Matematinės statistikos pagrindai

I uzdavinys

=102.1

Skaičiuosime vidurkį

=1/50*102.1=2.04

Skaičiuosime dispersiją

S2= =37.37

S2=1/50*37.37

S2=0.7474

Vidutiniai kvadratiniai nuokrypiai

S= ; S1=

S=√0.7474

S=0864

S21=

S21=1/49*37.37

S21=0.762

S1=

S1=0.8733

Kontrolinė suma

2,04+0,74+0,762=3,55

II uždavinys

Žinoma 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių. Pasirinkę pasikliovimo lygmenį

γ=0.99 rasime parametro α pasikliautinąjį intervalą, kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ žinomas ir lygus S1, imant su vienu ženklu po kablelio neapvalinant.

Parametras a surandamas :

;

Standartinio normaliojo skirstinio kritinė reikšmė

imties didumas n=50, vidurkis =2.04, vidutinis kvadratinis nuokrypis S1=0.8733. Todėl σ =0.8. Tuomet:

= 2.576*0.8/√50

δ=0.2914

Taigi α pasikliautinasis intervalas 00.01 tikslumu yra (1.749;2.33)

b) Žinoma 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių. Pasirinkę pasikliovimo lygmenį γ=0.95 rasime normaliojo skirstinio parametro a pasikliautinąjį intervalą kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ nežinomas, taikydami išraiškas:

;

Čia imties didumas n=50, imties vidurkis =2.04, vidutinis kvadratinis nuokrypis S1=0.8733, Stjūdento skirstinio kritinė reikšmė :

= = t0,025;49 = 2.010

δ=2.010*0.8733/√50

δ=0.248

α pasikliautinasis intervalas 0.01 tikslumu yra: (1.792; 2.288)

=2.04-0.248 = 1.792

=2.04+0.248 = 2.288

Dabar rasime pasikliautinąjį intervalą ), kai a nežinomas. Šio intervalo išraiška:

čia

= X20.025;49 = 70.222

= XX20.975;49 = 31.555

yra X2 skirstinio kritinės reikšmės.

Vidutinis kvadratinis nuokrypis S1 = 0.8733.

Taigi σ pasikliautinasis intervalas :

= (0.736;1.089)

c) Žinoma nedidelė normaliojo atsitiktinio dydžio imtis (I uždavinio 2 pvz.) ir kontrolinė suma

K∑5 = + α + σ = 6.815

I uždavinio 2 ppavyzdys:

Žinoma nedidelė imtis:

0.3; 1.7; 2.0; 2.3; 2.5; 2.7; 3.7; 3.8; 3.8; 3.9;4.1;

4.2; 4.3; 4.5; 4.5; 5.4; 5.6; 5.7; 5.9; 7.1; 8.8

ir kontrolinė suma

=11.34998

Šios imties didumas n=21

Imties vidurkis

= 1/21*86.8

= 4.133

Skaičiuosime dispersiją

S2= = 73.92667

S2=1/21* 73.92667

S2=3.52

Patikslinta dispersija

S21=

S21=1/20*73.92667

S21=3.6963

Vidutiniai kvadratiniai nuokrypiai

S= ; S1=

S=√3.52

S=1.876

S1=

S1=1.922

= 4.133+3.52+3.6963= 11.3493

Pasirinkę pasikliovimo lygmenį γ=0.95, rasime:

• parametro α pasikliautinąjį intervalą kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ nežinomas,

• parametro σ pasikliautinąjį intervalą kai vidutinis kvadratinis nuokrypis α nežinomas,

Taikykime α pasikliautinąjį intervalą kai σ nežinomas, išraiškas:

;

čia imties didumas n= 21, imties vidurkis = 4.133, vidutinis kvadratinis nuokrypis S1=1.922, Stjūdento skirstinio kritinė reikšmė = = t0,025;20 = 2.086

Apskaičiuojame:

δ=2.086*1.922/√20

δ=0.8965

Taigi α pasikliautinasis intervalas:

0.001 tikslumu-(3.237; 5.029)

0.01 tikslumu-(3.24; 5.02)

Raskime σ pasikliautinąjį intervalą, kai α nežinomas.

