Matematinė analizė

1. Funkcijos apibrėžimas ir jos išreiškimo būdai:

Jeigu kiekvienai kintamojo x reikšmei, priklausančio aibei X, pagal tam

tikrą dėsnį arba taisyklę, yra priskiriamas kitas kintamasis y,

priklausantis aibei Y, tai y yra vadinamas x funkcija.

y=f(x); y=g(x)

x vadinamas nepriklausomu kintamuoju, arba argumentu. y priklausomas

kintamasis/funkcija.

Aibė X vadinama funkcijos apibrėžimo sritimi, o Y – funkcijos reikšmių

sritis.

Funkcijos išreiškimo būdai:

1) Analizinis; (taisyklė, pagal kurią randama.)

2) Lentelinis; (kai atlieki eksperimentą)

3) Grafinis. (pagal grafiką, pvz. Širdies kardiograma).

Norint rasti funkcijos apibrėžimo sritį, reikia:

2. LLyginė, nelyginė funkcija:

Jeigu f(-x)=f(x), tai funkcija yra lyginė. Pvz.: y=x2

Jeigu f(-x)=-f(x), tai funkcija yra nelyginė. Pvz.: y=x3

Dauguma funkcijų yra nei lyginės nei nelyginės.

3. Didėjanti, mažėjanti funkcija:

y=f(x) yra didėjanti intervale (a,b)

x1f(x2)

4. Aprėžtos funkcijos:

Sakykime, kad y=f(x) yra aprėžta iš viršaus intervale (a,b), jeigu

egzistuoja toks skaičius M, kad visos f(x)<=M, kai x priklauso (a,b). Pvz.:

1-x2<=1.

Sakykime, kad y=f(x) yra aprėžta iš apačios intervale (a,b), jeigu

egzistuoja toks skaičius m, kad visos f(x)>=m, kai x priklauso (a,b). Pvz.:

2+x2>=2.

Jeigu y=f(x) yra aprėžta intervale (a,b) ir iiš viršaus ir iš apačios, tai

sakome, kad ji šiame intervale yra aprėžta.

m<=f(x)<=M. Pvz.: 0<1/(1+x2)<=1

5. Atvirkštinė funkcija:

Jeigu iš lygybės y=f(x) sugebame išreikšti x=g(y), tai x=g(y) yra vadinama

atvirkštine funkcija funkcijai y=f(x).

Pvz.: y=3x+1; x=(y-1)/3.

y=2x; x=log2y

TEOREMA: Jeigu y=f(x) intervale (a,b) yra didėjanti (mažėjanti), tai jai

egzistuoja atvirkštinė funkcija x=g(y), kuri yra didėjanti (mažėjanti).

y=f(x),

x=g(y),

y=g(x).

y=sinx,

x=arcsiny,

y=arcsinx.

6. Funkcijos riba, kai x→+(.

( – bendrumo kvantorius;

( – egzistavimo kvantorius.

Skaičius A yra vadinamas funkcijos f(x) riba, kai x→+(, jei bet kurį (kiek

norime mažą) teigiamą skaičių ( atitinka toks skaičius (, kad visiems x,

didesniems už (, yra teisinga nelygybė |f(x)-A|<(

limx →(f(x)=A

|f(x)-A|<(, x>(

-(0. ((>0. Jeigu |f(x)-A|<(, kai x((a-(;a).

Skaičius A yra vadinamas f(x) riba, kai x→a iš dešinės, x→a+0, jeigu ((>0.

((>0, |f(x)-A|<(, kai x((a, a+().

8. Nykstamos (nykstamai mažėjančios) funkcijos.

APIBRĖŽIMAS: Funkcija ((x) yra vadinama nykstama, arba nykstamai mažėjančia

funkcija, jeigu jos riba, kai x→a, yra lygi 0.

limx→a((x)=0.

1. Jeigu limx→af(x)=A, tai šią funkciją galima užrašyti kaip sumą ribos

ir nykstamai mažėjančios funkcijos. f(x)=A+((x), kadangi limx→af(x)=A,

tai pagal ribų apibrėžimą turi egzistuoti tokia a aplinka, kurioje

būtų patenkinta tokia nelygybė: pažymėkime f(x)-A=((x) |((x)|<( a

aplinkoje ((x) – nykstamai mažėjanti funkcija f(x)=A+((x).

2. Jeigu f(x) yra išreikšta A+((x) (f(x)=A+((x)) taško a aplinkoje, tai

limx→af(x)=A. |f(x)-A|=|((x)| Kadangi ((x) – nykstamai mažėjanti

funkcija (n.m.f.), tai egzistuoja tokia a aplinka, kurioje funkcija

yra aprėžta. |((x)|<(.

|f(x)-A|<(

limx→af(x)=A

9. Nykstamai mažėjančių funkcijų savybės.

a) dviejų nykstamai mažėjančių funkcijų suma yra nykstamai mažėjanti

funkcija.

