Stereometrja

Stereometrija.Aksiomos.Išvados iš aksiomų.

Informacinė medžiaga

Stereometrija nagrinėja erdvėje esančias figūras.

Stereometrijos kurse vartojamos pirminės sąvokos: taškas, tiesė, plokštuma

Per tris taškus, nepriklausančius vienai tiesiai,eina vienintelė plokštuma

Tiesė,nubrėžta per du plokštumos taškus,yra toje plokštumoje

Jeigu dvi plokštumos turi bendrą tašką,tai jos susikerta tiese,einančia per tą tašką

Per tiesę ir jai nepriklausantį tašką galima nubrėžti vienintelę plokštumą

Per dvi susikertanačias tieses galima nubrėžti vienintelę plokštumą

Per dvi lygiagrečias tieses galima nubrėžti vienintelę plokštumą

Lygiagrečios tiesės erdvėje

Dvi tiesės erdvėje vadinamos lygiagrečiomis,jei jos yra vienoje plokštumoje ir nesusikerta

Tiesės,kurios nesusikerta ir nėra vienoje plokštumoje,vadinamos pprasilenkiančiomis

Per tašką,esantį šalia tiesės,galima nubrėžti tik vieną tiesę,lygiagrečią duotajai

Jeigu dvi tiesės lygiagrečios trečiajai,tai jos lygiagrečios ir vienai kitai

Tiesės ir plokštumos lygiagretumas

Tiesė ir plokštuma vadinamos lygiagrečiomis,jeigu jos nesusikerta

Jeigu tiesė yra lygiagreti plokštumoje esančiai tiesei,tai ji lygiagreti ir tai plokštumai

Plokštumų lygiagretumas

Dvi plokštumos vadinamos lygiagrečiomis,jeigu jos nesusikerta

Dvi plokštumos lygiagrečios,jeigu viena jų lygiagreti kitoje plokštumoje esančioms dviems susikertančioms tiesėms

Jeigu dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečioji plokštuma,tai jų susikirtimo linijos yra lygiagrečios

Per plokštumos tašką galima nubrėžti vieną ir tik jai lygiagrečia plokštumą

Tiesių statmenumas.Tiesės ir plokštumos sstatmenumas

Dvi tiesės erdvėje vadinamos statmenomis,jei jos sudaro 90° kampą

Jei viena iš lygiagrečių tiesių statmena trečiajai tiesei,tai ir kita tiesė statmena tai tiesei

Tiesė,statmena kiekvienai plokštumoje esančiai tiesei,vadinama tai plokštumai statmena tiese

Jei viena iš lygiagrečių tiesių yra statmena tai plokštymai,tai ir kita ttiesė statmena tai plokštumai

Jei tiesė statmena dviem susikertančiom tiesėms,esančioms plokštumoje,tai ji statmena ir tai plokštumai

Per kiekvieną erdvės tašką galima nubrėžti tik vieną plokštumai statmeną tiesę

Ploštumų statmenumas

Viena kitai statmenomis plokštumomis vadinamos dvi susikertančios plokštumos,kampas tarp kurių lygus 90°

Jei viena iš dviejų plokštumų eina per tiesę,statmeną kitai plokštumai, tai tos plokštumos viena kitai statmenos

Plokštuma, statmena dviejų plokštumų susikirtimo tiesei, yra statmena kiekvienai tų plokštumų

Kampai tarp tiesių ir plokštumų

Kampu tarp tiesės ir plokštumos,kertančios tą tiesę ir jai nestatmenos,vadinamas kampas tarp tiesės ir jos projekcijos plokštumoje

Kampas tarp plokštumos ir jai lygiagrečios tiesės lygus 0, o kampas tarp plokštumos ir jai statmenos tiesės lygus 90°

Dvisieniu kampu vadinama figūra,kurią sudaro tiesė a bei dvi pusplokštumės,turinčios bendrą kraštinę a, bet nepriklausančios vienai plokštumai

Dvisienio kampo ir jo briaunai sstatmenos plokštumos sankirta vadinama dvisienio kampo tiesiniu kampu

Dvisienio kampo dydžiu vadinamas jo tiesinio kampo dydis

Kampas tarp dviejų plokštumų lygus kampui tarp dviejų toms plokštumoms statmenų tiesių

