Matematikos paruoštukė
Pagr.vekt.sąvokos.
Vekt-krypt.apibrėžto ilgio atkarpa erdvėje kur nurodyta jos prad ir galo taškai.Zymejimas. AB ilgiu arba moduliu vad atstumą tarp taškų A ir B ir žym |AB|.Vekt kurio prad tšk sutampa su galo- nuliniu vekt Jis žymimas 0. Kryptis- neapibr.Vienoje tiesėje arba lygiag ties vekt vad koliniariais a//b vekt lygiag vienai plokt vadinami komplanariais.
vekt vad lygiais kai jie yra vienodo ilgio, kolinearūs ir vienodų krypčių.a=b.
du kolinearūs vienodo ilgio bet priešingų krypčiųvekt-priešingais.Vekt.a priešingas vektorius žym –a.
Veiksmai
Norint sudėti du vektorius a ir b juos aatkeliam į bendrą prad tšk ir sudedam lygiagretainį, kurio kraštinės sutampa su vekt. (lygiagretainio taisyklė).
Pagal trikampio taisyklę, kai turime daugiau negu du vek. Tris nekomplanarius vektorius galima sudėti pagal gretasienio taisyklę. vektorių a ir b skirtumu vad tokį vekt c kurį pridėję prie vekt b gausime vekt a. c=a-b
Bendroji tiesės lygtis erdvėje R2.
Tiesės padėtis erdvėje R2 bus pilnai nusakyta jeigu žinisime tašką M0( x0;y0) per kurį eina tiesė ir vektorių n{a;b} statmeną tiesiai. M0Mn, taškas m bet kurioje vietoje. MM0M.n=0 (1). M0M{x-x0; y-y0}; n{a;b}, (x-x0)a+ (y-y0)b= 0, ax+ by+ (-ax0- by0)= 0. Duotajai tiesei pastovų dydį –ax0- by0= 0 pažymėsim c: ax+ by+ c= 0 – bendroji tiesės lygtis (x,y tiesės bet kurio taško koordinatės). Matome, kad pirmojo laipsnio ddviejų kintamųjų x ir y lygtis geometriškai reiškia tiesę erdvėje R2. Šią lygtį išsprendę y atžvilgiu turėsim lygtį y= kx+ b – kryptinė tiesės lygtis. k= tg – tiesės krypties koeficientas, b – atkarpa, kurią tiesė atkerta ant y ašies. y- y0= k(x-x0) – tai yra lygtis tiesės einančio per tašką (x0, y0), o krypties koeficientas k. (y-y0)/ (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)-lygtis tiesės einanč per duotus taškus (x1, y1); (x2, y2).
Kampas tarp dviejų tiesių.
Rasim kampą tarp tiesių duotų lygtimis: y= kx+ b1, y= kx+ b2 , k1 = tg1, k2= tg2. Pagal trikampio priekampio teoremą turėsim, kad 12 (1) =1-2 tg= tg(1-2)= (tg1- tg2)/(1+ tg1tg2)= (k1- k2)/(1+ k1k2). = arctg(k1- k2)/(1+ k1k2). Pastaba: norėdami rasti smailųjį kampą tarp tiesių naudojame tokią fformulę: = arctg|(k1-k2)/ (1+k1k2)|. Kai tiesė t1||t2, tai =0 ir tg= (k1-k2)/ (1+k1k2)= 0. k1-k2= 0 k1= k2 lygiegrečių tiesių krypčių koeficientai yra lygūs. t1t2, = /2, 1= 2+ /2, tg1= tg(2+ /2), tg1= -ctg2= -1/tg2, k1= -1/k2, k1k2= -1 – dviejų tiesių statmenumo sąlyga.
Taško atstumas iki tiesės.
Rasim taško M0(x0, y0) atstumą iki tiesės ax+ by+ c= 0 (brėž 11). M1M0.n= |M1M0|.|n|.cos, M1M0.n= d.(a2+ b2). (1), d= (M1M0.n)/ (a2+ b2), M1M0 {x0-x1; y0-y1}, d= |(a(x0-x1)+ b(y0-y1))/ (a2+b2)|= |(ax0+ by0- (ax1+ bby1))/ (a2+b2). Kadangi M1(x1, y1) priklauso (t) tiesiai, tai jo koordinat turi tenkinti tiesės lygtį: ax1+ by1+ c=0, -(ax1+ by1)= c, d= |(ax0+ by0+ c)/(a2+b2).