Šio intervalo išraiška:

čia XX2 skirstinio reikšmės yra:

= X20.025;20 = 34.170;

= X20.975;20 = 9.591.

Tuomet σ pasikliautinasis intervalas:

0.001 tikslumu-(1.470; 2.775)

0.01 tikslumu-(1.47; 2.77)

Skaičiavimo rezultatų patikra:

K∑5 = + α + σ = 2.086+3.24+1.470= 6.796

III uždavinys

Žinoma 50 požymio reikšmių. Atsižvelgę į santykinių dažnių histogramos pavidalą, formuluojame neparametrinę hipotezę H1: X~N(α٫σ) ir ją patikrinkime, parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir pritaikę χ2 suderinamumo kriterijų.

Ar apskaičiuota teisingai, pasitikrinsime pagal kontrolines sumas:

K∑3= p1+p2+p3=0.738

K∑4= + + =2.1745

Esame sudarę intervalinę eilutę:

Numeris i Intervalai Dažniai ni

1 [0.2; 1.0) 4

2 [1.0; 1.8) 13

3 [1.8; 2.6) 23

4 [2.6; 3.4) 6

5 [3.4; 4.2] 4

∑ 50

Imties vidurkis =2.04, vvidutinis kvadratinis nuokrypis S=0.864

Apskaičiuojame ui= ; 0.01 tikslumu:

U1= = ≈ – 1.203

U2= = ≈ – 0.277

U3= = ≈ 0.648

U4= = ≈ 1.574

Randame Laplaso funkcijos reikšmes:

– 0.3849

– 0.1064

0.2389

0.4418

Apskaičiuojame tikimybes pi. Jos lygios Laplaso funkcijos reikšmių skirtumui:

= – 0.3849+0.5= 0.1151

= – 0.1064-(- 0.3849) = 0.2785

= 0.2389-(- 0.1064) = 0.3453

= 0.4418- ( 0.2389) = 0.2029

= 0.5 – 0.4418 = 0.0582

Kontrolinė suma:

K∑3= p1+p2+p3= 0.1151+0.2785+0.3453= 0.738

Apskaičiuojame sandaugas n*pi, reiškiančias reikšmių patekimo į i-tąjį intervalą teorinius dažnius, χ2 kriterijaus narius ir χ2sk

Numeris i Intervalai Dažniai ni pi npi χ2i

1 [0.2; 1.0) 4 0.1151 5.755 0.535

2 [1.0; 1.8) 13 0.2785 13.925 0.061

3 [1.8; 2.6) 23 0.3453 17.265 1.905

4 [2.6; 3.4) 6 0.2029 10.145 1.693

5 [3.4; 4.2] 4 0.0582 2.91 0.408

∑ 50 1 50 4.602

Kontrolinė suma:

K∑4= + + =2.501

Parikę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir normaliojo skirstinio atveju apskaičiavę laisvės laipsnių skaičių v= k-r-1= 5-2-1= 2, χ2 skirstinio reikšmių lentelėje randame χ2kr = 5.991 Kadangi χ2sk< χ2kr, tai hipotezė H1: X~N(2.04; 0.864)

Žinoma 50 požymio reikšmių ir kontrolinės sumos:

0.1 1.0 0.5 2.3 2.4 1.8 0.8 0 2.3 1.5

1.5 1.2 0.9 0.2 2.6 0.5 0.1 4.7 3.6 3.1

0.5 2.9 1.5 2.6 3.4 2.1 0.3 1.4 0.6 1.9

1.4 3.1 2.0 4.3 0.6 1.6 0.7 1.9 1.0 2.6

0.6 1.6 5.0 3.5 0.4 0.9 1.5 0.2 4.3 0.2

K∑1=41

K∑2=0.82628

K∑3=1.6392

Sudarykime intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k=5:

Numeris i Intervalai Dažniai ni Sant. Daž. Wi Aukščiai

1 [0; 1.0) 18 0.36 0.36

2 [1.0; 2.0) 14 0.28 0.28

3 [2.0; 3.0) 9 0.18 0.18

4 [3.0; 4.0) 5 0.1 0.1

5 [4.0; 5.0] 4 0.08 0.08

∑ 50 1

Pasitikriname dažnius pagal kontrolinę sumą: K∑1=41

Apskaičiuojame imties vidurkį ;

= 1/50*85.7

= 1.714

Tuomet λ*= 1/ = 0.5834

Atsižvelgę į dažnius arba į histogramos pavidalą, suformuluokime neparametrinę hipotezę H2 :X~ε(0.5834) ir ją patikrinkime, pasirinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir pritaikę χ2 suderinamumo kriterijų.

Ieškome tikimybių:

= 1-0.557= 0.442

= 0.557-0.311= 0.2456

= 0.311-0.1737= 0.1373

== 0.1737-0.096= 0.0777

= 0.096-0= 0.096

Tikriname tikimybes:

K∑2= p1+p2+p3= 0.824

Radę tikimybes pi apskaičiuojame npi ir χ2:

Numeris i Intervalai Dažniai ni pi npi χ2i

1 [0; 1.0) 18 0.442 22.1 0.760633

2 [1.0; 2.0) 14 0.2456 12.28 0.240912

3 [2.0; 3.0) 9 0.1373 6.865 0.66398

4 [3.0; 4.0) 5 0.0777 3.885 0.320006

5 [4.0; 5.0] 4 0.096 4.8 0.133333

∑ 50 1 50 2.118866

Patikriname χ2sk pagal kontroline suma:

K∑3= + + = 1.65

Taigi χ2s= 2.118

Pasirinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir apskaičiavę rodiklinio skirstinio atveju laisvės laipsnių skaičių v= k-r-1= 5-1-1= 3, χ2 skirstinio reikšmių lentelėje randame χ2kr= 7.815

Kadangi χ2sk< χ2kr, tai hipotezė H2: X~ ε(0.5834) priimama.

Žinoma 50 požymio reikšmių ir kontrolinės sumos:

8.5 4.8 7.4 4.1 8.0 3.1 10.7 1.2 2.4 11.2

7.9 11.2 0.7 11.0 13.2 12.9 6.7 2.1 5.8 1.4

7.4 12.4 10.5 1.2 13.7 7.5 4.4 7.4 8.0 9.2

2.9 2.4 10.7 1.7 4.7 5.5 7.8 3.1 9.7 6.7

5.9 1.2 8.5 12.0 6.4 13.0 12.2 1.6 5.7 1.7

K∑3= n1+n2+n3=33

K∑4= + + =2.9

Sudarykime intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k=5:

Numeris i Intervalai Dažniai ni Sant. Daž. Wi Aukščiai

1 [0.7; 3.3) 14 0.28 0.107692

2 [3.3; 5.9) 7 0.14 0.053846

3 [5.9; 8.5) 12 0.24 0.092308

4 [8.5; 11.1) 8 0.16 0.061538

5 [11.1; 13.7] 9 0.18 0.069231

∑ 50 1

Patikriname dažnius K∑3= n1+n2+n3=33

Brėžiame histograma:

Atsižvelgę i dažnius arba i histogramą suformuluokime neparametrinę hipotezę

H3: X~ υ([0.7; 13.7]) ir ją patikrinkime, parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 pritaikę χ2 suderinamumo kriterijų.

