TIKIMYBIŲ TEORIJOS PAGRINDINĖS SĄVOKOS
TIKIMYBIŲ TEORIJOS PAGRINDINĖS SĄVOKOS
Daug kartų atliekant tą patį eksperimentą arba ilgau stebint tą
patį reiškinį, išryškėja tam tikri dėsningumai. Masinių atsitiktinių
reiškinių stabilumas ir yra tikimybių teorijos objektas.
Taigi tikimybių teorija yra atsitiktinių reiškinių (įvykių,
procesų, dydžių) matematinių modelių sudarymo ir analizės teorija.
Tikimybių teorija kaip mokslas susiformavo tik 17 amžiuje. Lietuvoje jau 18
amžiuje Vilniaus universitete buvo dėstoma tikimybių teorija.
Mokslinio tyrimo pagrindu tikimybių teorijoje yra bandymas ir
stebėjimas.
Apibrėšime pagrindines tikimybių teorijos sąvokas.
Apibrėžimas.Bandymu(eksperimentu) vadinamas tam tikrų
sąlygų komplekso realizavimas. Kiekvienas
bandymo rezultatas vvadinamas įvykiu.
Pvz. Metam monetą – bandymas; atvirto herbas – įvykis.
Vieni įvykiai tam tikromis sąlygomis būtinai įvyksta, o kiti gali
įvykti, bet gali ir neįvykti.
Apibrėžimas. Atsitiktiniu įvykiu vad. įvykis, kuris bandymo
metu gali įvykti arba neivykti.
Atsitiktinius įvykius žym. A1, A2,., B1, B2, B3,.. arba A,B,C, ,.
Apibrėžimas. Įvykis, kuris , atlikus bandymą, būtinai įvyksta ,
vadinamas būtinu įvykiu.
Apibrėžimas. Įvykis, kuris , atlikus bandymą, negali įvyksti ,
vadinamas negalimu įvykiu. Žymimas Ų
ELEMENTARIŲJŲ ĮVYKIŲ ERDVĖ
Apibrėžimas. Atsitiktiniai įvykiai, kurių vienas, atliekant
bandymą, tikrai įvyksta iir turi tik vieną baigtį,
vadinami elementarias įvykiais.Tokių įvykių
aibė vadinama elementariųjų įvykių erdve.
Vadinasi elementariųjų įvykių erdvę sudaro visi galimi bandymo
rezultatai, kurie gali įvykti tik atskirai (o ne kartu su kitais) ir kurių
negalima smulkinti.
Elementariųjų įvykių erdvę žymime raide Ω, o elementariuosius
įvykius žymime ωi (kartais kitomis raidėmis),
čia ωi∈Ω.
Pavyzdžiai:
1. Metama moneta.
Elementariųjų įvykių erdvė Ω={H,S}, čia elementarūs
įvykiai : H – atvirto herbas, S – atvirto skaičius.
2.Tiriamas radijo lempos ilgaamžiškumas. Lempos veikimo
trukmės elementariųjų įvykių erdvė [pic].
3. Metamas lošimo kauliukas. Elementariųjų įvykių erdvė
Ω={ ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 }, čia ωi – elementarus įvykis,
reiškiantis, kad iškrito i akučių, kai [pic].
Galime nagrinėti ir kitokius šio bandymo rezultatus, pvz.:
A – iškrito nelyginis akučių skaičius, B – iškritusių akučių skaičius
nemažesnis už 5, C – iškrito daugiau kaip 3 akutės ir t. t.
Įvykiai A, B, C yra sudėtiniai. Jie sudaryti iš elementarių įvykių.
Turėsim A={ω1, ω3, ω5}, B={ ω5, ω6}, C={ω4, ω5, ω6}.
VEIKSMAI SU ĮVYKIAIS
Vykstant bandymui, vieni įvykiai gali įvykti, kiti gali ir
neįvykti.
Atsitiktiniu įvykiu A vadiname bet kurį elementariųjų įvykių
erdvės poaibį t.y. A⊂ Ω.
Tuščią šios erdvės poaibį vadiname negalimuoju įvykiu.
Įvykį, atitinkantį visą elementariųjų įvykių aibę,vadiname
būtinuoju įvykiu.
Pvz. Metamas lošimo kauliukas. . Elementariųjų įvykių erdvė
Ω={ ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 }, čia ωi – elementarus įvykis,
reiškiantis, kad iškrito i akučių, kai [pic].
Užrašysime kaletą atsitiktinių įvykių:
A1 – atvirto lyginis skaičius akučių – { ω2, ω4, ω 6}.
A2 – atvirto ne daugiau kaip 3 akutės – { ω 1, ω 2, ωω 3}.
A3 – atvirtusių akučių skaičius dalijasi iš septynių – ∅.
A4 – atvirto sveikas akučių skaičius – Ω.
Kadangi atsitiktiniai įvykiai yra aibės, tai įvykių veiksmai
sutampa su aibių veiksmais. Įvykių sąryšį ir jų veiksmus geometriškai
vaizduosime vadinamosiomis Veno diagramomis.
1. Įvykis A yra įvykio B dalis arba atskiras
atvejis, ei kiekvienas elementarusis įvykis,
priklausantis A, priklauso ir B. Žymima A⊂B.
Pvz. Metant lošimo kauliuką, įvykis A – iškrito
3 akys;B – iškrito mažiau nei 5 akys.
Čia A⊂ B.
