Skaičiai ir jų mokslas

ĮVADAS

Natūrinio skaičiaus sąvoka, prireikus skaičiuo¬ti, atsirado ankstyviausiose žmonių visuome¬nės vystymosi pakopose, daug pirmiau, negu trupmeninių ir neigiamų skaičių sąvokos. Na¬tūriniais vadinami skaičiai: vienas, du, trys, keturi, penki, šeši ir t. t. Šiuolaikinis žmogus susipažįsta su jais, dar būdamas ikimokyklinio amžiaus. Ir vis tiktai, nežiūrint savo įprastumo ir kasdieniškumo, natūriniai skaičiai pasižymi daugeliu savybių, toli gražu ne visiems žinomų. Yra ištisas mokslas — skaičių teori¬ja,— kuris tiria juos. Sis mokslas turi įdomią ypatybę: jo uždaviniai atrodo paprasti ir suprantami; apie jo rrezultatus galima papasakoti kiekvienam pakankamai raštingam žmogui. Bet uždavinių sprendimas, rezul¬tatų gavimo būdai dažnai labai sunkūs ir kartais ne¬įkandami net geriausiems matematikams. Ne veltui žymiausias vokiečių matematikas Gausas (1777—1855) pasakė, kad aritmetika — matematikos valdovė. Ži¬noma, jis turėjo galvoje ne elementariąją aritmetiką, o būtent skaičių teoriją, kitaip vadinamą aukštąja arit¬metika, kurios tolimesniam vystymuisi didelės įtakos turėjo paties Gauso darbai.

Natūrinių skaičių be galo daug: jų tarpe nėra didžiau¬siojo. Mums tai atrodo aiškiu dalyku. Iš tikrųjų kokį didelį bepaimtume skaičių, pridėję prie jjo vienetą, mes gausime dar didesnį skaičių. Tai, jog skaičių seka yra begalinė, sudaro nemaža sunkumų, logiškai pagrin¬džiant aritmetiką.

Šioje knygelėje aritmetikos pagrindai (aksiomos ir paprasčiausios taisyklės) nenagrinėjami. Natūrinių skaičių — skaičių, kurie naudojami daiktų skaičiavimui,— seka prasideda nuo vieneto, o nne nuo nulio. Nulis įvedamas kartu su neigiamaisiais skai¬čiais tam, kad būtų galima atimti ir tais atvejais, ka¬da atėminys lygus turiniui arba didesnis už jį. Teigia¬mieji sveikieji, neigiamieji sveikieji skaičiai ir nulis sudaro sistemą sveikųjų skaičių, kurių veiksmų pa¬grindinės taisyklės nagrinėjamos mokyklinio algebros kurso pradžioje. Čia daugiausia kalbėsime apie natū¬rinių skaičių savybes. Bet ten, kur tai gali palengvinti aiškinimą, naudosime ir neigiamuosius skaičius bei

nulį.

Kurias gi natūrinių skaičių savybes nagrinėsime? Vi¬sų pirma — įvairius jų užrašymo ir žymėjimo būdus, tų būdų vystymąsi ir tarpusavio ryšius. Toliau — klau¬simus, kurie iškyla, dalijant sveikuosius skaičius vie¬ną iš kito (dalumą, bendrąjį didžiausią daliklį, skai¬dymą pirminiais dauginamaisiais ir 1.1.). Baigiamuo¬siuose skyriuose mes nušviesime kai kurias pirminių skaičių savybes.

Pirminiais skaičiais domėjosi geriausieji rusų mate¬matikai: Čebyšovas, Zolotariovas iir kiti. Dvidešimta¬jame amžiuje.visų didžiausių, visų puikiausių rezul¬tatų šioje srityje pasiekė tarybiniai matematikai L. Snirelmanas ir ypač akademikas I. Vinogradovas. Apie juos papasakosime paskutiniame šios knygelės skyriuje.

MOŠŲ SKAIČIAVIMO SISTEMA

Pirmykščiam žmogui skaičiuoti beveik netekdavo. Bet mes — šiuolaikiniai žmonės — skaičiais naudo¬jamės beveik kiekviename žingsnyje. Mes turime mokėti teisingai pasakyti ir užrašyti bet kurį skai¬čių, koks didelis jis bebūtu. Jeigu kiekvienas skaičius turėtų savo atskirą vardą ir būtų raštu žymimas atskiru ženklu, tai įsiminti visų šių žodžių ir ženklų niekas nesugebėtų. KKaipgi mes susidorojame su šiuo uždaviniu? Mus gelbsti gera žymėjimo sistema. Pavadinimų ir ženklų visuma, pa¬dedanti užrašyti bet kurį skaičių ir pavadinti jį, vadinama skaičiavimo sistema, numeracija arba skai¬čiuote.

Skaičių užrašymui naudojame dešimt skirtingų ženklų. Devyni iš jų žymi pirmuosius devynis natūrinius skaičius (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), dešimtasis nežymi jokio skaičiaus: jis yra tiesiog skirtis skaičių žymėjime. Sis ženklas vadi¬namas nuliu ir žymimas 0.

