Matematikos istorija

ANKSTYVOJI SENOVĖSA GRAIKIJOS MATEMATIKA.MATEMATIKOS MOKSLO ATSIRADIMAS

VI-Vamžiai pr.m.e.Graikijos istorijojr įsidėmetini šiais trimis svarbiuasiais įvykiais: pirmą kartą žmonijos istorijoje susikūrė demokratinė valstybė,atsirado tragedija,bei komedija ir buvo sukurta matematika kaip abstraktus dedukacinis mokslas.Šie įvykiai,kurių kiekvienas atskirai buvo nepaprastai reikšmingas,sudaro fenomeną,vėliau pavadintą “graikų stebuklu”.

Antikos žmonių polinkį mokslui galima paaiškinti ten įsigalėjusia nuomone,kad žinios žmogų tobulina,daro jį asmenybe,Graikijoje mokslas jau buvo atskiro asmens reikalas.Ir išmincius Graikijoje ne dievų patikėtinios,bet asmenybė,kuriai įgyti pripažinimą nepakanka vien dievo autoriteto,-jis turi “kovoti”už savo vietą.Taigi įsigalėjo diskusijos.Visas antikos gyvenimas persunktas ddiskusijų tradicija: diskusijos vyksta ir politiniame gyvenime,ir moksle.Teisus buvo senovės Romos istorikas Juozapas Flavijus(36-105m.),taip palyginęs Vakarų ir Rytų,iš dalies žydų,kultūras:”Žydų istorija remiasi nenuneigiamu autoritetu,kuriuo nė vienas žydas niekuomet neabejojo;tuo tarpu susipažinę su graikų istorijos mokslu matome,kad graikai nieko gerai nežino,o sako tai,kas kiekvienam,rementissavo paties protu,atrodo teisingiausia.Jie nesivaržydami prieštarauja vienas kitam,ginčijasi tarpusavyje,kaltina dėl klaidų ne tiktai vienas kitą,bet ir visų pripažintus savo autoritetus-Homerą,Tukidiką,jų laikom didžiausiu autoritetu.”

Šie Juozapo Flavijaus žodžiai geriausiai nusako tą aplinką,kurioje ir atsirado matematika kaip mokslas.Susikūrusi demokratinė santvarka suteikė llaisviems piliečiams teisę abejoti,svarstyti,samprotauti,vadinasi,turėti savo nuomonę,Susiklosciusi tradicija viską įrodyti netrugdo pasireikšti ir matematikoje,perimtoje iš babiloniečių.Taip atsirado matematika,kokia yra ir dabar,-dedukacinė sistema,kurioje iš bendrų teiginių,pasitelkiant logikos taisykles,išvedami daliniai.

Taip moksle galutinai įsitvirtino dedukacija,žreiškinys,visai prieštaringas tuomet žinomai indukcijai,-kai iš paskirtų dalinių apibendrinimas vienas.Tuo mmatematika ir skiriasi nuo daugelio indukcija pagrįstų mokslų,pvz.:chemijos,biologijos,fizikos ir kt. Matematikas,nustatęs kokią nors keletui skaičių būdingą savybę,faktiškai yra nieko nenustatęs,žjis dar neturi teisės teigti,kad ir likusiems skaičiams būdinga ta savybė.Kaip kad rūmui pastatyti nepakanka plytų,reikia dar ir skiedinio,įrankių,pagalbinių detalių,taip ir dedukacijai įdiegti matematikoje prireikė naujo “techninio” aparato: apibrėžimų, aksiomų, teoremų,įrodymų ir t.t. Piramasis čia kelią pramynė Talis Miletietis(~624-547m.pr.m.e.),vienas iš septinių antikos išminčių.

Talio Miletiečio pažiūros pralenkė kitų išminčių gyvenimiškąją išmintį.Štai kaip apie jį atsiliepia istorikas Plutarchas:”Tai vienintelis mokslininkas,kuris savo tyrinėjimais nuėjo toliau negu reikia,praktiniams poreikiamas,visi kiti mokslininkų vardą gavo už savo sugebejimus valstybės reikaluose”.