2. Du įvykius vadiname lygiais, jei juos sudarančios
elementariųjų įvykių aibės yra lygios. Žym. A=B.
Pvz. Metant monetą, įvykis A – atvirto herbas;
B – neatvirto skaičius. Čia A=B.
3.Dviejų įvykių A ir B sankirta (sandauga)
vadinam
įvykį, sudarytą iš visų elementariųjų
įvykių,priklau –
sančių abiem įvykiams A ir B. Žym. A∩B
arba AB.
Pvz. Metamas lošimo kauliukas. Įvykis A – iškrito
lyginis akių skaičius; B – iškrito nedaugiau kaip 3
akys. Čia A∩B – iškrito 2 akys.
4.Dviejų įvykių Air B sąjunga (suma) vadiname įvykį
sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių
bent vienam iš įvykių A ir B. Žym. A[pic]B arba A+B.
Gali būti ir didesnis įvykių skaičius. Tai jų suma
reikštų – bent vieną iš tų įvykių.
Pvz. Du kkartus metamas lošimo kauliukas. Įvykis A –
iškrito 2 ir 3 akys; B – iškrito 1 ir 4 akys.
Tada A[pic]B – iškrito nedaugiau kaip 4 akys.
5.Įvykius A ir B vad.nesutaikomais, jei jų sankirta yra
negalimas įvykis,t.y.jie negali įvykti kartu, A∩B=∅.
Priešingu atveju jie vadinami sutaikomais.
Pvz. Metama moneta. Įvykis A – atvirto herbas;
B – atvirto skaičius. Čia A∩B=∅.
6. Įvykiai A1, A2,., An sudaro pilnąją įvykių grupę,
jei jie kas du nesutaikomi ir jų sąjunga yra būtinas
įvykis, t.y. [pic] ir Ai Aj =∅ visiems i≠j.
Pvz. Du žaidėjai žaidžia šachmatais. Pažymime įvykius:
A1 -laimi pirmas; A2 – laimi antras; A3 – lygiosios.
Čia įvykiai A1, A2, A3 sudaro pilnąją įvykių grupę.
7. Dviejų įvykių A ir B skirtumu vadiname įvykį,
sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių
A , bet nepriklausančių B. Žym. AB arba A-B.
Pvz. Metamas lošimo kauliukas. Įvykis A – iškrito ne
daugiau kaip 3 akutės; B -iškrito lyginis akučių
skaičius. Tada A B – iškrito 1 arba 3 akutės.
8. Įvykis, kuris įvyksta, kai įvykis A neįvyksta, vad.
priešingu įvykiui A ir žymimas [pic].
Vadinasi A+[pic]= Ω ir A[pic]=∅.
Pvz. Įvykis A – paimtas kokybiškas gaminys;
[pic]- paimtas nekokybiškas gaminys.
Veiksmų su įvykiais savybės :
a) papildymo dėsniai: A+[pic]= Ω;
A[pic]= ∅;
b) komutatyvumo (perstatymo) dėsniai: A+B= B+A;
AB= BA ;
c) asociatyvumo (jungimo) dėsniai:
(A+B)+ C = (A+C)+ B =(C+B)+ A;
(AB)C =(AC)B =(CB)A;
d) distributyvumo (skirstymo) dėsniai:
A(B+C) = AB+AC;
STATISTINĖS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS
Fiksuojame sąlygų kompleksą ir kartojame tą patį bandymą n kartų,
registruodami kiekvieną kartą, ar įvykis A įvyko, ar neįvyko.
Tarkime, kad įvykis A įvyko n(A) kartų. Skaičius n(A) vadinamas įvykio A
dažniu šiuose n bandymuose.
Aišku, kad atlikus kitą n analogiškų bandymų seriją įvykio A dažnis gali
būti kitas t.y. dažnis n(A) savo esme yra atsitiktinis.
Tačiau konkrečioje bandymų serijoje n(A) yra konkretus skaičius.
Įvykio A pasirodymų skaičiaus n(A) bei bandymų skaičiaus n santykį
vadinsime įvykio pasirodymo santykiniu (arba statistiniu) dažniu. Jį
žymėsime Wn(A).
Taigi Wn(A)=[pic]
Santykinis dažnis taip pat atsitiktinis, tačiau konkrečiai n bandymų
serijai yra konkretus skaičius.
Pakartokime k kartų seriją, sudarytą iš n bandymų, kurių metu stebime
įvykį A. Gauname tokius santykinius įvykio A dažnius:
W1(A)= [pic], W2(A)= [pic], . , Wk(A)= [pic].
Masinių atsitiktinių įvykių santykiniams dažniams būdinga stabilumo
savybė.
Vadinasi, W1(A)=W2(A)=.= Wk(A), jei eksperimentų skaičius n
pakankamai didelis.
Taigi įvykio A santykiniai dažniai telkiasi apie tam tikrą
intervalo [0, 1] skaičių. Tas skaičius vadinamas įvykio A tikimybe ir
žymimas P(A) arba P, arba p.
Apibrėžimas. Įvykio A tikimybe
vadiname skaičių , apie kurį
telkiasi (grupuojasi) įvykio A santykiniai
dažniai,didinant bandymų skaičių.
Tai statistinis tikimybės apibrėžimas. Jis tikimybę įvertina
empiriniu, t.y. eksperimentiniu, būdu. Praktikoje tikimybės apytiksle
reikšme, kai bandymų skaičius didelis, imamas santykinis dažnis Wn(A) ,
t.y. P(A) ≈ Wn(A).