Prizmė

Stamuo,nubrėžtas iš vieno prizmės taško į kito pagrindo plokštumą,vadinamas prizmės aukštine

Prizmė,kurios šoninės briaunos statmenos pagrindamas,vadinama stačiaja, priešingu atveju-pasviraja.Stačiosios prizmės aukštinė lygi jos šoininei briaunai

Stačioji prizmė,kurios pagrindai yra taisyklingieji daugiakampiai,vadinama taisyklingaja prizme

Prizmės paviršiaus plotu vadinamavisų jos sienų plotų suma, o prizmės šoninio paviršiaus plotu- jos šoninių sienų plotų suma

Stačiosios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus prizmės pagrindo pperimetro ir aukštinės sandaugai, t.y., S=P*H

Gretasienis

Gretasieniu vadinama prizmė,kurios pagrindas yra lygiagretainis,kurio pagrindas lygiagretainis

Gretasienio įstrižainės vidurio taškas yra jso simetrijos centras

Priešingosios gretasienio sienos yra lygios ir lygiagrečios

Visos gretasienio įstrižainės susikerta viename taške,kuris dalija jas pusiau

Greatsienis,kurio šoninės braiunos statmenos pagrindo plokštumai,vadinamas stačiuoju

Statusis gretasienis,kurio pagrindas yra stačiakampis,vadinamas stačiakampiu gretasieniu

Stačiakampis gretasienis,kurio visi trys matmenys lygūs,vadinamas kubu

Piramidė

Briaunainis,kurio viena siena yra bet koks daugiakampis,o kitos sienos- trikampiai,turintys bendrą viršūnę,vadinamas piramide

Piramidės pjūvis,nubrėžtas per viršūnę ir pagrindo įstrižainę,vadinamas įstrižaininiu piramidės pjūviu

Piramidė vadinama trikampe,keturkampeir t.t.,jeigu jos pagrindas trikampis,keturkapis ir t.t.

Piramidė,kurios pagrindas-taisyklingasis daugiakampis,o piramidės viršūnės projekcija-to daugiakampio centras,vadinamas taisyklingaja

Taisyklingosios piramidės šoninės sienos-lygūs lygiašoniai trikampiai

Taisyklingosios piramidės šoninės sienos aukštinė vadinama piramidės apotema

Trikampė piramidė vadinama tetraedru

Jeigu tetraedro visos keturios sienos-taisyklingieji trikampiai,tai tetraedras vadinamas taisyklinguoju

Piramidės pagrindui lygiagreti plokštuma,kertanti piramidę,nuo jos nukerta panašią į ją piramidę.Likusioji piramidės dalis vsadinama nupjautine piramide

Nupjautinės piramidės sienos,esančios lygiagrečiose plokštumose,vadinamos piramidės pagrindais,kitos sienos-šoninėmis sienomis.Nupjautinės piramidės šoninės sienos-trapecijos.Nupjautinė piramidė,kuri gaunama iš taisyklingoiso piramidės,irgi vadinama taisyklingaja

Taisyklingosios piramidės šoninis paviršius lugus jo pagrindo pusmerimetrio ir apotemso sandaugai

Taisyklingosios nupjautinės piramidės šoninis paviršius lygus jos pagrindų pusperimetrių sumos ir apotemos sandaugai

Jeigu piramidės visos šoninės braiunos lygios,tai viršūnės projekcija-apie pagrindą apibrėžto apskritimo centras

Jeigu piramidės visi dvisieniai kampai pre pagrindo lygūs,tai viršūnės projekcija- į pagrindą įbrėžto apskritimo centras

Ritinys

Ritiniu vadinamas kūnas,kurį sudaro tarp dviejų lygiagrečių plokštumų eesančios visų lygiagrečių tiesių,kertančių vienoje tų plokštumų esantį skritulį,atkarpos.Tos atkarpos,kurių vienas galas yra skritulio apskritimo taškas,vadinamas ritinio sudaromosios.

Ritinio paviršių sudaro ritinio pagrindai- du lygūs skrituliai,esantys lygiagrečiose plokštumose, ir šoninis paviršius.