((x)=n.m.f.

((x)+((x)=n.m.f.

Jeigu ((x)=n.m.f. a aplinkoje, tai |((x)|<( /2 a aplinkoje.

((x)=n.m.f.

|((x)|<( /2.

Iš tto seka, kad ((x)+((x)=n.m.f.

b) aprėžtos funkcijos ir n.m.f. sandauga yra n.m.f.

|f(x)|0, kad |xn|m,

n(N.

Seka xn (žymėjimas { xn}↑) yra vadinama didėjančia, jeigu jos nariai

tenkina nelygybę x1x2>x3.>xn>.,n(N.

Skaičius a yra vadinamas sekos xn riba, kai n→(, jeigu kiekvienam, kaip

norima mažam teigiamam ( egzistuoja toks sekos numeris N, kad |xn-a|<(,

n>N. (tik pagal šią sąlygą galima skaičiuoti ribą).

15. Sekos ribos egzistavimo požymiai.

1. Jeigu seka xn yra didėjanti, vadinas x1x2>x3.>xn>.↓ ir xn>m ir aprėžta iš apačios, tai ši seka

turi baigtinę ribą.

limn→(xn=a(nelygu 0)

16. Funkcijos tolydumas ir trūkio taškai.

Sakykime, kad y=f(x) yra tolydi, kai x=x0, jeigu:

1. f(x0)=A(nelygu ()

2. egzistuoja limx→x0f(x)

3. limx→x0f(x)=f(x0)

Jeigu funkcija yra tolydi visoms x((a,b), tai sakome, kad ji yra tolydi

šiame intervale.

Galima įrodyti, kad visos elementarios funkcijos yra tolydžios jų

apibrėžimo srityje.

17. Tolydumas ir trūkio taškai.

Jeigu bent 1 iš tolydumo punktų nepatenkintas, sakome, kad funkcija turi

trūkį, kai x=x0. Yra trys trūkio taškų tipai:

1. pašalinamas trūkio taškas; pašalinamą trūkio tašką gauname tada, kai

limx→x0f(x)≠f(x0)

2. pirmos rūšies trūkio taškas; jį gauname, kai limx→x0-0f(x)=A≠(,

limx→x0+0f(x)=B≠(, A≠B. Jeigu ribos iš kairės ir dešinės nesutampa,

tai limx→x0f(x)- neegzistuoja. Tokiu atveju sakysime, kad funkcija

turi pirmos rūšies trūkį.

3. antros rūšies trūkio taškas; jį gauname tada, kai

limx→x0±0f(x)=±((bent viena iš ribų). Jeigu ff(x) turi antros rūšies

trūkį, kai x=x0, tai tiesė x=x0 yra vertikali asimptotė.

18. Funkcijų sumos, sandaugos ir dalmens tolydumas.

Tegu funkcijos y=f(x) ir y=g(x) yra tolydžios, kai x=x0. Kitaip sakant:

limx→x0f(x)=f(x0), limx→x0g(x)=g(x0). Tada:

1. f(x)±g(x) – tolydi;

2. f(x)*g(x) – tolydi;

3. jeigu g(x0)≠0, tai f(x)/g(x) – tolydi.

ĮRODYMAS: (Kad f(x)*g(x) – tolydi).

Nagrinėjame, kad limx→x0f(x)*g(x)=limx→x0f(x)*limx→x0g(x)=f(x0)*g(x0)

Iš čia f(x)*g(x) yra tolydi.

19. Tolydinių funkcijų savybės uždarame intervale [a,b]

Sakome, kad f(x) yra tolydi intervale (a,b), jei tolydi bet kuriame jo

taške. Funkcija tolydi intervale [a,b], jei:

1. tolygi (a,b); (vidiniame intervalo taške).

2. limx→a+0f(x)=f(a)

limx→b-0f(x)=f(b)

savybės:

1. jeigu funkcija f(x) yra tolydi intervale [a,b], tai ji šiame

intervale įgyja didžiausią reikšmę M ir mažiausią reikšmę m.

m≤f(x)≤M.

2. jeigu funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a,b] ir intervalo

galuose įgyja skirtingo ženklo reikšmes (f(a)*f(b)<0), tai

šiame intervale yra bent viena x reikšmė, kur f(x1)=0.

(x1([a,b]). Norint, kad būtų viena reikšmė lygi nuliui,

funkcija turi būti monotoninė. (arba mažėjanti, arba

didėjanti).