Taško atstumas iki plokštumos.
Rasim taško M0(x0, y0, z0) atstumą iki plokštumos Ax+ By+ Cz+ D= 0, M1M0{x0- x1, y0- y1, z0- z1), n{A, B, C}, M1M0.n= |M1M0|.|n|.cos( M1M0, n), M1M0.n= |d|. |n|. (1), d= M1M0.n/|n|, d= |M1M0.n/ n|= ((x0- x1)A+ (y0-y1)B+ (z0-z1)C)/ (A2+ b2+ C2)= |(Ax0+ By0+ Cz0- (Ax1+ By1+ Cz1))/ (A2+ b2+ C2)|. M1(x1, y1, z1) Ax+ By+ Cz+ D= 0 Ax1+ By1+ Cz1+ D= 0, -(Ax1+ By1+ Cz1)= D: d= |(Ax0+By0+ Cz0+ D)/ (A2+ b2+ C2)|.
Lygtis tiesės einančios per 2 duotus plokštumos taškus.
M1(x1, y1, z1); M2(x2, y2, z2), tiesės linkmės vektorius yra s= M1M2{x2-x1, y2-y1, z2-z1}. Rasim kanoninę lygtį: M1(x1, y1, z1), s= {x2-x1, y2-y1, z2-z1}: (x-x1)/ (x2-x1)= (y-y1)/ (y2-y1)= (z-z1)/ (z2-z1) – lygtis tiesės einančios per 2 duotus taškus.Apskritimas.
Apskritimu vad geometrinė vieta plokštumos taškų vienodai nutolusių nuo pastovaus taško vadinamo apskritimo centru. Rasime apskritimo, kurio centras taške C(a,b), o spindulys r. Įmame bet kurį apskrit tašką M(x,y). visada bus teisinga lygybė: |CM|=r , CM{ x-a; y-b}, |CM|= ((x-a)2+ (y-b)2), ((x-a)2+ (y-b)2)= r, (x-a)2+ (y-b)2= r2 – tai yra kanoninė lygtis apskrit, kurio ccentrastaške C(a,b), o spindulys r. kanoninę apskr lygtį pertvarkom taip: x2- 1ax+ a2+ y2- 2by+ b2- r2= 0, x2+ y2- 2ax- 2by+ (a2+ b2- r2)= 0. Palyginkim šią apskr lygtį su dviejų kintamųjų x ir y antrojo laipsnio lygtimi, kurios bendras pavidalas yra toks Ax2+ By2+ Cxy+ Dx+ Ey+ F= 0. Kad dviejų kintamųjų antrojo laipsnio lygtis reikštų apskritimą būtinos sąlygos yra: 1. Kad koefic prie nežinimųjų kvadratų būtų vienidi (A=B). 2.lygtyje turi nebūti nario su kintamųjų sandauga (C=0).
Hiperbolė.
Hiperbole vad geometrinė vieta plokštumos taškų, kurių kiekvieno atstumu iki dviejų pastovių taškų, vad židiniais skirtumas yra pastovus. Hiperbolės židiniai yra taškuose F1(c, 0), F2(-c, 0). Hiperbolės bet kurio taško M(x, y) atstumu iki židinių skirtumas yra 2a. Rasim hiperbolės lygtį.Pagal apibrėž |MF2|- |MF2|= 2a. kadangi MF2{-c-x; y}, tai vektoriaus modulis |MF2|= ((c+x)2+ y2), MF1{c-x, -y}, |MF1|= ((c-x)2+ y2), ((c+ x)2+ y2)- ((c-x)2+ y2)= 2a. sutvarkom šią lygtį analogiškai kaip ir elipsės lygtį, gausime tikią lygtį: x2/a2- y2/b2= 1 – kanoninė hiperbolės lygtis. kur b2= c2- a2, = c/a – hiperbolės ekscentricetas. x2- y2= a2 – lygiaašė hiperbolė.hiperb pavidalui nustatyti išnagrinėsim hiperbolės asimptotę – vad tiesė prie kurios nutoldamos artėja hiperb šakos.x2/a2- y2/b2= 1, kai y= bx/a. įrodisim, kad tiesė y= bx/a yyra hiperbolės x2/a2- y2/b2= 1 asimptotė. Iš hiperbolės lygties išskaičiuojame y: y2/b2= x2/a2- 1, y2/b2= (x2- a2)/a2, y2= b2(x2- a2)/a2, y= b(x2- a2)/a. Argumento x reikšmę atitinkančią pažymime yt, o hip tiesę pažym yh, yt= bx/a, yh= b(x2- a2)/a, yh- yt= b/a ((x2- a2)-x). Kai x artėja į , tai yh- yt= b/a ((x2- a2)- x)= (b((x2- a2)- x))((x2- a2)+ x))/ (a((x2- a2)+ x))=(b(x2- a2- x2))/(a((x2- a2)+x))= -ba/((x2- a2)+ x) – mažėja (artėja į nulį) arba yh artėja prie yt, vadinasi hiperb šakos artėja prie tiesės y= bx/a ir yra asimptotė.
