Skaiciavimo Sistemos

Skaičių kalba, kaip ir kiekviena kalba, turi savo abėcėlę. Tos skaičių kalbos, kuria dabar „kalba“ beveik visas pasaulis, abėcėlė — dešimt skaitmenų, nuo O iki 9. Si kalba vadinama dešimtaine skaičiavimo sistema. Tačiau ne visais laikais ir ne visur žmonės vartojo dešimtainę skaičiavimo sistemą. Matematiniu požiūriu ji nėra pranašesnė už kitas skaičiavimo sistemas, ir jos paplitimą lėmė ne bendri matematikos dėsniai, o visai kitokios priežastys.-

Dabar rimtomis dešimtainės sistemos konkurentėmis tapo dvejetainė ir iš dalies trejetainė sistemos, nes joms teikia ppirmenybę šiuolaikinės skaičiavimo mašinos.

Šioje knygelėje pasakojama apie įvairių sistemų atsiradimo istoriją, jų ypatybes ir vartojimą. Jai suprasti užtenka matematikos žinių, įgytų mokykloje.

1. APIE APVALIUS IR NEAPVALIUS SKAIČIUS

„IŠ namo išėjo maždaug 49 metų žmogus; paėjęs gatve apie 196 metrus, jis įėjo į parduotuvę, nusipirko du septynetus kiaušinių ir nuėjo toliau.“ Keistokas aprašymas, tiesa? Kai apytiksliai vertiname kokį nors dydį — žmogaus amžių, atstumą ir pan.r. visada vartojame „apvalius“ skaičius ir paprastai sakome „apie 200 metrų“, gali maždaug 50 metų žmogus“ ir ppan. Operuoti apvaliais skaičiais žymiai paprasčiau: lengviau juos įsiminti, patogiau atlikti aritmetinius veiksmus. Pavyzdžiui, visai nesunku mintinai padauginti 100 iš 200, o du „neapvalius“ triženklius skaičius, tarkim, 147 ir 343, toli gražu ne kiekvienas sudaugins be pieštuko ir popieriaus.

Kalbėdami apie aapvalius skaičius, net nepagalvojame, kad skaičių skirstymas į apvalius ir neapvalius iš esmės yra sąlyginis. Vienas ir tas pats skaičius „ būti apvalus arba neapvalus, žiūrint kokioje skaičiavimo sistemoje jis užrašytas. Nagrinėkime įprastą dešimtainę skaičiavimo sistemą. Šioje sistemoje kiekvienas-teigiamas sveikasis skaičius yra vienetų, dešimčių, šimtų ir t. t. suma, t. y. suma skaičiaus 10 įvairių laipsnių su koeficientais, įgyjančiais sveikąsias reikšmes nuo O iki 9 imtinai. Pavyzdžiui,, skaičius 2548 yra 8 vienetų, 4 dešimčių, 5 šimtų ir 2 tūkstančių suma, t. y.

Taigi 2548 — sutrumpintas šios išraiškos užrašas. Taip pat sėkmingai bet kurį skaičių galima užrašyti ne 10, o kokio nors kito sveikojo skaičiaus (išskyrus 1) laipsnių kombinacija, pavyzdžiui, skaičiaus 7. Šioje sistemoje, vadinamoje „septyniataine skaičiavimo sistema“ arba „skaičiavimo sistema ppagrindu 7“, įprastu būdu skaičiuotume nuo O iki 6, o skaičius 7 būtų aukštesniojo skyriaus vienetas. Skaičių 7 naujoje sistemoje žymėsime simboliu 10 (antrojo skyriaus vienetas). Kad nepainiotume šio simbolio su dešimtainiu skaičiumi 10, prirašysime indeksą 7, t. y. vietoj skaičiaus 7 rašysime (10)7. Kitų skyrių vienetai turėtų būti skaičiai T2, 73 ir t. t.

Bet kurį sveikąjį skaičių galima sudaryti iš skaičiaus 7 laipsnių, t. y. išreikšti šitaip: ak∙7k+ak-1+.+a1∙7+a0;

čia kiekvienas koeficientas a0, a, ., ah „ įgyti bet kurią sveikąją rreikšmę nuo O iki 6. Kaip ir dešimtainėje sistemoje pagrindo laipsnius galima praleisti ir skaičių užrašyti šitaip: (akak-1.a1a0)7

Indeksas 7 rodo, kad vartojamos skaičiavimo sistemos pagrindas — skaičius 7.

