Skaičiai matematikoje

1. Žvilgsnis į istoriją.

Neįmanoma nustatyti vienos iš pagrindinių matematikos sąvokų natūralusis skaičius – atsiradimo datos, nes jos ir nėra. Natūraliojo skaičiaus sąvoka formavosi ir vystėsi dešimtis tūkstančių metų. Ji formavosi su kita sąvoka – kiekis. Skirtingose gentyse, skirtingose bendruomenėse, skirtingose valstybėse natūraliojo skaičiaus sąvoka formavosi skirtingai. Babilone, Egipte dar prieš Kristaus gimimą buvo skaičiuojama gana dideliais iki 1000 skaičiais. Graikijoje dar prieš ristaus gimimą buvo žinoma, kad natūraliųjų skaičių aibė begalinė, kad yra pirminių ir sudėtinių skaičių, kad kiekvienas sudėtinis skaičius yyra pirminių sandauga. Trečiajame mūsų eros amžiuje graikai matematikai jau operavo neigiamaisiais skaičiais. Kad suvoktume natūraliojo skaičiaus sąvokos poreikį ir formavimosi eigą, turime suprasti, kad pradinė skaičiaus sąvoka yra „kiekis“. Senų senovėje, priešistoriniais laikais žmonės nežinojo skaičių, nemokėjo jų įvardyti. Jungiant būrius, aibes arba atmetus iš būrio ganama naujas būrys arba aibė, todėl atsirado poreikis rasti – sumą, skirtumą.

2. Natūralieji skaičiai.

2.1. Pagrindinės savybės.

Žinome, jog natūraliųjų skaičių aibė tai:

N={1,2,3,4,5,.}

Mes mokame šiuos elementus užrašyti , perskaityti; taip pat žinome, kad natūraliųjų skaičių yra begalo ddaug. Geriau ar blogiau mokame juos sudėti, atimti, dauginti, o kai galima ir dalinti. Išmokome vienaženklių skaičių daugybos lenteles, dalinti vienaženklį iš vienaženklio, dviženklį iš vienaženklio. Tačiau niekada nekėleme klausimo, kaip yra apibrėžiami šie veiksmai.

Pažintį su natūraliaisiais skaičiais vaikai pradeda nne bet kaip, o pagal tam tikrą dėsningumą. Po 1 susipažįsta su 2. Aiškinasi, kad 1+1=2, kad 2 eina po 1. Po 7 susipažįsta su 8. Aiškinasi, kad 7+1═8, kad 8 eina po 7 ir t.t. Taip formuojamas suvokimas, kad m+1 eina iš kart po m.

Aptarkime akivaizdžias sąryšio „n eina po m“ sąvybes, vadinamas Peano aksiomomis:

P.1. Natūraliųjų skaičių aibės elementas 1 neina po jokio kito natūraliojo skaičiaus. Tai pirmasis natūraliųjų skaičių aibės elementas.

P.2. Po kiekvieno natūraliojo skaičiaus eina vienas ir tiktai vienas natūralusis skaičius.

P.3. Kiekvienas natūralusis skaičius, išskyrus 1, eina po vieno ir tik vieno natūraliojo skaičiaus.

2.2 Natūraliųjų skaičių sudėtis.

Susitarkime sakinį „ n eina po m“ rašyti šitaip n═m‘. Tada galėsime parašyti 3═2‘ (3 eina po 2)

Natūraliųjų skaičių sudėtis aapibrėžiama šitokiomis taisyklėmis:

Taisyklė S.1. sako, kad prie natūraliojo skaičiaus m pridėję 1 gauname natūraliųjį skaičių, kuris eina po m. Taisyklė S.2. leidžia pergrupuoti dėmenis, nekeičiant jų tvarkos, kai prie natūraliojo skaičiaus m pridedamas n+1, t.y. ji sako, kad m+(n+1) =(m+n)+1.