Taigi turime devynis ženklelius pirmiesiems devyniems skaičiams žymėti ir dešimtąjį ženklelį — nulį — „pozici¬nę skirtį“*. Šie ženkleliai vadinami skaitmenimis.

Kaipgi, naudojant tik dešimt skaitmenų, galima užra¬šyti sveikąjį skaičių? Pagalvokime iš pradžių, kaip skai¬čiuotume didelį vienodų daiktų, sakysime, degtukų, kiekį. Iš pradžių sudėliotume daiktus į krūveles po dešimt. Gautu¬me tam tikrą dešimčių skaičių (ir, gal būt, liktų keletas daiktų, nepatekusių į pilnąsias dešimtis). Toliau tektų su¬skaičiuoti krūveles (dešimtis). Jeigu krūvelių (dešimčių) būtų labai daug, jas sugrupuotume irgi dešimtimis ir 1.1. Tokiu būdu mums pavyksta atskleisti pagrindinę mūsų skaičiavimo sistemos idėją — mintį apie skirtingų skyrių vienetus. Dešimt vienetų sudaro dešimtį: kitaip tariant, dešimt pirmojo skyriaus vienetų sudaro vieną antrojo sky¬riaus vienetą. Dešimt antrojo skyriaus vienetų sudaro vie¬ną trečiojo skyriaus vienetą. Ir aplamai, dešimt bet kurio skyriaus vienetų sudaro sekančiojo skyriaus vienetą.

Nors iš pažiūros ir llabai paprasta, ši sistema nuėjo labai ilgą istorinio vystymosi kelią. Ją kuriant, dalyvavo daug tautų.

Visiškai pagrįstai kyla klausimas: kodėl daiktus pradėjo grupuoti dešimtimis, o ne penketais ar tuzinais? Kodėl kiekvieno skyriaus vienetai dešimt, o ne aštuonis ir ne tris kartus mažesni už sekančiojo skyriaus vienetus?

Skaičiavimas dešimtimis labai paplito todėl, kad žmonės turi natūralią „skaičiavimo mašiną“, susijusią su skaičiu¬mi dešimt: būtent — dešimtį rankų pirštų.

Užrašyti kokį nors skaičių, pavyzdžiui, „penkiasdešimt septynis“, naudojantis dešimtimi pagrindinių ženklelių ir tam tikrais jungiamaisiais žodžiais, galima, sakysime, taip: „5 antrojo skyriaus vienetai ir 7 paprastieji vienetai“. Bet toks rašymo būdas gremėzdiškas. Patogiau ir trumpiau bū¬tų užrašinėti skaičius, nenaudojant žodžių, vienais ženklais (skaitmenimis). Ir iš tikrųjų rašome skaičių „penkiasde¬šimt septyni“ taip: 57. Sie du skaitmenys, parašyti greta, reiškia dviejų skaičių sumą: dešinysis skaičius (mūsų pa¬vyzdyje 7) rodo paprastųjų vienetų skaičių, o kairysis (5) — antrojo skyriaus vienetų (dešimčių) skaičių. Jeigu parašyti iš eilės trys skaitmenys, tai dešinysis reiškia paprastuo¬sius vienetus, sekantis (vidurinysis) — antrojo skyriaus vienetus (dešimtis), o kairysis — trečiojo skyriaus vienetus (šimtus), vadinasi, 238 žymi dviejų šimtų, trijų dešimčių ir aštuonių vienetų sumą. Aplamai, iš dviejų greta parašytų skaitmenų kairysis žymi vienetus, dešimt kartų didesnius už vienetus, žymimus dešiniojo skaitmens. Svarbu ne tik pats skaitmuo, bbet ir jo vieta, jo p o z i c i j a*. Todėl mūsų numeracija vadinama pozicine.

Parašysime mūsų numeracija skaičių „šimtas du“. Cia yra vienas trečiojo skyriaus vienetas (šimtas) ir du papras¬tieji vienetai. Užrašyti jį šitaip: „12″ — negalima: juk taip rašomas skaičius „dvylika“. Rašyti „12″, paliekant vietos trūkstamam skyriui, nepatogu; galima pagalvoti, kad čia plačiai parašytas skaičius „dvylika“ ar tiesiog du skaičiai: „vienas“ ir „du“. Be to, kaip atskirti užrašytus skaičius „dvylika“ ir „šimtas dvidešimt“; kur šiuo atveju palikti tuš¬čią vietą? Šiems nepatogumams pašalinti ir įvesta „pozicin skirtis“ — skaitmuo nulis. Jis rašomas trūkstamojo skyriaus vietoje. Nulis padeda skaičius „dvylika“, „šimtas du“ ir „šimtas dvidešimt“ užrašyti skirtingai (12; 102; 120). Pozicinė dešimtainė numeracija buvo žinoma indams jau prieš pusantro tūkstančio metų (gal būt, ir anksčiau); į Europą ją atnešė arabai, įsibrovę j Ispaniją VIII mūsų eros amžiuje. Arabiškoji numeracija paplito visoje Europoje, ir, būdama paprastesnė ir patogesnė nei kitos skaičiavimo siste¬mos, apie kurias bus kalbama sekančiame skyriuje, greitai jas išstūmė. Iki šių laikų mūsų skaitmenis priimta vadinti arabiškaisiais. Be kita ko, per 100 metų visi skaitmenys, iš¬skyrus vienetą ir devynis, smarkiai pasikeitė.