Išnagrinėkime pavyzdį. Dešimtainį skaičių 2548 galime užrašyti šitaip:

l-74+0-73 + 3-72 + 0-7 + 0,

arba, kaip susitarėme, (103000)7. Taigi

(2548)io = (10300)7.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad septyniatainėje sistemoje apvalūs bus visai ne tie skaičiai kaip dešimtainėje sistemoje. Pavyzdžiui,

(147)10 = (300)7, (343)10 = (1000)7 , ao)2 dalijasi iš 11, jeigu iš 11 dalijasi jo skaitmenų suma, t. y. skaičius aTC+an-i+—+ai+ao

Išnagrinėkime dar du pavyzdžius, susijusius su skaičių dalumu.

1. Skaičius ^4=(3630)p (užrašytas sistemoje pagrindu p) dalijamas iš 7. Reikia rasti pagrindą p ir skaičiaus A dešimtainę iš

raišką, kai p^!2? Ar uždavinio sprendinys vienintelis, kai p ne

apribotas?

Atsakymas. p=7, -4=(1344)i0; kai p neapribotas, sprendinių be galo daug, būtent: p „ būti bet kuris skaičius 7k arba 7k—l, k=, 2, .

2. Įrodyta, kad skaičius (anan-1.a1a0)p

t. y. skaičius

dalijasi iš p— l tik tada, kai iš p— l dalijasi suma an+an-i+.-h -|-ai-j-ao- (Palyginkite su dalumo iš 9 dešimtainėje sistemoje ir dalumo iš 1 1 dvyliktinėje sistemoje požymiais.)

8. DVEJETAINĖ SISTEMA

Mažiausias iš skaičių, kuris „ būti skaičiavimo sistemos pagrindu, yra skaičius 2. Sistema tuo pagrindu vadinama dvejetaine — tai viena iš seniausių sistemų. Dvejetainę sistema, tiesa, ne vvisai tobulos formos, vartojo kai kurios Australijos ir Polinezijos gentys. Ji patogi, nes paprasta. Vartojami tik du skaitmenys: O ir l, o skaičius 2 yra jau kito skyriaus vienetas. Gana paprasti ir veiksmai su skaičiais, užrašytais dvejetainėje sistemoje. Pagrindinės sudėties taisyklės išreiškiamos lygybėmis

0 + 0 = 0, 0+1 = 1, 1 + 1 = (10)2,

o daugybos lentelė yra šitokia:

0 1

0 0 0

1 0 1

Dvejetainės sistemos trukumas tas, kad net ir mažam skaičiui toje sistemoje užrašyti reikia gana daug ženklų. Pavyzdžiui, skaičiaus 1000 dvejetainė išraiška yra 1111101000. Net dešimt skaitmenų! Tačiau šis trūkumas kompensuojamas daugeliu pranašumų, dėl kurių ši sistema plačiai taikoma įvairiose technikos srityse, ypač šiuolaikinėse skaičiavimo mašinose.

Apie dvejetainės skaičiavimo sistemos taikymą technikoje kalbėsime vėliau, o dabar išnagrinėkime du uždavinius, susijusius su skaičių užrašymu dvejetainėje sistemoje.

l uždavinys. Pasirinktas koks nors sveikasis skaičius nuo l iki 1000. Ar „te jį atspėti, uždavę tik 10 klausimų, į kuriuos reikia atsakyti „taip“ arba „ne“? Pamėginkite, uždavinys išsprendžiamas

galima tokia serija klausimų, neabejotinai sėkmingų.

1. klausimas. Padalykite pasirinktąjį skaičių iš 2. Ar dalijasi

be liekanos? Išgirdę „taip“, rašome O, išgirdę „ne“, rašome l (ki

taip tariant, užrašome liekaną, gautą padalijus tą skaičių iš 2).

2. klausimas. Gautąjį dalmenį padalykite iš 2. Ar dalijasi be

liekanos? Vėlgi, jeigu „taip“, rašome nulį, jeigu „ne“— vienetą.

Panašiai formuluojame iir kitus klausimus, t.y. „Padalykite gautąjį dalmenį iš 2. Ar dalijasi be liekanos?“ Ir kiekvieną kartą rašome 0, kai atsakymas teigiamas, ir 1, kai neigiamas.

Uždavę 10 klausimų, gavome 10 atsakymų, t. y. 10 skaitmenų, iš kurių kiekvienas yra O arba 1. Nesunku įsitikinti, kad tie skaitmenys sudaro ieškomojo skaičiaus dvejetainę išraišką. Iš tikrųjų ši klausimų sistema atkūrė procedūrą, atliekamą pervedant kokį nors skaičių į dvejetainę sistemą. Taigi užtenka dešimties klausimų, nes bet kuris skaičius nuo l iki 1000 dvejetainėje sistemoje užrašomas ne daugiau kaip dešimčia ženklų. Jeigu tartume, kad pasirinktas dvejetainis skaičius, tai norint jį atspėti, užtektų paklausti apie kiekvieną skaitmenį, ar jis lygus nuliui, ar ne.