20. Funkcijos išvestinė. Jos ekonominė, geometrinė, mechaninė prasmė.

Jeigu egzistuoja santykio riba funkcijos pokyčio su argumento pokyčiu, kai

argumento pokytis →0, tai šita riba vadinama funkcijos išvestinė.

y‘(x0)=lim∆x→0∆y/∆x=lim∆x→0tg(=tg(=k(tiesės krypties koeficientas)

Geometrinė prasmė: y‘(x0) reikšmė yra liestinės, taške M0 krypties

koeficientas.

Mechaninė prasmė: jeigu turime, kad kūno nueitas kelias s yra funkcija,

priklausanti nuo laiko, ttai s, jeigu suteiksime (t, tai:

s=s(t);

t,(t

(s=s(t+(t)-s(t).

(s/(t=Vvid. (greitis).

s’(t)=lim(t→0(s/(t=v(t).

v(t)=s’(t)

Jeigu kūno didėjimo greitis yra funkcija, priklausanti nuo laiko, tai jos

funkcija duos pagreitį:

a(t)=v’(t).

Ekonomine prasme:

Tegul x yra planuojamas gaminti vienos rūšies produkcijos kiekis. Gamybos

kaštai šiai produkcijai – K, tai bus funkcija K=K(x). Sakykime, kad

produkcijos kiekis padidėjo (x, tai atitinkamieji kaštai padidės dydžiu

(K=K(x+(x)-K(x). (K/(x reikš vidutinį gamybos kaštų padidėjimą, padidėjus

papildomui produkcijos kiekiui. K‘(x)=lim(x→0(K/(x.

K’(x) vadiname ribiniais gamybos kaštais.

21. Funkcijos tolydumas ir diferencijuotinumas.

Jeigu y=f(x) turi išvestinę bet kuriame taške x((a,b), tai sakome, kad ji

šiame intervale yra diferencijuojama, Jeigu funkcija yra diferencijuojama,

kai x-x0, tai ji yra tolydi. Atvirkščias teiginys ne visuomet teisingas.

Jeigu funkcija turi ribą, tia ją galima užrašyti, kaip sumą ribos ir

nykstamai mažėjančios funkcijos. y=f(x) turi išvestinę, kai x=x0.

y‘(x0)=lim(x→0(y/(x.

(y/(x=y‘(x0)+((x).

lim(x→0(y=0.

22. Sudėtinės funkcijos išvestinė.

Funkcija yra vadinama sudėtine, kai y=f(u), o u=q(x). Tai y=f(g(x)).

TEOREMA: Tegu funkcija u=q(x) turi išvestinę q‘(x0)=u’(x0), o atatinkama

funkcija y=f(u), o y’(u)=f(u0); u0=g(x), tada sudėtinė funkcija y=f(g(x)),

turi išvestinę, kai x=x0, kuri yra lygi y’x=y’u*u’x.

23. Atvirkštinės funkcijos išvestinė.

Tegu turime y=f(x). Išreiškiame x=g(y). Tai, x=g(y) yra atvirkštinė

funkcija funkcijai y=f(x).

TEOREMA: Tarkime, kad funkcija y=f(x) intervale [a,b] yra tolydi ir

monotoninė. Jeigu ši funkcija, kai x=x0 turi išvestinę y‘x=f’(x0)≠0, tai

atvirkštinė funkcija x=g(y) turi išvestinę x‘y=1/y’x.

24. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės.

• (arcsinx)‘=1/√(1-x2)

• (arccosx)’=-1/√(1-x2)

• (arctgx)’=1/(1+x2)

• (arcctgx)’=-1/(1+x2)

25. Rodyklinės

ir logaritminės funkcijų išvestinės.

• (logax)‘=1/xlna

• (lnx)’=1/x

• (ax)’=axlna

• (ex)’=ex

• (x()‘=(x(-1

• (√x)‘=1/2√x

• (u()‘=((u)((-1)*u‘

• (√u)‘=1/(2√u)*u‘

• (au)‘=aulna*u‘

• (eu)=eu*u‘

• (logau)‘=1/ulna*u‘

• (lnu)‘=1/u*u‘

• (sinx)‘=cosx

• (cosx)‘=-sinx

• (sinu)‘=cosu*u‘

• (cosu)‘=-sinu*u‘

• (tgx)‘=1/cos2x

• (tgu)‘=1/cos2u*u‘

• (ctgx)‘=-1/sin2x

• (ctgu)‘=-1/sin2u*u‘

• (arcsinx)‘=1/√(1-x2)

• (arcsinu)‘=1/√(1-u2)*u‘

• (arccosx)‘=-1/√(1-x2)

• (arccosu)‘=-1/√(1-u2)*u‘

• (arctgx)‘=1/(1+x2)

• (arctgu)‘=1/(1+u2)*u‘

• (arcctgx)‘=-1/(1+x2)

• (arcctgu)‘=-1/(1+u2)*u‘

26. Funkcijų, duotų neišreikštiniame pavidale, diferenciavimas.

Neišreikštinių funkcijų išvestines ieškome pagal tuos pat dėsnius ir

taisykles, kaip ir išreikštinės funkcijos, tik į yy žiūrime kaip į funkciją,

ir, kur reikia, dauginame iš y‘. Po to iš gautosios lygybės išreiškiame y‘.