Tarsime keletą žodžių apie mūsuose priimtus skaičių pa¬vadinimus. Pirmųjų šešių skyrių pavadinimai (vienetai, dešimtys, šimtai, tūkstančiai, dešimtys

tūkstančių, šimtai tūkstančių) labai seni ir įvairiomis kalbomis skamba skir¬tingai. Galvoti apie šių pavadinimų kilmę — filologų, o ne matematikų reikalas. Žodis „milijonas“ palyginti nesenas. Itališkai millione yra didybinis daiktavardis, padarytas iš daiktavardžio mille, kuris reiškia „tūkstantį“. Lietuviškai jį galima būtų versti „geras tūkstantis“ ar „tūkstančių tūks¬tantis“. Žodį „milijonas“ sugalvojo žinomas XIII a. keliau¬tojas venecijietis Markas Polas, kuriam neužteko įprasti¬nių skaičių papasakoti apie nepaprastą „Dangiškosios im¬perijos“* žmonių ir turtų gausybę. Dabar milijonais, dešimtimis ir šimtais milijonų vadinami septintojo, aštun¬tojo ir ddevintojo skyrių vienetai. Tūkstantis milijonų vadi¬nama bilijonu arba milijardu, o toliau, sudarant vieningus visam pasauliui skaičių pavadinimus, vartojami lotyniški skaitvardžiai. Norėdami geriau suprasti šių milžiniškų skai¬čių pavadinimus, prisiminsime, kad kiekvieni trys skyriai sudaro klasę: paprastieji vienetai, dešimtys ir šimtai sudaro pirmąją klasę; tūkstančiai, jų dešimtys ir šimtai — antrąją klasę, milijonai — trečiąją klasę, bilijonai — ketvir¬tąją ir t. t.

Norint pavadinti kurios nors klasės, pradedant ketvirtą¬ja, vienetą, reikia klasės numerį sumažinti dviem ir prie gautojo skaičiaus lotyniškojo pavadinimo pridėti galūnę „„ilijonas“. Taip, pavyzdžiui, penktosios klasės vienetas va¬dinamas „trilijonu“, nes 5 — 2 = 3, o 3 lotyniškai tres; sudur¬tiniuose žodžiuose tres pereina j tri. Imsime dvidešimt ant rosios klasės vienetą. Nesunku suvokti, kad tai bus 64-ojo skyriaus vienetas (dvidešimt antrojo sskyriaus vienetas eina po 21 klasės, t. y. 21X3 = 63 skyriaus). Vadinasi, šis skai¬čius rašomas taip:

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Kaipgi jj pavadinti? Iš klasės numerio atimame du: 22 — 2 = = 20; dvidešimt lotyniškai viginti; vadinasi, mūsų skaičių reikia pavadinti „vigintiiijonu“.

Šitaip sudaryti pavadinimai nelabai patogūs. Lotynų kalbą moka ne visi. Be to, didelių skaičių pavadinimai gre¬mėzdiški ir sunkiai ištariami. Net geras lotynistas vargu ar sugebės pavadinti skaičių, užrašomą vienetu ir penkiais mi¬lijonais nulių. Be kita ko, ir užrašyti tokį skaičių praktiškai

neįmanoma.

Kodėl gi nepakeičiamas didelių skaičių užrašymas ir pavadinimai? Nejaugi čia negalima pasiūlyti racionaliza¬cijos? Žinoma, galima, ir netgi gana lengvai. Bet tai visiš¬kai nereikalinga. Dideli skaičiai, panašūs į aukščiau parašy¬tąjį milžiną, sutinkami tiktai matematinių kuriozų rinki¬niuose, na, ir kai kuriuose skaičių teorijos skyriuose.

Atleiskite, mminutėle,— pertrauks skaitytojas: o fizika, o astronomija? Juk didieji skaičiai net pravardę turi: „astro¬nominiai“ skaičiai!

Kantrybės, skaitytojau! Pakalbėsime ir apie „astrono¬minius“ skaičius. Bet prieš tai pateiksime aukštųjų klasių vienetų pavadinimus, ir ne dėl to, kad jie būtų naudingi (nauda čia, kaip matysime, nedidelė), bet norėdami paten¬kinti smalsumą.

1000000000 – bilijonas,

1000000000000 – trilijonas,

1000000000000000 – kvadrilijonas,

1000000000000000000 – kvintilijonas.

