Pitagoras ir jo teorema
Sunku rasti žmogų, kuriam Pitagoro vardas nesisietų su Pitagoro teorema. Tikriausiai net tie, kas visam gyvenimui atsisveikino su matematika, pamena “Pitagoro kelnes” – kvadratą, nubrėžtą ant įžambinės, lygų dviems kvadratams, nubrėžtiems ant statinių. Tokio Pitagoro teoremos populiarumo priežastys yra trys: paprastumas, grožis ir reikšmingumas. Iš tikrųjų, Pitagoro teorema paprasta, bet ji nėra akivaizdi. Šių dviejų priešingybių derinys ir suteikia jai žavesio. Be to, Pitagoro teorema turi didžiulę reikšmę: geometrijoje ji naudojama tiesiog kiekviename žingsnyje, ir tas faktas, kad egzistuoja apie 5500 skirtingų jos įrodymų (geometrinių, algebrinių, mechaninių ir pan.), liudija apie nesuskaičiuojamą galybę konkrečių Pitagoro teoremos realizacijų. Pitagoro teoremos atradimas apsuptas gražių legendų auros. Proklas, komentuodamas paskutinį pirmosios Euklido “Pradų” knygos teiginį, rašo: “Jei paklausysime tų, kas mėgsta kartoti senovines legendas, teks tarti, kad ši teorema kyla iš Pitagoro; pasakojama, kad jis šio atradimo garbei paaukojo jautį”. Beje, dosnesni pasakoriai vieną jautį pavertė į hekatombą, o tai jau visas šimtas jaučių. Ir nors dar Ciceronas pastebėjo, kad bet koks kraujo ppraliejimas buvo svetimas Pitagorui ir jo pasekėjams, legenda apie auką tvirtai susiliejo su Pitagoro teorema, ir po dviejų tūkstantmečių vis dar kelia karštus debatus. Pavyzdžiui, optimistas Michailas Lomonosovas (1711-1765) rašė: “Pitagoras už savo geometrinės taisyklės atradimą paaukojo Dzeusui 100 jaučių. BBet jeigu gudruoliai matematikai šiais laikais seks jo godotinu pavyzdžiu, vargu ar pasaulyje tiek raguočių atsirastų”. O ironiškasis Heinė (1797-1856) matė šios situacijos vystymąsi kiek kitaip: “Kas žino! Kas žino! Gal Pitagoro siela persikėlė į kūną vargšo kandidato, kuris nesugebėjo įrodyti Pitagoro teoremos ir dėl to neišlaikė egzamino, tuo metu kai egzaminatoriuose tūnojo sielos tų jaučių, kuriuos Pitagoras, nudžiugintas atradimo, paaukojo nemirtingiems dievams”. Šiandien Pitagoro teorema yra rasta skirtinguose uždaviniuose ir brėžiniuose: ir egiptietiškajame trikampyje Anemcheto I (apie 2000 m.pr.m.e.) laikų papiruse, ir Hamurabio epochos (XVIII a.pr.m.e.) babilonietiškose lentelėse, ir senovės indų geometriniame-teologiniame traktate “Sulva sutra” (“Virvės taisyklės”, VII-V a.pr.m.e.). Seniausiame kinų traktate “Čžou-bi suan czi”, kurio sukūrimo laikas nėra tiksliai nustatytas, teigiama, kad XII a.pr.m.e. kinai žinojo egiptietiškojo trikampio ssavybes, o apie VI a.pr.m.e. – ir bendrą teoremos esmę. Nežiūrint to, Pitagoro vardas taip stipriai susiliejo su teorema, kad dabar tiesiog neįmanoma įsivaizduoti išyrant šį žodžių derinį. Tas pat ir su legenda apie jaučių aukojimą. Be to, vargu ar yra būtinybė preparuoti istoriškai-matematiniu skalpeliu gražius senovės padavimus. Šiandien priimta manyti, kad Pitagoras pateikė pirmą jo vardu pavadintos teoremos įrodymą. Deja, šio įrodymo nė pėdsakų neliko.
Aš paminėsiu kelis klasikinius Pitagoro teoremos įrodymus, žinomus iš senovės traktatų. Tai padaryti naudinga dar iir todėl, kad šiuolaikiniuose vadovėliuose pateikiamas algebrinis teoremos įrodymas. Tačiau be pėdsakų dingsta pirminė geometrinė teoremos aura, prarandama ta Ariadnės gija, kuri vedė senovės išminčius į tiesą, o šis kelias beveik visada pasirodydavo besąs trumpiausias ir visuomet gražus. Taigi, Pitagoro teorema.