Tikimybių teorijos vystymosi eigoje yra atlikta daug bandymų, norint
pagrįsti statistinį tikimybės apibrėžimą.
Vienas iš klasikinių tokio bandymo pavyzdžių – Biufono ir Pirsono
atliktas bandymas, kai buvo mėtoma simetriška moneta ir skaičiuojama, kiek
kartų iškrito herbas (įvykis H).
Rezultatai tokie: n n(H) Wn(H)
4040 2048 0,5069
12000 6019 0,5019
24000 12012
0,5005
Kadangi Wn(H) grupuojasi apie skaičių 0,5, tai P(H) = 0,5.
Statistinės tikimybės sąvoka turi tą pranašumą, kad ji remiasi
eksperimentu. Tašiau didelis trūkumas tas, kad kiekvieno įvykio tikimybei
apskaičiuoti reikia atlikti daug bandymų vienodomis sąlygomis, o tai susiję
su tam tikrais sunkumais ir materialiniais nuostoliais. Be to neaišku, kiek
bandymų reikia atlikti, kad galėtume pasitikėti gautomis išvadomis.
KLASIKINIS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS
Tikimybės apibrėžimas, nesusijęs su bandymais, remiasi vienodai
galimų įvykių sąvoka.
Apibrėžimas.Tos pačios erdvės elementarieji įvykiai, kurių nė
vienas bandymo metu neturi ddaugiau galimybių
įvykti negu kiti tos erdvės elementarieji įvykiai,
vadinami vienodai galimais.
Nagrinėkime baigtinę vienodai galimų elementariųjų įvykių
erdvę sudarytą iš n elementariųjų įvykių t.y. Ω ={ω i, i=[pic]} .
Tada kiekvieno atskirojo elementariojo įvykio ωi tikimybė yra
P(ω i )= [[pic] , i=[pic].
Tarkime, kad įvykis A⊂ Ω ir sudarytas iš m elementariųjų įvykių t.y.
A={ω i, i=[pic]}.
Santykį [pic] laikysime įvykio A tikimybe.
Apibrėžimas.Įvykio A tikimybe vadin. elementariųjų įvykių,
sudarančių įvykį A, skaičiaus santykis su elemen –
tariųjų įvykių skaičiumi erdvėje Ω , t.y. [pic].
T.y.klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Klasikiniame apibrėžime visi elementarieji įvykiai ωi, i=[pic]
vadinami visais galimais atvejais, o tie įvykiai ωi, i=[pic] kurie sudaro
įvykį A, vadinami palankiais įvykiui A atvejais. Taigi
[pic].
Pvz. Iš dėžės, kurioje yra 7 standartinės ir 3 nestandartinės detalės,
atsitiktinai išimama viena detalė. Apskaičiuokite tikimybę, jog bus paimta
nestandartinė detalė.
A -įvykis, kad paimta nestandartinė detalė.
n=10, m= 3, tai P(A)= [pic]= [pic]= 0,3.
TIKIMYBIŲ SAVYBĖS
1. Būtino įvykio tikimybė lygi vienetui.
Tegu A yra būtinas įvykis. Atliekame n bandymų.
Tai įvykiui A palankių atvejų skaičius m = n.
Tada P(A)= [pic]= [pic]= 1.
2. Negalimo įvykio tikimybė lygi nuliui.
Tegu A yra negalimas įvykis. Atliekame n bandymų.
Tai įvykiui A palankių atvejų skaičius m = 0.
Tada P(A)= [pic]= [pic]= 0.
3. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius, esantis
intervale [0,1].
Tegu A yra atsitiktinis įvykis. Atliekame n bandymų.
Tai įvykiui A palankių atvejų skaičius m [pic][0,n].
Tada 0 [pic] P(A) [pic] 1.
4. Priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui.
Atliekame n bandymų. Jeigu įvykiui A yra m palankių
atvejų, tai įvykiui [pic] bus n – m palankių atvejų.
Tada P(A)= [pic] ir P([pic])= [pic] , tai
P(A) + P([pic])=[pic] + [pic] =[pic] = [pic] = 1,
P(A) + P([pic])= 1
JUNGINIAI
Skaičiuodami klasikiniu būdu tikimybę, kai elementariųjų įvykių
yra daug, naudojame kombinatorikos formules.Sakykime, turime elementus a1,
a2, . , an . Jie gali būti jungiami į grupes, įmant visus turimus
elementus arba jų dalį. Tokios elementų grupės vadinamos junginiais.
Pagrindinės junginių rūšys yra gretiniai, kėliniai ir deriniai.
Imkime n skirtingų elementų, iš kurių sudarysime junginius, imdami po
k elementų.Tai junginiai be pasikartojimų.
Apibrėžimas. Gretiniais vadinami tokie elementų junginiai,
kurie skiriasi vienas nuo kito arba pačiais
elementais, arba jų tvarka. Jų skaičius yra
[pic]
Pvz. Dalyvauti bėgimo varžybose rengiasi 6 sportininkai.
Treneris nusprendė visus 4 varžybų dalyvius atrinkti burtų
keliu. Kokia tikimybė atspėti visus 4 burtų keliu atrinktus
varžybų dalyvius?
Spr. A – įvykis, atspėti visus 4 varžybų dalyvius.