Toliau seka: sekstilijonas, septilijonas, oktilijonas, noni-lijonas, decilijonas, undecilijonas ir t. t.

Kai kuriose šalyse, pavyzdžiui, Prancūzijoe, bilijonu vadinamas ne tūkstantis, o milijonas milijonų, t. y. 13-ojo skyriaus vienetas; ttrilijonu vadinamas milijonas šitų „stam¬biųjų“ bilijonų (mūsų kvintilijonas) ir taip toliau, skaitant klases ne po tris, o po šešis skyrius. Tai šiek tiek supapras¬tina didžiųjų skaičių pavadinimus.

Pakalbėkime dabar apie „astronominius skaičius“; tik¬tai, prieš kildami į dangų, paieškokime jų žemėje. Kam, pa¬vyzdžiui, lygus 2emės rutulio paviršius, tūris ir masė? Pa¬žiūrėję j geografijos vadovėlį, randame:

Žemės rutulio paviršius- 509000000 km2,

tūris- 1070000000000 km3,

masė- 6000000000000000000000 tonų.

Paskutinysis skaičius (masė) turi 6 dvidešimt antrojo sky¬riaus vienetus, t. y. Šešis sekstilijonus.

Visi šie skaičiai turi vieną ypatybę: tai — „apvalieji“ skaičiai, kurie baigiasi nuliais. Suprantama, nei Žemės pa¬viršius, nei tūris negali būti išreiškiami tokiais apvaliaisiais kvadratinių ir kubinių kilometrų skaičiais. „Apvalumas“ čia tik tariamas. Juk visi Žemės paviršiaus geodeziniai mata¬vimai — apytiksliai, nors atliekami ir labai kruopščiai; to¬dėl ir Žemės rutulio paviršiaus ir tūrio skaičiai apytiksliai. Panagrinėkime atidžiau skaičių 509000000 (penki šim¬tai devyni milijonai). Šeši nuliai dešinėje čia visai nereiš¬kia, kad nėra tūkstančių ir žemesniųjų skyrių. Šių skyrių mes arba nežinome, arba sąmoningai nerašome, nes toks tikslumas mums nereikalingas. Mes apvaliname rezultatą ir sakome: Žemės paviršiaus kvadratinių kilometrų skaičių sudaro penki šimtai devyni milijonai ir kažkoks tūks¬tančių, šimtų, dešimčių ir vienetų skaičius, bet koks — tiks¬liai nenurodome.

Praktiniame gyvenime, skaičiuojant daiktus, kurių la¬bai daug, pavyzdžiui, kurios nors šalies gyventojus arba rraudonuosius kraujo kūnelius žmogaus kraujyje, taip pat matuojant įvairius dydžius, mums pavyksta sužinoti tik pirmuosius 3—4 tikslius rezultato skaitmenis. Nepaprastai tiksliuose šiuolaikinės fizikos matavimuose, kuriuos atlie¬kant imamasi visų atsargumo priemonių, pralenkiančių drą¬siausias techninės fantazijos idėjas, pavyksta gauti septy¬nis, retais atvejais aštuonis tikslius skaitmenis; jeigu gaunami daugiau nei aštuonių ženklų sveikieji skaičiai, ten¬ka prirašinėti gale nulius. Vadinasi, bet kurį didelį praktinį skaičių galima užrašyti kaip sandaugą ne didesnio kaip aštuonženklio (o dažniau — triženklio ar keturženklio) skaičiaus ir „vieneto su nuliais“* (pavyzdžiui, Žemės paviršių 509000000 km2 galima užrašyti taip: 509X 1000000 arba 509-1000000). Skaičius iki milijardo nesunku parašyti ir perskaityti; vadinasi, reikia tik mokėti racionaliai parašyti ir perskaityti skaičius, sudarytus iš vieneto ir daugelio nulių.

Čia mums padeda laipsnio sąvoka. Skaičius, vaizduoja¬mas vienetu su nuliais, yra dešimties laipsnis. Pavyzdžiui, šimtas yra antrasis dešimties laipsnis (100=102), tūkstan¬tis— trečiasis dešimties laipsnis (1000= 103). Aplamai, skaičius, kurį sudaro vienetas su nuliais, reiškia tokį de¬šimties laipsnį, kiek jis turi nulių; tai galima parašyti ši¬taip:

Galima pasakyti ir taip: /2-ojo skyriaus vienetas yra (n—1)-asis dešimties laipsnis (pavyzdžiui, milijonas — 7-ojo sky¬riaus vienetas — lygus 106).

Remiantis tokiais samprotavimais, galima labai trumpai pavadinti ir užrašyti visus skaičius, kuriuos sutinkame gy¬venime ir moksle. Imkime, pavyzdžiui, Žemės rutulio masę. Štai skaičius, kuriuo jji išreiškiama: 6000000000000000000000 tonų

Dabar mes galime jį užrašyti taip: 6-1021 tonų, ir skaityti: „Sešiskart dešimt dvidešimt pirmuoju“ (turima galvoje: laipsniu). Tai trumpa ir patogu.

