės mechanikos plėtotę, judėjimo ir kitimo moksl. tyrimą. 1558 V.Europoje buvo išspausdinti kai kurie Archimedo veikalai. Nykstamųjų dydžių analizės pradmenų yra J.Keplerio darbuose. Mechanikos poreikiai sskatino tolesnę matematikos raidą. B.Kavaljerio (Italija) veikale ,,Geometrija” (1635) susisteminti nykstamųjų analizės faktai. Jo analizė suprastinta, pagrįsta scholastiniu nedalomųjų vaidmeniu. ,,Kavaljerio principo” esmę sudaro tai, kad du vienodo aukščio kūnai yra lygiapločiai, t.y. integravimas geom. metodu. R.Dekartas (Prancūzija) sukūrė koordinačių metodą (,,Geometrija”,1637), jungiantį algebrą ir geometriją; šiuo metodu formavo analizinę geometriją, pradėjo vartoti kintamąjį dydį. Dž.Volio (Anglija) darbe ,,Neaprėžtųjų aritmetika”(1656) išdėstytas naudojimasis alg. metodu. P.Ferma (Prancūzija) suformulavo kai kurias skaičių teorijas problemas; naudodami azartinių lošimų modeliu draudimo klausimams nagrinėti, P.Ferma, B.Paskalis (Prancūzija) ir K.Heigensas (Olandija) sukūrė tikimybių teorijos elementų. XVII a. 7-9 d-metyje I.Niutonas (Anglija) ir G.Leibnicas (Vokietija) nepriklausomai vienas nuo kito sukūrė diferencialinio ir integralinio skaičiavimo metodą.1712 B.Teiloras (D.Britanija) sudarė bet kokios diferencijuojamos f-jos reiškimo laipsnine eilute formulę. XVIII a. formavosi matematikos analizės šakos: dif. lygčių teorija, variacinis skaičiavimas (Johanas ir Jakobas Bernuliai, Šveicarija; Ž. d’Alamberas, Prancūzija; L.Oileris), mat. fizikos lygčių teorija (D.Bernulis, d’Alamberas). Svarbūs K.Klero (Prancūzija) darbai iš dif. geometrijos. Formavosi realiojo ir kompleksinio kintamojo f-jų teorija (Oileris). Tirdamas alg. lygčių išsprendžiamumą, Ž. Lagranžas (Prancūzija) nagrinėjo lygties šaknų racionaliąsias f-jas; tie darbai sudarė grupių ir kūnų teorijos prielaidas. Oilerio, Lagranžo, A. Ležandro (Prancūzija) darbai formavo skaičių teoriją.
XIX a. išsiplėtė matematikos pritaikymo sritys; ypač ja ėmė remtis fizika, astronomija.
Nors matematikos ryšys su praktika nenutrūko, tačiau kaip niekad iki tol buvo sprendžiamos vidinės matematikos problemos – matematikos sąvokų (pirmiausia mat. analizės) patikslinimas ir įrodymų griežtumo klausimai. Šilumos laidumo matematinės teorijos kūrėjas Ž. Furjė (Prancūzija) pradėjo plačiai vartoti trigonometrines eilutes; sinusais ir kosinusais reiškė bet kokia f-ją (tolydžios kreivės lanką arba tokių lankų kombinaciją); iškėlė f-jos sąvokos klausimą. Svarbūs O.Koši (Prancūzija) kompleksinio kintamojo f-jų teorijos (pastarąją jis išplėtė į savarankišką matematikos šaką) ir mat. analizės pagrindimo darbai. Koši griežtai logiškai ssuformulavo d’Alambero ribos sąvoką, įrodė kai kurių dif. lygčių sprendinių egzistavo teoremas, apibrėžė eilutės sumos, f-jos tolydumo sąvokas. 1799 K. Gausas (Vokietija) įrodė algebros pagr. teoremą, ,,Aritmetiniuose tyrinėjimuose” (1801) išplėtė algebros teorijos naudojimo galimybes, rutuliojo algebrinę skaičių teoriją. 1824 N.Abelis (Norvegas) įrodė, kad aukštesnio nei 4 laipsnio alg. lygtys bendruoju atveju neišsprendžiamos radikalais. E. Galua (Prancūzija) rado būtinas ir pakankamas sąlygas alg. lygtims išspręsti radikalais, pastebėjęs, kad kiekviena alg. lygtis susijusi su keitinių grupe, kurios savybės nusako išsprendžiamumą; kartu sukūrė ggrupių teorijos pradus. 1826-1830 N. Lobačevskis (Rusija) ir atskirai 1832 J. Bojajus (Vengrija) sukūrė Lobačevskio neeuklidinę geometriją (ji buvo pripažinta ne iš karto). K. Jakobio darbai iš dinamikos dif. lygčių teorijos prielaidas V. R. Hamiltonui (Airija) pritaikyti variacinio skaičiavimo metodus ooptikoje ir dinamikoje; jis naudojosi integralo variacija fizikos ir mechanikos dėsniams atrasti. Rutuliuodamas skaičių teoriją, P. Dirichlė (Vokietija) parodė analizinių f-jų svarbą teorijai; tirdamas naudojosi Dirichlė eilutėmis.
XIX a. II pusėje svarbių darbų atliko B. Rymanas (Vokietija). 1851 Rymanas išplėtė konforminių atvaizdavimų teoriją, pradėjo vartoti Rymano paviršiaus sąvoka daugiareikšmėmis f-joms tirti. Remdamasis šia sąvoka, jis atskleidė tipologijos svarbą mat. analizėje. Rymanas nustatė Furjė eilučių konvergavimo kriterijų, patikslino f-jos sąvoką, 1854 apibrėžė erdvę kaip bet kokio matavimo tipologinę daugdarą, kurios metrika nusakoma kvadratine dif. forma, ir sukūrė tokių erdvių geometrijas – Rymano geometrijas ir Rymano neeuklidinę geometriją. Tuo pačiu metu buvo sukurta n-mačių erdvių geometrija (H. Grasmanas, Vokietija; A. Keilis, D.Britanija). Keilio, Dž. Silvesterio (D.Britanija) išplėtota matricų ir algebrinių invariantų teorija, Hamiltono kkvaternionų teorija. Naudodami algebros metodus logikos uždaviniams spręsti, Dž. Būlis ir O. de organas (D.Britanija) sukūrė matematikos logikos pradmenis. Gretindamas įvairias iki tol žinomas geometrijas (euklidinę, projektyvinę, Lobačevskio), 1872 F.Kleinas (Vokietija) nustatė, kad kiekvieną geometrijos šaką galima interpretuoti kaip atitinkamos transformacijų grupės invariantų teoriją. Algebros ir geometrijos sandūroje S. Li (Norvegija) ištyrė tolidžiųjų transformacijų grupes ir jų invariantus, pagal jas klasifikavo geometriją, mechaniką ir dif. lygčių teoriją; bendrieji tolidžiųjų transformacijų grupių teorijos principai sudarė tolidžiųjų grupių teorijos pagrindus. Apie 1870 RR. Dėdekindas, K. Vejerštrasas ir G. Kantoras nepriklausomai vienas nuo kito sukūrė griežtas realiųjų skaičių teorijas. Vejerštrasas išaiškino tolygaus konvergavimo sąvoką. 1871-89 Dėdekindas, J. Zolotariovas (Rusija) ir L. Kronekeris (Vokietija) nepriklausomai vienas nuo kito sukūrė dalumo bendruose alg. skaičių kūnuose teoriją. 1888 Dėdekindas suformulavo aritmetikos aksiomatiką, Dž. Peanas (Italija) – aksominį realiųjų vektorinių erdvių apibrėžimą. D. Hilbertas (Vokietija) ,,Geometrijos pagrinduose” (1899) išdėstė geometrijos aksiomų sistemą, kurios pavyzdžiu buvo aksiominamos kitos matematikos šakos.