Apie Talio gyvenimą autentiškų žinių išliko labai mažai.Žinome, kad Talis buvo turtingas ir kilmingas Mileto gyventojas.Kai kurie šaltiniai teigia jį buvus finikiečiu ir į Miletą atvykus jau senatvėje.Kiti ššaltiniai teigia,jog Talis Milietis keliavo po Egiptą,kad susipažintų su egiptiečių atrastomis matematinėmis tiesomis.Matyt,keliauta netuščiai,nes 585m.pr.m.e. jis išpranašavo Saulės užtemimą.Plutarchas apie Tlaį atsiliepia kaip apie “išmintingą patarėją karo ir valstybės reikaluose”,romėnas Plinijus jį charakterizuoja kaip “pirmąjį fiziką”,o graikas Eudemas Rodietis –kaip “pirmąjį astronomą”.Žymus senovės stilistas Apulėjus Kartaginietis taip rašė:”Tlis Mfiletietis,vienas iš septinių išminčių ir,beabejo,įžymiausias tarp jų-juk jis Graikijoje buvo pirmas geometrijos šradėjas,labiausiai patyręs gamtos tyrinėtojas.”Talis stengėsi pats įsitikinti Babilonijos ir Egipto mokslo teisingumu,pasitelkdamas įrodymus.Aristotelio mokinio Eudumo Rodiečio(Iva.pr.m.e),parašiusio geometrijos istoriją,liudijumu,Talis yra įrodęs ššias teoremas:

a) kampas,įbrėžtas i pusapskritimį,yra status;

b) vertikalieji kampai yra lygūs;

c) lygiašoniame trikampyje kampai prie pagrindo yra lygūs ir atvirkščiai;

d) skersmuo dalija sritulį i dvi lygias dalis.

Nors šios Taliui priskiriamos teoremos iš pažiūros ir labai paprastos,betyra labaisvarbios.O svarbiausia-idėja,kad matermatines tiesas reikia įrodinėti, atiduoti jas logikų ir kitų matematikų teismui.Kaip tik tai ir davė stimulą matematikai tapti dedukaciniu mokslu.

PITAGORO SKAIČIŲ FETIŠIZMAS

Nors Talis ir daug nusipelnė matematikos mokslui,tikrasis matematikos gimimas vis dėlto siejamas su Pitagoro Samiečio(270-500m.pr.m.e.)vardu.Kaip tik jo dėka A.Einšteinoodžiais tariant,”graikija tapo Vakarų mokslo lopšiu”.Gal ne veltuui F.Engelsas taip palygino Pitagorą ir Talį: “Talis buvo geometrikas.Pitagoras buvo matematikas”.

Pitagoras gimė Egėjo jūroje esančioje Samos saloje.Jo tėvas Mnesarchas buvo salą valdžiusio tirono Polikrato dailininkas.Tačiau Pitagoras mažai susijęs su šia sala,nes ten klestėjančios senovės kultūros likuciais.Pasakojama,kad čia Pitagoras suartėjo su žyniais,kurie jį po tam tikrų išbandymų priėmė savo mokiniu.Taip jis išvyko į Egiptą susipažinti su ten klestėjusios senovės kultūros likučiais.Pasakojama ,kad čia Pitasgoras suartėjo su žyniais,kurie jį po tam tikrų išbandymų priėmė savo mokiniu.Taip jis gavo teisę keletą metų studijuoti Egipto žinių mokslą.525m.pr.m.e. Egiptą nukariavo persai.Daug egiptiečių kaip karo grobisišgabenta i rytus,tarp jų ir Pitagoras,kuriam teko persų valdomame Babilone praleisti net 12metų.Šie metai nepraėjo veltui.

