Matematinės analizės egzamino špargalkė

Matematinė analizė 2004-01-11

1. Teiloro formule. 1

2. Lokalūs ekstremumai. 1

3. Iškilosios f-jos. 2

4. Funkcijos be antros rūšies trūkių 2

5.Neapibrėžtinis integralas. 2

6. Funkcijų sekų tolygus konvergavimas. 3

7. Apibrėžtinis integralas 3

8. Elementariosios laiptinių funkcijų integralo savybės. 3

9. Integralo egzistavimas ir apibrėžumo korektiškumas. 4

10. Niutono-Leibnico formulė 4

11. Kintamojo keitimo formulė 4

Integravimo dalimis formulė 5

12. Rymano integralas 5

13. Baigtines variacijos f-ja 5

14 Styltjeso integralas 5

15. Netiesioginis integralas 6

16. Netiesioginių integralų palyginimo teorema 6

17. Konvergavimas 6

18. Integralinis eilučių konvergavimo požymis 6

19. Nulinio mato aibė 6

20. Skaičių eilutės suma 6

21. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojanti sk. eilutė 7

22. Koši požymis 7

23. Dalambero požymis 7

24. Leibnico požymis 71. Teiloro formule.

F-ja f(x) keiciam paprastesne (polinomas) –– atsiranda paklaida. Q(x)=a0+a1x+..+anxn. Skleidziam f-ja fiksuoto tasko x0 aplinkoje. Q(x)=b0+b1(x-x0)+..+bn(x-x0)n. Ieskome k-osios eiles isvestines:Q’(x)=b1+2b2(x-x0)+..+nbn(x-x0)n-1; Q(n)(x)=k!bk+(k+1)k(k-1).2(x-x0)+..+(k+2)(k+1).3(x-x0)2+. paeme paskutineje lygybeje x=x0, gauname lygybe Q(k)(x0) =k!bk, t.y. ak= Q(k)(x0)/k!, k=0,1,2,.,n; Taigi polinomo Q skleidimo (x-x0) laipsniais koeficientai bk isreiskiami per to polinomo isvstiniu taske x0 reiksmes. Istate gauname: Q(x)=Q(x0)+Q’(x0)(x- x0)/1!+Q’’(x0)(x- x0)2/2!+.+Q(n)( x0)(x- x0)n/n! – Teiloro formule polinomams. Jei f yra bet kokia n kartu diferencijuojama taske x0 f-ja, tai pazymeje rn(x)=f(x)- (f(x0)+f’(x0)(x- x0)/1!+f’’(x0)(x- x0)2/2!+.+f(n)( x0)(x- x0)n/n!) gauname: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x- x0)/1!+f’’(x0)(x- x0)2/2!+.+f(n)( x0)(x- x0)n/n!+rn(x) –– funkcijos f Teiloro formule tasko x0 aplinkoje, rn(x)-liekamasis narys.

Teioro teorema: jei f-ja f yra n+1 kart1 diferencijuojama kokiame nors intervale (a,b), taskai x0 ir x priklauso siam intervalui ir x≠x0 Tai egzistuoja toks taskas c(x0, x) (jei x2. Lokalūs eekstremumai.

Ap. Taškas x0A vad. f lokalaus maksimumo tašku, jei yra tokia taško aplinka VA, kad f(x)≤f (x0)  xV.Taškas x0 vad. lokalaus minimumo tašku, jei yra tokia taško aplinka VA, kad f(x)≥f (x0)  xV. Lok. Maksimumo ir lok. minimumo taškai vad. lok. ekstremumo taškais.

Būtina diferencijuojamos f-jos egzistavimo sąlyga: jei x0 yra yra diferencijuojamos taške x0 funkcijos lokalaus ekstremumo tšk, tai f'(x0)=0.

Pakankamumas lok ekstrem. egzistavimui teor.Tegu  tokia taško x0 aplinka V, kur f diferencijuojama ir f‘(x0)=0. Tada

1)jei f'(x)0  x< x0 iš V ir f'(x)0  x> x0 iš V, tai x0 yra f lokalus max tšk.

2)jei f'(x)0  x< x0 iš V ir f'(x)0  x> x0 iš V, tai x0 yra f lokalus min tšk.

3) jei ff'(x)>0  x x0 iš V ir f'(x)<0  x x0 iš V, tai x0 nėra f lokalus ekstremumo tšk.

2 teor. Cn (A), AR tai aibė f-jų, tolydžiai diferencijuojamų n kartų. Tegu kokioje nors taško x0 aplinkoje V f-ja fCn(V), f'(x0) =f“(x0)=.=f n-1(x0)=0 ir fn0 , tada

1)jei n-lyginis sk. ir fn>0, tai x0 yra f-jos f minimumo tšk.

2) jei n-lyginis sk. ir fn<0, tai x0 yra f-jos f minimumo tšk.

3) jei n-nelyginis sk. tai taške x0 ekstremumo nėra.3. Iškilosios ff-jos.

Ap. F-ja f vad. iškiląja intervale I, jei bet kuriems trims to intervalo taškams x1,x,x2I, x10, tai yra tokia tšk x0 aplinka (x0-r, x0+r), kur f iškila.