Nagrinėkime kitą uždavinį, iš esmės panašų į pirmąjį.

2 uždavinys. Pateikta 7 lentelės (p. 19—22). Kiekviena sudaryta iš 64.langelių, kaip šachmatų lenta. Į tuos langelius įrašyti skaičiai nuo l iki 127. Pasirinkite bet kokį iš tų skaičių ir pasakykite, kurioje lentelėje (lentelės sunumeruotos nuo l iki 7) jis yra.

Atspėti tą skaičių galima šitaip.

Užrašykime visų skaičių nuo l iki 127 dvejetaines išraiškas. Kiekvienas skaičius bus sudarytas ne daugiau kaip iš septynių skaitmenų (pvz., 127= (l 111111)2). Pasirinktąjį skaičių A įrašykime į £-ąją lentelę (k —l, 2, ., 7), jeigu to skaičiaus dvejetainės išraiškos k-ojoje pozicijoje yra

vienetas. O jeigu k-ojoje pozicijoje yra nulis, tai skaičiaus A į lentelę nerašykime. Pavyzdžiui, skaičius 57, kurio dvejetainė išraiška 0111001, turi būti įrašytas į pirmąją, ketvirtąją, penktąją ir šeštąją lenteles; skaičius l—tik į pirmąją; skaičius 127 — į visas septynias lenteles ir t. t. Taigi, sakydami, kuriose lentelėse yra pasirinktasis skaičius, pasakote ir skaičiaus dvejetainę išraišką. Telieka tą skaičių užrašyti dešimtainėje sistemoje.

galimas ir atvirkščias uždavinys: nurodžius laisvai pasirinktą skaičių nuo l iki 127, nesunku pasakyti, kuriose lentelėse (p. 19— 22) jjis yra ir kuriose nėra, tereikia užrašyti to skaičiaus dvejetainę išraišką (turint įgūdžių, tai nesunku padaryti mintinai) ir pasakyti vienetų pozicijų numerius*.

10. DVEJETAINIS TELEGRAFO KODAS

Telegrafo kodas — vienas iš seniausių dvejetainės sistemos techninio taikymo būdų. Išrašykime lietuvių abėcėlės raides (tik vietoj „Ą“ rašykime „—„, t. y. tarpą tarp žodžių) ir jas sunumeruokime:

A B C Č D E Ę Ė F G H I Į Y J K

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 114 15 16

LM NOPRSŠTUŲŪVZŽ

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Raidžių numerius užrašykime dvejetainėje sistemoje. Kadangi 25=32, tai kiekvienas numeris bus sudarytas ne daugiau kaip iš penkių ženklų. Užrašykime kiekvieną numerį penkiais žženklais, prirašydami trūkstamus ženklus — nulius prieš pirmą reikšminį skaitmenį:

– _ 00000

A _00001

B -00010

Tarkime, kad turime penkis laidus, jungiančius kokius nors du punktus. Kiekvieną penkiaženklį skaičių, reiškiantį abėcėlės raidę, galima perduoti tokia linija tam tikromis elektrinių impulsų kombinacijomis. Sakykim, nulis reikš, kad nėra impulso, o vienetas — impulsą. Priėmimo vietoje šių impulsų kombinacijų veikiamas telegrafo aparato spausdinimo įrenginys juostelėje atspausdins raides, atitinkančias tas kombinacijas, t. y. dvejetainius skaičius.

Telegrafo aparatas sudarytas iš dviejų įrenginių: perdavimo įrenginio, pervedančio raides į atitinkamą linija siunčiamų impulsų sistemą, ir priėmimo įrengimo, spausdinančio juostelėje (arba blanke) raides, atitinkančias iš anksto parinktą impulsų kombinaciją*.

Dvejetainės sistemos taikymą telegrafijoje, matyt, nulėmė tai, kad dvejetainį skaičių patogu perduoti elektriniais impulsais**.

• Kalbėjome apie penkis laidus, jungiančius du punktus. Iš tikrųjų nnaudojamas vienas laidas, kuriuo impulsai, sudarantys raides atitinkančias kombinacijas, siunčiami vienas paskui kitą.