Kantoro aibių teorijos pagrindu XIX a. pab. – XX a. pr. buvo rutuliojama realiojo kintamojo f-jų, mato ir integralo teorijos (E. Borelis, R. Beras, A. Lebedas, K. Žordas, Prancūzija; U. Dinis, Italija). Toliau plėtojama analizinių f-jų teorija, diferencialinių ir integralinių lygčių teorija ir mat. fizikos lygtys (A. Puankarė, E. Pikaras, Ž. Adamaras, Prancūzija; I. Fredholmas, Švedija; A. Liapunovas, Rusija). Visa tai sudarė prielaidas sukurti funkcionalinei analizei (Gilbertas; M. Frešė, Prancūzija; F. Risas, Vengrija; S. Banachas, Lenkija). Algebra iš mokslo apie lygčių sprendimą pasidarė mokslu, tiriančiu bet kokių elementų algebros operacijas. Ši naujoji algebra išdėstyta E. Šteinico (Vokietija) ,,Algebrinėje kūnų teorijoje” (1910).
Ieškodamas priemonių aibių teorijos prieštaravimų sukeltai matematikos krizei įveikti, 1908 E. Cermelas (Vokietija) sukūrė pirmą aibių teorijos aksiomų sistemą. 1921- 22 ją papildė T. Skolemas (Norvegija) ir A. FFrenkelis (Vokietija). Vėliau ją tobulino Dž. fon Noimanas (JAV), P. Beraisas (Šveicarija) ir K. Gėdelis (Austrija). Būtinumas pagrįsti aibių teoriją (kartu ir visą matematiką) reikalavo kokybiškai naujo logikos išplėtojimo. Logikos algebros ir G. Frėgės (Vokietija) bei Peano formalizuotos kalbos pagrindu susiformavo matematinė logika. Remdamasis formalizuota aksiomų sistema, Gilbertas norėjo įrodyti aritmetikos neprieštaringumą, 1931 Gėdelis įrodė, kad aksiomų sistemos neprieštaringumą galima įrodyti tik platesnės teorijos apimtyje ir kad kiekviena pakankamai plati aksiomų sistema yra nepilna. Šie rezultatai atskleidė aksominio metodo ribotumą.
Statistinės fizikos ir mechanikos plėtotė XX a. pr. praplėtė naudojimąsi tikimybių teorija, padėjo susiformuoti matematinei statistikai ( P. Čebyšovas, A. Markovas, Liapunovas, Rusija). Išsiplėtė skaitiniai mat. analizės metodai, susiformavo skaičiavimo matematika. N. Luzinas (TSRS) ištobulino deskriotyvinę f-jų teoriją. Svarbūs A. Chinčino, P. Urysono, N. Bari, M. Lavrentjevo (TSRS) f-jų teorijos darbai. Remdamasis tenorinio skaičiavimo, arba absoliutinio dif. skaičiavimo, pradais (G. Ričis-Kurbastras, T. Levis-Čevita, Italija), H.Veilis (Vokietija) išrutuliojo afininę Rymano geometriją; E. Kartanas (Prancūzija), naudodamasis holominėmis grupėmis, sudarė geometrijų klasifikaciją, į kurią, kaip atskiri atvejai, įėjo Kleino ir Rymano geometrijos. Remdamasis Riso, V. Jango (D.Britanija), J. Radono (Vokietija), Frešės, K. Karateodorio (Vokietija), P. Danielio (D.Britanija) mato ir integralo teorijos darbais, 1933 A. Kolmogorovas (TSRS) tikimybių teorijos aksiomatiką. Analizinės skaičių teorijos trigonometrinių ssumų metodu 1937 I. Vinogradovas (TSRS) išsprendė klasiknę Goldbacho problemą.
Šiuolaikinės matematikos plėtotę lemia matematikos vidinės problemos ir kt. mokslų poreikiai. Matematikų darbus koordinuoja Tarptautinė matematikų sąjunga(įk. 1952). Rengiami pasauliniai matematikų kongresai. TSRS matematikos tirymai sukoncertuoti TSRS MA ir sąj. Respublikų mokslų akademijų in-tuose ir aukštesniųjų m-lų f-tuose ir katedrose(Matematikos mokslo įstaigos).
Natūrinio skaičiaus sąvoka, prireikus skaičiuoti, atsirado ankstyviausiose žmonių visuomenės vystymosi pakopose, daug pirmiau, negu trupmeninių ir neigiamų skaičių sąvokos. Natūriniais vadinami skaičiai: vienas, du, trys, keturi, penki, šeši ir t.t. Šiuolaikinis žmogus susipažįsta su jais, dar būdamas ikimokyklinio amžiaus. Ir vis tiktai, nežiūrint savo įprastumo ir kasdieniškumo, natūriniai skaičiai pasižymi daugeliu savybių, toli gražu ne visiems žinomų. Yra ištisas mokslas- skaičių teorija, – kuris tiria juos. Šis mokslas turi įdomią ypatybę: jo uždaviniai atrodo paprasti ir suprantami; apie jo rezultatus galima papasakoti kiekvienam pakankamai raštingam žmogui. Bet uždavinių sprendimas, rezultatų gavimo būdai dažnai labai sunkūs ir kartais neįkandami net geriausiems matematikams. Ne veltui žymiausias vokiečių matematikas Gausas (1777-1855) pasakė, kad aritmetika-matematikos valdovė. Žinoma, jis turėjo galvoje ne elementariąją aritmetiką, o būtent skaičių teoriją, kitaip vadinamą aukštąja aritmetika, kurios tolesniam vystymuisi didelės įtakos turėjo paties Gauso darbai.
Natūrinių skaičių be galo daug: jų tarpe nėra didžiausiojo. Mums tai atrodo aiškiu dalyku. Iš
tikrųjų, kokį didelį bepaimtume skaičių, pridėję prie jo vienetą, mes gausime dar didesnį skaičių. Tai, jog skaičių seka yra begalinė, sudaro nemažą sunkumų, logiškai pagrindžiant aritmetiką.
Natūrinių skaičių – skaičių, kurie naudojami daiktų skaičiavimui,- seka prasideda nuo vieneto, o ne nuo nulio. Nulis įvedamas karu su neigiamaisiais skaičiais tam, kad būtų galima atimti ir tais atvejais, kada atėminys lygus turiniui arba didesnis už jį. Teigiamieji sveikieji, neigiamieji sveikieji skaičiai ir nulis sudaro sistemą sveikųjų skaičių, kurių veiksmų pagrindinės taisyklės nagrinėjamos mmokyklinio algebros kurso pradžioje.