Rytuose jis užsikrėtė ten populiaria skaičių magija.Tai ir paskatino jį susidomėti matematika.Kiekvienas susiduria su daiktais,kuriuos galima iišmatuoti .Ir čia nieko nuostabaus.Tačiau Pitagoras,užsiiminėdamas akustika,kad išmatuoti galima ir garsus.Atradęs skaitinius dėsningumus astronomijoje ir muzikoje dermėse,Pitagoras labiau susidomėjo šia pasaulio pažinimo puse.Kadangi tokių dėsningumų jis rasdavo vis daugiau ir daugiau,tai neliko nieko kito,kaip padaryti išvadą,kad “skaičius yra visų daiktų esmė ir apskritai Visatos organizacija su jos nuostatais yra harmoninga skaičių ir jų santykių sistema”.

Pitagoriečiai pirmieji iškėlė matematiką iki anksčiau dar neegzistavusio rangio:skaičiai ir skaitiniai santykiai tapo tik priemonė padedanti išspręsti praktinius uždavinius,pitagoriečiai pavertė specialiu tyrinėjimo objektu,t.y. šio tyrinėjimo tikslu.

Pitagoras tiesiog ėmė dievinti skaičius.Jiems priskyrė net tokias žmoniškas savybes,kaip draugiškuma,tobulumą,teisingumą.Teisingaisiais Pitagoras vadino skaičius, padaugintus pačius iš savęs,t.y.skaičių kvadratus.Remdamasis tuo,kad draugai tampa žmonės,kurie turi kanors bendra,draugiškiausiais skaičiais jis pavadino skaičių poras,turinčias tas pačias daliklių sumas.Atrodytų,skaičių su tokia savybe turėtu būti daug.Bet taip nėra.Antikoje buvo žinoma tik viena draugiškųjų skaičių pora 220 ir 284,jų daliklių suma 504.Pasak vienos legendos,Pitagoras,mokinio paklaustas,kas yra draugystė,taip atsakęs:”220 ir 284”.Viduramžiais buvo labai vertinami talismanai su šoiais skaičiais,kaip labai padeda meilės reikaluose.Šie skaičiai buvo garbinami tol,kol XVIIa.buvo atrasta antra,o vėliau ir trečia draugiškųjų skaičių pora.O paskui tokie skaičiai pasipylė kaip iš maišo.Tačiau paaiškėjo,kad draugiškieji vis tiek sudaro tik mažą visų skaičių dalį,-dauguma skaičių “nedraugiški”.Iš pastarųjų išsiskiria ypatinga grupė-tobuli skaičiai.Tai skaičiai egoistai,kurių draugiškuoju partneriu gali būti tik jis pats.Tokio sskaičiaus daliklių,įskaitant ir jį opatį,suma yra dvigubai didesnė už jį patį. Pitagoras nustatė formulę, pagal kurią galima nustatyti lyginius tobulus skaičius. Jei p ir 2 –1 yra pirminiai skaičiai, tai tuomet N=2 (2 –1) yra tobulas skaičius. Tačiau net turėdami tokį puikų tobulų skaičių nustatymo kriterijų, antikos matematikai žinojo tik keturis tobulus skaičius: 6; 28; 496; 8128. Priežastis gan paprasta: norint rasti kokį nors tobulą skaičių, iš pradžių reikėdavo nustatyti, ar duotajam pirminiam skaičiui p skaičius 2 –1 irgi yra pirminis. O tai ne visuomet pasisekdavo. Tokie skaičiai ilgus amžius matematikams buvo neiveikiama kliūtis. Senovės graikai šiam faktui rado gana ,,įtikinamą” paaiškinamą. Štai ką rašė I a. graikų matematikas Nikomachas: ,,Tobuli skačiai gražūs. Tačiau žinoma, kad gražūs daiktai reti, netikusių gi yra pilna visur”.

Visa tai liečia tik lyginius tobulus skaičius. Nelyginant tobulų skaičių ligi šiol nerasta, bet ir neįrodyta, kad tokie neegzistuoja.