Norėdami priprasti prie šitos žymėjimų ir pavadinimų sistemos, išnagrinėkime keletą pavyzdžių.

1914—1918 m. po pirmojo pasaulinio karo daugelyje šalių, taip pat ir mūsų šalyje, buvo ūkinė suirutė, kurią lydėjo pinigų nuvertinimas. Tekdavo leisti didžiulį kiekį vis didesnės ir didesnės nominalinės vertės popierių. Po šio reiškinio, vadinamo infliacija, mūsų šalyje keletą kartų se¬kė denominacija, t. y. buvo išleidžiami palyginti nedidelės nominalinės vertės pinigai ir būdavo paskelbiama, kad vie¬nas naujosios laidos rublis lygus šimtui ar tūkstančiui senosios laidos rublių. Po šių denominacijų nebereikėdavo pi¬niginiuose ženkluose spausdinti labai didelių skaičių — už¬tekdavo milijonų. Bet Vokietijoje, kur po infliacijos papras¬tai nesekdavo denominacija, buvo nepaprastai aukštos no¬minalinės vertės — dešimčių ir šimtų milijonų markių — bonų ir net pašto ženklų. Pažvelgęs į 1 pav., skaitytojas ga¬lės pamatyti kelis „astronominės“ nominalinės vertės paš¬to ženklus. Vokietijoje išleisto pašto ženklo aukščiausias nominalas — penkiasdešimt milijardų, t. y. 5-1010 markių; bonų būdavo dar didesnės vertės.

Klasikinis skaičiaus milžino pavyzdys yra atlyginimas, kurio, jeigu tikėtume senovės legenda, pareikalavo šachma¬tų žaidimo išradėjas. Kaip pasakojama legendoje, jis pra¬šė už pirmąjį lentos langelį vieno ryžio grūdo, už antrąjį — dviejų, už trečiąjį

— keturių ir t. t., už kiekvieną sekantįjį — du kartus daugiau, negu už pirmesnįjį. Sis iš pirmo žvilgs¬nio kuklus prašymas, kaip paaiškėjo, buvo neišpildomas: visi pasaulio aruodai negali sutalpinti ryžių, užsiprašytų gudriojo išradėjo. Iš tikrųjų už pirmąjį langelį jam reikėtų duoti 1 grūdą, t. y. 2—1. Už pirmąjį ir antrąjį reikėtų 1 + + 2 = 3 = 2-2—1 grūdų. Už pirmuosius tris langelius 1+2 + + 4 = 7 = 2-2-2—1 grūdų. Matome, kad už tam tikrą pirmųjų llangelių skaičių a reikėtų atiduoti Vadinasi, už visus 64 langelius išradėjui priklauso 264—1 grūdų*. Skaičių 264 visų lengviausia apskaičiuoti, naudo¬jantis asociatyvumo, arba jungimo, dėsniu: juk 264 yra 64 dvejetų sandauga; juos galima sujungti į 4 grupes — 20, 20, 20 ir 4 dvejetų; gausime:

264 = 220.220.220.24

Apskaičiuoti, kad 210=1024, nesunku. Padauginę 1024 iš jo paties, gausime 220= 1048576. Vadinasi,

264= i 048576 x į 048576 X 1048576 X 16. Belieka atlikti nuobodžią, bet nesunkią daugybą. Pagaliau gausime:

264- i = 18446744073709551615.

Sis skaičius skaitomas ttaip: aštuoniolika kvintilijonų keturi šimtai keturiasdešimt šeši kvadrilijonai septyni šimtai ke¬turiasdešimt keturi trilijonai septyniasdešimt trys bilijonai septyni šimtai devyni milijonai penki šimtai penkiasdešimt vienas tūkstantis šeši šimtai penkiolika. Jis maždaug ly¬gus 18-1018 (skaitoma taip: „aštuoniolikakart dešimt aš¬tuonioliktuoju“).

Prisiminkime žinomą uždavinį pokštą aapie visų didžiau¬sią skaičių, kurį galima parašyti trimis devynetais.

Sio uždavinio atsakymas — ne naivus skaičius 999 ir ne įspūdingas 9″ ar 999, o „triaukštis“ milžinas 99B- Jis apy¬tiksliai lygus 4-10369693 °“ (keturiskart dešimt trys šim¬tai šešiasdešimt devyni milijonai šeši šimtai devyniasde¬šimt trys tūkstančiai devyniasdešimt devintuoju; jį ir trum¬puoju būdu sunku perskaityti!):

Greta šio milžino „astronominiai“ skaičiai atrodo pasi¬gailėtini nykštukai. Imkime, pavyzdžiui, atstumą iki toli¬miausių dangaus objektų — galaktikų, įžiūrimų pro šiuo¬laikinius teleskopus. Galaktikos — tai didžiulės žvaigždžių sistemos, susidedančios iš milijardų žvaigždžių; jos tiek toli¬mos, kad šviesa iš jų eina iki mūsų beveik 1 milijardą me¬tų; tai reiškia, kad jos nutolę nuo mūsų beveik 1022 kilo¬metrų.