Pirminiais skaičiais domėjosi geriausieji rusų matematikai: Čebyšovas, Zolotariovas ir kiti. Dvidešimtajame amžiuje visų didžiausių, visų puikiausių rezultatų šioje srityje pasiekė tarybiniai matematikai L. Šnirelmanas ir ypač akademikas I. Vinogradovas.
Pirmykščiam žmogui skaičiuoti beveik netekdavo. Bet mes-šiuolaikiniai žmonės-skaičiais naudojamės beveik kiekviename žinksnyje. Mes turime mokėti teisingai pasakyti ir užrašyti bet kurį skaičių, koks didelis jis bebūtų. Jeigu kiekvienas skaičius turėtu savo atskirą vardą ir būtų raštu žymimas atskiru ženklu, tai įsiminti visų šių žodžių ir ženklų niekas nesugebėtų. KKaipgi mes susidorojame su šiuo uždaviniu? Mus gelbsti gera žymėjimo sistema. Pavadinimų ir ženklų visuma, padedanti užrašyti bet kurį skaičių ir pavadinti jį, vadinama skaičiavimo sistema, numeracija arba skaičiuote. Skaičių užrašimui naudojame dešimt skirtingų ženklų. Devyni iš jų žymi pirmuosius ddevynis natūrinius skaičius (1,2,3,4,5,6,5,7,8,9), dešimtasis nežymi jokio skaičiaus: jis yra tiesiog skirtis skaičių žymėjime. Šis ženklas vadinamas nuliu ir žymimas 0.
Taigi turime devynis ženklelius pirmiesiems devyniems skaičiams žymėti ir dešimtąjį ženklelį-nulį-,,pozicinę skirtį”. Šie ženkleliai vadinami skaitmenimis.
Kaipgi, naudojant tik dešimt skaitmenų, galima užrašyti sveikąjį skaičių? Pagalvokime iš pradžių, kaip skaičiuotume didelį vienodų daiktų, sakysime, degtukų kiekį. Iš pradžių sudėliotume daiktus į krūveles po dešimt. Gautume tam tikrą dešimčių skaičių(ir, gal būt, liktų keletas daiktų, nepatekusių į pilnąsias dešimtis). Toliau tektų suskaičiuoti krūveles (dešimtis). Jeigu krūvelių (dešimčių) būtų labai daug, jas sugrupuotume irgi dešimtimis ir t.t.
Tokiu būdu mums pavyksta atskleisti pagrindinę mūsų skaičiavimo sistemos idėją-mintį apie skirtingų skyrių vienetus. Dešimt vienetų sudaro dešimtį: kitaip tariant, dešimt pirmojo skyriaus vienetų sudaro vieną aantrojo skyriaus vienetą. Dešimt antrojo skyriaus vienetų sudaro vieną trečiojo skyriaus vienetą. Ir aplamai, dešimt bet kurio skyriaus vienetų sudaro sekančiojo skyriaus vienetą.
Nors iš pažiūros ir labai paprasta, ši sistema nuėjo labai ilgą istorinio vystymosi kelią. Ją kuriant, dalyvavo daug tautų.
Visiškai pagrįstai kyla klausimas: kodėl daiktus pradėjo grupuoti dešimtimis, o ne penketais ar tuzinais? Kodėl kiekvieno skyriaus vienetai dešimt, o ne aštuonis ir ne tris kartus mažesni už sekančiojo skyriaus vienetus?
Skaičiavimas dešimtimis labai paplito todėl, kad žmonės turi nnatūralią ,,skaičiavimo mašiną”, susijusią su skaičiumi dešimt: būtent-dešimtį rankų pirštų.
Užrašyti kokį nors skaičių, pavyzdžiui, ,,penkiasdešimt septynis”, naudojantis dešimtimi pagrindinių ženklelių ir tam tikrais jungiamaisiais žodžiais, galima, sakysime, taip: ,,5 antrojo skyriaus vienetai ir 7 paprastieji vienetai”. Bet toks rašimo būdas gremėzdiškas. Patogiau ir trumpiau būtų užrašinėti skaičius, nenaudojant žodžių, vienais ženklais (skaitmenimis). Ir iš tikrųjų rašome skaičių ,,penkiasdešimt septyni” taip: 57. Šie du skaitmenys, parašyti greta, reiškia dviejų skaičių sumą: dešinysis skaičius rodo paprastųjų vienetų skaičių, o kairysis (5)-antrojo skyriaus vienetų (dešimčių) skaičių. Jeigu parašyti iš eilės trys skaitmenys, tai dešinysis reiškia paprastuosius vienetus, sekantis – antrojo skyriaus vienetus (dešimtis), o kairysis-trečiojo skyriaus vienetus (šimtus), vadinasi, 238 žymi dviejų šimtų, trijų dešimčių ir aštuonių vienetų sumą. Aplamai, iš dviejų greta parašytų skaitmenų kairysis žymi vienetus, dešimt kartų didesnius už vienetus, žymimus dešiniojo skaitmens. Svarbu ne tik pats skaitmuo, bet ir jo vieta, jo pozicija. Todėl mūsų numeracija vadinama pozicine.
Pozicinė dešimtainė numeracija buvo žinoma indams jau prieš pusantro tūkstančio metų (gal būt, ir ankščiau); į Europą ją atnešė arabai, įsibrovė į Ispaniją VIII mūsų eros amžiuje. Arabiškoji numeracija paplito visoje Europoje, ir, būdama paprastesnė ir patogesnė nei kitos skaičiavimo sistemos, bet jas greitai išstūmė. Iki šių laikų mūsų skaitmenis priimta vvadinti arabiškaisiais. Be kita ko, per 100 metų visi skaitmenys, išskyrus vienetą ir devynis, smarkiai pasikeitė. Pirmųjų šešių skyrių pavadinimai (vienetai, dešimtys, šimtai, tūkstančiai, dešimtys tūkstančių, šimtai tūkstančių) labai seni ir įvairiomis kalbomis skamba skirtingai. Galvoti apie šių pavadinimų kilmę – filologų, o ne matematikų reikalas. Žodis ,,milijonas” palyginti nesenas. Itališkai millione yra didybini daiktavardis, padarytas iš daiktavardžio mille, kuris reiškia ,,tūkstantį”. Lietuviškai jį galima būtų versti ,,geras tūkstantis” ar ,,tūkstančių tūkstantis”. Žodį ,,milijonas” sugalvojo žinomas XIII a. keliautojas venecijietis Markas Polas, kuriam neužteko įprastinių skaičių papasakoti apie nepaprastą ,,Dangiškosios imperijos” ( Taip senovėje vadinama Kinija) žmonių ir turtų gausybę. Dabar milijonais, dešimtimis ir šimtais milijonų vadinami septintojo, aštuntojo ir devintojo skyrių vienetai. Tūkstantis milijonų vadinama bilijonu arba milijardu, o toliau, sudarant vieningus visam pasauliui skaičių pavadinimus, vartojami lotyniški skaitvardžiai. Norėdami geriau suprasti šių milžiniškų skaičių pavadinimus, prisiminsime, kad kiekvieni trys skyriai sudaro klasę: paprastieji vienetai, dešimtys ir šimtai – antrąją klasę, milijonai-trečiąją klasę, bilijonai-ketvirtąją ir t.t.