• Be aprašytos raidžių kodavimo (nulių ir vienetų penketukais) sistemos, telegrafijoje plačiai taikoma ir kita kodavimo sistema — vadinamoji Morzės abėcėlė. Morzės abėcėlėje kiekviena raidė žymima dviejų skirtingų ženklų (taško ir brūkšnio) kombinacija. Smulkiau šios sistemos čia nenagrinėsime.

11.DVEJETAINĖ SISTEMA — PASLAPČIŲ SAUGOTOJA

Telegrafas arba radiotelegrafas — gera skubios informacijos perdavimo vienam ar kitam adresatui priemonė. Tačiau tokiu būdu perduodamą informaciją lengvai „ perimti kiti asmenys. Dažnai dėl vienokių ar kitokių ppriežasčių būtina, kad siunčiamą informaciją suprastų tik adresatas. Tuo tikslu tekstas šifruojamas.

Tikriausiai dauguma skaitytojų patys, susižavėję „paslaptingu susirašinėjimu“, kūrėte įvairius šifravimo būdus. Paprasčiausias iš jų — kiekvieną abėcėlės raidę pažymėti kokiu nors simboliu: kita raide, skaičiumi, sutartiniu ženklu ir t. t. Tokios sistemos dažnai minimos detektyvinėje ir nuotykinėje literatūroje. Prisiminkime Konano Doilio „Šokančius žmogeliukus“ arba Žiulio Verno „Kelionę į žemės centrą“. Perprasti tokią sistemą nėra sunku. Kiekviena kalba yra tam tikros struktūros: vienos raidės (ir raidžių deriniai) kalboje pasitaiko dažniau, kitos — rečiau, trečios — labai retai. Pakeitus raides bet kokiais simboliais, kalbos struktūra išlieka nepakitusi, ir tai leidžia be vargo iššifruoti sistemą. Yra ir žymiai sudėtingesnių šifravimo sistemų, tačiau prityrę dešifruotojai atskleidžia ir jas.

Kyla klausimas: „Ar yra tokia sistema, visiškai garantuojanti paslapties išsaugojimą? Ar „ pakankamai gabus dešifruotojas perskaityti bet kokį šifruotą pranešimą?“

Pasirodo, nesunku sugalvoti iš esmės paprastą sistemą, kad būtų neįmanoma perskaityti šifruoto teksto neturint rakto. Tokią sistemą aprašysime naudodamiesi dvejetaine sistema ir raidžių reiškimo penkiaženkliais dvejetainiais skaičiais būdu, aprašytu ankstesniame paragrafe.

Bet koks tekstas telegrafo kodu pateikiamas kaip tam tikra vienetų ir nulių penkiaženklių kombinacijų seka. Sakykime, iš anksto paruošėme kažkokią penketais sugrupuotų nulių ir vienetų seką. Tokia seka, skirta tekstui šifruoti, vadinama gama. Du gamos egzempliorius užrašėme, ppavyzdžiui, skylučių kombinacijomis specialioje popierinėje juostoje (2 pav.). Kiekviena skersinė eilė — viena penkiaženklė kombinacija. Skylutė — vienetas, nėra skylutės — nulis (smulkių skylučių eilutė — pagalbinė, gamai nepriklauso). Vieną gamos egzempliorių pasiliekame sau, o kitą siunčiame adresatui, su kuriuo palaikomas ryšys telegrafu. Po to imame tekstą, kurį reikia perduoti, ir jį sudedame „paskyriui“ su paruošta gama. Tai darome šitaip. Pirmąjį penkiaženklį teksto skaičių (t. y. pirmąją raidę) sudedame su pirmuoju gamos skaičiumi, antrąjį teksto skaičių — su antruoju ganios skaičiumi ir t. t. Tačiau sudedame ne pagal įprastas taisykles, kai dviejų vienetų sumą keliame į aukštesnįjį skyrių, o pagal taisyklę

0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0+1 = 1, 1 + 1 = 0,

t. y. neperkeldami dviejų vienetų sumos į aukštesnįjį skyrių. Aišku, taip sudedami du dvejetainius skaičius, t. y. dvi kažkokias nulių ir vienetų šėkas, gausime nulį, jei tie skaičiai vienodi, ir ne nulį, jei tie skaičiai skirtingi. Tokiu būdu gautą teksto ir gamos sumą galima perduoti adresatui telegrafu. Jeigu tą seką tiesiogiai įves-tume į telegrafo aparatą, tai pastarasis atspausdintų beprasmišką raidžių rinkinį. Kad būtų galima atkurti pradinį tekstą, reikia prie šifruoto teksto dar kartą pridėti tą pačią gamą (taip pat pa-skyriui).