Tikimybės pi, reiškiančios kad X įgis reikšmę i-tajame intervale, šiuo atveju yra lygios, t.y. pi=0.2 ir npi= 10

Todėl:

Apskaičiuojame statistikos X2 narius ir gauname χ2sk

Numeris i Intervalai Dažniai ni pi npi χ2i

1 [0.7; 3.3) 14 0.2 10 1.6

2 [3.3; 5.9) 7 0.2 10 0.9

3 [5.9; 8.5) 12 0.2 10 0.4

4 [8.5; 11.1) 8 0.2 10 0.4

5 [11.1; 13.7] 9 0.2 10 0.1

∑ 50 1 50 3.4

Patikriname X2 narius pagal kontrolinę sumą

K∑4= + + =2.9

Pasirinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir apskaičiavę laisvės laipsnių skaičių

v=k-r-1 = 5-2-1= 2 nustatome χ2kr = 5.991. Kadangi χ2sk< χ2kr, tai hipotezė H3: X~ υ([0.7; 13.7]) yra priimama.

Tarkime, kad diskrečiojo a. d. X reikšmės ir jų dažniai yra:

xi 0 1 2 3 4 5 6 7

ni 5 14 30 31 33 25 12 18

Kontrolinės sumos:

K∑1= 0.2850

K∑2= 0.3844

Rasime Puansono skirstinio ρ(λ) nnežinomo parametro λ=EX įvertį :

=1/168(5*0+14*1+30*2+31*3+33*4+25*5+12*6+18*7) =3.702

Tuomet formuluojame hipotezę H3: X~ ρ(3.702)

Apskaičiuojame tikimybes:

; i= 0,1,2,3,4,5,6.

= 0.0246

= 0.091

= 0.168

= 0.208

= 0.192

= 0.142

= 0.0879

Siekdami, kad tikimybių suma butų lygi 1, paskutinę tikimybę skaičiuojame taip:

= 1-0.0246+0.091+0.168+0.208+0.192+0.142+0.0879= 0.0865

Gautas tikimybes patikriname.

K∑1= p0+p1+p2 0.284

i=xi ni pi npi χ2i

0 5 0.0246 4.1328 0.181968

1 14 0.091 15.288 0.108513

2 30 0.168 28.224 0.111755

3 31 0.208 34.944 0.445145

4 33 0.192 32.256 0.017161

5 25 0.142 23.856 0.05486

6 12 0.0879 14.7672 0.518541

7 18 0.0865 14.532 0.827623

∑ 168 2.265565

Patikriname X2 narius pagal kontrolinę sumą

K∑4= + + =0,391

Gauname χ2sk 2.265

Kai α= 0.05, ir apskaičiavę laisvės laipsnių skaičių

v=k-r-1 = 8-1-1= 6 nustatome χ2kr = 12.592

Toliau tikriname, ar χ2sk 2.265 patenka į kritinę sritį [12,592;+∞). Matome, kad patenka. Todėl hipotezę, kad atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal Puansono skirstinį.

IV Uždavinys

Žinoma 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių, α0 ir σ. Reikšmė α0 yra imties vidurkio sveikoji dalis; σ lygus S1 su vienu ženklu po kablelio neapvalinant. Patikrinkime parametrinę hipotezę H0 : α= α0, parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.01 ir dvi alternatyviąsias hipotezes. Hipotezė H0 : α= α0 tikrinama taikant standartinį normalųjį reikšmingumo kriterijų

;

Esame gavę imties vidurkį =2.04, vidutinį kvadratinį nuokrypį S1=0.8733

Todėl α0=2, σ=0.8.

Apskaičiuojame kriterijaus U reikšmę Usk = 0.353

Iš pradžių parenkama bendroji alternatyva Ha= α≠ α0.

Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:

= (-∞;-2.576]U[2.576; +∞)

Matome, kad paskaičiuota Usk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.

Kadangi galioja nelygybė >

α0, dar parenkama alternatyvioji hipotezė H0 : α> α0.