Skaičių seka ir jos riba.
Jeigu kiekvienam natūriniam skaičiui n tam tikru būdu galima priskirti skaičių xn, tai turime skaičių seką. x1, x2, .. ,xn arba {xn} xn – bendras sekos narys. Turėdami bendrąjį narį galime užrašyti bet kurį sekos narį, o tuo pačiu ir visą seką: xn= 1/n, x1= 1, x2= ½, x3= 1/3; {1/n} 1, ½, 1/3, .. ,1/n,.. Kad išsiaiškinti sekos ribos sąvoką imkim keletą pvz: 1) {1/n}= 1, ½, 1/3,.., 0. 2) {(n+ 1)/n}= 2, 3/2, 4/3,.. 1. 3) {(-1)n/n}= -1, ½, -1/3,. 0. 4) {(-1)n}= -1, 1, -1,..Iš šių pvz matom, kad kai n , sekos 4) neartėja priejokio vieno skaičiaus, sekos 1)
nariai artėja prie 0, sekos 2) artėja prie 1. Skaičius prie kurio artėja sekos nariai vad sekos riba. Ap.: Skaičius a vad sekos {xn} riba, jeigu kiekvienam kiek norima mažam skaičiui > 0 galima rasti tokį natūrinį skaičių N, kad visiems n> N teisinga nelygybė |xn-a|< . n lim xn= a, kai n , tai ir xn a – Ribos apibrėž. Seka turinti ribą vad konverg,o neturi ntiribos – diverg. Išsiaiškinsim sekos geometr reikšmę. Iš nelygybės |xn-a|< turėsim, kkad -< xn-a< arba a-< xn< a+. Intervalas [a-, a+], kurio viduryje yra taškas a, o intervalo spindulys , vad taško a, – aplinka. Pagal ribos apibrėž skaičius a bus sekos {xn} riba, jeigu kiekvienam laisvai pasirinktam kiek norima mažam skaičiui > 0, galima rasti tikį natūrinį skaičių N, nuo kurio pradedant sekos nariai xN+1, xN+2,. patenka į taško a – aplinką. Skaičius N visada priklauso nuo pasirinktos reikšmės. Pakeitus , keisis N. Pvz: Įrodyti, kad sskaičius a= 0 yra sekos {xn= (-1)n/n} riba. Pagal sekos ribos api brėž turėsim, kad |(-1)n/n- 0|< ; |(-1)n/n|< ; 1/n< , kai = 0,1, tai 1/n< 1/10, n>10, vadinasi imdami n reikšmes didesnes už N= 10 turėsim, kad |xn-0|< 00,1, kai n> 10. n lim(-1)n/n= 0. = 0,001, 1/n< 1/1000, n> 1000, N= 1000, visi sekos nariai tenkins lygybę |xn-0|< 0,001.
Monotoninės ir aprėžtos sekos.