Viso galimų variantų yra n= [pic], o palankių 5vykiui A yra
m=[pic]. Tada P(A) =[pic]= [pic].
Apibrėžimas. Kėliniais iš n elementų vadinami tokie junginiai,
kurie sudaryti iš visų n elementų ir skiriasi tik jų
tvarka. Kėlinių iš n elementų skaičius yra
Pn=n!
Pvz. Ant 4 kortelių yra raidės: A, L, S, U. Kokia ttikimybė,
atsitiktinai imant po vieną kortelę, sudėti žodį SULA?
Spr. A – atsitiktinai kortelėmis sudėti žodį SULA.
Viso galimų variantų n= 4!, o palankių įvykiui A yra m= 1.
P(A)= [pic]=[pic].
Apibrėžimas. Deriniais vadinami tokie junginiai, kurie skiriasi
bent vienu elementu. Derinių iš n elementų po k
skaičius
[pic]
Pvz. Kokia tikimybė išlošti aukso puodą?
A – išlošti aukso puodą.
Galimų bilietų yra n= [pic], o palankių įvykiui A yra m = [pic].
Tada P(A)=[pic].
Pastaba. n!= [pic]; 0! = 1
Kad geriau įsidėmėti junginių prasmę, naudokimės schema:
Junginiai gali būti sudaryti iš n elementų grupės, kurioje yra
vienodų elementų. Tada turėsime junginius su pasikartojimais.
Gretinių su pasikartojimais iš n elementų po k skaičius yra
[pic][pic]
Kombinatorinė daugybos taisyklė:
Tarkime, kad aibėje A yra m1 elementų, o aibėje B yra m2 elementų.
Sudarykime junginius po vieną elementą iš kiekvienos aibės. Tokių porų
skaičius yra sandauga m1m2.
Iš aibės A imkime k1 elementų ([pic]) , o iš aibės B imkime k2
elementų ([pic]). Tokių junginių skaičius yra sandauga [pic].
Pvz. Bibliotekoje yra 25 naujos laidos ir 20 senos laidos
uždavinynai . Apskaičiuosime tikimybes:
a) įvykio A – 10 grupės studentų gavo naujos laidos uždavinynus.
b) įvykio B – 10 grupės studentų gavo senos laidos uždavinynus.
c) įvykio D – iš 10 grupės studentų 6 gavo naujos laidos
uždavinynus, o 4 senos laidos uždavinynus.
Spr.Visi galimi atvejai skirsis bent vienu elementu, bet
nepriklausys nuo tvarkos, tai turėsime derinius:
[pic]=3190187286
Nustatysime nagrinėjamiems įvykiams palankių atvejų skaičių ir
apskaičiuosime įvykių tikimybes:
a) [pic], tada P(A)=0,001025.
b) [pic] , tada P(B)=0,0000579.
d) [pic] , tada P(D)=0,268965.
ĮVYKIŲ SUMOS TIKIMYBĖ
1Teorema. Nesutaikomų įvykių sumos tikimybė lygi tų įvykių
tikimybių sumai, t.y.
P(A+B) = P(A) + P(B) , kai AB = ∅.
Įrodymas. Visų galimų atvejų skaičių pažymėkim n , įvykiui A
palankių atvejų skaičių mA , o įvykiui B palankių
atvejų skaičių mB . Tada įvykiui A+B palankių
atvejų skaičius m= mA + mB. Kadangi
P(A) = [pic] ir P(B) = [pic] , tai
P(A+B) = [pic]=[pic]=[pic]=[pic]= P(A) + P(B).
Prieš įrodydami kam lygi sutaikomų įvykių sumos tikimybė,
įrodysime sekančią teoremą.
2Teorema. Jei A⊂ B , tai P(B – A) = P(B) – P(A)
Įrodymas. Visų galimų atvejų skaičių pažymėkim n , įvykiui A
palankių atvejų skaičių mA , o įvykiui B palankių
atvejų skaičių mB . Tada įvykiui B – A palankių
atvejų skaičius m= mB – mA. Kadangi
P(A) = [pic] ir P(B) = [pic] , tai
P(B – A) = [pic]=[pic]=[pic] – [pic] = P(B) – P(A)
Kadangi P(B – A) ≥ 0,
tai P(B) – P(A) ≥ 0 arba P(A) ≤ P(B).
3Teorema.Dviejų sutaikomų įvykių sumos tikimybė yra lygi
šių įvykių tikimybių sumai be tų įvykių sandaugos
tikimybės t.y.
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Įrodymas.
Tada P(A + B)=P[ A+ (B – AB)] … (1)
Įvykiai A ir (B – AB) nesutaikomi, tai pagal 1Teoremą turėsim:
P[ A+ (B – AB)] = P(A) + P(B – AB) … (2)
Pagal 2Teoremą: P(B – AB) = P(B) – P(AB) … (3)
Tada (3) įrašę į (2) ,, turėsim:
P[ A+ (B – AB)] = P(A) + P(B) – P(AB) .. (4)
(4) įrašę į (1) , turėsim: P(A + B)= P(A) + P(B) – P(AB).
Įrodytas dviejų įvykių sumos tikimybių formules galima praplėsti
ir didesniam dėmenų skaičiui.
NORS VIENO ĮVYKIO PASIRODYMO TIKIMYBĖ
Kai įvykių skaičius didelis, įvykių sumos tikimybės formulę nėra
patogu taikyti , sprendžiant uždavinius.