Šiuo atveju taikoma vienpusė kairioji dešinioji sritis:

[Ua; +∞)= [2.327; +∞)

Matome, kad paskaičiuota Usk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.

Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis, t.y. X ~N(α٫σ). Jo parametrai α ir σ nežinomi. Turime 50 normaliojo atsitiktinio dydžio reikšmių. Esame gavę imties vidurkį =2.04, vidutinį kvadratinį nuokrypį S1=0.8733. Reikšmė α0 yra imties vidurkio sveikoji dalis, todėl α0=2 σ0 lygus S1 su vienu ženklu po kablelio neapvalinant, iir plius 0.2 todėl σ0 lygus 1.0.

Patikrinkime dvi nulines hipotezes:

H0 : α= α0 H0 : σ= σ0,

Parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir dvi alternatyviąsias hipotezes.

Hipotezė H0 : α= α0 tikrinama taikant Stjūdento reikšmingumo kriterijų

Tsk=0.324

Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą Ha:α≠ α0.

Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:

= (-∞;-2.010]U[2.010; +∞).

Matome, kad paskaičiuota Stjūdento statistikos reikšmė Tsk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.

Kadangi galioja nelygybė > α0, dar parenkama alternatyvioji hipotezė H0 : α> α0. Šiuo atveju taikoma vienpusė ddešinioji kritinė sritis:

[ta; +∞)= [1.677; +∞)

Matome, kad paskaičiuota Tsk nepatenka į KS. Todėl H0 : α= α0 priimama.

Hipotezė H0 : σ= σ0, tikrinama taikant χ2 kriterijų

C(n-1).

Apskaičiuojame χ2sk = 37.369

Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą H0 : σ≠σ0

Šiuo atveju taikoma ddvipusė kritinė sritis:

=(0; 31.555]U[70.222; +∞).

Matome, kad paskaičiuota χ2sk nepatenka į KS, nors yra netoli nuo 31.555. Todėl nulinė hipotezė H0 priimama, bet eksperimentą geriau pakartoti.

Esame gavę S1=0.8733 ir pastebime kad galioja nelygybė S1< σ0 ir taikoma vienpusė kairioji kritinė sritis:

= (0; 33.930]

šiuo atveju χ2sk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.

Žinoma nedidelė imtis n=18 α0 ir σ. Reikšmė α0 yra imties vidurkio sveikoji dalis; σ lygus S1 su vienu ženklu po kablelio neapvalinant plius 0.2.

Patikrinkime dvi nulines parametrines hipotezes:

H0 : α= α0 H0 : σ= σ0,

Parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 ir dvi alternatyviąsias hipotezes.

Esame gavę kad = 4.133 ir S1=1.922

Todėl :

α0 =4, σ =2.1

Hipotezė H0 : α= α0 tikrinama taikant Stjūdento reikšmingumo kriterijų.

Apskaičiuojame Tsk= 0.489

Iš ppradžių parenkame bendrąją alternatyvą Ha:α≠ α0.

Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:

= (-∞;-2.010]U[2.010; +∞).

Matome, kad paskaičiuota Stjūdento statistikos reikšmė Tsk= 0.489 nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 : α= α0 priimama.

Kadangi galioja nelygybė > α0, parenkama alternatyvioji hipotezė Ha : α> α0. Šiuo atveju taikoma vienpusė dešinioji kritinė sritis:

[ta; +∞)= [1.740; +∞)

Matome, kad paskaičiuota Tsk= 0.489 nepatenka į KS. Todėl H0 : α= α0 priimama.

Hipotezė H0 : σ= σ0, tikrinama, taikant χ2 reikšmingumo kriterijų

C(n-1).

Žinome, kad S21=3.6963.

Todėl χ2sk == 14.247

Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą H0 : σ≠σ0

Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:

KS= =(0; 7.564]U[30.191; +∞).