Seka {xn} vad didėjančia, jeigu visiems n teisinga nelygybė xn< xn+1. Seka {xn} vad mažėjančia, jeigu visiems n teisinga nelyg xn> xn+1. Did ir maž sekos vad monoton. Seka {xn} – aprėžta iš viršaus, jeigu egzistuoja tiks skaičius M, kad su kiekviena reikšme n, teisinga nelygybė xn M. M – sekos viršutinis rėžis. Kiekvienas kitas skaičius M1> M, taip pat sekos viršutinis rėžis. Seka {xn} – aprėžta iš apačios, jeigu galima rasti tokį N, kad visiems n būtų patenkinta sąlyga xn N. N – apatinis rėžis. Kiekvienas kitas skaičius N1< N taip pat yra apatinis rrėžis. Seka {xn} vad aprėžta, jeigu ji aprėžta ir iš viršaus ir iš apačios, kai N xn M, parinkę k= min{|N|, |M|}, |xn| k, (-k xn k). seka {xn} – aprėžta jeigu egzistuoja toks skaičius k> 0, kad su kiekviena reikšme n teisinga nelygybė |xn| k.
Vienpusės ribos.
Jeigu ieškant ribos x reikšmės parenkamos į kairę nuo taško a, tai riga vad funkcijos f(x) riba taške a iš kairės. x a-0 lim f(x)= xa x
Neapibrėžtai didėjančios funkcijos. Aprėžtos funkcijos.
Ap: Funkcijos y= f(x) riba, kai x a yra lygi , jeigu kiekvienam kiek norima dideliam skaičiui M> 0, galima rasti tokį skaičių > 0, kad visiems x patenkinantiems sąlygą |x- a|< yra patenkinama nelygybė |f(x)|> M: x a lim f(x)= . Ap: Funkc f(x) riba, kai x lygi jeigu kiekvienam kiek norima dideliam skaičiui M> 0, galima rasti tokį skaičių N> 0, kad visiems |x|> N yra teisinga nelygybė |f(x)|> N: x lim f(x)= . Ap: Jeigu riba x a lim f(x)= arba (x lim f(x)= ), tai funkc f(x) vad neapibrėžtai didėjančia, kai x a arba x . Ap: funkc y= f(x) vad aprėžta tam tikrame intervale (a, b), jeigu visiems x (a, b) turime, kad |f(x)|< K, kur K> 0 kiek norima didelis skaičius.
Nykstačios funkcijos, jų sąvybės.
Funkcija (x) vad nykstačia (nykstamai mažėjančia), kai x a, jei riba x a lim (x)= 0 (x a, x ). Pritaikę ribos apibrėž turėsim: Ap: Funkcija (x) vad nykstamai mažėjančia, kai x a, jeigu kiekvienam > 0, galima rasri tokį > 0, kad esant patenkintai sąlygai |-a|< , yra patenkinta sąlyga |(x)|<. Nykstamai mažų dydžių sąvybės: 1) Nykstamai mažų dydžių suma yra nykstamai mažas dydis. Įrodymas: (x) – nykstamai maža funkc, (x) – nykst maža funkcija. x a lim (x)= 0; x a lim (x)= 0. Tada pagal apibrėž turėsim iš pirmos lygybės, kad kiekvienam > 0, galėsim rastirasti tokį 1> 0, kad |(x)|< /2. Iš antros lygybės turėsim, kad kiekvien > 0, galim rasti tokį 2> 0, kad |(x)|< /2. Parinkę = min(12), tada taško a – aplinkoj bus |(x)|< /2 ir |(x)|< /2.Sumos absoliut didum yra nedidesnis už dėmenų absoliut didumų sumą turėsim, kad |(x)+ (x)| |(x)|+ |(x)|, |(x)+ (x)|< /2+ /2, |(x)+ (x)|< . Gavom, kad taško a – aplinkoj |(x)+ (x)|< . T.y. (x)+ (x) – nykstamai maža funkcija. Analogiškai įrodomos sekančios sąvybės. 2) Nykst. m. funkc ir aprėžtos funkcijos sandauga yra nykstamai maža funkcija. 3) Sandauga dviejų nykstamai mažų funkcijų yra n.m.f.4)Jeigu f(x) yra neapr didėjanti kai x a, tai (x)= 1/f(x) – n.m.f, kai xa.
Ribų dėsniai.