PITAGORO BIOGRAFIJA
Didysis mokslininkas Pitagoras gimė apie 570 m.pr.m.e. Samoso saloje. Jo tėvas buvo brangakmenių raižytojas Mnesarchas. Motinos vardas nežinomas. Pagal daugybę antikinių liudijimų, berniukas gimė pasakiškai gražus, o netrukus pasireiškė ir jo neeiliniai gabumai. Tarp jaunojo Pitagoro mokytojų tradiciškai minimi senolio Hermodamanto bei Ferekido Sirusiečio vardai (tačiau nėra tvirto įsitikinimo, kad būtent Hermodamantas ir Ferekidas buvo jo pirmaisiais mokytojais). Dienų dienas jaunasis Pitagoras leido prie senolio Hermodamanto kojų, klausydamasis kitaros melodijos ir Homero hegzametrų. Aistrą muzikai ir didžiojo Homero poezijai Pitagoras išsaugojo visą gyvenimą. Jau būdamas pripažintu išminčiumi, apsuptas mokinių minios, Pitagoras dieną pradėdavo vienos iš Homero giesmių giedojimu. Ferekidas gi buvo filosofu ir buvo laikomas italų mokyklos pradininku. Tokiu būdu, jei Hermodamantas įvedė jaunąjį Pitagorą į mūzų ratą, tai Ferekidas nukreipė jo protą logoso link. Ferekidas nukreipė Pitagoro žvilgsnį į gamtą ir tik joje patarė matyti savo pirmąjį mokytoją. Kaip ten bebūtų, nerimstančiai Pitagoro vaizduotei labai greitai pasidarė ankšta mažame Samose, ir jis patraukė į Miletą, kur susitiko kitą mmokslo vyrą – Falesą, kuris jam patarė žinių ieškotis Egpite, ką Pitagoras ir padarė.
548 m.pr.m.e. Pitagoras atvyko į Naukratį – Samoso koloniją, kur susirado pastogę ir maisto. Perpratęs egpitiečių kalbą ir religiją, jis išvyko į Memfį. Nežiūrint rekomendacinio faraono laiško, klastingi žyniai neskubėjo atskleisti jam savo paslapčių, pateikdami sudėtingus išbandymus. Trokštantis žinių Pitagoras visus šiuos išbandymus atlaikė, nors, kasinėjimų duomenimis, Egipto žyniai nedaug ko tegalėjo jį išmokyti, kadangi tuo metu egiptietiškoji geometrija buvo grynai taikomuoju mokslu (patenkinančiu to laikmečio poreikius skaičiavime ir žemės matavime). Tad, išmokęs visko, ką davė žyniai, Pitagoras nuo jų pabėgo ir patraukė gimtosios Elados link. Tačiau pakeliui jis, keliaudamas sausuma, pateko Kambizo, Babilono karaliaus, nelaisvėn. Neverta dramatizuoti Pitagoro gyvenimo Babilone, kadangi valdovas Kyras buvo pakantus visiems belaisviams. Babilono matematika buvo neginčytinai labiau išsivysčiusi (pavyzdžiu gali pasitarnauti pozicinė skaičiavimo sistema), negu Egipto, ir Pitagorui buvo ko pasimokyti. Bet 530 m.pr.m.e. Kyras patraukė į žygį prieš Vidurinės Azijos gentis, ir, naudodamasis sąmyšiu mieste, Pitagoras paspruko gimtinėn. Samose tuo metu valdė tironas Polikratas. Žinoma, Pitagoro netenkino pusiau vergiškas egzistavimas rūmuose, ir jis pasišalino į grotas, esančias Samoso apylinkėse. Po kelis mėnesius trukusių Polikrato priekabiavimų Pitagoras persikėlė į Krotoną. Ten jis įsteigė kažką panašaus į religinę-etinę broliją ar slaptą ordiną ((“pitagoriečiai”). Tai buvo vienu metu ir religinė sąjunga, ir politinis klubas, ir mokslinė bendrija. Reikia pasakyti, kad kai kurie iš Pitagoro propaguotų principų verti mėgdžiojimo ir dabar.
. Prabėgo 20 metų. Brolijos šlovė pasklido po visą pasaulį. Vienąsyk pas Pitagorą atėjo Kilonas, turtingas, bet piktas žmogus, per girtą galvą užsigeidęs įstoti į broliją. Gavęs neigiamą atsakymą, Kilonas padegė Pitagoro manus. Gaisro metu pitagoriečiai, gelbėdami savo mokytoją, paaukojo gyvybes. Po šio įvykio Pitagoras nugrimzdo į gilią depresiją ir netrukus nusižudė.
“Kvadratas, nubrėžtas ant stačiojo trikampio įžambinės, lygus sumai kvadratų, nubrėžtų ant to trikampio statinių”.