Visą procesą galima aprašyti šitaip:

1) tekstas-f-gama=šifruotas ttekstas;

2) šifruotas tekstas+gama=tekstas-j-gama-f gama=tekstas.

Suprantama, žmogus, turintis tokiu būdu užšifruotą tekstą,

bet neturintis atitinkamos gamos, ne“ sužinoti to teksto turinio. Visai taip pat, kaip nieko negalima pasakyti apie dydį X, jeigu žinoma tik suma X-}-Y ir pasakyta, kad Y — kažkoks skaičius.

Aprašytąjį procesą galima automatizuoti įtaisius prie telegrafo perdavimo ir priėmimo aparatų po įrenginį, paskyriui sudedantį perduodamą tekstą su gama. Aptarnaujantys liniją telegrafininkai net nejaus, kad yra tokie įrenginiai.

Aprašytoji šifravimo sistema gana gremėzdiška, nes ir siuntėjas, ir adresatas turi turėti gamos atsargų. Kiekviena gamos atkarpa naudojamasi tik vieną kartą (kad pašaliniai negalėtų iššifruoti teksto).

Šifruojant patogu naudotis dvejetaine skaičiavimo sistema, nes būtent šioje sistemoje sudėjus paskyriui tuos pačius skaičius gaunamas nulis.

12.KELETAS TOKIŲ APIE SKAIČIAVIMO MAŠINAS

Kalbėjome apie dvejetainės sistemos taikymą telegrafijoje, t. y. palyginti senoje technikos srityje (pirmieji telegrafo aparatai, perduodantys elektrinius signalus laidais, pasirodė praėjusio amžiaus trečiajame dešimtmetyje). Dabar nagrinėsime dvejetainės sistemos taikymą elektroninėse skaičiavimo mašinose. Pirmiausia aptarsime tas mašinas.

Skaičiavimo technikos vystymosi istorija ilga, bet kartu ir labai trumpa. Pirmieji mechanizmai, palengvinantys ir pagreitinantys skaičiavimus, atsirado seniai. Pavyzdžiui, paprasčiausi skaitytuvai buvo žinomi dar prieš keturis tūkstantmečius. Ir tik ketvirtajame šio amžiaus dešimtmetyje atsirado tikroji galima „šininė matematika“. Buvo sukurtos greitai veikiančios skaičiavimo mašinos, kurių pagrindas — radioelektroninė technika (radio lempos, vėliau puslaidininkiniai elementai). Šioje

technikos srityje per trumpą laiką pasiekta stulbinančių rezultatų. Šiuolaikinės skaičiavimo mašinos atlieka tūkstančius ir net milijonus operacijų per sekundę. Kitaip tariant, tokia mašina per sekundę atlieka tiek operacijų, kiek prityręs skaičiuotojas su aritmometru per kelis darbo mėnesius. Šiomis mašinomis imta sėkmingai spręsti tokius sudėtingus ir gremėzdiškus uždavinius, kokie nė į galvą nebūtų atėję skaičiuojant rankiniu būdu. Pavyzdžiui, šiuolaikinės skaičiavimo mašinos lengvai „ išspręsti kelių šimtų pirmojo laipsnio lygčių sistemą su tiek pat nežinomųjų. Žmogus, turėdamas tik pieštuką arba aritmometrą, neįveiks ttokios užduoties per visą savo gyvenimą.

Kai populiarioje literatūroje minimos skaičiavimo mašinos, dažnai vartojami tokie išsireiškimai: mašina, sprendžianti sudėtingas lygtis“, mašina, žaidžianti šachmatais“ arba mašina, verčianti iš vienos kalbos į kitą“. „ susidaryti klaidingas įspūdis, kad kiekvieną funkciją — lygčių sprendimą, žaidimą šachmatais, vertimą ir pan.— atlieka speciali mašina, sukonstruota būtent tam tikslui. Iš tikrųjų įvairūs uždaviniai, matematiniai (lygčių sprendimas, logaritminių lentelių sudarymas ir kt.) ir nematematiniai (teksto vertimas, žaidimas šachmatais), „ būti sprendžiami tomis pačiomis mašinomis, t. y. universaliosiomis skaičiavimo mmašinomis. Tiesą sakant, kiekviena tokia mašina „ atlikti gana ribotą elementariųjų operacijų kiekį: sudėti ir sudauginti skaičius, gautuosius rezultatus saugoti specialiame įrenginyje — mašinos „atmintyje“, palyginti tarpusavyje skaičius, išrinkdama, tarkim, iš dviejų arba kelių skaičių didžiausią arba mažiausią ir kt. TTačiau ir pačių įvairiausių bei sudėtingiausių uždavinių sprendimas „ būti suvestas į tokių elementariųjų operacijų seką (galbūt labai ilgą). Programa, kurią sudaro matematikas programuotojas nustato kiekvieno uždavinio operacijų seką. Vadinasi, uždaviniai, kuriuos „ išspręsti universalioji skaičiavimo mašina, priklauso nuo programų, sudaromų tai mašinai.