1)Baigt sk. funkc algebr sum riba yra lygi šių funkc ribų algebr sumai: x a lim (f(x) (x))= A B. Įrod: žinom, kad funkcija nuo savo ribinės reikšmės skiriasi nykstamai mažu dydžių. Vadinasi iš lygybės x a lim f(x)= A seka, kad f(x)= A+ (x), (x) – n.m.f, kai x a. iš x a lim (x)= B, seka (x)= B+ (x), (x) – n.m.f, kai x a. tada f(x) (x)= (A+ (x)) (B+ (x))= (A B)+ ((x)(x)); (x) (x) – n.m.f. Matome, kad funkcija f(x) (x) nuo skaičiaus A B, skiriasi n.m.f (x) (x). tai reiškia, kad skaičius A B yra funkcijos f(x) (x) riba: x a lim (f(x) (x))= A B. Kiti dėsniai įrodomi analogiškai:2) Baigtinio skaičiaus funkcijų sandaugos riba yra lygi šių funkcijų ribų sandaugai: x a lim (f(x). (x))= A.B. 3) Dviejų funkcijų santykio riba lygi šių funkcijų ribų santykiui, jeigu tik vardiklio riba 0: x a lim f(x)/ (x)= A/B, (B 0). 4) Pastovų daugiklį galima iškelti prieš ribos ženklą: x a lim (C.f(x))= x a Clim f(x)= CA, C= const.
Neapibrėžtumai.
Žinant 2 funkcijų f(x) ir (x) ribas, kai x a arba x ne visada galima pasakyti kokios bus tų funkcijų sumos, sandaugos ar dalmens ribos. Dažnai pasitaiko neapibrėžti reiškiniai. 1. Neapibrėžt – kai nagrinėjamas 2 nyks maž funkc f(x), (x) santykis vad neapibrė-tumu 0/0. 2. Neap – kai nagr 2 neap did funkc santyk f(x)/ (x) vad neapibrėžt / . 0/0; / – pagr neapibrėžt Be jų dar yra 0; -; 00; 0; 1 – neapibrėžt.. Panaikinti neapibrėž reiškia rasti to reiškinio ribą, jeigu ji egzistuoja. Neapibrėžt panaikinimui dažnai pritaikomos tokios dvi pagr ribos: 1) x 0 lim sinx/ x= 1. 2) x lim (1+ 1/x)x= e. Įrodymai: įrodysim, kad riba x 0 lim sinx/x= 1. Įmame vienetinį aps ir kampą x, esentį 0< x< /2. Iš brėž matom, kad SODA< Sišpjov ODA< SODC. ½ OD.AB< ½ R. DA< ½ OD. DC, ½. 1. sinx< ½. 1. x. 1< ½ 1 1 tgx | .2, sinx< x< tgx| :sinx> 0, sinx/ sinx< x/ sinx< tgx/ sinx, sinx/ sinx> sinx/ x> sinx/ tgx, 1> sinx/ x> cosx, cosx< sinx< 1. Šioje nelyg pereikime prie ribos, kai x 0: x 0 lim cosx< x 0 lim sinx/ x< x 0 lim 1, x 0 lim cosx= 1, x 0 lim 1= 1. Gavom, kad riba x 0 lim sinx/ x yra tarp 1 ir 1, taigi x 0 lim sinx/ x= 1. Įrodysim: x lim (1+ 1/x)x= e. y= (1+ 1/x)x rasim šios funkc ribą, kai x sekos xn= (1+ 1/n)n, kai n riba lygi e. Kai x +, imkim argumento reikšmių seką x1= 1, x2= 2.xn= n. Tada funkc reikšmių seka bus yn= {1+ 1/n}n. x lim (1+ 1/n)n= e, tai x + lim (1+ 1/n)n= e. Rasim ribą, kai x - : x - lim (1+ 1/x)x .(1), u= -x, kai x -, tai u +, x - lim (1+ 1/x)x= u + lim (1+ 1/u)-u= lim ((u-1)/ u)-u= lim (u/ (u-1))u= lim ((u-1+1)/ (u-1))u= lim (1+ 1/ (u-1))u. z= u-1, u= z+1, u +, z +. z + lim (1+ 1/z)z+1= lim (1+ 1/z)z (1+ 1/z)= e.1= e. x - lim (1+ 1/x)x= e. (2). Sulyginę nelyg (1) ir (2), nesvarbu ar į + ar į -, riba vienoda.
Tolydžios funkcijos.