PITAGORO TEOREMA IR PIRMOJI MATEMATINĖ KRIZĖ

Pitagorui šlovę atnešė ne skaičių teorijos,o geometrijos darbai.Iš šių darbų bene svarbiausias buvo Pitagora teoremos įrodymas. Pasakojama,kad Pitagoras,įrodęs šią teoremą,iš dziaugsmo net po mirties ant savo antkapio iškalti šią teoremą iliustruojantį brėžinį.

Tiesa,Pitagoro teorema buvo žinoma ir ansčiau.Graikų žiniomis,datuojamomis I tūkstantmečio pr.m.e., senovės Egipto babiloniečiai lentelėse yra ir daugiau uomenų,kad tuomet žinota pitagoro teorema.O vienoje

iš jų net randama Pitagoro skaičių lentelę.Tačiau čia nėra jokios užuominos,kaip ji buvo nustatyta.Tuo tarpu Pitagoras įrodė loginiu būdu.

Ši teorema buvo Pitagoro triumfo ir širdgėlos priežastis.Mat,ja remiantis buvo pastebėta,kad egzistuoja nebendramatės atkarpos.Iki tol Pitagoras manė,kad visi dydžiai, ar tai būtų skaičiai, atkarpos ar plotai, yra tarpusavyje bendraminčiai,t.y.,pasirinkus vieneto etaloną,duotasis dydis visuomet bus išmatuojamas tuo etalonu,-duotąjį dydį ir etaloną pakartojus atitinkamą skaičių kartų,bus gauti tarpusavyje lygūs dydziai. Vartojant dabartines sąvokas,galima sakyti,kad tada buvo manoma,jog visi skaičiai yra teigiami racionalieji,t.y.natūriniai ir jų ssantykiai.

Taikant Pitagoro teoremą paaiškėjo, kad stataus lygiašonio trikampio įžambinė nebendramatė su to trikampio statiniu,t.y. šių atkarpų ilgių santykis lygus 2, kuris nėra racionalusis skaičius. Tarkime, kad yra priešingai, t.y. kad galima atrasti tokius nesuprastinamus natūrinius skaičius a ir b, kad

2=a/b

Tuomet a =2b , vadinasi, a yra lyginis skai2ius, nes jo kvadratas dalijasi iš 2. Tegu a=2m., bet tuomet b =2m ,vadinasi ir b tur4t7 b8ti lyginis skai2ius. Ta2iua tai prie6tarauja m8s7 prielaidai, kad a ir b nesuprastinami. Taigi 2 n4ra racionalusis skaičius.

Šis skaičius 2 iracionalumo įrodymas, kuris, anglų matematiko G.f.Hardžio nuomone, yra klasikinis matematiko įrodymo pavyzdys. Iracionaliųjų dydžių atradimas buvo bene svarbiausias antikos matematikos įvykis.

GEOMETRINĖS ALGEBROS SUKLESTĖJIMAS

Visai antikos graikų matematikai buvo budinga tai, kad joje visiškai nevartojama algebra. IIr ne tik nevertojama, bet jos klausimai sprendžiami geometriniais metodais. Tai buvo strateginė klaida, bet didelis taktinis laimėjimas, kuris iš pradžių apvainikuodavo antikinę matematiką.

Kadangi geometrijoje tuomet visi įrodymai ir konstrukcijos buvo gaunami naudojantis liniuote ir skriestuvu, tai ilgainiui visa graikų matematika tapo idealių liniuotės ir skriestuvo matematika. Visa tai sąligojo naujos matematikos šakos – geometrinės algebros – gimimą.