27. Diferenciavimas logaritmuojant.

1. Taikoma logaritmuojant laipsninę – rodyklinę funkciją.

y=(f(x))g(x) – laipsninė – rodiklinė funkcija.

y=x(,( – const. – laipsninė funkcija.

y=ax, a – const. – rodyklinė funkcija.

lny=g(x)*lnf(x)

lnxk=k*lnx lnax=x*lna

2. Galime diferencijuoti logaritmuojant, kai:

y=(f1(x)*f2(x)*f3(x))/(f4(x)*f5(x))

lny=(lnf1(x)+lnf2(x)+lnf3(x))-(lnf4(x)+lnf5(x))

28. Funkcijų, duotų parametrinėmis lygtimis, diferenciavimas.

y=f(t); x=g(t).

y=f(t)

x=g(t)

t – parametras.

x=g(t), t=((x)

y=f(((x))

atvirkštinė funkcija t=((x) funkcijai x=g(t) egzistuoja, jeigu funkcija

x=g(t) yra tolydi ir monotoninė tam tikrame intervale [[a,b].

yx‘=yt’*tx’

yx‘=1/xy‘

tai x=g(t), t=((x)

xt‘=1/tx‘ arba tx‘=1/xt‘

yx‘=yt‘*1/xt‘

yx‘=yt‘/xt‘

29. Funkcijos diferencialas.

y=f(x);

(y=f(x+(x)-f(x).

Pagrindinė funkcijos pokyčio dalis yra vadinama funkcijos diferencialu.

Jeigu funkcija yra difrencijuojama, tai y‘=f’(x)=lim(x→0(y/(x

Remiantis ribų teorema, jei funkcija turi ribą, tai ją galima užrašyti suma

ribos ir nykstamai mažėjančios funkcijos.

dx=(x

dy=y‘*dx

f(x+(x)≈f(x)+f‘(x)*(x (dx=(x)

30. Aukštesnių eilių išvestinės.

Jei yy=f(x) yra diferencijuojama, tai y’=f’(x)=g(x)

Pirmos eilės išvestinės išvestinė yra vadinama funkcijos antrąja išvestine.

y‘‘=(y’)’

31. Funkcijos grafikas, iškilumo intervalai, persilenkimo (vingio) taškai.

Sakykime, kad funkcijos y=f(x) intervale grafikas (a,b) yra iškilas

aukštyn, jeigu tos funkcijos grafikas yra žemiau liestinės, išvestos

kreivei bet kuriame šio intervalo taške.

f‘‘(x)<0, x((a,b), sąlyga, kad grafikas būtų iškilas aukštyn.

Analogiškai, sakysime, kad funkcijos y=f(x) grafikas intervale (a,b) yra

iškilas žemyn, jeigu jis yra virš liestinės, pravestos kreivei bet kuriame

šio intervalo taške.

f‘‘(x)>0, x((a,b), sąlyga, kad grafikas būtų iškilas žemyn.

Jeigu, pereinant prie M0(x0;f(x0)), keičiasi funkcijos grafiko iškilumas,

tai M0 yra vadinamas persilenkimo, arba vingio tašku.

Jeigu taškas iškilumo, tai f‘‘(x0)=0.

Pasirodo, vingio taškų gali būti ir ten, kur f‘‘(x) neegzistuoja.

32. Funkcijos grafiko asimptotės.

Tiesė yra vadinama funkcijos y=f(x) grafiko asimptote, jeigu kreivės bet

kurio taško atstumas nuo tiesės aartėja prie nulio, kai x tolsta begalybę.

Asimptočių rūšys:

1. vertikalios;

2. pasvirosios.

Jeigu funkcija, kai x=x0 turi antros rūšies trūkį, tai tiesė x=x0 –

vertikali asimptotė: y=kx+b, k=limx→(y/x, b=limx→((y-kx)

Jeigu bent kuri iš šių ribų yra lygi begalybei, tai funkcijos grafikas

neturi pasvirųjų asimptočių.

33. Rolio lema ir teorema.

LEMA. Tarkime, kad funkcija f(x) yra apibrėžta intervale (a,b) ir šio

intervalo vidiniame taške c(a