Pozicinė numeracija, atsirado senovės Babilonijoje. Ten ji įgavo savotišką formą. Iš babiloniečių pozicinę numeraciją perėmė indai.
Prieš tris tūkstančius metų indai jau naudojosi palydinti tobula numeracija, nors to meto rašto paminkluose ir neminimi skaičiai, didesni, negu 100 000. Vėlesniuose indų raštijos šaltiniuose sutinkami daug didesni sskaičiai – iki šimto kvadrilijonų (1017). Vienoje palyginti ,,nesenoje” legendoje apie Budą sakoma, kad jis mokėjo skaičių pavadinimus iki 1054. Beje, indai, matyt, gerai neįsivaizdavo natūrinės sekos begalumo ir galvojo, kad egzistuoja kažkoks didžiausias skaičius, žinomas vieniems dievams. Skaičių sekos begalumo įrodymas – senovės Graikijos mokslininkų nuopelnas.
Persikelkime 2 tūkstantmečius atgal į senovės Graikiją. Antikos Graikiją mes žinome kaip mokslo lopšį. Tačiau ji nebuvo visą laiką vientisa valstybė. Jos politinis ir kultūrinis centras dažnai kilnodavosi iš vieno miesto į kitą. Pirmuoku laikotarpiu suklestėjo Atėnų vadovaujama Atika. Todėl tuomet vartotai numeracijos sistemai prigijo atiškosios arba herodianiškosios (taip vadintos II – III a. graikų gramatiko Herodiano, iš kurio veikalų Europos mokslininkai ir sužinojo apie šios sistemos buvimą) vardas. Šioje sistemoje pagrindiniams skaičiams žymėti buvo naudojami simboliai. Toks skaičių žymėjimo būdas, kai jo ženklu yra žodžio sutrumpinimas, vadinamas akrofoniniu. Visi likusieji skaičiai buvo vienetų, kuriuos žymėjo ženklu I, ir anksčiau minėtų skaičių kombinacija. Skaičiavimo sistema buvo dešimtainė ir adItyvinė. Todėl skaičiai atrodė griozdiški ir nebuvo patogūs praktiniam skaičiavimui. Čia dar jaučiama rytietiškų skaičiavimo sistemų įtaka. Juk pagal legendą, graikams rašmenis atnešė finikiečių valdovo sūnus Kadmas, kuris čionai atvyko ieškodamas dievo Dzeuso pagrobtos savo sesers Europos.
O senovės Egiptas mums asocijuojasi ne tik su piramidėmis, sfinksais,
bet ir su hieroglifais, ilgą laiką vadintais ,,šventaisiais rašmenimis”. Hieroglifuose dar jaučiamas stiprus piktografijos poveikis. Todėl nenuostabu, kad jie šiandien jau niekur, išskyrus Kiniją ir Japoniją, nevartojami. Hieroglifais senovės Egipte buvo žymimi ir skaičiai. Tam tikslui buvo naudojami 7 hieroglifai, kuriais buvo išreikšti skaičius nuo 1 iki 10. Gali kilti klausimas, kaip senovės egiptiečiai galėjo išsiversti su tokiu mažu ženklų kiekiu skaičiams žymėti. Pasirodo, jų skaičiavimo sistema buvo adityvinė, t.t. bet koks skaičius būdavo užrašomas paprastesnių skaičių suma. Todėl čia iir nebūdavo hieroglifų, kurie reikštų skaičius 5 ar 7. Skaičius ,,penki” buvo žymimas penkių vienetų suma. Tikriausiai todėl ir visa egiptiečių matematika buvo adityvinė, – joje visur daugyba buvo pakeista sudėtimi. Ne geriau ir su trupmenomis, – nebuvo ženklo sudėtinėms trupmenoms žymėti. Visos jų pripažįstamos trupmenos buvo su vienetu skaitiklyje, likusios būdavo gaunamos susumuojant minėtąsias. Todėl egiptiečių matematika buvo gana paini. Norėdamas išmokti veiksmų su trupmenomis, senovės egiptiečių mokinys turėjo sugaišti tiek laiko, per kiek šiuo metu yra išmokstamas visas vvidurinės mokyklos kursas.
Piktografija nulėmė ir skaičių žymėjimą. Todėl skaičius ,,tūkstantis” žymimas tuo pačiu hieroglifu kaip ir ,,lotosas”, o ,,šimtas tūkstančių”- kaip ,,buožgalvis”, ,,dešimt milijonų”- kaip ,,saulė”. Šie skaičiai tuomet buvo suprantami kaip nesuskaičiuojama daugybė. O kaip piktografiškai tai išreikšti? Todėl ttuomet ir būdavo imamas apytikris atitikmuo. Štai pavasarį nesuskaičiuojamos lotoso žiedų kiekis padengia vandenį. Todėl ,,tūkstantį” žymėjo kaip ,,lotosą”. Nilo upės dumblynuose knibžda nesuskaičiuojama daugybė buožgalvių. Tegul ,,šimtas tūkstančių” atitinka ,,buožgalvį”(juk buožgalvių yra nepalyginamai daugiau negu lotoso žiedų).
Kai kurie istorikai, sužavėti senovės egiptiečių pasiekimų, per daug iškelia jų mokslo laimėjimus. Žinomas istorikas A. Gorbovskis, pagarsėjęs savo įdomiomis hipotezėmis, teigia kad senovės egiptiečiai jau vartojo skaičių ,,milijonas”, tuo tarpu toks skaičius Europoje buvo pradėtas vartoti tik XIV amžiuje. Tačiau atidžiau įsižiūrėkime į hieroglifą, vaizduojantį ,,milijoną”. Pamatysime, kad jis vaizduoja priklupusį ir aukštyn iškėlusi rankas žmogų. Milijonas senovės egiptiečiams buvo tokia kiekybė, prieš kurią paprastas žmogus, nustebintas jos didybės, klaupėsi ir iš nuostabos kėlė aukštyn rankas. Kažin ar senovės egiptietis, taip pavaizdavęs sskaičių ,,milijonas”, galėjo jį vartoti kasdieniame gyvenime.
Piktografijos liekanų įvardijant skaičius apstu ir kitose kalbose. Štai sanskrite žodis ,,samudra” reiškia ,,okeaną” ir ,,dešimt milijardų”. Čia milijardas įsivaizduojamas kaip okeano vandens lašelių kiekis. Kinų rašte tas pats hieroglifas žymi ,,skruzdę” ir ,,dešimt tūkstančių. Išties, pamačius skruzdėlyną, kiekvienas pirmiausia pagalvoja apie skruzdėlių tūkstančius.