Geometrine algebra dabar mes vadiname tą antikinės matematikos dalį, kurioje įvairios matematikos sąvokos išreiškiamos geometriniais terminais. Joje įvairios algebrinės lygybės buvo įrodinėjamos naudojantis plotų bei tūrių savybėmis. Tai įgalino pirmą kartą istorijoje bendriausiu būdu algebrines tapatybes. Ši tapatybė:

(a+b) =a + b + 2ab

buvo nustatyta rementis figūra, pavaizduota

1 pav., kur AE=A, O be=b. Šios tapatybės

teisingumas buvo įrodynėtas bet kokiems dydžiams a ir bb , visai nekreipiant dėmesio

nei į tai, ar jie bendramačiai, ar nebendramačiai. Čia galima įrodinėjant

aptikti ir tokias tapatybes, kaip (a+b)c=ac+bc (distributyvumo principas). Kam antikos matematikams pripreikė šios iš pirmo žvilgsnio visai nenaudingos tapatybės? Atsakymas tik vienas – juos domino ne vien tik skaičiavimo galimybės, bet ir sugebėjimas pagrįsti, rutuliuoti matematinę teoriją. Geometrinė algebra, kaip mokslui apie bendresnės prigimtiesobjektus. Tad geometrinė algebra savo laiku buvo pažangus reiškinys, leidęs nagrinėti algebrinių operacijų bendriausias savybes.

V a. pr. m. e. graikų matematikoje aatsirado uždavinių, kurie negalėjo būti išspręsti klasikinės geometrinės algebras priemonėmis, kitaip sakant, pasirodė pirmieji “neišsprendžiami” uždaviniai. Tai garsiosios antikos problemos: kubo padvigubinimo, kampo trisekcijos ir skritulio kvadratūros. Visi šie uždaviniai turi ilgą istoriją ir buvo galutinai išspręeti tik XIX a., pirmieji du ketvirtąjame, o paskutinysis- devintąjame dešimtmtyje.

ZENONO ELĖJIEČIO APORIJOS

Kliūtys, kilusios geometrinės algebras kelyje, parodė, jog ji negali išvengti pirmosios matematikos krizės. Jau nepakako žinoti, kad atkarpa yra bendresnis dydis už skaičių. Matematikams reikėjo nustatyti, kas yra taškas, tiesė, plokštuma ar kūnas.

Ilgainiui antikos matematikoje stichiškai susikristalizavo tokie matematinių abjektų apibrėžimai: “Taškas yra tai, kas neturi dalių”, “Tesė- tai ilgis be pločio”, “Paviršius yra tai, kas turi ilgį ir plotį”, “Kūnas yra tai, kas turi ilgį, plotį ir gylį”. Tačiau kaip matome, šie apibrėžimai negali mūsų patenkinti. Nežiūrint jų loginių netikslumų (juk ir meilę ir draugystę turime laikyti taškais,nes jie neturi dalių), kyla klausimas- kas yra tas ilgis, plotis, ar gylis? Todėl buvo priimta laikyti, kad tiesiai judantis taškas nubrėžia tiesę; judanti tiesė duoda paviršių. Šis požiūris į geometrinius objektus išliko iki naujųjų amžių.

Taip visai nejučia I matematiką buvo įvesta judėjimo sąvoka. Tačiau judėjimas visai nėra matematinis objektas. Ir todėl per didelis pasitikėjimas juo gali sukelti matematikai daug keblumų. Pirmasis tai pastebėjo ssenovės graikų išminčius Zenonas, gyvenęs V a. pr. m. e. pietų Italijoje esančioje graikų gyvenvietėje Elėjoje.

Antikos filosofijos autoritetas Aristotelis Zenoną vadina dialektikos išradėju. Tai liudija ir iki šių dienų atėjusios jo garsiosios aporijos (lietuviškai “keblumai”), neigiančios judėjimą. Vien dėl jų Zenonas buvo pramintas “dviženkliu”.