Ap. Taškas x0 vad. tolydžios šiame tšk f-jos vingio tašku, jei  toks >0, kad int.( x0-, x0) ir (x0, x0+) ƒ yra iškila į priešingas puses.

4 teor. Jei x0 f-jos f vingio tšk ir f du kartus diferencijuojama tšk x0, tai ƒ“(x)=0

5 teor. Jei ƒ“(x)=0 ir ƒ“’ (x)≠0, tai x0-vingio tšk., kai f tšk x0 3 kartus diferencijuojama.4. Funkcijos be antros rūšies trūkių

Ap: Funkcija ƒ tolydi taške x0 I, jei f(x) = f(x0)

1 rūšies trūkio taškas: baigtinės ribos f(x0+) ir f(x0-);

2 rūšies trūkio taškas: visi kiti atvejai.

Ap. F-jos, kurios neturi 2 rūšies trūkio taškų vadinamos reguliariomis. Žym.: D[a,b] – reguliariųjų f-jų apibrėžtų intervale [a,b] klasė.

Ap: Funkcija φ:[a,b]→R vadinama laiptine f-ja, jei intervalą [a,b] galima taip suskaidyti į baigtinį skaičių intervalų Ik, k = 1, 2, ., m ( ), kad kiekviename intervale Ik funkcija φ būtų pastovi (t.y. ck R, k = 1, 2, ., m : φ(x) = ck, kai x Ik). Žym.: S[a,b] – laiptinių f-jų klasė.5.Neapibrėžtinis integralas.

Ap. F: IR vad pirmykšte f f-ja int I, jei F'(x)=f(x), xI.

Teig1. JJei F1 ir F2 yra pirmykštės f int I, tai F1-F2 pastovi f-ja(konstanta).

Teig2.Jei F pirmykštė f int I, tai F+c pirmykštė f int I, cR.

Ap. F-jos f: IR neapibrėžtiniu integralu vad. f visų pirmykščių f-jų klasę.žym. f(x)dx=F+c,cR.

Savybės. F: IR, g: IR, tada

1)tiesiškumas ,R (ƒ+g)dx=ƒdx+gdx, jei  ƒdx ir gdx

2)Kint. keitimas( dif. f-ja) ƒdx = F+c ƒ((t))(t)dt=F((t)+c

3) Integravimas dalim: g(x)f(x)dx=g(x)f(x)- g(x)f(x)dx6. Funkcijų sekų tolygus konvergavimas.

Teig: Sakykime, f C[a,b]. Apibrėžkime laiptinių f-jų seką {φn} lygygbėmis: k=0, 1, 2, ., n. Tada intervale [a,b], t.y. seka {φn} konverguoja į f tolygiai intervale [a,b].

Teor: 1) Bet kokiai f-jai f D[a,b] egzistuoja laiptinių f-jų seka {φn} S[a,b], konverguojanti į f tolygiai intervale [a,b] ( ).

2) Kiekvienos f-jos f D[a,b] trūkio taškų aibė yra baigtinė arba skaiti.

3) Kiekviena f-ja f D[a,b] yra aprėžta.7. Apibrėžtinis integralas

Ap: Tarkime, kad laiptinės funkcijos {φn} S[a,b] reikšmė intervale Ik yra yk, k = 1, 2, ., n ( ). Funkcijos φ (apibrėžtiniu) integralu intervale [a,b] vadinama suma (|Ik| – intervalo Ik ilgis). Žym.: .

Ap: (Integralo apibrėžimo korektiškumas) Funkcijos {φn} S[a,b] integralo reikšmė nepriklauso nuo intervalo [a,b] skaidinio funkcijos φ pastovumo intervalais.

Įr. Tarkime, kad turime du intervalo [a,b] skaidinius {Ak, k =1, 2, ., n} ir {Bj, j = 1, 2, .., m}. ( ; Ak∩Ak‘ = ǿ, kai k ≠ k‘; Bj∩Bj‘ = ǿ, kai j ≠ j‘); be to, φ(x) = yk, kai x Ak ir φ(x) = ŷj, kai x Bj. Tada yk = φ(x) = ŷj, jei x Ak∩Bj ≠ ǿ. Be to, |Ak| = ∑mj=1|Ak∩Bj|, nes Ak = , ir analogiškai |Bj| = ∑nk=1|Ak∩Bj|, nes Bj = (laikome, kad |ǿ| = 0). Todėl Trečioje lygybėje pasirėmėme tuo, kad arba yk = ŷj, arba |Ak∩Bj| = 0, ir todėl visada yk|Ak∩Bj| = ŷj|Ak∩Bj|8. Elementariosios laiptinių funkcijų integralo savybės.

1) (Tiesiškumas) Jei f, g  S[a, b], ,   R, tai ab (f + g) = abf +  abg;

2) (Adityvumas) Jei f S[a, b], a9. Integralo egzistavimas ir apibrėžumo korektiškumas.

Ap: Funkcijos f  D[a, b] integralu intervale [a,b] vadinama riba čia {φn} – bet kokia laiptinių f-jų seka, konverguojanti tolygiai intervale [a,b] į f-ją f.