Paprasčiausias teoremos įrodymas gaunamas paprasčiausio lygiakraščio stačiojo trikampio atveju. Greičiausiai nuo jo ir prasidėjo teorema. Iš tikrųjų tereikia tik pažvelgti į lygiakraščių stačiųjų trikampių mozaiką (pav. 1), norint įsitikinti teoremos teisingumu. Pavyzdžiui, ABC: kvadratas, nubrėžtas ant įžambinės AC, susideda iš 4 pirminių trikampių, o kvadratai, nubrėžti ant statinių – iš 2. Teorema įrodyta.
Senovės kinų įrodymas. Matematiniai Senovės Kinijos traktatai iki mūsų atėjo II a.pr.m.e. redakcijoje. Reikalas tame, kad 213 m.pr.m.e. kinų imperatorius Ši Chuan-di, siekdamas išnaikinti ankstesnes tradicijas, paliepė sudeginti visas senovines knygas. II a.pr.m.e. Kinijoje buvo išrastas popierius ir tuo pat metu prasidėjo knygų atkūrimas. Taip atsirado “Matematika devyniose knygose” – svarbiausias iš matematinių-astronominių veikalų. “Matematikos” knygoje yra
brėžinys (pav. 2,a), įrodantis Pitagoro teoremą. Raktą įrodymui parinkti nesunku. Iš tikrųjų, senovės kiniečių brėžinyje keturi lygūs statieji trikampiai su statiniais a, b ir įžambine c sudėti taip, kad jų išorinis kontūras sudaro kvadratą su kraštine a+b, o vidinis – kvadratą su kraštine c, nubrėžtą ant įžambinių. Kvadratą su kraštine c išpjovus ir likusius 4 trikampius sudėjus į du stačiakampius (pav. 2,c) aišku, kad susidariusi tuštuma, iš vienos pusės, lygi c2, iš kitos, a2+b2, t.y. c2=a2+b2. Teorema įrodyta. Reikia pastebėti, kkad tokio įrodymo atveju nenaudojami dariniai vidury kvadrato, nubrėžto ant įžambinės (pav. 2,a). Matyt, senovės kinų matematikai turėjo kitokių būdų įrodyti teoremą. Jeigu kvadrate su kraštine c du nuspalvintus trikampius (pav. 2,b) išpjauti ir pridėti įžambinėmis prie kitų dviejų įžambinių (pav. 2,d), lengva pastebėti, kad gaunama figūra, kurią kartais vadina “nuotakos sostu”, susidedanti iš dviejų kvadratų su kraštinėmis a ir b, t.y. c2=a2+b2.
Pav. 3 perpieštas brėžinys iš traktato “Čžou-bi suan czin”. Čia Pitagoro teorema įrodoma egiptietiškojo trikampio, kurio statiniai lygūs 33, 4, o įžambinė 5 mato vienetams, atveju. Kvadratas ant įžambinės susideda iš 25 langelių, o į jį įbrėžtas kvadratas ant didesniojo statinio – 16. Aišku, kad likusioji dalis susideda iš 9 langelių, tai ir bus kvadratas ant mažesniojo statinio.
Senovės iindų įrodymas. Senovės Indijos matematikai pastebėjo, kad Pitagoro teoremos įrodymui užtenka panaudoti vidinę senovės kinų brėžinio dalį. Ant palmių lapų parašytame žymiausio XII a. indų matematiko Bhaskaro traktate “Sidhanta širomani” (“Žinių vainikas”) yra brėžinys (pav. 4,a) su būdingu indiškiems įrodymams žodžiu “Žiūrėk!”. Kaip matyti, statieji trikampiai čia sudėti įžambinėmis išorėn, o kvadratas c2 perkeliamas į “nuotakos sostą” a2-b2 (pav. 4,b). Reikia pastebėti, kad kai kurie Pitagoro teoremos įrodymai (pavyzdžiui, brėžimas kvadrato, kurio plotas dvigubai didesnis už duoto kvadrato plotą) sutinkami senovės indų traktate “Sulva sutra” (VII-V a.pr.m.e.).
Euklido įrodymas pateiktas pirmosios “Pradų” knygos 47-ajame teiginyje. Ant stačiojo trikampio ABC įžambinės ir kraštinių brėžiami atitinkami kvadratai (pav. 5) ir įrodoma, kad stačiakampis BJLD lygus kvadratui ABFH, o stačiakampis ICEL – kvadratui ACKG. TTada statinių kvadratų suma bus lygi įžambinės kvadrato sumai. Iš tikrųjų, nuspalvinti trikampiai ABD ir BFC lygūs pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų: FB=AB, BC=BD, o FBC=d+ABC=ABD. Bet SABD=1/2SBJLD, kadangi ABD ir stačiakampis BJLD turi bendrą pagrindą BD ir bendrą aukštį LD. Analogiškai SFBC=1/2SABFH, (BF – bendras pagrindas, AB – bendras aukštis). Iš čia, turint omeny, kad SABD=SFBC, turime, kad SBJLD=SABFH. Analogiškai, panaudojant BCK ir ACE lygybę, įrodoma, kad SJCEL=SACKG. Taigi, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL=SBCED, ką ir reikėjo įrodyti. Euklido įrodymas, palyginus ssu senovės kinų ar senovės indų, atrodo pernelyg sudėtingas. Dėl to jį neretai vadina “ramentiniu” arba “prigalvotu”. Bet ši nuomonė paviršutiniška. Pitagoro teorema pas Euklidą yra galutinė grandis teiginių grandinėje iš 1-osios “Pradų” knygos. Tam, kad logiškai be priekaištų sudarytų šią grandinę, kad kiekvienas įrodymo žingsnis atitiktų anksčiau įrodytus teiginius, Euklidui buvo reikalingas būtent toks kelias.