Tik praėjusiame šimtmetyje, kai iš Mesopotamijos į Prancūziją ir Angliją pradėjo atkeliauti dantiraščiu išraižytos molinės lentelės, labiau susidomėta šiuo kraštu. Buvo surengta keletas ekspedicijų, atradusių tenai senos kultūros liekanų. Tyrinėtojus nustebino mmolinių dirbinių gausumas: iš molio ne tik buvo gaminami įvairiausi reikmenys, bet ir rašoma jame. Net garsieji Babilono bokštai-zikuratai buvo statomi iš molio. Gal todėl ir neišsilaikė iki mūsų dienų garsusis Babilono bokštas. Tačiau kaip tik molio dėka mes galėjome sužinoti apie senovės Babilono gyvenimą. Rankraščiai (molinės plytelės) nei sudegė, nei supuvo, nei sudūlėjo. Getingeno licėjaus lotynų ir graikų kalbų mokytojui G. F. Grotefendui (1775-1853), labai mėgusiam rebusus ir šaradas, perskaičius dantiraštinį tekstą, buvo pastebėti Mesopotamijos tautų pasiekimai. Kartu buvo plačiau susipažinta ir su jų matematika. Daugelį nustebino Mesopotamijoje atlikti skaičiavimai ir jų naudojama pozicinė-adityvinė skaičiavimo sistema. Anot žymaus senovės Babilono matematikos tyrinėtojo O. Noigebauerio, pozicinės skaičiavimo sistemos išradimas, be abejo, buvo vienas iš labiausiai vaisingų išradimų žmonijos istorijoje. Babiloniečių sistema galutinai susiformavo trečiosios Uro dinastijos metais (taip vadinami valdovai, padarę Uro miestą savo sostine XXI a. pr. m. e.). Ji buvo artima dabar mūsų naudojamai pozicinei skaičiavimo sistemai, kur skaitmens vieta (pozicija) skaičiuje nusako jo eilę, pavyzdžiui, 1331, nes 131•101+3•100. Kitaip, negu senovės egiptiečių, čia buvo naudojama šešiasdešimtainė skaičiavimo sistema, kartu prie jos pridedant žymiai senesnę dešimtainę sistemą. Pagrindinė šios sistemos ypatybė – skaičiai, mažesni už 60, būdavo užrašomi adityviai su dešimtainiu pagrindu. Skaičiai, didesni nei už 60, buvo ppateikiami pozicinėje sistemoje, kurios pagrindas 60. Toks adityvinis – pozicinis skaičiaus išreiškimas, be Mesopotamijos tautų, niekieno nebuvo vartotas. Yra dar vienas bruožas, skiriantis šią sistemą nuo senovės egiptiečių, – skaičiui užrašyti buvo vartojamas tik vienas simbolis, kurio padėtis bei atitinkamos šių simbolių kombinacijos ir nusakydavo skaičiaus reikšmę. Visi skaičiai nuo 1 iki 9 buvo žymimi vertikaliu danteliu. Skaičius 10 jau būdavo užrašomas horizontaliu danteliu. Paskui visi skaičiai iki 59 būdavo užrašomi horizontalių ir vertikalių dantelių pagalba. Skaičius 60 vėl būdavo žymimas horizontaliu danteliu.
Per graikus ir romėnus iš Mesopotamijos mus pasiekė daugelis senovinių skaičiavimo sistemų. Dar ir dabar kai kas skaičiuoja kapomis (po 60) ir tuzinais (po 12), net nesusimąstydami dėl tokių matų kilmės. O jie yra atsiradę beveik prieš penketą tūkstančių metų ir iki mūsų atkeliavę iš Mesopotamijos. Senos dangaus kūnų (Saulės, Mėnulio, Žvaigždžių) stebėjimo tradicijas leido manyti, kad šešios kapos (360) yra apytikris metų dienų skaičius, o tuzinas yra vidutinis Mėnulio pilnačių skaičius metuose. Todėl senovės Babilone ir vyravo nuomonė, kad metai susideda iš 12 mėnesių po 30 dienų, o likusios dienos yra ,,nelaimingos”. Senovės Egipte irgi buvo analogiškas kalendorius.
Dabar šie matai (tuzinas, kapa) egzistuoja kaip ir nelegaliai. Tačiau istorija žino atvejų, kai buvo bandyta dešimtainę skaičiavimo sistemą pakeisti ddvyliktaine – savotišku šešiasdešimtainės sistemos dariniu. Prancūzų švietėjas Volteras savo veikale ,,Karolio XII istorija” rašo, kad po pralaimėto Poltavos mūšio švedų karalius Karolis XII norėjo dvyliktainę sistemą įvesti įstatymu (tikriausiai dėl šio karaliaus dinastinio numerio – XII). Dideli dvyliktainės sistemos šalininkas buvo rašytojas Bernardas Šo (1856 – 1950). Mūsų dienomis JAV yra susikūrusi draugija ,,The Duodecimal Society of America”(,,Amerikos dvyliktainė draugija”), užsibrėžusi atgaivinti dvyliktainę skaičiavimo sistemą.
Tačiau ilgainiui atėjo ir Atėnų saulėlydis. Bet tai nebuvo antikos Graikijos saulėlydis. Pasaulį nustebino Aleksandras Makedonietis, nukariavęs daugelį kraštų ir įkūręs savo imperiją. Po Aleksandro Makedoniečio mirties jo karvedžiai pasidalijo šią imperiją. Viena jos dalis – Egiptas su pagrindiniu miestu Aleksandrija – pateko Ptolemėjų valdžion. Visiems skaitytojams Egiptas, Aleksandrija, Ptolomėjai tikriausiai asocijuojasi su paskutinės šios dinastijos karalienės Kleopatros (69-30 m. pr. m. e.) vardu. Tačiau ne vien tik Kleopatra išgarsino šią pasaulio dalį. Čia buvo pastatytas vienas iš septynių pasaulio stebuklų – Faroso švyturys, čia iš įvairių dialektų susiformavo graikų kalba. Aleksandrijai taip pat buvo lemta tapti ir to laiko pagrindiniu graikų matematikos centru. Čia įsigalėjo naujoji skaičiavimo sistema, kuria iš pradžių buvo naudojamasi Ptolomėjų karalystėje (ji buvo įteisinta valdant Ptolomėjui II Filadelfui (283-247 m. pr. m. e.)), o vėliau ir kitose graikų valstybėse,
įskaitant ir Bizantijos imperiją, beveik 15 amžių iki pat Konstantinopolio žlugimo. Šioje sistemoje skaičiai buvo žymimi graikų alfabeto raidėmis, t. y., a1, 2 ir t.t. Kad būtų galima atskirti raides nuo skaičių, pastaruosius žyminčios raidės būdavo ženklinamos tiltu ~ . Prie 24 tuomet turėtų alfabeto raidžių dar pridėjus galima suskaičiuoti tris archaiškas, šios sistemos pagalba buvo galima suskaičiuoti iki 1000. Skaičiai, didesni už 1000, būdavo gaunami praplėtus šią sistemą. Kaip tai padaryti, pirmą kartą nurodė Archimedas savo veikale ,,Psamitas”. Tai bbuvo nepozicinė dešimtainė skaičiavimo sistema, kurioje skaičiai buvo užrašomi komutatyviai. Taip ir reikšdavo vieną ir tą patį skaičių 31, nes . Ilgą laiką manyta, kad sistemos nepoziškumas ir tai, kad naudojama ne mažiau 27 simbolių, buvo šios sistemos trūkumas. Tačiau ji turėjo ir savo privalumų: gerai išmokus visus simbolius ir skaičiavimo taisykles, ja buvo galima gana lengvai skaičiuoti. Ne veltui įvairios tautos, kaip slavai, gruzinai, armėnai, kurdami savas numeracijos sistemas, mėgdžiodavo aleksandrietišką skaičiavimo sistemą.