Nurodysime paprastą nors vieno įvykio pasirodymo tikimybės
skaičiavimo būdą.
Teorema. Nors vieno iš įvykių A1, A2, . , An pasirodymo
tikimybė
P(A1+A2+ . +An) = 11 – P[pic]
Įrodymas. Įvykis B= A1+A2+ . +An reiškia, kad įvyko nors
vienas iš įvykių A1, A2, . , An.
Tada jam priešingas įvykis [pic]reiškia, kad neįvyko nei
vienas iš įvykių A1, A2, . , An, t.y. [pic]=[pic].
Kadangi P(B) == 1- P([pic]) , tai
P(A1+A2+ . +An) = 1 – P[pic]. .. (1)
Atskiru atveju, kai įvykių A1, A2, . , An tikimybės vienodos, t.y.
P(A1) = P(A2) = . = P( An) = p
tai ir P([pic]) = P([pic]) = . = P([pic]) = 1 – p=q
Tada iš (1): P(A1+A2+ . +An) = 1 – P[pic]=
= 1 – P[pic]= 1 – qn,
P(A1+A2+ . +An) =1 – qn
SĄLYGINĖ TIKIMYBĖ. ĮVYKIŲ SANDAUGOS TIKIMYBĖ
Dažnai tenka nagrinėti susijusius įvykius A ir B, kai įvykio B
tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis A įvyko, ar neįvyko.
Pvz. Iš dėžės, kurioje yra 10 baltų ir 5 juodi rutuliai, imame vieną
rutulį, po to antrąjį( negražinus pirmojo rutulio į dėžę). Kokia tikimybė,
kad antrasis baltas?
Spr. Pažymėkime įįvykius: A – pirmuoju išimtas baltas rutulys,
[pic] – pirmuoju išimtas juodas rutulys,
B – antruoju išimtas baltas rutulys.
Galimi du atvejai:
1) Jeigu įvykis A įvyko ,t.y. pirmuoju buvo išimtas baltas rutulys,
tai P(B) = [pic];
2) Jeigu įvykis A neįvyko, t.y.įvyko įvykis [pic] – pirmuoju išimtas
juodas rutulys,
tai P(B) = [pic];
Matome, kad įvykio B tikimybė priklauso nuo to , ar įvykis A įvyko, ar
ne.
Apibrėžimas Įvykio B tikimybė, apskaičiuota tarus, kad įvykis A
įvyko vadinama sąlygine tikimybe ir žymima
P(B|A) arba PA(B)
Analogiškai aapibrėžiamma įvykio A sąlyginė tikimybė, tarus, kad įvykis B
įvyko ir žymima P(A|B) arba PB(A).
Nagrinėtame pavyzdyje P(B|A) = [pic].
Teorema. Dviejų įvykių sandaugos tikimybė lygi vieno įvykio
tikimybei, padaugintai iš kito įvykio sąlyginės
tikimybės, kai pirmasis įvykis įvyko:
P(AB)=P(A)⋅ P(B|A)= P(B)⋅ P(A|B).
Įrodymas. Pažymėkim:
n – visų galimų atvejų skaičių,
m – įvykių sandaugai AB palankių atvejų skaičių,
m1 – įvykiui A palankių atveju skaičių iš tų atvejų kur įvyko ir
įvykis B,t.y., kur įvyko įvykis AB.
Tada P(AB)=[pic] … (1)
Bet [pic] = P(A), o [pic] = P(B|A),
Iš (1) turėsim: P(AB)= P(A)⋅ P(B|A), analogiškai įrodoma
ir lygybė: P(AB)= P(B)⋅ P(A|B).
Įrodytąją teoremą galima apibendrinti ir didesniam įvykių skaičiui:
[pic]
.[pic].
Pvz. Dėžėje yra 17 baldų ir 3 juodi rutuliai. Vienas po kito išimami du
rutuliai, negrąžinant jų atgal. Kokia tikimybė, kad
abu išimti rutuliai yra balti?
Spr. Pažymime įvykius: A – pirmas išimtas rutulys yra baltas,
B – antras išimtas rutulys yra balta,
tada AB – abu išimti rutuliai yra balti.
P(AB)=P(A)⋅ P(B|A)=[pic] = 0,716.
NEPRIKLAUSOMI ĮVYKIAI. JŲ SANDAUGOS TIKIMYBĖ
Apibrėžimas. Du įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei
kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to ar
įvyko , ar neįvyko kitas įvykis, t.y.
P(A|B)= P(A) ir P(B|A) = P(B).
Priešingu atveju įvykiai vadinami priklausomais.
Teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė
lygi ttų įvykių tikimybių sandaugai, t.y.
P(AB)=P(A)⋅ P(B)
Įrodymas. Kai įvykiai A ir B nepriklausomi, tai
P(A|B)= P(A) ir P(B|A) = P(B).
Į lygybę iš įvykių sandaugos teoremos
P(AB)=P(A)⋅ P(B|A)= P(B)⋅ P(A|B)
įstatę vietoj sąlyginių tikimybių besąlygines, gauname:
P(AB)=P(A)⋅ P(B).
Apibrėžimas. Įvykiai A1, A2, . , An vadinami nepriklausomais, kai
kiekvienas iš jų nepriklauso nuo bet kurio įvykio , sudaryto iš likusiųjų.
Teorema. Kelių n nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė
lygi tų įvykių tikimybių sandaugai, t.y.