Taigi universalioji skaičiavimo mašina — tai įrenginys, turintis nepaprastai greitai atlikti aritmetines operacijas su skaičiais: sudėtį, daugybą, atimtį, dalybą ir kai kurias kitas, pavyzdžiui, skaičių palyginimą. Kokias reikia atlikti operacijas ir kokia tvarka — nurodyta programoje.

Ar skaičiuosime mašinomis, ar be jų, vis tiek turėsime kažkokia forma užrašyti skaičius, t. y. turėsime vartoti kokią nors skaičiavimo sistemą. Skaičiuodami pieštuku popieriuje, be abejo, naudosimės įprasta dešimtaine sistema. Deja, elektroninei skaičiavimo mašinai tokia sistema netinka. Si mašina pirmenybę teikia dvejetainei skaičiavimo ssistemai. Paaiškinsime, kodėl gi taip yra.

13.KODĖL ELEKTRONINE MAŠINA TEIKIA PIRMENYBĘ DVEJETAINEI SKAIČIAVIMO SISTEMAI

Skaičiuojant įprastu būdu, skaičiai rašomi popieriaus lape pieštuku arba rašalu. O mašina operuoja kitaip fiksuotais skaičiais.

Pirmiausia nagrinėkime ne skaičiavimo mašiną, o žymiai paprastesnį įtaisą — skaitiklį (elektros, dujų, taksi skaitiklį ir kt.). Skaitiklis sudarytas iš kelių ratukų, kurių kiekvienas „ užimti vieną iš 10 padėčių, atitinkančių skaitmenis nuo O iki 9. Prietaisas, sudarytas iš k tokių ratukų, „ fiksuoti 10ft skirtingų skaičių nuo O iki 99.9. Tokiu skaitikliu ggalima naudotis kaip savotiškais skaitytuvais, t. y. juo galima ne tik fiksuoti skaičius, bet ir atlikti aritmetines operacijas. Jeigu norėtume turėti skaitiklį, pritaikytą ne dešimtainei, o kokiai nors kitai sistemai pagrindu p, tai skaitiklį reikėtų sudaryti iš ratukų, turinčių ne 10, p p padėčių. Taigi įtaisas, fiksuojantis skaičius, užrašytus dvejetainėje sis-. temoje, turi būti sudarytas iš elementų, kurių kiekvienas „ užimti dvi padėtis. Savaime suprantama, skaitiklis, pritaikytas kokiai nors skaičiavimo sistemai, nebūtinai turi būti sudarytas iš ratukų. Jame „ būti bet kokie elementai. Svarbu, kad kiekvienas iš jų turėtų tiek stabilių padėčių, kiek vienetų turi pasirinktos skaičiavimo sistemos pagrindas.

Skaitiklis, sudarytas iš ratukų ar kitokių mechaninių įtaisų, padėtį keičia palyginti lėtai. Tie greičiai, kuriais dirba.šiuolaikinės skaičiavimo mašinos — dešimtys ir šimtai tūkstančių operacijų per sekundę, tapo įmanomi tik todėl, kad mašinose veikia ne mechaniniai, o elektroniniai įtaisai.^ Tokie įtaisai neinertiški, todėl jie „ keisti padėtis kas milijoninę sekundės dalį.

Radioelektroniniams elementams (radio lempoms puslaidininkiniams elementams), naudojamiems skaičiavimo mašinose, būdingos dvi stabilios padėtys. Pavyzdžiui, elektroninė lempa „ būti „atidaryta“ (srovė teka) arba „uždaryta“ (srovė neteka). Tuo pačiu „taip“ arba „ne“ principu veikia ir .puslaidininkiniai elementai, kurie dabar jau visiškai išstūmė radio lempas iš skaičiavimo technikos. Si radioelektroninių elementų savybė ir yra pagrindinė priežastis, ddėl kurios būtent dvejetaine skaičiavimo sistemą patogiausia vartoti skaičiavimo mašinose.

Pradiniai uždavinio duomenys paprastai pateikiami dešimtainėje sistemoje. Taigi, kad mašina, dirbanti dvejetainėje sistemoje, galėtų juos apdoroti, reikia duomenis pervesti į dvejetainę sistemą, „suprantamą“ mašinos aritmetiniam įrenginiui. Tai atliekama automatiškai. Mašinos skaičiavimo rezultatai irgi automatiškai pervedami į dešimtainę sistemą.