Senovės matematika plito po vvisą pasaulį kol pasiekė ir mus, Lietuvius. Net ir Lietuviai dainose minėdavo skaičius, devyni, šeši, trys. Galvodavo jog tai magiški skaičiai, nešantys laimę. Dainose buvo minimas ir skaičius trylika, bet ne taip dažnai kaip minėti kiti skaičiai, nes jis nešdavęs nnelaimę. Ir iki šių laikų dar daug kas tiki, kad skaičius trylika neša nelaimes.
Matematikos mokosi visi pasaulio gyventojai. Matematika kasdien vis tobulėja ir kada nors pasieks savo viršūnę, be kurios mes nebeišsiversime. Ją naudosime visur ir visada. Matematika yra viskas ką matome aplinkui, kartu ir save. Matematika – visas mūsų gyvenimas. Ją mėgdavo ir mėgs, jei ne mes, tai kiti – protingesni žmonės, o gal ir ne žmonės. Bet ji vis tiek liks kasdieninis mūsų gyvenimas.
Naudota literatūra:
1. Autorius: G. Bermantas, vertė: J. Mačys, knyga: ,,Skaičiai ir jų mokslas”, leidykla: ,,Mintis”, išleista: 1972 m. Vilniuje.
2. Straipsnio autorius: Aleksandras Baltrūnas, žurnalas: ,,Mokslas ir gyvenimas”, straipsnis: ,,Kas yra matematika?”, leidykla: ,,Mintis”, išleista: 1982 m. nr. 6, psl.6.
3. Autorius: G. Geizeris, knyga: ,,Matematikos istorija mmokykloje 4-6 kl.”, leidykla: ,,Šviesa”, išleista: 1985 m. Kaune.
4. Straipsnio autorius: E. Nekrašas, žurnalas: ,,Mokslas ir gyvenimas”, straipsnis: ,,Skaičiai, kosmosas ir harmonija”, leidykla: ,,Mintis”, išleista: 1988 m. nr.1, psl. 4-6.
5. Lietuvos Tarybinė Enciklopedija, tomas 7, išleista: 1987 m. psl. 309-310. Vilniuje.
6. Straipsnio autorius: E. Nekrašas, žurnalas: ,,Mokslas ir technika“, straipsnis: ,,Matematikos raida ir dabartis”, leidykla: ,,Mintis”, išleista: 1975 m. nr.1, psl.10.
Lietuvių liaudies matematika
Pirmieji dešimt skaitvardžių lietuvių kalboje yra tokie kaip ir kitose indoeuropiečių kalbose – tai seni veldiniai. Reikia manyti, kad ilgą llaiką tai buvo vieninteliai baltų skaitvardžiai. Skaičiams nuo 11 iki 19 įvardyti baltai vartojo konstrukcijas „vienas lieka po dešimties“, „du lieka po dešimties“ ir t.t. Ilgainiui lietuvių kalboje iš šių konstrukcijų iškrito žodžiai „po dešimties“. Likę „vienas lieka“, „du lieka“ ir t.t. susiliejo į vieną žodį sudarydami mums gerai žinomus skaitvardžius „vienuolika“, „dvylika“ ir pan. Ko gero, dėl tos pačios priežasties net XVI—XVII a. raštuose vyravo tokie kelintiniai skaitvardžiai: (pirmas) liekas, ant(a)ras liekas, trečias liekas ir t.t. Latvių kalboje iš konstrukcijų „vienas lieka po dešimties“ ir t.t. iškrito žodis „lieka”. Iš likusių žodžių vien-pa-desmits, divi-pa-desmits ir t.t. ilgainiui išsirutuliojo latviški skaitvardžiai vienpadsmit, divpadsmit ir pan. Lietuvių ir latvių kalbos atsiskyrė VII a., todėl šie skaitvardžiai nėra labai seni.
Panašų kaip ir lietuvių skaitvardžių sudarymo būdą galima atrasti ir pas germanus. Štai vokiečiai 11 ir 12 vadina žodžiais elf ir zwoelf, kurie kilę iš gotiškųjų ainlif ir twalif. Todėl vokiečių tyrinėtojas K.Meningeris teigia, kad toks lietuvių skaičių sudarymo būdas senaisiais laikais atėjo iš vokiečių. Tiesa, ne visi kalbininkai nori sutikti su tokia nuomone – jie mano, kad lietuvių „-lika“ kilo iš indoeuropiečių šaknies „leik-“, o germanų „-lif“ galėjo išsirutulioti iš „leip-“.
Neturint skaičių pavadinimų skaičiuota pasitelkus žyminį skaičiavimą. Žyminiam skaičiavimui visai nereikalinga sskaičiaus sąvoka (drauge ir skaitvardžiai) – juo buvo nustatomas tik tam tikras kiekis, kai kiekvienas turimas skaičiuojamasis ženklas (lazdelė, įpjova ir t.t.) žymėjo vienetinį objektą. Tokį lietuvių skaičiavimo būdą savo veikale “Prūsijos žemės kronika” yra aprašęs XIV a. kronininkas Petras Dusburgietis: „Štai dėl to, kai norėdami tesėti tarp savęs ar su svetimaisiais sudarytą sandėrį ar sutartį susikalba dėl vienokio ar kitokio dienų skaičiaus, jie paprastai šitai padarę pirmąją dieną įkerta kokį ženklą į medį arba užmezga mazgą apyvaruose ar juostoje. Kitą dieną prideda dar vieną ženklą ir šitaip daro kasdien iki prieina tą dieną, kurią reikia tesėti susitarimą“. Žyminis skaičiavimas buvo naudojamas ir operatyviniam skaičiavimui, ir kai buvo norima rezultatą užfiksuoti ilgesniam laikui. Žymė pastaruoju atveju buvo arba ženklas „atminčiai“, arba pastabos „pranešimui“, „prisiminimui“. Viena tokių žymių atmaina, ypač paplitusi Lietuvos kaime, dar turėjo birkų vardą, kilusį, pasak istoriko A.Šapokos, nuo Birkos miesto Švedijoje. Tiesa, kiti teigia, kad birka buvo bendrinis žodis, nes švedų kalba „biaerko“ reiškė vietą, kur susitelkdavo pirkliai. Juolab kad Birkos miestas nustojo egzistuoti 975 metais. Žyminis skaičiavimas Lietuvoje išliko gana ilgai: kraštotyrininkas A.Vitauskas teigia: „Birkų rišimas išnyko maždaug prieš karą (Pirmąjį pasaulinį – A.B.)“ (Vitauskas A. Senovės prekyba, matai ir saikai Padubysio valsčiuje, Gimtasai Kraštas, 1939, NNr. 1).