P(A1⋅ A2⋅ . ⋅ An) = P(A1)⋅ P(A2)⋅ . ⋅P(An)
Pvz. Dviejų šaulių pataikymo į taikinį tikimybės atatinkamai yra lygios 0,7
ir 0,8. Rasti tikimybę, kad abiem iššovus nors vienas pataikys?
Spr. Įvykiai: A – pataikė pirmas šaulys; P(A) = 0,7.
B – pataikė antras šaulys; P(B) = 0,8 .
Tada A+B – pataikė nors vienas šaulys.
Kadangi A ir B – sutaikomi įvykiai, tai
P(A+B)= P(A)+P(B) – P(AB)=0,7+0,8-0,7⋅ 0,8=0,94.
Dažnai grandinėse yra jungiami nepriklausomai veikiantys
elementai. Tad grandinės veikimo tikimybę ir galime skaičiuoti remiantis
šiomis teoremomis.
Šių nepriklausomai veikiančių elementų patikimumai: p1, p2, p3, p4, p5,
p6.
Tai sistemos patikimumas:
P(s) = p1 (p2+ p3 p4) p5 p6 = p1(p2+ p3 p4 – p2 p3 p4) p5 p6 .
PILNOSIOS TIKIMYBĖS FORMULĖ
Imkime įvykius H1, H2, . , Hn , kurie sudaro pilną įvykių
grupę, t.y.
H1+H2+ .+ Hn == Ω , Hi Hj = ∅ visiems i [pic]j.
Tarkime. kad įvykis A kali įvykti tik tada, kai įvyksta vienas iš
įvykių H1, H2, . , Hn. Įvykiai H1, H2, . , Hn vadinami įvykio A
hipotezėmis.
Teorema.(Pilnosios tikimybės formulė)Jei įvykiai H1, H2, . ,Hn
yra įvykio A hipotezės, tai įvykio A tikimybė
lygi:
[pic]
Įrodymas. Turime Ω=H1+H2+. +Hn /⋅ A
ΩA=H1 A+H2 A+. + Hn A, kadangi ΩA=A, tai
A=H1 A+H2 A+. + Hn A, tada
P(A)=P( H1 A+H2 A+. + Hn A),
Kadangi įvykiai H1 A, H2 A, . , Hn A yra nesutaikomi, tai pritaikę sumos
taisyklę gauname:
P(A)=P(H1 A+H2 A+. +Hn A)=P(H1 A)+P(H2 A)+.+ P(Hn A).
Pagal dviejų įvykių daugybos tikimybės formulę:
P(Hi A)=P(Hi)⋅ P(A|Hi) , i [pic].
Tai P(A)= P(H1)⋅P(A|H1)+ P(H2)⋅ P(A|H2)+ .+P(Hn)⋅ P(A|Hn),
arba [pic].
Pvz. Kurse yra 3 grupės. Antroje grupėje studentų yra trigubai daugiau,
trečioje dvigubai daugiau, negu pirmoje grupėje. 6% pirmosios grupės
studentų, 10% – antrosios ir 12% – trečiosios neišlaikė matematikos
egzamino. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai sutiktas studentas yra
neišlaikęs egzamino?
Spr. Įvykiai: A – sutiktas studentas yra neišlaikęs egzamino;
H1 – sutiktas studentas yra iš pirmos grupės;
H2 – sutiktas studentas yra iš antros grupės;
H3 – sutiktas studentas yraiš trečios grupės.
Tai P(A)= P(H1)⋅P(A|H1)+ P(H2)⋅ P(A|H2)+P(H3)⋅ P(A|H3),
Randame tikimybes:
P(H1)=[pic]=0,17; P(H2)=[pic]=0,5; P(H3)= [pic]=0,33;
P(A|H1)= 0,06; P(A|H2)=0,1; P(A|H3)= 0,12.
Tada P(A) = 0,17⋅ 0,06
+ 0,5⋅ 0,1+ 0,33⋅ 0,12 = 0,0998.
BEJESO FORMULĖS
Teorema. (Bejeso formulės) Jei H1, H2 , . , Hn yra įvykio
A hipotezės, tai
[pic]
Įrodymas. Iš įvykių sandaugos teoremos
P(Hi A)= P(Hi)⋅ P(A|Hi )= P(A)⋅ P(Hi |A)
Išplaukia, kad [pic]
Bet [pic],
Tada [pic]. Įrodyta.
NEPRIKLAUSOMI BANDYMAI. BERNULIO FORMULĖ.
Jeigu atliekamų bandymų sąlygos nėra kaip nors koreguojamos pagal jau
atliktų bandymų eigą ir rezultatus, tai turime nepriklausomus bandymus.
Nepriklausomi bandymai, kurių kiekvieno metu gali įvykti tik
įvykis A arba jam priešingas įvykis [pic], vadinami Bernulio bandymais.
Pvz. MMetama simetriška moneta. Metimai nepriklausomi, o juose
gali atvirsti herbas (įvykis A) arba skaičius (įvykis [pic])
Pažymėkim tikimybes: P(A)= p ir P([pic])=1 – p = q.
Ieškosime tikimybės, kad atlikus n nepriklausomų bandymų, įvykis A įvyks k
kartų. Šią tikimybę žymėsime Pn(k).
Teorema.(Bernulio formulė) Jeigu atlikus n nepriklausomų
bandymų įvykio A įvykimo tikimybė kiekviename
bandyme vienoda ir lygi p, tai tikimybė, kad įvykis A
įvyks lygiai k kartų, yra:
[pic] , k=[pic] .