Dažnai skaičiavimo mašinose, kaip tarpinė skaičių užrašymo forma, vartojama mišri dvejetainė-dešimtainė sistema. Iš pradžių skaičius užrašomas dešimtainėje sistemoje, po to kiekvienas skaitmuo — dvejetainėje sistemoje. Taigi dvejetainėje-dešimtainėje sistemoje kiekvienas skaičius užrašomas keliomis vienetų ir nulių grupėmis. Pavyzdžiui, skaičius 2593 dvejetainėje-dešimtainėje sistemoje užrašomas šitaip:

0010 0101 1001 0011. Dvejetainė šio skaičiaus išraiška būtų tokia:

10100010001.

Kaipgi atliekamos aritmetinės operacijos skaičiavimo mašinose, veikiančiose dvejetainės sistemos pagrindu? Pagrindinė operacija, kurią reikia išnagrinėti,— tai sudėtis, nes daugyba — tai daugiakartė sudėtis, atimtis — tai teigiamojo ir neigiamojo skaičiaus sudėtis, o dalyba — pakartotinė atimtis. Daugiaženklių skaičių sudėtis pakeičiama vienaženklių skaičių sudėtimi.

Dviejų dvejetainių skaičių sudėtį atskiruose skyriuose galima aprašyti šitaip*. Sakykim, a — pirmojo dėmens tam tikro skyriaus skaitmuo; b — antrojo dėmens to paties skyriaus skaitmuo; c — skaitmuo, kurį reikia perkelti iš žemesniojo skyriaus (kur sudėtis jau atlikta). Sudėti tam tikrame skyriuje — tai reiškia nurodyti, koks skaitmuo (suma) turi būti užrašytas šiame skyriuje ir ką reikia perkelti į aukštesnįjį sskyrių. Skaitmenį, kurį turime užrašyti šiame skyriuje, pažymėsime raide s, o skaitmenį, kurį reikia per-

Turima omeny įprasta aritmetinė sudėtis, o ne ta sudėtis paskyriui, apie kurią buvo kalbėta 11 paragrafe, šifruojant tekstą. Beje, ir toji sudėtis yra svarbi skaičiavimo mašinų darbe.

kelti į aukštesnįjį skyrių, pažymėsime raide t. Kiekvienas iš dydžių a, b, c, s ir t gali įgyti tik dvi reikšmes — O ir 1. Visi galimi variantai pateikti šioje lentelėje:

a 0 1 0 0 1 1 0 1

b 0 0 1 0 1 0 1 1

c 0 0 0 1 0 1 1 1

s 0 1 1 1 0 0 1 0 1

t 0 0 0 0 1 1 1 1

Vadinasi, kad skaičiavimo mašina galėtų sudėti du skaičius, užrašytus dvejetainėje sistemoje, joje turi būti įtaisas, skirtas kiekvieno skyriaus skaitmenims sudėti. Tame įtaise turi būti trys įėjimai, atitinkantys dydžius a, b ir c, ir du išėjimai, atitinkantys dydžius s ir t. Tarkime, kad vienetas rodo, jog srovė yra įėjime arba išėjime, o nulis — srovės nėra, kaip paprastai esti elektroniniuose įtaisuose. Nagrinėjamasis įtaisas, vadinamas vienaskilčiu sumato-riumi, turi dirbti pagal anksčiau nurodytą lentelę, t. y. jeigu nė viename iš trijų įėjimų nėra srovės, tai jos neturi

būti ir nė viename išėjime; jeigu srovė yra a, bet nėra b ir c įėjimuose, tai srovė turi būti tik s išėjime ir t. t. Įtaisą, dirbantį pagal tokią schemą, nesunku sukonstruoti iš puslaidininkinių elementų.

14. APIE VIENĄ NEPAPRASTĄ TREJETAINĖS SISTEMOS SAVYBĘ

Konstruojant skaičiavimo mašiną, atsižvelgiama į vienos ar kitos skaičiavimo sistemos aritmetinių operacijų paprastumą, taip pat ir į sistemos ekonomiškumą. Čia turima omeny atsarga skaičių, kuriuos galima užrašyti tam tikru kiekiu ženklų.