Pirmojoje Zenono aporijoje “Dichotomijoje” (kas reikštų bdalijimą pusiau) jis įrodinėja, kad judėjimas negali prasidėti, nes judantis kūnas, prieš pasiekdamas kelio galą, turi nueiti iki jo vidurio. Tačiau kol jis nueis iki kelio pusės, turi pasiekti tos pusės pusę,ir taip iki begalybės, t.y. orint patekti iš vieno taško į kitą, reikia praeiti be galo daug taškų, o tai yra neįmanoma. Antroje aporijoje “Achilas ir vėžlys” įrodinėjama, kad ir koks greitas bebūtų garsusis graikų karys Achilas, jis vis tiek nesugebėtų pavyti . vėžlio. Zenono samprotavimų esmė tokia. Sakykime Achilas yra taške A, o vėžlys – taške B. Kol Achilas atbėks į tašką C, vėžlys jau bus taške D, ir taip toliau. Išvada viena-Achilas niekuomet nepavys vėžlio. Jei dar kam nors šios aporijos neįtiktų, jog judėjimas neįmanomas, jis pateikia ir trečią “Strėlė”. Lekianti strėlė nejuda, nes kiekvienu laiko momentu ji užima tam tikrą pastovią padėtį. Tad kas tuomet yra judėjimas? Ką norėjo atskleisti Zenonas savo aporijomis?

Jo argumentai įrodo, kad baigtinį iintervalą galima suskaidyti į begalinį skaičių mažų atkarpėlių, kurių kiekviena yra baigtinio ilgio. Bet tai reiškia, kad baigtinę atkarpą galime suskaidyti į begalybę atkarpų, kurių kiekviena turi griežtai apibrėžtą nelygų nuliui ilgį. Zenonas visai nesistengia paneigti judėjimo, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Jo tikslas buvo pademonstruoti, kad tuometinės idėjos bei sąvokos negalėjo padėti perprasti judėjimo esmės.

Zenono aporijos sukėlė filosofų ir matematikų sąmyšį. Ir ne vien antikos mąstytojųb tarpe. Net dabar, praėjus beveik 25 amžiams nuo jų paskelbimo, šios apotijos jaudina matematikų protus. Ne veltui prancūzų mokslo istorikas P.aneris teigia, kad tik Zenono aporijos ir sukėlė pirmąją matematikos krizę – “tikrą loginį skandalą”.

Turėjo ateiti matematikoje toks metas, kai teko susidomėti ir begalybės problema. Pirmasis, tyrinėjas begalybės problemą, ir buvo Zenonas Elėjietis. Jo aporijos – tai pirmieji begalybės problemos sukelti paradoksai. Reikėjo neutralizuoti šiuos paradoksus. Kaip rašo mokslo istorikas S.Lurjė, “tas,kuris norėjo išgelbėti matmatiką nuo Zenono puolimo, turėjo paneigti ir begalinį dalumą, ir bemačių dalelių egzistavimą”. Tokio uždavinio ir ėmėsi nauja antikos mokslo kryptis, kurios svarbiausias atstovas buvo Demokritas.

DEMOKRITO ATOMIZMAS

Reikia iškarto pripažinti, kad Demokritas nebuvo vienintelis ar pirmasis šios krypties atstovas. Atomistinės idėjos, kurių šalininkas buvo Demokritas, siekia žymiai senesnius laikus, dar gi prieš Trojos žlugimą.Kaip jos atsirado? Matyt, jas

sužadino šitokie samprotizmai: jei turime kokį nors materialų daiktą ir jį smulkiname, tai šis procesas negali tęstis be galo, nes, priėjus ribą, kada nebus ką dalyti,išeis, kad materija išnyko. Vadinasi, reikia įvesti dalijimosi ribą, prieti prie kažko nedalomo (graikiškai “atomo”), kurio padalyti būtų neįmanoma.Šią idėją Demokritas ir paėmė pagrindu savo teorijos, kurią sukūrė kaip atsvarą Pitagoro ir Zenono mokymams.