Įr: pagal apibrėžimą , kai n>N . ar konverguoja. Pagal košį riterijų:

Įrodėm (pagal košį kriterijų), kad skaiciu seka turi ribą (šiuo atveju integralų seka)

Korektiškumas

konstruojama nauja laiptinių funkcijų seka:

; – irgi konverguos (pagal integralo egzistavimą ir tai kad ) jei paimsime posekius: = jei seka konverguoja tai ir jos posekiai

konverguoja ir plius į tą patį skaičių.10. Niutono-Leibnico formulė

Jei F yra f-jos pimykštė f-ja intervale [a,b], tai abf (x)dx=F(b)-F(a)11. Kintamojo keitimo formulė

Teig: Tarkime f-ja f ( ir ) turi tolydžią išvestinę intervale [,] ,

Tada

Įr: =F(b)-F(a)= =F(φ(t))| = a∫bF’(φ(t))φ’(t)dt = a∫bf(φ(t))φ’(t)dtIntegravimo dalimis formulė

Teig: Jei f, g  C[a, b] (tolydžiai diferencijuojamoms intervale [a,b] f-joms), tai a∫bf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)|ba – a∫bg(x)f’(x)dx.

Įr: Kadangi fg yra f-jos (fg)‘ pirmykštė f-ja, tai iš NL formulės gauname: f(x)g(x)|ba = a∫b(f(x)g(x))’dx = a∫bf(x)g’(x)dx + a∫bg(x)f’(x)dx.12. Rymano integralas

Intervalo [[a,b] skaidiniu vadinsime bet kokią baigtinę to intervalo taškų aibę P = {x0, x1,.,xn} tarp kurios elementų yra ir to intervalo galai.

a = x0< x1<.< xn = b. Skaidinio P intervalai [xi-1, xi], i= 1,.,n.

|P| = max{|xi, xi-1|: i= 1,.,n}-skaidinio P diametras.

Tarpiniai skaidiniai: γ = (γ 1,., γ n},

Kur γ [xi-1, xi], i= 1,.,n.

Funkcijos f:[a,b] R Rymano integraline suma, atitinkančia skaidinį P ir jo tarpinį skaidinį γ, vadinamas skaičius

Rašom:

Sav:

 f R[a,b] yra aprėžta f-ja.

Jei R[a,b] , ttai f  R[a,b] ir (R)a∫bfn(R)a∫bf.

Teor.: D[a,b]  R[a,b] ir su fD[a,b]13. Baigtines variacijos f-ja

F-jos f: [a,b]→R (pilnaja) variacija intervale [a,b] vad. skaicius: V(f;a,b):=sup∑i|f(xi)-f(xi-1)|. F-ja vad. baigtines variacijos f-ja, jei jos pilnoji variacija baigtine. Teiginiai: 1) Jei f-ja f galima iisreiksti dvieju didejanciu f-ju skirtumu, t.y. f=f1-f2, tai f-ja yra bagtines variacijos. 2) Jei f-ja turi aprezta isvestine int. [a,b], isskyrus galbut baigtini 1-ojo tipo trukio tasku skaiciu, tada f-ja baigtines variacijos. Atskiru atveju f€C’[a,b] yra baigtines variacijos ir V(f)=a∫b|f’(x)|dx.14 Styltjeso integralas

F-jos f€S[a,b] Styltjeso integralu f-jos g€V[a,b] atzvilgiu vad. skaicius a∫bf(x)dg(x):=

∑kn-1fk(g(xk+1)-g(xk)), kur fk-

f-jos f reiksme jos pastovumo intervale Ik. F-jos f€D[a,b] Styltjeso integralu f-jos g€V[a,b] atzvilgiu vad. skaicius a∫bf(x)dg(x):=limn→∞a∫bφn(x)dg(x), kur φn – laiptiniu f-ju seka, konverguojanti tolygiai i f.15. Netiesioginis integralas

Tegu fD[a,b) Tada f-jos netiesioginis integralas-skaicius limc→b-a∫cf(x)dx:=(NI)a∫bf(x)dx. Jei fD(a,b]: (NI)a∫bf(x)dx:= limc→a+c∫bf(x)dx. Jei fD(a,b): a∫bf(x)dx:=a∫cf(x)dx+c∫bf(x)dx. Integralų pvz: a∫bdx/(b-x)p, 0∫+∞e-xdx, 1∫+∞dx/xp.16. Netiesioginių integralų palyginimo teorema

Tarkim f,g D[a,b)

1) 0f(x) g(x); x[a,b).

Tada: , arba

2) f0; g0; .

Tada: , o jei M(0;+), tai17. Konvergavimas

Ap: F-jos ff  D[a,b) (-

25. Eilučių narių perstatymas

1) a1+a2+a3+.

 : N  N (bijekcija)

2) a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+. (1)=3, (4)=1

Dirclė teorema: Jei 1eil. konverguos absoliučiai ir suma = S, tai 2eil konverguos ir suma = S

Rymano teorema: Jei 1eil konverguoja reliatyviai, tai  cR{-;+} , kad 2eil konverguoja ir yra lygi c