Taigi atstumas iki šių galaktikų lygus 1022 km arba

1022-105=1027 cm (1 km turi 100000 = 105 ccm). Fizikoje visus ilgius įprasta reikšti centimetrais, todėl ir mes išreiš¬kėme šį atstumą centimetrais. Sį skaičių nesunku perskai¬tyti: juk 1027 lygus vienam dvidešimt aštuntojo skyriaus vienetui arba vienam dešimtosios klasės vienetui. Atėmę iš dešimties du, gausime aštuonis (žr. 9 psl. — kaip vadi¬nami dideli skaičiai). Vadinasi, mūsų vieneto pavadinimas turi būti padarytas iš lotyniškojo octo (aštuoni), t. y. atstu¬mas iki galaktikų, matomų pro šiuolaikinius teleskopus, ly¬gus vienam oktilijonui centimetrų.

Reziumuosime šį skyrių. Norėdami skaičius pavadinti ir parašyti, naudojamės pozicine dešimtaine skaičiuote. PPo¬zicine ji vadinama, todėl, kad skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties — vietos parašytojo skaičiaus skaitmenų ei¬lėje; dešimtaine — todėl, kad iš dviejų greta parašytų skait¬menų kairysis žymi vienetus, dešimt] kartų didesnius, negu dešinysis. Si sistema labai patogi užrašyti ir perskaityti skaičius iki milijardo. Ji nepatogi labai dideliems skaičiams užrašyti (gauname labai „ilgus“ skaičius), o jiems perskai¬tyti — praktiškai visai nepritaikoma. Norėdami išvengti šių nepatogumų, naudojamės laipsnio sąvoka. Išreikšda¬mi skaičių palyginti nedidelio skaičiaus ir dešimties laips¬nio sandauga, mes be didelio vargo užrašome ir perskai¬tome visus skaičius, sutinkamus moksle ir gyvenime.

KAIP SKAIČIAVO MOŠŲ PROTĖVIAI!

Kaip žmonės skaičiavo ir kaip vadino skaičius, iki išrandant raštą, mes tiksliai nežinome. Apie tai ga¬lima tik spėlioti. Neabejotina viena: žmonija labai negreit išmoko skaičiuoti. Ankstyvosiose visuome¬nės vystymosi pakopose žmonės išsiversdavo trimis skai¬čiais: „vienas“, „du“, „daug“. Praėjo, tikriausiai, daug tūks¬tančių metų, kol „daug“ pasistūmėjo toliau. Kaip ten be¬buvę, tuo laiku, kai buvo išrastas raštas, žmonės mokėjo skaičiuoti jau neblogai.

Prieš keturis tūkstančius metu labiausiai išsivystę tau¬tos (egiptiečiai, chaldėjai) mokėjo rašyti ir naudojosi ne tik sveikaisiais, bet ir paprasčiausiais trupmeniniais skai¬čiais. Dar daugiau, tada jau buvo mokyklų, kuriose buvo mokoma skaičiavimo meno.

Pirmykščiame rašte raidžių nebuvo. Kiekvienas daiktas, kiekvienas veiksmas buvo vaizduojamas paveikslėliu. Pa¬laipsniui paveikslėliai paprastėjo; šalia daiktų ir veiksmų at¬vaizdų aatsirado ypatingos figūros, žyminčios įvairias daik¬tų savybes, o taip pat ženkleliai žodžiams, atitinkantiems mūsų prielinksnius ir jungtukus. Taip atsirado raštas, vadi¬namas hieroglifais; hieroglifiniame rašte kiekvieną ženklelį atitinka ne garsas, o ištisas žodis. Specialių ženk¬lą (skaitmenų) skaičiams žymėti tada nebuvo, bet žodžiai „vienas“, „du“, „septyniolika“ ir 1.1. turėjo savo hieroglifus. Jų buvo ne taip jau daug, nes didelių skaičių žmonės tada nežinojo. Kai kuriuose kraštuose, pavyzdžiui, Kinijoje ir Ja¬ponijoje, hieroglifinis raštas išliko iki mūsų dienų.

Kalbėti apie skaičiavimo sistemą hieroglifiniame rašte netenka: jokios sistemos nėra. Tiesa, senovės Egipte galima buvo įžiūrėti mūsų šiuolaikinės skaičiuotės pačius prad¬menis.

Sekančioje vystymosi pakopoje atsiranda raidės, žymin¬čios žodžių garsinius elementus. Šiuo laiku žmonės jau ge¬rai moka skaičiuoti, bent jau žino tūkstančius ir dešimtis tūkstančių. Atsiranda skaitmenys, t. y. specialūs ženkleliai kai kuriems skaičiams. Juos panaudojant, galima užrašyti kiekvieną skaičių (tam tikrose ribose). Skaitmenys — tai paprastai tos pačios alfabeto raidės. Šitokią numeraciją tu¬rėjo senovės žydai, graikai, romėnai ir slavai. Mes pakal¬bėsime apie romėniškąją numeraciją.