Funkcija y= f(x) vad tolydžia taške x0, jeigu ji yra apigrėžta šiame taške ir jo aplinkoje, be to funkc riba šiame taške sutampa su jos reikšme jame. x xo lim f(x)= f(x0). (1). Panaudoję funkc ribos apibrėž turėsim, kad funkc f(x) yra tolydi taške x0, jeigu kiekvienam kiek norima mažam skaičiui > 0, galima rasti tokį skaičių > 0, kad esant patenkintai sąlygai |x- x0|< yra patenkinta nelygybė |f(x)- f(x0)|< . Skirtumas x= x- x0 vad argumento pokyčiu, o y= f(x)- f(x0) vad funkcijos pokyčiu y= f(x0- x)- f(x0). Iš pirmos lygybės turėsim, kad x xo lim f(x) yra lygi x xo lim f(x0). Kai x x0, tai x= x- x0 0. x xo lim f(x)= x xo lim f(x0) (2). Iš (2) turėsim x xo lim f(x)- x xo lim f(x0)= 0 arba x xo lim (f(x)- f(x0))= 0, x 0 lim (f(x)+ y- f(x0))= 0, x 0 lim y= 0. Funkcijos y= f(x) tolydumą taške x0 galime apibrėžti ir taip: Funkcija f(x) yra tolydi taške x0, jeigu šiame taške nykstamai mažą argumento pokytį atitinka nykstamai mažas funkcijos pokytis. Funkcija y= f(x) vad tolydžia intervale [a, b], jeigu ji tolydi kiekviename šio intervalo taške. Tolydžios intervale [a, b] funkcijos grafikas yra ištisinė nenutrūkstanti kreivė. Tolydžių funkc sąvybės: Jeigu funkcijos f(x) ir (x) yra tolydžios taške x0, tai ir funkcijos f(x) (x); f(x) (x); f(x)/ (x) – yra tolydžios taške x0. Įrodymas: jeigu f(x) ir (x) yra tolydžios taške x0; x xo lim f(x)= f(x0), x xo lim (x)= (x0). Tada x xo lim (f(x)+ (x))= lim f(x)+ lim (x)= f(x0)+ (x0). Gavom, kad f(x)+ (x), kai x x0 sutampa su funkcijos reikšme šiame taške f(x0)+ (x0), todėl funkcija f(x)+ (x) yra tolydi taške x0. Jeigu funkcija f(x) – tolydi [a, b] ir šio intervalo galuose funkcijos reikšmės yra prišingų žėnklų, tai intervalo viduje bus bent viena argumento reikšmė, kuriai esant funkcija lygi 0.
Funkcijos trūkio taškai.
Kad funkcija f(x) būtų tolydi taške x0, turi egzistuoti riba x xo lim f(x)= f(x0). Iš ribų teorijos žinome, kad funkcija kokiame tai taške turi ribą, tada kai ji šiame taške turi ribas iš kairės ir dešnės ir jei jos tarpusavyje lygios: f(x0- 0)= f(x0+ 0)= f(x0). Jeigu bent viena iš šios lygybės sąlygų yra nepatenkinta, tai funkcija f(x) taške x0 turi trūkį. Kvalifikuosim trūkio taškus. 1) taškas x0 vad funkc f(x) pirmos rūšies trūkio tašku, jeigu f(x0- 0) f(x0+ 0) (brėž 21). Pirmos rūšies trūkio taške funkc grafikas daro baigtinį šuolį. 2) Taškas x0vad funkc f(x) antros rūšies trūkio tašku, jeigu bent viena vienpusė riba šiame taške yra begalinė arba neegzistuoja (brėž 22). 3) Taškas x0 vad funkc f(x) pašalinamuoju trūkio tašku, jeigu f(x0- 0)= f(x0+ 0)f(x0) (brėž 23). Šį trūkio tašką pašaliname funkc reikšmę f(x0) pakeisdami riba x x0 lim f(x).
Nykstamų funkc palyginimai.
Duota 2 nyks maž funkc: f(x), (x) – n.m.f, x a lim f(x)= 0, x a lim (x)= 0. 1) Jeigu riba x a lim f(x)/ (x)= 1, tai f(x) ir (x) vad ekvivalenčiomis nykst maž funkc. (f(x)~ (x)). 2) Jei x a lim f(x)/ (x)= b 0 (b – baigtinis skaičius), tai funkcijos f(x) ir (x) yra tos pačios eilės nykst maž funkc. 3) Jeigu x a lim f(x)/ (x)= 0, tai f(x) yra aukštesnės eilės n.m.f negu (x). (f(x)= (x)). Jeigu x a lim f(x)/ (x)= , tai ((x)) yra aukštesnės rilės n.m.f negu f(x). ((x)= f(x)).