Stačiuoju ritiniu vadinamas toks ritinys,kurio sudaramosios statmenos pagrindų plokštumoms.Statųjį ritinį vadiname tiesiog ritiniu.

Ritinio spinduliu vadinamas jo pagrindo spindulys

Ritinio aukštine vadinams atstumas tarp pagrindų plokštumų

Ritinio ašimi vadinama tiesė,einanti per pagrindų centrus

Ritinio pjūvis,gautas,ritinį perkirtus plokštuma,einančia per ritinio ašį,vadinamas ašiniu pjūviu

Į ritinį įbrėžta prizmė vadinama tokai prizmė,kurios pagrindai-lygūs daugiakampiai,įbrėžti į ritinio pagrindus.Jos šoninės briaunos yra ritinio sudaromosios

Apie ritinį apibrėžta prizme vadinama tokai prizmė,kurios pagrindai-lygūs daugiakampiai,apibrėžti apie ritinio pagrindus

Kūgis

Kūgiu vadinamas kūnas,lurį sudaro visos atkarpos,jungiančios vieną tašką-kūgiop viršūnę-su skritulio-kūgio pagrindo-taškais.Atkarpos,jungiančios kūgio viršūnę su pagrindo apskritimo taškais,vadinamos kūgio sudaromosios

Kūgio paviršių sudaro jo pagrindas ir šoninis paviršius

Kūgio aukštine vadinama iš jo viršūnės nubrėžta pagrindui statmena atkarpa

Kūgio ašimi vadinama tiesė,nubrėžta per kūgio aukštinę

Kūgip pjūvis,gautas,kūgį perkirtus plokštuma,einančia per kūgio ašį,vadinamas ašiniu pjūviu

Kūgio ašiai statmena plokštuma nuo kūgio nukerta mažesnį kūgį.Likusioji dalis vadinama nupjautiniu kūgiu

Į kūgį įbrėžta piramidė vadinama tokai piramidė,kurios pagrindas yra į kūgio pagrindo apskritimą įbrėžtas daugiakampis, o viršūnė-kūgio viršūnė

Apibrėžta apie kūgį piramidė vadinama tokai piramidė,kuriso pagrindas yra apie kūgio pagrindą apibrėžtas daugiakampis,o viršūnė sutampa su kūgio viršūne

Rutulys

Rutuliu vadinamas kūnas,sudarytas iš visų erdvės taškų,nutolusių nuo vieno taško atstumu,ne didesniu uuž kurį nors pasirinktą atstumą.Tas taškas vadinams rutulio centru, o atstumas-rutulio spinduliu

Rutulio kraštas vadinams rutuluio paviršiumi arba sfera

Kiekviena atkarpa,jungianti rutulio centrą su rutulio paviršiaus tašku, vadinama rutulio spinduliu

Rutulys yra sukinys.Jis gaunamas,sukant pusskritulį apie skersmenį kaip apie ašį

Rutulip pjūvis,gautas perkirtus rytulį plokštuma,yra skritulys.To skritulio centras yra statmens,nubrėžto iš rutulio centro i kertnačią plokštumą pagrindas

Rutulio pjūvis, gautas perkirtus rutulį plokštuma,einančia per jo centrą,vadinama rutulio didžiuoju skritukiu

Plokštuma, einanti per rutulio paviršiaus tašką ir statmena į tą tašką nubrėžtam spinduliui,vadinama liečiamąja plokštuma

Liečiamoji plokštuma ir rutulys,turi tik vieną bendrą tašką-lietimosi tašką

Rytulys vadinams įbrėžtu į briaunainį,jei visos briaunainio sienos liečia rutulį.Tokiu atveju briaunainis vadinams apibrėžtu apie rutulį

Rutulys vadinamas apibrėžtu apie briaunainį,jei visos briaunainio viršūnės priklauso rutulio paviršiui.Tada braiunainis vadinamu įbrėžtu į rutulį

Norėdami apie piramidę apibrėžti rutulį,turime Norėdami apie prizmę apiišpildyti būtinumą ir pakankamą sąlygą-apie piramidės pagrindą galima apibrėžti apskritimą

Norėdami apie prizmę apibrėžti rutulį,turime išpildyti būtiną ir pakankamą sąlygą-prizmė stačioji,o apie jso pagrindą galima apibrėžti apskritimą