Įrodymas. Imkime n Bernulio bandymų, kurių metu įvykis A pasirodė k kartų
ir nnepasirodė (n-k) kartų. Įvykiai yra nepriklausomi, tai
[pic]= pk⋅ qn-k
Kadangi tokių variantų gali būti [pic], tai pritaikę nesutaikomų įvykių
sumos teoremą, gauname: [pic].
Teorema įrodyta. [pic]
Labai greitai [pic] reikšmes galite paskaičiuoti programa Excel .
Funkcija BINOMDIST (k,n,p,0)
Dažnai tenka ieškoti tikimybės, kad atlikus n nepriklausomų
bandymų įvykis A pasirodė ne mažiau kaip k1 ir ne daugiau kaip k2 kartų,
t.y. Pn(k1[pic]).
Pritaikę nesutaikomų įvykių sumos teoremą, turėsim:
Pn(k1[pic]) = Pn(k1)+Pn(k1+1)+ Pn(k1+2)+.+Pn(k2),
arba Pn(k1[pic]) [pic]
Pasinaudodami Bernulio formule, galime rasti patikimiausią
(labiausiai tikėtiną) įvykio A pasirodymo skaičių atlikus n bandymų. Jis
žymimas k0, o jo pasirodymo tikimybė P(k0) ne mažesnė negu visų kitų galimų
rezultatų tikimybės, t.y. Pn(k0) ≥ Pn(k). Reikšmė k0 gaunama iš nelygybių
np – q ≤ k0 ≤ np + q
Kadangi k0 – sveikasis skaičius, o intervalo [np-q; np+q] ilgis
vienetas, tai galimi du variantai. Jei intervalo galai yra trupmenos, tai
gausime vieną k0 reikšmę, o jei jie sveikieji skaičiai, tai bus dvi k0
reikšmės – intervalo galai.
Pvz.Nagrinėjamame technologiniame procese 85% pagamintos produkcijos yra
aukščiausios rūšies. Koks patikimiausias aukščiausios rūšies gaminių
skaičius ttarp paimtų 150 gaminių?
Spr. Turime: n=150; p=0,85; q=1-0,85= 0,15.
Kadangi np – q ≤ k0 ≤ np + q,
tai 150 ⋅ 0,85 – 0,15 ≤ k0 ≤150 ⋅ 0,85 + 0,15,
127,35 ≤ k0 ≤ 128,35.
Todėl k0=128 t.y. labiausiai tikėtina, kad tarp 150 gaminių 128
aukščiausios rūšies.
BERNULIO FORMULĖS ASIMPTOTIKA
Kai n ir k dideli,Bernulio formulė [pic] praktiniams skaičiavimams
yra nepatogi. Tuo atveju tikimybė skaičiuojama apytiksliai.
1. Kai bandymų skaičius n didelis, o įvykio A tikimybė atskirame
bandyme p yra maža (turi bbūti np<10), tai
Pn(k)[pic], čia λ=np t.y. Puasono formulė.
Yra sudarytos funkcijos P(k, λ)=[pic] reikšmių lentelės įvairioms skaičių
k ir λ poroms.
2. Kai n didelis, bet p nėra mažas, tikimybei, kad atlikus n
nepriklausomų bandymų įvykis A įvyko k kartų, skaičiuoti naudojama lokalinė
Muavro ir Laplaso formulė:
Pn(k)[pic],
Kurioje [pic] – Gauso funkcija ir [pic].
3. Tikimybei, kad atlikus n nepriklausomų bandymų įvykis A įvyko
nuo k1 iki k2 kartų, skaičiuoti naudojama integralinė Muavro ir Laplaso
formulė:
Pn(k1 ≤ k ≤ k2) ≈ Φ(x2) – Φ(x1)
kurioje [pic] – Laplaso funkcija
ir [pic] ,o [pic].
Tiksliausias rezultatas gaunamas, kai p artimas 0,5.
Gauso ir Laplaso funkcijomis yra sudarytos reikšmių lentelės. Šios
funkcijos naudojamos ir kituose tikimybių teorijos skyriuose. Kiekvieną jų
trumpai apibūdinsime:
a) Gauso funkcija [pic]
x∈( – ∞; +∞);
ϕ(-x)=ϕ(x) – lyginė;
[pic];
[pic].
b) Laplaso funkcija [pic]
x∈( – ∞; +∞);
Φ (-x)= -Φ(x) – nelyginė;
-0,5< Φ(x) <0,5.
Gauso ir Laplaso funkcijų reikšmių lentelės sudarytos , kai x
[pic][0;4]. Kai x > 4, tai φ(x) = 0 ir Ф(x) = 0,5 .
PAPRASČIAUSIAS ĮVYKIŲ SRAUTAS
Įvykių srautu vadinama seka įvykių, kurie vienas po kito įvyksta
atsitiktiniais laiko tarpais.
Pvz. 1)Telefono skambučių srautas telefono stotyje.
2) Į degalinę užsukančių automobilių srautas.
Įvykių srautas vadinamas stacionariu, jei tikimybė, kad per
fiksuotą laiko tarpą įvyks k įvykių, nepriklauso nuo šio laikotarpio
pradinio momento, o priklauso tik nuo laikotarpio trūkmės.
Srauto intensyvumu λ vadinamas vidutinis įvykių srautas per laiko
vienetą.