Matome, kad paskaičiuota χ2sk nepatenka į KS. Todėl nulinė hipotezė H0 priimama.

Kadangi galioja nelygybė S1< σ0, tai parenkama alternatyvioji hipotezė Ha : σ< σ0, ir taikoma vienpusė kairioji kritinė sritis:

= (0; 8.672]

matome, kad ir šiuo atveju χ2sk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0 priimama.

V Uždavinys

Žinomos dviejų normaliųjų atsitiktinių dydžių X~N(ax, σx), Y~N(ay, σy)

imtys:

X 3.1 4.8 5.1 5.2 5.4 5.6 6.6 6.8 8.5

Y 3.5 4.1 4.7 4.9 5.0 5.1 5.4 5.9 6.5

ir kontrolinės sumos:

K∑1= 9.364

K∑2= 6.652

Iš pradžių apskaičiuojame imčių skaitines charakteristikas:

Šios imties X didumas n=9

= 1/9*51.1

= 5.677

= 18.135

S2=1/9* 18.135

S2=2.015

S= ;

S=√2.015

S=1.419

S21=

S21=1/8*18.135

S21=2.266

Šios imties Y didumas n=9

= 1/9*45.1

= 5.011

= 6.388

S2=1/9* 6.388

S2=0.709

S= ;

S=√0.709

S=0.842

S21=

S21=1/8*6.388

S21=0.7985

Gauname:

= 5.677; S21x=2.266; Sx=1.419

= 5.011; S21y=0.7985; Sy=0.842

Parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05, patikrinkime parametrinę hipotezę:

H0: σx=σy, kai axir ay nežinomi.

Šiuo atveju taikomas Fišerio kriterijus F= (F≥1).

Apskaičiuojame jo reikšmę Fsk=2.837

Kai žinomas reikšmingumo lygmuo α ir patikrinta alternatyvioji hipotezė

Ha: σx> σy, Fišerio skirstinio kritinių reikšmių lentelėje randama Fkr= fa; n-1; n-1=3.4381

Tuomet kritinė sritis KS = [3.4381; +∞)

Matome, kad apskaičiuotoji statistikos F reikšmė Fsk nepatenka į kritinę sritį, todėl nulinė hipotezė priimama. Taigi atsitiktinių dydžių X ir Y vidutiniai kvadratiniai nuokrypiai lygūs: σx=σy

Parinkę reikšmingumo lygmenį α= 0.05 tikriname nulinę hhipotezę H0: α x= α y, taikydami Stjūdento reikšmingumo kriterijų:

= 1.141

Gavome Tsk= 1.141

Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą H0: α x≠ α y. Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis:

= (-∞;-2.120]U[2.120; +∞).

Matome, kad apskaičiuotoji Stjūdento statistikos reikšmė Tsk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0 priimama.

Kadangi galioja nelygybė , dar parenkama alternatyvioji hipotezė Ha: ax>ay, ir taikoma vienpusė dešinioji kritinė sritis:

[ta; 2n-2; +∞)= [1.746; +∞)

Ir šiuo atveju apskaičiuotoji Stjūdento statistikos reikšmė Tsk nepatenka į KS todėl nulinė hipotezė H0 priimama.

VI Uždavinys

Apskaičiuokime imties koreliacijos koeficientą r ir raskime regresijos tiesės lygtį x= a0+ a1x

Iš 5 uždavinio esam gavę: = 5.677 Sx=1.419

= 5.011 Sy=0.842

Apskaičiuojame sandaugų vidurkį: =29.616

Taigi r = = 0.978

Be to apskaičiuojame:

a1= r*Sy/Sx= 0.58, a0= – a1* =1.718

Tuomet regresijos tiesės lygtis: x= 1.718+0.58x

Parikę pasikliovimo lygmenį γ= 0.95, raskime koreliacijos koeficiento p pasikliautinąjį intervalą taikydami jo išraišką: thz1