Romėniškieji skaitmenys visiems gerai žinomi; štai jie:

I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000.

Sie ženklai, tiesą sakant, ne skaitmenys, o didžiosios lo¬tyniškos raidės: „i“, „vė“, „iksas“, „ei“, „cė“, „dė“ ir „em“. Bet jie vaidino skaitmenų vaidmenį: juos naudodami, romė¬nai uužrašydavo bet kurį skaičių iki milijono. Štai kaip tai buvo daroma. Du ir trys atitinkamai buvo rašomi taip: II, III (t. y. du vienetai, trys vienetai). Keturi rašomi IV: vie¬netas, parašytas kairėje, buvo „atimamas“ iš penkių. Prie¬šingai, vienetus iš dešinės reikėdavo pridėti: penki, šeši, septyni ir aštuoni buvo rašomi taip:

V, VI, VII, VIII.

Toliau tekdavo įvesti ženklelį X. Devynis rašė šitaip: IX (iš dešimties atimamas vienetas), o dešimt, vienuolika ir 1.1. taip:

X, XI, XII, XIII, XIV.

Penkiolika padarydavo kombinuodami dešimties ir pen¬keto ženklelius: XV; dvidešimt, trisdešimt sudarydavo iš de¬šimčių:

XX, XXX.

Skaičiams, pradedant nuo keturiasdešimt, tekdavo įvesti ženklą L. Pavyzdžiui, keturiasdešimt vieną rašydavo taip: XLI (dešimt atimame, vienetą prie penkiasdešimt pride¬dame). Devyniasdešimt rašydavo, naudodami šimto ženk¬lą C, būtent, 90 rašydavo taip: XC. Pastebėsime, kad 49 ir 99 rašydavo ne šitaip: XLIX, XCIX, o taip: IL, IC. Šim¬tas du buvo rašomi CII, trys šimtai septyniasdešimt ketu¬ri — CCCLXXIV ir 1.1. Didelis skaičius, sakysime 29635, buvo rašomas taip:

XXIXm DCXXXV

(mažoji m* žymėdavo tūkstančius).

Cia mes matome jau gerai ištobulintą numeraciją, labai ekonomišką (naudojant 7 skaitmenis, buvo užrašomi skai¬čiai iki milijono), bet nepatogią: palyginti nedideli skaičiai žymimi ilgu užrašu, ir nėra jokio palengvinimo skaičiuo¬jant: skaičiuoti raštu neįmanoma, ir faktiškai tenka skai¬čiuoti mintinai.

Pozicinė numeracija, matyti, atsirado senovės Babiloni¬joje. Ten ji

įgavo tokią savotišką formą, kad verta apie tai pakalbėti smulkiau; tai bus padaryta kiek toliau. Iš ba¬biloniečių pozicinę numeraciją perėmė indai.

Indų, kaip ir daugelio senųjų tautų, pirmaisiais matema¬tikais buvo žyniai. Jų žinioje buvo kalendorius ir šventės, jie stebėjo dangaus šviesulius ir turėjo mokėti nuspėti įvai¬rius dangaus reiškinius (užtemimus ir pan.). Tam reikėjo turėti kai kurių matematikos žinių. Iš senovėje egzistavusio matematikos ir religijos ryšio išliko kuriozinė atgyvena — skaitiniai prietarai; ir mūsų laikais yra žmonių, kurie ma¬no, kad skaičius 3 aatneša laimę, o 13 — nelaimę („velnio tuzinas“).

Prieš tris tūkstančius metų indai jau naudojosi paly¬ginti tobula numeracija, nors to meto rašto paminkluose ir neminimi skaičiai, didesni, negu 100 CO0. Vėlesniuose indų raštijos šaltiniuose sutinkami daug didesni skaičiai — iki šimto kvadrilijonų (1017). Vienoje palyginti „nesenoje“ le¬gendoje (jai mažiau, negu tūkstantis metų) apie Budą sa¬koma, kad jis mokėjo skaičių pavadinimus iki 1054. Beje, indai, matyt, gerai neįsivaizdavo natūrinės sekos begalumo ir galvojo, kad egzistuoja kažkoks didžiausias skaičius, žinomas vieniems dievams. Skaičių ssekos begalumo įrody¬mas — senovės Graikijos mokslininkų nuopelnas.

Kaip jau minėjome, didelį susidomėjimą kelia savotiškoji Babilonijos matematika. Babiloniečių numeracija atsirado beveik prieš keturis tūkstančius metų, egzistavo pusantro dūkstančio metų (nuo XVIII iki III amžiaus pr.m.e.) ir buvo ‘abai paplitusi visuose Artimuosiuose RRytuose. Ji turėjo įtakos kinų, indų ir graikų matematikai. Net šiuolaikinia¬me moksle, kaip matysime, liko jos pastebimas pėdsakas.