Demokritas buvo vienas labiausiai pasišventusių mokslui mąstytojų. Jis mėgo atsiskyręs mąstyti, niekino žemiškąją tuštybę, buvo labia įžvalgus. Jo tikslas buvo sukurti tokią tteoriją, kuri atsižvelgtų į mūsų jutimus. Demokrito nuomone, visą pasaulį sudaro atomai ir tuštuma. Atomai grupuodamiesi suformuoja įvairius kokybiškai skirtingus daiktus. Kadangi jis buvo neblogas matematikas, tai visai nenuostabu, kad mokymas apie atomus buvo perkeltas ir į matematiką. Fizikinis atomizmas neįmanomas nesukūrus matematinio atomizmo. Juk bet kokio kūno dalelė, kad ir kokia maža būtų, turi savo matmenis, vadinasi, ir vėl gali būti padalyta. Tad į pagalbą nori nenori tenka kviestis matematinį atomizmą.

Demokrito principas, kad kiekvieną kūną galima laikyti susidedančiu iš ddidelio skaičiaus elementarių dalelių, vėliau pasitarnavo kuriant matematinę analizę. Tačiau prieš tai jį dar reikėjo apvalyti nuo fizikinio apvalkalo. Ir tai padarė kitas žymus antikos mąstytojas, objektyviojo idealizmo ir dialektikos kūrėjas – Platonas

PLATONO MATEMATINĖ PROGRAMA

Demokrito ir Platono vardai buvo tarsi vvėliavos, iškeltos dviejų priešiškųjų stovyklų antikos filosofijoje – materializmo ir idealizmo. Platonas nusivylė tuomet klestėjusia natūrfilosofija, kurios svarbiausias tikslas buvo parodyti, o ne įrodyti. Kaip atsvarą šiems darbams jis ir sukūrė teoriją, pagrįstą bendros ir amžinos “idėjos” sąvoka, kur atsvarą, kur mūsų besikeičiąs, nepastovus pasaulis yra tik šios “idėjos” atspindys. Ir visas mūsų pažinimas – tai tik “idėjos” pažinimas. Bet kaip jį įgyti, jei mūsų besikeičiančio realaus pasaulio pažinimą Platonas laikė esant tik nuomone? Tam turėjo pasitarnauti jo sukurtas hipotetinis dedukacinis metodas, kai iš tam tikrų apibrėžimų ir prielaidų (hipotezių) logiškai samprotaujant daromos išvados. Taip pirmą kartą dedukacinis metodas, jau prigijas matematikoje, buvo panaudotas bendram pasaulio pažinimui.

Platonas nebuvo matematikas.Tačiau jis, N.Burbaki žodžiais tariant “buvo matematikos užvaldytas, ir nors nieko neįnešias įį tą sritį, jis nuo tam tikro amžiaus pradėjo nagrinėti darbus tuolaikinių matematikų (kurių daugelis buvo jo draugai ar mokiniai) ir nenustojo ja domėtis, netgi pasiūlė naujas jos tyrinėjimo kryptis”. Matematika Platonui buvo priemonė “įžvelgė gėrio idėją”. Todėl jis po filosofijos teikia jai svarbiausią reikšmę. Virš savo akademijos durų jis iškabino šitokį devizą: “Te neįžengia čionai tas, kas nemoka geometrijos”. Tačiau Platonui matematika buvo nevienalytė. Nors ji jau buvo skirstoma į taikomąją, vadinamąją “daugumos matematika”, ir dedukacinę, įrodymu paremta “filosofuojančiųjų mmatematika”, jis dedukacinėje matematikoje dar išskiria aritmetiką, kaip mokslą apie skaičių, kurį, Platono nuomone, galima mąstyti, t.y., kuris nė kiek nenusileidžia “dėjai”. Tuo tarpu geometriniai objektai, kurie irgi yra mintijami, bet turi dar ir pirmavaizdžius realiame pasaulyje (gaunami iš materijos ir skaičių), jau tegali užimti žemesnę padėtį už idėjas. Todėl Platonas skiria tris realybės rūšis: “Yra būtis, yra erdvė, ir yra atsiradimas”. Būtis – tai realybės sfera,o atsiradimas – tai jutiminis “buvimas” , vadinasi, erdvė yra kažkas tarp idealaus ir jutiminio, vienu žodžiu, kažkas neaiškaus. Tarybinė filosofė P.Gaidenko rašo, kad “norėdamas rasti geometrinių objektų statusą, jis (Platonas) prieina prie išvados, kad erdvė – geometrijos stichija – yra kažkas tarpinio tarp idėjų ir jutiminio pasaulio”. Taip pirmą kartą antikos moksle buvo įvesta geometrinės erdvės sąvoka.