Paaiškinsime tai pavyzdžiu. Norint dešimtainėje sistemoje užrašyti 1000 skaičių (nuo OO iki 999), reikia 30 ženklų (po 10 skaitmenų kiekvienam skyriui). O dvejetainėje sistemoje, turint 30 ženklų, galima užrašyti 215 įvairių skaičių (nes kiekvienam dvejetainės sistemos skyriui reikia tik dviejų skaitmenų O ir l, o trimis dešimtimis skaitmenų galima užrašyti skaičius, turinčius 15 skyrių). 2I5>1000, todėl, turint 15 dvejetainių skyrių, galima užrašyti daugiau įvairių skaičių, negu turint tris dešimtainius. Taigi dvejetainė sistema ekonomiškesnė už dešimtainę.

Kuri skaičiavimo sistema ekonomiškiausia? Kad .atsakytume į šį klausimą, išnagrinėkime konkretų uždavinį/Tarkime, kad turime 60 ženklų. SSuskirstę juos į 30 grupių po 2 elementus kiekvienoje, dvejetainėje sistemoje galime užrašyti bet kokį skaičių, turintį ne daugiau kaip 30 dvejetainių skyrių, t. y. iš viso galime užrašyti 230 skaičių. Tuos pačius 60 ženklų suskirstę į 20 grupių po 33 elementus, galime užrašyti 320 įvairių skaičių trejetainėje sistemoje. Tuos 60 ženklų suskirstę į 15 grupių po 4 elementus, galime užrašyti 415 skaičių ir t. t. Dešimtainėje sistemoje (t. y. visus ženklus suskirstę į 6 grupes po 10 elementų kiekvienoje) galime užrašyti 106 skaičių, o šešiasdešimtainėje (babilonietiškoje) sistemoje 60 ženklų galime užrašyti tik 60 skaičių. Kuri iš tų sistemų ekonomiškiausia, t. y. kurioje sistemoje 60 ženklų galima užrašyti daugiausia skaičių? Kitaip sakant, kuris iš skaičių

230, 320, 415, 512, 610, 106, 125, 154, 203, 302, 60

yra didžiausias? Nesunku įsitikinti, kad 320 yra didžiausias skaičius. Pirmiausia įrodysime, kad

230 < 320.

Kadangi 230= (23)10=810, o 320= (32)10=910, tai įrodomąją nelygybę galima perrašyti šitaip:

gio < gio

Taip užrašyta ji akivaizdi. Toliau

415 = (22)15 = 230.

Vadinasi,

320>415.

Nesunku įrodyti, kkad teisingos ir šios nelygybės:

415 > 512 > 6io > 10e > 12s > 1 54 > 203 > 302 > 60.

Taigi trejetainė sistema — ekonomiškiausia. Dvejetainė ir ketvertainė, lygiavertės ekonomiškumo požiūriu, tačiau neprilygstančios trejetainei, ekonomiškesnės už visas kitas sistemas.

Šiai išvadai jokios įtakos neturi tas faktas, kad pasirinkta 60 ženklų. Sis skaičius buvo paimtas tik todėl, kad jį patogu skirstyti į, grupes po 2, 3, 4 ir t. t. ženklų.

Jeigu imsime n ženklų, o skaičiavimo sistemos pagrindu laikysime skaičių x, ttai turėsime n/x skyrių ir galėsime užrašyti xn/x skaičių. Nagrinėkime šią išraišką kaip kintamojo x funkciją, kur x gali būti bet koks (sveikasis, trupmeninis, iracionalusis) teigiamasis skaičius. Galima rasti kintamojo x reikšmę,, su kuria funkcija pasiekia maksimumą. Toji reikšmė lygi e — iracionaliajam skaičiui, kuris yra natūrinio logaritmo pagrindas. Skaičius e užima svarbią vietą aukštojoje matematikoje*.

Skaičius e apytiksliai lygus 2,718281828459045. Skaičiui e artimiausias sveikasis skaičius yra 3. Jis yra ekonomiškiausios skaičiavimo sistemos pagrindas.

Funkcijos y=xn/x grafikas pavaizduotas 3 paveiksle. (Ašių x ir y masteliai skirtingi.)

2 e č

Skaičiavimo sistemos ekonomiškumas — svarbi savybė, l kurią atsižvelgiama konstruojant skaičiavimo mašinas. Nors ir iškyla konstruktyvių sunkumų taikant trejetainę sistemą skaičiavimo mašinose (reikia naudotis elementais, kurių kiekvienas gali rastis ne dviejose, o trijose pastoviose,būsenose), bet yra —x pagamintų mašinų, dirbančių trejetainėje sistemoje.

Naudota literatūra: S.Fominas „Skaičiavimo Sistemos“

4819 ŽODŽIŲ Justinas Dilevičius