Jau seniai yra išrastas galvosūkis, dabar vadinamas “Pitagoru”. Nesunku įsitikinti, kad septynių galvosūkio dalių pagrindas yra lygiakraštis statusis trikampis ir kvadratai, nubrėžti ant jo statinių, arba, kitaip sakant, figūros, sudarytos iš 16 vienodų lygiakraščių stačiųjų trikampių, ir dėl to susidedančios į kvadratą. Tokia yra tik mažytė dalis lobių, paslėptų antikinės matematikos perle – Pitagoro teoremoje. Toliau aš paminėsiu kelis algebrinius teoremos įrodymus.
Pitagoro teoremos įrodymas. Tarkime – kad T yra statusis trikampis su statiniais a, b ir įžambine c (pav. 6,a). Reikia įrodyti, kad c2=a2+b2.
Brėžiamas kvadratas Q, kurio kraštinė yra a+b (pav. 6,b). Jo kraštinėse pažymimi taškai A, B, C ir D taip, kad atkarpos AB, BC, CD ir DA nukirstų nuo kvadrato Q stačiuosius trikampius T1, T2, T3 ir T4 su statiniais a ir b. Keturkampis ABCD pažymimas raide P.
Įrodoma, kad P yra kvadratas su kraštine c. Visi trikampiai T1, T2, T3 ir T4 yra llygūs T pagal du statinius. Todėl jų įžambinės yra lygios T įžambinei, t.y. atkarpai c. Įrodoma, kad visi šio keturkampio kampai yra statūs. Tarkime, kad ir – smailiųjų T kampų dydžiai. Tada, kaip žinia, +=90o. prie keturkampio P viršūnės A su kampais ir sudaro 180o kampą. Ir kadangi +=90o, tai =90o. Lygiai taip pat įrodoma, kad ir kiti keturkampio P kampai yra statūs. Reiškia, keturkampis P yra kvadratas.
Kvadratas Q su kraštine a+b susideda iš kvadrato P su kraštine c ir keturių trikampių, lygių T. Todėl S(Q)=S(P)+4S(T). Kadangi S(Q)=(a+b)2, S(P)=c2, o S(T)=1/2(ab), tai gaunama lygybė (a+b)2=c2+4(1/2ab), kuri užrašoma taip: a2+b2+2ab=c2+2ab. Suprastinus gaunama, kad a2+b2=c2. Teorema įrodyta.
Dar vienas algebrinis įrodymas. Tarkime, kad ABC yra statusis trikampis su stačiuoju kampu C. Nuleidžiama atkarpa CD iš stačiojo kampo viršūnės C. Pagal kampo kosinuso apibrėžimą (stačiojo trikampio smailojo kampo kosinusas yra statinio, esančio prie to kampo, ir įžambinės santykis) cosA=AD/AC=AC/AB. Iš čia ABxAD=AC2. Atitinkamai cosB=BD/BC=BC/AB. Iš čia ABхBD=BC2. Sudėjus gautas lygybes, turint omeny, kad AD+DB=AB, gauname AC2+BC2=AB(AD+DB)=AB2. Teorema įrodyta.
Pabaigai dar norėtųsi pakartotinai priminti, Pitagoro teoremos reikšmingumą. Jos reikšmė visų pirma tame, kad iš jos ir su jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų. Deja, neįmanoma čia pateikti visus arba tik ppačius gražiausius Pitagoro teoremos įrodymus, tačiau norisi tikėtis, kad paminėti pavyzdžiai įtikinamai liudija apie didžiulį susidomėjimą, tiek anksčiau, tiek ir dabar rodomą Pitagoro teoremai.
Naudota literatūra:
J.Golovanovas “Etiudai apie mokslininkus”, Kaunas Šviesa 1986
G.Gleizeris “Matematikos istorija mokykloje VII – VIII klasė”, Kaunas Šviesa 1986
“Lietuviškoji tarybine enciklopedija”