ARISTOTELIS APIE MATEMATIKOS ESMĘ

Aristotelis buvo “didžiosios Graikijos” žlugimo ir naujos – helenizmo epochos gimimo liudininkas. Jis buvo vienas žymiuasių antikos mąstytojų, – ne tik filosofas, bet ir gatininkas, fizikas. Aristotelio nuopelnas tas,- kad jis atskyrė potencialiąją ir aktualiąją begalybę. Tai jam pavyko padaryti, į filosofiją įvedus galimybės (potencijos) apskritai ir tikrovės (aktualumo) apskritai sąvokas. Aristotelis begalybės problemą traktuoja dialektiškai: begalybės kaip tokios neįmanoma nei pripažinti, nei paneigti, tačiau tai visai neįrodo, kad ji egzistuoja arba neegzistuoja. Tai rreiškia, kad begalybės kaip tokios nėra, kad begalybė nelygu begalybei, ir kas tinka vienai begalybei, neteisinga kitai. Čia Aristotelis ir įveda aktualiąją ir potencialiąją begalybes

Aristoteliui aktualioji begalybė yra begalinis jutimais pažintinas kūnas ir dydis. Kadangi, jo nuomone, Visata yra baigtinė, tai tuo pačiu negali egzistuoti aktualioji begalybė,- dydis gali būti tik potencialiai begalinis, kurį galima tolygiai dalinti. Ir skaičius negali būti aktualiai begalinis. Begalybę Aristotelis supranta kaip procesą,- nėra begalinio skaičiaus, bet visada yra skaičius, didesnis už pasirinktąjį.

Aristotelis rūpinosi ir pačios matematinės teorijos pagrindu. Aristotelio sukurta silogizmo teorija padėjo dedukcinį metodą matematikoje. Silogizmas yra Aristotelio atradimas. Jį sudaro trys teiginiai, kurių pirmi du yra prielaidos, o trečias – išvaizda. Silogizmas yra dedukacinis samprotavimas, todėl jis tapo pagrindiniu matematinių teiginių įrodymo įrankiu. Be to, Aristotelis dar suformulavo prieštaravimo ir negalimo trečiojo dėsnius, nustatė, kad iš teisingų prielaidų neįmanoma daryti klaidingos išvados.

Aristotelis taip pat sudarė matematinių sąvokų apibrėžimo principus. Pasak jo, bet kuri sąvoka apibrėžiama, ją įterpiant į bendresnę gimininę sąvoką, nurodant apibrėžiamos sąvokos rūšinį skirtumą. Toks apibrėžimo procesas gali tęstis tol,kol neprieisime prie pačių bendriausių sąvokų, kurias Aristotelis vadina kategorijomis. Aristotelis suprato, jog matematikai nebūtina, kad jos pagrindinės sąvokos būtų kategorijos. Veikiau reikia nustatyti jai būdingus tvirtinimus – aksiomas. O tada, pprisilaikant formalių logikos dėsnių, galima įrodinėti matematikos dėsnius ir nuosekliai įvedinėti naujų sąvokų apibrėžimus. Taip ir elgėsi Euklidas, rašydamas savo “Pradmenis”.

Kauno Maironio gimnazijos

MATEMATIKOS ISTORIJA

Darbą atliko:

Akvilė 1b

KAUNAS 2005

Literatūros sąrašas:

v www.tingiu.lt

v www.speros.lt

v Tarybinė enciklopedija