Parabolė.
Parabole vad geometrinė vieta plokštumos taškų, vienodai nutolusių nuo pastovaus taško vad židiniu ir pastovios tiesės, vad direktise. Rasim kanoninę lygtį parabolės, kurios F(p/2, 0) o direktisės lygtis y= -p/2.(brėž14). Pagal parabolės apibrėž turėsim, kad |NM|= |FM, NM{x+ p/2; 0), FM{x-p/2; y}, (x2+ p/2)2= ((x- p/2)2+y2), (x+p/2)2= (x-p/2)2+ y2, x2+ px+ p2/4= x2- px+ p2/4+ y2, y2= 2px – kanoninė lygtis. p – parabolės parametras.) Įšvada: parabolė yra simetrinė tai koordinatų ašiai kuri lygtyje yra pirmojo laipsnio.
Dviejų vektorių skaliarinė sandauga.
2 vekt a ir b skaliar sand vad dydis lygus dauginamųjų vektorių ir kampo tarp jų kosinuso sand ab=|a||b|cos(ab)=|a|prab=|b|prba.Dviejų vekto rių skaliar sand yra lygi sandaugai vieno vekt modulio ir antro vektorio proejkcijos į pirmojo kryptį. Skaliariniai sand tinka dėsnis: ab= ba. Vektorių duotų projekcijom skal sand yra lygi jų vienvardžių projekcijų sandaugų sumai:ab=axex+ay ey +azez.jei ab, tai ab=0– tai dviejų vektorių statmenumo sąlyga.
Elipsė.
Elipse vad geometrinė vieta plokštumos taškų, kurių atstumų iki dviejų pastovių taškų vadinamų židiniais suma yra pastovus dydis. rasim lygtį elepsės, kurios židiniai yra taškuose F1(-c,0); F2(c,0), o elepsės bet kurio taško M(x,y) atstumų iki židinių suma yra 2a. (brėž 12). Pagal elepsės apibrėž turėsim, kad F1M+ F2M= 2a (1), F1M{x+c; y}; |F1M|= ((x+c)2+ y2), F2M{x-c; y}; |F2M|=((x-c)2+ y2). Tada pirmoji lygybė bus tokia: ((x+c)2+ y2)+ ((x-c)2+ y2)= 2a – elepsės lygtis. Suvesim šią lygtį į kanoninę lygtį: ((x+c)2+ y2)= 2a- ((x-c)2+ y2), (x+c)2+ y2= 4a2- 4a((x-c)2+ y2)+ (x-c)2+ y2, 4a((x-c)2+ y2)=4a2+ x2- 2cx+ c2- x2- 2cx- c2, 4a((x-c)2+ y2)= 4a2- 4cx| :4, a((x-c)2+ y2)= a2- cx, a2((x-c)2+ y2)= a4- 2a2cx+ c2x2, a2(x2- 2cx+ c2+ y2)= a4- 2a2cx+ c2x2, a2x2- 2a2cx+ a2c2+ a2y2- a4+2a2cx- c2x2= 0, (a2- c2)x2+ a2y2- a2(a2- c2)= 0. Iš trikampio F1F2M turėsim, kad F1M+ F2M> F1F2: 2a>2c, a>c, a2>c2, a2-c2> 0. Teigiamą skaičių a2-c2 pažymėkim b2.b2= a2- c2. b2x2+ a2y2= a2b2| :a2b2, x2/a2+y2/b2=1 – kanoninė elipsės lygtis. a–didysis pus ašis, b–mažasispusašis, 2a–didžioji ašis, 2b– maž oji ašis. = c/a – eleipsės ekscentricetas (mažesnis už 1).
Funkcijos riba taške.
Duota funkcija y= f(x) apibrėžta taško a aplinkoje. Išskyrus patį tašką a. Ap: Skaičius b vad f(x) funkcijos riba taške a, jeigu kiekvienam, kiek norima mažam skaičiui > 0 galima rasti tokį skaičių > 0, kad visiems x a tenkinantiems sąlygą |x-a|< , yra teisinga nelygybė |f(x)- b|<. Žimėsim: x alim f(x)= b. panagr funkcijos ribos geometr prasmę. Iš nelygybės |x-a|< turime -
