Racionaliosios Lygtys
Vilniaus Abraomo Kulviečio vidurinė mokykla
Darbą atliko:
Vidmantas ..
Vilnius, 2007
Racionaliosios lygtys
Lygtis, sudaryta iš racionaliųjų reiškinių, vadinama racionaliąja lygtimi. Sprendžiant ir sudarinėjant racionaliąsias lygtis, būtina prisiminti, kad trupmenos vardiklis negali būti lygus nuliui.
Paprastųjų ir nesudėtingų racionaliųjų lygčių sprendimas
Paprastos racionaliosios lygtys, kurios pakeičiamos tiesinėmis ir kvadratinėmis lygtimis
Paprastas racionaliąsias lygtis patogu pakeisti tiesinėmis ir kvadratinėmis. Sprendžiama taip:
1) Abi lygties puses padauginti iš trupmenos vardiklio;
2) gautą lygtį spręsti pagal tai, kokia ji – tiesinė ar kvadratinė.
1 pavyzdys. Išspręskime lygtis:
a) ; b)
Sprendimas. Sprendimas.
| • 3 , Kadangi trupmenos vardiklis, atlikus veiksmus
( -6 + 5 + 1 = 0 ), tampa lygus nuliui, o toks būti
x – 56 = 132, negali, tai ši lygtis sprendinių neturi.
x = 132 + 56 = 188.
Atsakymas: x = 188. Atsakymas: .
c) d) ;
Sprendimas. Sprendimas.
| • x , | • 2x;
x2 + 10x +16 = 0, Sutraukiame panašiuosius narius:
D = 102 – 16 • 4 = 336, 2×2 + 4x – 5 – x2 – 2 = -2x,
x1 = x2 + 2x – 7 = 0,
x2 = . D = 22 – 4 • (-7) = 64,
x1 =
Atsakymas: x = -8;-2. x2 =
Atsakymas: xx = -7;1.
Išspręskite lygtis:
a) d) .
b) e) .
c) f)
Nesudėtingos racionaliosios lygtys
Nesudėtingas raconaliąsias lygtis galima spręsti taip:
I būdas.
1) rasti į lygtį įeinančių trupmenų bendrąjį vardiklį,
2) abi lygties puses padauginti iš bendrojo vardiklio,
3) išspręsti gautąją lygtį,
4) atmesti tuos sprendinius, su kuriais vardiklis lygus nuliui.
Arba taip:
II būdas.
1) suteikti lygčiai pavidalą
2) išspręsti lygtį f(i) = 0,
3) patikrinti, ar su gautosiomis nežinomojo (x) reikšmėmis g(x) ≠0. Jeigu g(x) = 0, tai tuos sprendinius reikia atmesti.
1 pavyzdys. Išspręskime lygtis, taikydami abu sprendimo būdus:
a)
Sprendimas.
I būdas.
| • (x – 2) • x ,
40 • x – 40 • (x – 2) = (x -2 ) • x ,
40x -40x +80 = x 2 – 2x,
x2 – 2x –80 = 0,
D = (-2)2 – 4 • 1 • (- 80 ) = 4 + 320 = 324,
II būdas.
Randame tas x reikšmes, su kuriomis gautos trupmenos skaitiklis lygus nuliui,
t.y. sprendžiame lygtį
– x2 +2x +80 = 0,
x2 -2x -80 = 0,
x1 = 10, x2 = – 8.
Tikriname, ar su gautomis x reikšmėmis trupmenos vardiklis nelygus nuliui:
kai x = 10, tai x(x -2) = 10(10 – 2) ≠ 0,
kai x = – 8, tai x(x – 22) = -8(-8 – 2) ≠ 0.
Vadinasi, skaičiai -8 ir 10 yra lygties sprendiniai.
Atsakymas:
b) .
Sprendimas.
I būdas.
| • 2x(2 – x),
8= 2 • 2x + x (2-x) ,
8 = 4x + 2x – x2,
x2 – 6x + 8 = 0,
D = 36 – 32 = 4,
II būdas.
,
Randame tas x reikšmes, su kuriomis gautos trupmenos skaitiklis lygus nuliui, t.y. sprendžiame lygtį
x2 – 6x +8 = 0 ,
x1 = 2, x2 = 4.
Patikriname, ar su gautomis x reikšmėmis trupmenos vardiklis 2x(2 – x) nelygus nuliui:
kai x = 2, tai 2x(2 – x) = 2 • 2 ( 2 – 2) = 0,
kai x = 4, tai 2x(2 – x) = 2 • 4(2 – 4) ≠ 0 .
Vadinasi, skaičius 2 nėra lygties sprendinys.
Atsakymas: x = 4.
Uždaviniai:
1. Išspręskite lygtis jums patogiu būdu:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Racionaliųjų lygčių sudarymas
Spręsdami uždavinius dažnai gauname tokią lygtį, kurios vardiklyje yra nežinomųjų.
1 pavyzdys. Du darbininkai pagamino po 40 detalių. Pirmasis darbininkas per valandą pagamino dviem detalėm daugiau nei antras. Kiek detalių per valandą pagamindavo pirmasis darbininkas, jei jis visas detales pagamino viena valanda greiciau negu kitas?
Sprendimas. Sakykime, kkad pirmasis darbininkas per valandą pagamindavo x detalių, tada antrasis pagamindavo (x – 2) detales. Pirmasis dirbo valandų, antrasis ¬- valandas. Iš antrojo darbininko sugaišto laiko atėmę pirmojo darbininko laiką gautume vieną valandą, t.y.:
Gavome racionaliąją lygtį, kurią sprendžiame mums patogiu būdu.
| • (x – 2) • x ,
40 • x – 40 • (x – 2) = (x -2 ) • x ,
40x -40x +80 = x 2 – 2x,
x2 – 2x -80 = 0,
D = (-2)2 – 4 • 1 • (- 80 ) = 4 + 320 = 324,
Gavome du lygties sprendinius.
Nors skaičius -8 ir yra sudarytos lygties sprendinys, tačiau jis netenkina uždavinio sąlygos, nes detalių skaičius negali būti neigiamas.
Atsakymas. Pirmasis darbininkas per valandą pagamindavo 10 detalių.
2 pavyzdys. Šalyje yra dvi spaustuvės: „Raidė“ ir „Edva“, galinčios išspausdinti bilietus į UEFA rungtynes. Per vieną dieną abi kartu jos gali išspausdinti tris ketvirtadalius visų bilietų. Kiek dienų užtruktų dirbdamos atskirai, jei yra žinoma, kad „Raidė“ dirbtų dviem dienom trumpiau nei „Edva“?
Sprendimas.
„Edva“ dirbtų viena: x dienų,
„ Raidė“ dirbtų viena: x – 2 dienas.
Per vieną dieną „Edva“ atliktų : darbo;
Per vieną dieną „Raidė“ atliktų : darbo.
Abi spaustuvės per vieną dieną atlieka viso darbo, todėl sudarome lygtį:
.
Ją sprendžiame patogiu mums būdu:
Randame tas x reikšmes, su kuriomis skaitiklis tampa lygus nuliui:
10x – 8 – 3×2 = 0;
D = 102 – 4 • (-3) • (-8) = 4;
Antrasis lygties sprendinys netinka, nes jis yra neigiams, o skaičiuojamos dienos negali būti neigiamos.
Jei „Raidė“, spausdindama atskirai, užtrunka 2 dienas, tai „Edva“ užtruktų
x + 2 = 2 + 2 = 4 dienas.
Atsakymas. „Edva“ užtruktų 4 dienas, o „Raidė“ – 2 dienas.