Indoeuropiečių žodinė numeracija yra dešimtainė. Tačiau dešimtainė skaičiavimo sistema susiformavo gan vėlyvame žmonijos kultūros istorijos tarpsnyje. Iš pradžių, kai turėta nedaug skaitvardžių ir suskaičiuojamų objektų, skaičių grupės buvo nedidelės. Todėl skaičiavimo sistemos pagrindu naudotas skaičius, su kuriuo žmogus dažniausiai susidurdavo. Juo galėjo būti, pavyzdžiui, 5 – žmogaus rankos pirštų skaičius. Tačiau galėjo būti ir kitas skaičius. Rusų mokslininkas B.Frolovas, tyrinėdamas įvairių tautų dirbinių ornamentus, atkreipė dėmesį, kad jų elementai dažniausiai grupuojami pagal vieną ir tą patį principą. Taip jis nustatė, kad egzistavo tautos su „trijų ritmu“ ir „keturių ritmu“. Ir šį turėtą ritmą nulemdavo tautos gyvenimo būdas. Nustatyta, kad jis tiesiogiai priklausydavo nuo tautos įsivaizduoto pasaulio sandaros vaizdo, t.y. nuo to, kaip buvo dalijamas pasaulis į atskiras dalis.
„Keturių ritmas“ buvo būdingas Amerikos indėnų gentims. Tyrinėtojas V.Ilsas (W.C.Eels), ištyręs 307 pirmykščių Amerikos indėnų tautų skaičiavimo sistemas, nustatė, kad dauguma jų turėjo pagrindus, lygius 4 arba skaičiaus 4 kartotiniams. Tai visai nenuostabu – juk jie gyveno lygumose arba stepėse. Pradinis žmogaus loginio mąstymo etapas buvo priešingų pradų išskyrimas (dangus ir žemė, šalta ir šilta ir t.t.). Tačiau priešingybės nesuderinamos, o žmogus jas regi kasdien. Todėl prieinama išvada, kad turi būti kažkoks pradas, skiriantis šias priešingybes. Bet šiuo pradu gali būti
dar viena priešingybė. Taip atsirado horizontalusis pasaulio dalijimas į šiaurę, rytus, pietus ir vakarus. O tai nulėmė, pavyzdžiui, kryžiaus kaip šventos figūros atsiradimą bei „keturių ritmo“ įsigalėjimą.
Tačiau toms tautoms, kurios kurdavosi kieno nors (ežero, jūros ar pan.) ribojamose vietovėse, horizontalusis pasaulio dalijimas nebuvo priimtinas. Jei žmogus buvo įsikūręs prie vandens, tai kiekvienąsyk jis matydavo vieną ir tą pačią panoramą – dangų, vandenį ir žemę. Pamažu jo sąmonėje galėjo išsirutulioti vertikalusis pasaulio dalijimas į tris stichijas: dangų, vandenį ir žemę. PPirmąją stichiją čia simbolizavo paukštis, antrąją – gyvatė, žuvys, o žemė buvo tarsi neutralus pradas, atskiriantis šias priešingybes. Vertikalusis pasaulio dalijimas, tiksliau, trys jo stichijos ir pagimdė „trijų ritmą“. Labiau paplitęs tarp Azijos tautų, jis, regis, neaplenkė ir baltų. Kaip matyti iš archeologinių radinių, senovės lietuviai irgi kurdavosi prie vandens. Tad nenuostabu, kad jiems irgi buvo būdingas “trijų ritmas“ (Vėlius N. Senovės baltų pasaulėžiūra. 1983, p. 46-52). Tai liudija lietuvių tautosaka, kur yra aptinkami tokie posmai ir pasakymai: „O ir aatlėkė trys raibos gegės vidur tamsios nakties“, „Tris dienas, tris naktis keleliu ėjau“, „Marti gedėjo tris nedėlaites, sesuo trejus metelius“ ir t.t. XIX a. Vilniuje gyvenęs ir dirbęs astronomas bei istorikas M.Gusevas (1826-1866) aprašė senovės lietuvių kalendorių. Nesunku pastebėti, kad jjame vartoti skaitmenys (skaičių ženklai) irgi yra susiję su „trijų ritmu“. Be to, rusų metraščiai mini, kad XIII a. lietuvių kovinę rikiuotę sudarė 3 linijos, pridengtos skydais.
Su „trijų ritmu“ yra susiję ir kiti tarp lietuvių paplitę skaičiai. Gal todėl N.Vėlius pastebi: „9, 12, 30, 60 – tradiciniai baltų skaičių matai, pasitaikantys įvairiausiose kultūros sferose, ir visus juos sudarant išeities taškas buvo tas stebuklingas skaičius trys“. Lietuvių tautosakoje skaičius „devyni“ turi „daug“ reikšmę, palygink „devynis kartus pamatuok, dešimtą pjauk“, „devyni vilkai vieną bitę pjauna“, „už devynių girių, už devynių marių“ ir pan. Esant trejetainei skaičiavimo sistemai ir neturint didesnių skaičiavimo įgūdžių trys trejetai (arba devyni) galėjo būti pirma grupavimo riba. Ketvirtos tokios grupės jau nebegalėjo būti. Dėl tradicijų gajumo „devyni“ ir iišliko patarlėse bei posakiuose, tik jau neturėdami jokios informacinės reikšmės. Nenuostabu, kad ši savotiška riba galėjo tapti laiko padala. Yra duomenų, kad senoji lietuvių savaitė buvo devyniadienė. Tokia savaitė yra M.Gusevo aprašytame pagoniškajame senovės lietuvių kalendoriuje. Apie tokią savaitę savo veikale “Lietuvninkų kalba ir poezija” kalba Mažosios Lietuvos buities tyrinėtojas Otas Glagau (1834-1892): „Kaip ir Edoje (skandinavų VII-XII a. mitologinių ir karžyginių giesmių rinkinyje – A.B.), skaičius devyni dainose yra būdinga laiko padala, ir priešingai, laikas visai nedalijamas į septynias ddienas arba į savaites“. Juolab kad čia padėjo laimingas atsitiktinumas: triskart devyni lygu dvidešimt septyniems, t.y. beveik lygu mėnesio dienų skaičiui (atmetus suvartų laiką). Toks mėnuo yra apdainuojamas šioje lietuvių liaudies dainoje iš Lietuvių literatūros ir tautosakos instituto rankraštyno:
Ant aukšto kalno
Trys ąžuolėliai
Po devynias šakeles.
Ant kožnos šakos
Po gegužėlę
Kas rytelį kukavo.
Skaičius „devyni“ išsiskiria iš kitų senovės lietuvių pamėgtų skaičių. Pirmiausia dėl to, kad jis kažkada buvo „paskutinis“ skaičius, t.y. buvo tarsi savotiška riba, skirianti žinomą nuo nežinomo, paslaptingo. Nenuostabu, kad toks skaičius, besiribojantis su nežinomu, galėjo būti apgaubtas įvairių, net nematematinių, savybių. Net vėliau, kai skaičiavimo ribos išsiplėtė, „devyni“ liko kaip „daug“ kiekybinis ekvivalentas. Tiesa, yra žinomos „trejos devynerios“ – toks „žolių mišinys vaistams“. Ir, be to, M. Gimbutienė mini sambarių arba trejų devynerių šventę. Bet tai ir viskas. Tuo tarpu rytų slavų ir iš dalies latvių tautosakoje pasakymas „trejos devynerios“ yra labiau žinomas. Bet ir ten jis pakeičia „daug“ tik kai kuriose vartojimo srityse. Latvių liaudies dainose bei pasakose skaitvardžiais trejdevini ir trisdevini apibūdinami žmonės (piršliai, siuvėjai) bei daiktai (durys, skarelės, paklodės).