Pvz.: 3+5’=(3+5)’ =(3+4’)’ =((3+4)’)’ =((3+3’)’)’ =(((3+3)’)’)’ =(((3+2’)’)’)’ =((((3+2)’)’)’)’ = (((((3+1’)’)’)’)’ =((((3+1)’)’)’)’)’ =(((((4)’)’)’)’)’ =9

Natūraliųjį skaičių sudėties pagrindinės savybės:

Su bet kokiais n,m,k iš N

1. (m+n)+k=m+(n+k) Asociatyvumo savybė;

2. m+n=n+k Komutatyvumo savybė;

3. Jei m+n=n+k, tai n=k, arba jei n+m=k+m, tai n=k Prastinimo savybė;

2.3 Natūraliųjų skaičių ddaugyba.

Natūraliųjį skaičių daugyba apibrėžiama šitokiomis savybėmis:

Jei n ir m natūralieji skaičiai, tai:

D.1. m*1=m

D.2. m*n’=m*n+m

Taisyklė D.1. reiškia, kad bet kurį natūraliųjį skaičių daugindami iš vieneto, jo nepakeičiame. Taisyklę D.2. dar galime užrašyti štai taip: m*(n+1) =m*n+m, ji duoda būdą kaip apskaičiuoti sandaugą mn’.

Pvz.: Kai jau mokame dauginti 2 iš 3, t.y žinome, kad 2*3=6. Ir mokame rasti sumą 6+2, tai pagal D.2. lengvai gauname 2*4=2*3’=2*(3+1) =2*3+2=2*2’+2=2*(2+1)+2=2*2+2+2=2*(1+1)+2+2+2 =2+2+2+2.

Natūraliųjį skaičių daugybos pagrindinės savybės:

1. (m+n)*k=m*k+n*k ir k*(m+n) =k*m+k*n Distributyvumo savybė;

2. (m*n)*k=m*(n*k) Asociatyvumo savybė;

3. m*n=n*m Komutatyvumo savybė;

4. Jei m*n=m*k, tai n=k, arba jeigu n*m=k*m, tai n=k Prastinimo savybė;

2.4 Sąryšiai natūraliųjų skaičių aibėje.

Žodžiai „mažiau“, „daugiau“, „didesnis“, „mažesnis“ girdimi ir suprantami nuo vaikystės, bet kaip jos apibrėžiamos. Sąvoka „mažiau“ natūraliųjį skaičių aibėje, išreiškianti tam tikrą natūraliųjų skaičių sąryšį, apibrėžiama šitaip:

Jei n ir m natūralieji skaičiai ir yra toks natūralusis skaičius k, su kuriuo teisinga lygybė m+k=n, tai sakoma, kad m yra mažesnis už n ir rašoma m0

│a│ ═ { -a, kai a<0

0, kai a ═0

Geometrinė | a | prasmė – atstumas skaičių tiesėje, nuo taško pažymėto skaičiumi 0, iki taško pažymeto skaičiumi a.

a 0 b

Pvz.: |-3| ═3 |1| ═1

3.5 Sveikųjų skaičių dalumas.

Sveikųjų skaičių aibė nėra uždara daugybai atvirkštinio veiksmo – dalybos- atžvilgiu, nes dviejų sveikųjų skaičių santykis nebūtinai yyra sveikasis skaičius.

Ap. Sakome, kad sveikasis skaičius a dalijasi iš sveikojo skaičiaus b≠0, jei yra toks sveikasis skaičius c, kad a ═b*c. Tuo atveju rašome b|a.

Jeigu b|a, tai b vadinamas sveikojo skaičiaus a dalikliu, o a – skaičiaus b kartotiniu.

Svarbiausios sveikųjų skaičių dalumo savybės:

1. 1|a (V a≠0 iš Z )

2. a|a (V a≠0 iš Z )

3. a|0 (V a≠0 iš Z )

4. b|a ↔ ±b|±a

5. b|a ↔ (V k≠0 iš Z ) k*b|k*a

6. b|a ↔ (V c ) b|a*c

Turinys:

1. Žvilgsnis į istoriją.

2. Natūralieji skaičiai.

2.1. Pagrindinės savybės.

2.2. Natūraliųjų skaičių sudėtis.

2.3. Natūraliųjų skaičių daugyba.

2.4. Sąryšiai natūraliųjų skaičių aibėje.

3. Sveikieji skaičiai

3.1. Sveikųjų skaičių prasmė.

3.2. Sveikųjų skaičių sudėtis.

3.3. Sveikųjų skaičių daugyba.

3.4. Sveikojo skaičiaus modulis.

3.5. Sveikųjų skaičių dalumas.

Literatūra:

1. Pranas Survila „ Algebra ir skaičių teorija“

2. Rimantas Skrabutėnas, Pranas Survila „ Algebros ir skaičių teorijos uždavinynas“

3. Pranas Survila „Natūralieji ir sveikieji skaičiai“

Matematikos problemų seminaras

Skaičiaus

sąvoka

matematikoje

N + – * /

Z |a|