Babiloniečiai rašė pagaliukais plytelėse iš minkšto mo¬lio, o paskui savo „rankraščius“ išdegdavo. Taip gaunamų patvarių plytinių „dokumentų“ dalis išliko iki mūsų dienų; jų neretai randama, atliekant kasinėjimus Mezopotamijoje (dabartiniame Irake). Todėl pavyko gana gerai ištirti Ba* bilonijos istoriją aplamai ir, skyrium imant, matematiką.

XIX a. pabaigoje ir XVIII a. pradžioje (prieš mūsų erą) susiliejo dvi tautos: šumerai ir akadiečiai. Kiekviena šių tautų turėjo išvystytą prekybą, svorio ir piniginius vienetus. Tiesa, prekyba buvo smulki, skaičiuoti tekdavo nedaug, ir ištobulintos numeracijos nė viena šių tautų neturėjo. Šu¬merų svorio vienetu buvo „mina“ (apie-^ kg). Piniginis vienetas buvo sidabro mina. Akadiečių pagrindinis vienetas „šekelis“ — buvo šešiasdešimt kartų mmažesnis (žinoma, ne tiksliai šešiasdešimt kartų, o apytiksliai, bet primityvios to meto svarstyklės nejusdavo skirtumo). Susijungus šioms tautoms, buvo vartojamos abi vienetų sistemos: minomis ir šekeliais buvo naudojamasi taip, kaip mes dabar nau¬dojamės kilogramais ir gramais. O pinigų apyvartoje minos ir šekeliai vaidino mūsų rublių ir kapeikų vaidmenį; skirtu¬mas buvo tik tas, kad stambesnysis vienetas buvo lygus ne šimtui, o šešiasdešimčiai smulkiųjų vienetų. Prekyba ir ūkis vystėsi, apyvarta didėjo. Kaip mums be gramų ir kilogramų reikia dar ir tonų, taip iir ten atsirado „sunkesnis“ viene¬tas — „talentas“. Natūralu, kad naująjį vienetą padarė še¬šiasdešimt kartų didesnį už turėtąjį, nes santykis „še šiasdešimt“ jau buvo įprastas ūkiniuose atsiskaitymuose. Vienas talentas buvo lygus šešiasdešimčiai minų.

Babiloniškoji (šešiasdešimtainė) skaičiavimo sistema iš¬liko ligi šiol kampų ir laiko matavime. Šeštąją apskritimo dalį dalija į 60 laipsnių, laipsnį į 60 minučių, minutę į 60 sekundžių. Valanda turi 60 minučių, minutė — 60 sekun¬džių, lygiai kaip talentas turi 60 minų, o mina — 60 šekelių. Beje, tarsime keletą žodžių apie pavadinimų „minutė“ ir „sekundė“ kilmę. Minutė (minuta) lotyniškai reiškia „ma¬ža“, „sumažinta“; sekundė (secunda) reiškia „antroji“. Mi¬nutės lotyniškai skambėjo paries minutae primae (partes minute prfme) — „pirmosios mažosios dalys“, o sekundės — partes minutae secundae (partes minute sekunde) — „ant¬rosios mažosios dalys“ (turimos galvoje valandos ar laips¬nio dalys).

Susumuosime tai, kas pasakyta. Praėjo daug laiko, kol žmonija išmoko skaičiuoti. Prireikė daug šimtmečių per¬eiti nuo skaičių „vienas“, „du“ ir „daug“ prie dešimčių ir šimtų. Jau ir išmokę rašyti, žmonės ilgai neturėjo tobulos numeracijos ir žymėdavo skaičius hieroglifais.

Senovės žydų, o iš jų graikų, romėnų ir slavų numera¬cijoje buvo naudojamos alfabeto raidės. Tokios numeracijos egzistavo apie du tūkstančius metų ir kasdieniniame gy¬venime buvo pakankamos.

Beveik prieš keturis tūkstančius metų Babilonijoje atsi¬rado pozicinė numeracija. Indijoje ji įįgavo pozicinės de¬šimtainės numeracijos formą; joje buvo naudojama „pozi¬cinė skirtis“ — nulis. Iš indų šią skaičių žymėjimo sistemą perėmė arabai, kurie VIII—IX m. e. amžiais tapo viena kultūringiausių pasaulio tautų. Europiečiai ją perėmė iš arabų (iš čia pavadinimas: arabiškieji skaitmenys).

Mūsų laikais pozicinė dešimtainė numeracija visiškai pa¬kankama praktiniams tikslams ir mokslui. Žymint didelius skaičius, patogu naudotis laipsnio rodiklio ženklu.

Naudotos literatūros sąrašas:

• G. Bermanas „Skaičiai ir jų mokslas“

Turinys:

ĮVADAS 3

MOŠŲ SKAIČIAVIMO SISTEMA 4

KAIP SKAIČIAVO MOŠŲ PROTĖVIAI! 10