Skaičius „dvylika“ buvo pamėgtas daugelio tautų. Atsirado jis, greičiausiai, kaip kompromisas tarp „trijų ritmo“ ir „keturių ritmo“. Be to, turint dvyliktainę skaičiavimo sistemą, labai patogu joje išreikšti trupmenas. GGalbūt dėl šios priežasties jis turėjo didelę reikšmę senovės Romoje. Iš ten kartu su lotynų kalba paplito po visą Europą. Liaudyje vartotas dvylikos pavadinimas tuzinas į Lietuvos Didžiąją Kunigaikštystę atėjo kartu su miestų Magdeburgo teisių privilegijomis. Antai tuzinus randame minint 1511 m. Naugardukui išduotame privilegijos rašte. Pats žodis „tuzinas“ yra prancūziškos kilmės. Mat prancūzų douze reiškia „dvylika“. Iš jo kilęs douzaine, kurio viena reikšmė dabar yra „tuzinas“, verčiamas kaip „dvyliktas“. Į Lietuvą tuzinas atėjo ilgu ir painiu keliu – tarpininku buvo vokiečių kalba. O joje viduramžiais tuzinas buvo vadinamas dosyn, dossin, (švedų kalba net dussin). Kadangi viduramžių vokiečių kalboje buvo painiojami garsai t ir d, tai prancūzų douzaine, pas vokiečius virtęs į dosyn, dossin, į lietuvių kalbą atėjo kaip tuzinas. Latviams kur kas labiau pasisekė – tuzinas pas juos turi vardus ducis ir dozins. Tokios pat kilmės yra ir rusų diužina.
Skaičiavimas šešiasdešimtimis turi gilias tradicijas, kurių šaknys, ko gero, glūdi senovės Babilonijoje. Iš pradžių LDK šitaip buvo skaičiuojami smulkūs pinigai – grašiai (skatikai). Kaip matyti iš LDK raštinių raštų, šešiasdešimt grašių net turėjo savo pavadinimą – grašių kapa. Kai XIV a. Europoje imta trūkti sidabro, atsiskaitymui pradėtos naudoti ne monetos, o sidabro lydiniai. Kaip pastebi lenkų numizmatikos tyrinėtojas M.Gumovskis, llabiausiai Lietuvoje jie buvo paplitę Algirdo ir Vytauto laikais. Dažniausiai tai buvo 10-12 cm ilgio piršto pavidalo lazdelės, svėrusios griviną (marką), t.y. pusę svaro. Dėl savo formos šie sidabro lydiniai buvo pavadinti lietuviškaisiais ilgaisiais (A.Šapoka juos dar muštiniais įvardija). Rusijoje šie sidabro lydiniai buvo gavę rublių vardą – tikriausiai todėl, kad juos būdavo patogu kapoti į dalis (rublis kilęs iš rubitj „kapoti“). Senuosiuose raštuose aptinkame rašant, kad 1398 m. kilus Vilniaus gaisrui Vytautas patyrė 60 000 sidabro gabalų, arba rublių, nuostolį (Gumowski M. Numizmatyka litewska wiekow srednich. Krakow, 1920, p. 19). Kaip žodžio rublj kalkė į lietuvių kalbą atėjo žodis kapa (nuo kapoti). Šitaip kapą kildina M.Gumovskis: „Pochodzi on niewątpliwie z języko litewskiego od slowa kapat, czyli rąbač.“. Kapai atsirasti padėjo ir slaviškas žodis kona, kurio viena reikšmė yra „krūva, kuopa“. Mat iš rublio buvo galima nukalti krūvą (iš pradžių 60) grašių. Patyrinėję žodžio kona paplitimo geografiją, pastebėsime, kad ukrainiečių, baltarusių, lenkų ir čekų kalbose jis žymi du matus: vienas jų „šieno kaugė“, antras – 60 vienetų. O bulgarų ir serbų-kroatų kalbose randama tik viena reikšmė – „šieno kaugė, stirta“.
Rublis (ilgasis) ir kapa nebuvo vienas ir tas pat. Rubliu (ilguoju) buvo vadinamas grivinos svorio sidabro lydinys. O kapa – tai
tas kiekis grašių, kurį galima buvo nukaldinti iš šio lydinio. Ne atsitiktinai lotyniškuose tekstuose kapa vadinama sexagena grossorum. Tiesa, 1337 m. Algirdo akte dar minimi 10 rublių grašių. Bet jau 1411 m. po Žalgirio mūšio Torūnės sutartimi Kryžiuočių ordinas turėjo sumokėti 100 000 kapų Prahos grašių. Pirmą kartą žodis kapa atrandamas 1392 m. sutartyje tarp lietuvių bajorų Jokūbo Milosevičiaus ir Vežgailos. Ilgainiui iš rublio imta nukalti daugiau negu 60 grašių. Bet kapos reikšmė visą laiką išliko ta pati. Tiesa, Lenkijoje iir Lietuvoje buvo skirtingai suvokiama grašių kapos vertė. Antai lietuviškoji kapa lygi 60 lietuviškųjų grašių ir 75 lenkiškiesiems grašiams. Priežastis labai paprasta — Lietuvoje grašiai buvo kalami Prahos grašių pavyzdžiu. Tuo tarpu Kazimieras Didysis (1333-1370) Lenkijoje pradėjo naudoti Krokuvos griviną, penktadaliu mažesnę už Prahos marką. Tuomet iš jos padaromų Prahos grašių sumažėjo penktadaliu, t.y. nuo 60 iki 48. Tokia reikšmė paplito tuose kraštuose, kurie buvo lenkų kultūrinėje įtakoje. Neatsitiktinai baltarusių tyrinėtojas K.Skuratas, rašydamas apie senovės baltarusių matus, mini, kad grivina &– LDK piniginis vienetas, kurio vertė 48 grašiai. Tokios pat kilmės yra ir Latgalijoje vartotas didysis arba prekybinis šimtas (lielais jeb tirgotaju simts), lygus 48 kapoms.
Kapa – lietuviškas išradimas. Latvijoje, ypač Vidzemėje, grašius anksčiau skaičiuodavo šokais (“šoks” – nuo vokiečių ““Schock”). 1825 m. caro įsaku panaikinus kapas ir grašius, šokais, kaip ir kapomis Lietuvoje, ėmė skaičiuoti smulkius daiktus, pavyzdžiui, kopūstų galvas, kiaušinius, šiaudų kūlius ir pan. Ko gero, tuomet viena „kapos“ reikšmė pasidarė „didelis skaičius“ (posakis su tokia reikšme užrašytas Eržvilko apylinkėse: „Ten ėjo jų kapomis“). Beje, Vidzemėje XIX a. šokas buvo keliais vienetais padidėjęs ir svyravo nuo 60 iki 64.
Literatūra: Internetas ( www.google.lt )
Istorijos vadovėliai (6-8 klasių)
Matematikos vadovėliai ( įv. Klasių )