Rutulio,apibrėžto apie prizmę,centras yra atkarpos,jungiančios apskritimų,apibrėžtų apie prizmę,centrus,vidurio taškas

Rutulio,apibrėžto apie piramidę,centras yra statmenyje,nubrėžtame į pagrindo plokštumą per apskritimo,apibrėžto apie pagrindą,centrą

Gretasienio tūris

Tūrio matavimo vienetas yra kubas,kurio briauna lygi atkarpų matavimo vienetui

Lygių kūnų tūriai yra lygūs

Kūno,sudaryto iš kelių kūnų,tūris lygus tų kūnų tūrių sumai

Stačikampio gretasienio tūris lygus jo trijų matmenų sandaugai

Stačiojo gretasienio tūris lygus

jo pagrindo ploto ir aukštinės sandaugai

Prizmės tūris

Stačiosios prizmės tūris lygus pagrinso ploto ir aukštinės sandaugai

Pasviroji prizmė lygiatūrė su tokai stačiaja prizme kuriso pagrindas-pasvirosios prizmės statmenasis pjūvis, o aukštinė-pasvirosios prizmės šoninė briauna

Piramidės tūris

Piramidės tūris lygus pagrindo ploto ir aukštinės sndaugos trečdaliui

Nupjautinės piramidės,kurios aukštinė lygi H, o pagrindų plotai S ir Sı,tūrio formulė yra:

v

Panašiųjų briaunainių tūriai sutinka kaip atitinkamų briaunų kubai

Ritinio,kūgio,rutulio ir jo dalių tūris

Rutulys vadinams įbrėžtu į ritinį (kūgį),jei ritinio (kūgio) pagrindai (pagrindas) ir kiekviena sudaromoji liečia rutulį.Rutulio ,įbrėžto įį ritinį (kūgį),centras yra šio kūno ašyje

Rutulys vadinamas apibrėžtu apie ritinį,jei ritinio pagrindai yra rutulio pjūviai.Rutulio centras yra ritinio ašyje

Rutulys vadinamas apibrėžtu apie kūgį,jei kūgio pagrindas yra rutulio pjūvis,o kūgio viršūnė priklauso rutulio paviršiui.Rutulio centras yra kūgio ašyje

Rutulys vadinams apibrėžtu apie nupjautinį kūgį,jei jo pagrindai yra rutulio pjūviai.Rutulio centras yra nupjautinio kūgio ašyje

Ritinio tūris lygus jo pagrindo ploto ir aukštinės sandaugai:

V=πr²H

Kūgio tūris lygus jo pagrindo ploto ir aukštinės trečdaliui:

Nupjautinio kūgio tūris lygus:

Rutulio,kurio spindulys R,tūrio formulė yra:

Rutulio nuopjova vadinama rutulio ddalis,kurią nuo jo kerta kuri nors plokštuma

Jei rutulio spindulys lygus R, o nuopjovos aukštinė h, tai rutulio nupjovos tūris yra:

Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis,esanti tarp dviejų lygiagrečių kertamųjų plokštumų.Skrituliai,susidarę,lygiašonėmis plokštumoms perkirtus rutulį,vadinama rutulio sluoksniu pagrindais, o atstumas tarp tų plokštumų-rutulio ssluoksnio aukštine.Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų rutulio nuopjovų tūrio skirtumą

Rutulio išpjova vadinamas kūnas,gautas skritulio išpjovą,kurios kampas mažesnis už 90°,apsukus apie tiesę,einančią per vieną skritulio išpjovą ribojančių spindulių.Rutulio išpjovą sidaro rutulio nuopjova ir kūgis.Kai rutulio spindulys lygus R, o rutulio nuojovos aukštinė lygi h,rutulio išpjovos tūrio V formulė yra:

Ritinio,kūgio,rutulio ir jo dalių paviršius

Ritinio šoninio paviršiaus ploto formulė yra:

S=2πrh

Ritinio viso paviršiaus ploto formulė yra:

Kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus:

S=πRl

Kūgio viso paviršiaus plotas:

Rutulio paviršiaus plotas lygus:

Sferos nuopjovos plotas lygus:

S=2πRH