Jeigu srauto intensyvumas pastovus, tai tikimybė Pt(k) – kad per
laikotarpį t įvyks k įvykių, išreiškiamas Puasono formule:
Pt(k)[pic]
Pvz. Statybos bendrovėje per 2 mėnesius vidutiniškai sugenda 3 mechanizmai.
Kokia tikimybė, kad per 4 mėnesius suges :
1) 5 mechanizmai;
2) mažiau negu 5 , mechanizmai;
3) nemažiau kaip 5 mechanizmai?
Spr. Čia laiko vienetu imsime mėnesį, tai t = 4, λ= 3/2 =1,5.
1) P4(5)[pic]
2) P4(k < 5)= P4(0)+ P4(1)+ P4(2)+ P4(3)+ P4(4)
3) P4(k > 5) = 1 – P4(k < 5)
BERNULIO TEOREMA
Jeigu atlikus n bandymų , įvykis A pasirodo k kartų, tai santykis
[pic] yra įvykio A santykinis dažnis.
Teorema. (Bernulio) Jei k yra įvykio A pasirodymų skaičius
atlikus n nepriklausomų bandymų, p – įvykio A
tikimybė kiekviename iš bandymų, tai su kiekvienu
ε > 0 teisinga lygybė: [pic]
Įrodymas. Iš nelygybės [pic] [pic] – ε < [pic] – p < ε [pic]
[pic] – ε < [pic] < ε [pic] – nε < k – np < nε [pic]
[pic] np – nε < k < np + nε .
Pritaikę integralinę Muavro ir Laplaso formulę :
Pn(k1 ≤ k ≤ k2) ≈≈ Φ(x2) – Φ(x1), kur
[pic] ir [pic],
turėsim [pic] P(np – nε < k < np + nε) ≈
≈ [pic] – [pic] = 2[pic] =2[pic] .
Iš Laplaso funkcijos savybių [pic]→ 0,5 , kai n →∞, todėl [pic].
Įrodyta.
Iš įrodytosios lygybės matome: tikimybė, kad skirtumas tarp
santykinio dažnio [pic] ir tikimybės p yra kiek norima mažas, yra artima
vienetui, jei bandymų skaičius pakankamai didelis. Tai reiškia, kad
santykinis dažnis yra artimas įvykio tikimybei, kai n →∞.
Visi teiginiai tvirtinantys, kad didinant bandymų skaičių,
vidutinis šių bandymų rezultatas mažai kinta, vadinami didžiųjų skaičių
dėsniu. Bernulio teorema yra vienas iš tokių teiginių.
ATSITIKTINIO DYDŽIO SĄVOKA
Apibrėžimas. Atsitiktiniu dydžiu vadinamas dydis, kuris bandymo metu
gali įgauti tik vieną iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę iš galimų
reikšmių aibės. Vadinasi, t.y. funkcija, kuri įgyja reikšmes iš R.
Pvz.: 1. Atvirtusių akučių skaičius, metus lošimo kauliuką.
2. Nestandartinių gaminių skaičius siuntoje.
3. Per valandą atvažiuojančių į degalinę
automobilių skaičius.
Kiekvienas šių dydžių atsitiktinėmis aplinkybėmis gali įgyti vienokią
ar kitokią(mums iš anksto nežinomą) reikšmę. Vadinasi, atsitiktinis dydis
yra elementariojo įvykio ω skaitinė funkcija, kuri yra apibrėžta
elementariųjų įvykių erdvėje.
Atsitiktinius dydžius žymėsim graikiškomis raidėmis: ξ, η, ζ, .,
arba didžiosiomis lotyniškomis raidėmis X, Y, Z, ., o jų įgyjamos
reikšmės mažosiomis raidėmis x, y, z, . .
Taigi nagrinėsime atsitiktinį
dydį ξ’ξ(ω) , arba X=X(ω), kai ω ∈
Ω.
Atsitiktiniai dydžiai gali būti diskretieji ir tolydieji.
Apibrėžimas. Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiuoju, jeigu
jo įgyjamų reikšmių aibė yra baigtinė arba skaiti.
Skaičios aibės elementus galima sunumeruoti.
Diskrečių atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:
1)Akučių skaičius metant lošimo kauliuką: x1=1, x2=2 ,., x6= 6;
2) Šūvių skaičius iki pirmo pataikymo į taikinį: x1=1, x2=2 ,.
Apibrėžimas. Atsitiktinis dydis vadinamas tolydžiuoju, jeigu
jis gali įgyti bet kurias reikšmes iš reliųjų
skaičių
intervalo.
Tolydžių atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:
1)Prietaiso veikimo laikas iki sugedimo;
2)Sviedinio nuskrietas atstumas.
DISKREČIOJO ATSITIKTINIO DYDŽIO PASISKIRSTYMAS
Norint apibudinti atsitiktinį dydį neužtenka žinoti tik jo galimas
reikšmes, svarbu žinoti ir šių reikšmių igijimo tikimybes.
Nagrinėkime diskretųjį atsitiktinį dydį ξ , kurio galimos reikšmės
yra x1, x2 ,., xn .
Atlikus bandymą, atsitiktinis dydis įgyja tik vieną iš savo
galimų reikšmių, t.y.įvykiai ξ=x1, ξ=x2, . , ξ=xn sudaro pilną įvykių
grupę.
Šių įvykių tikimybes pažymėkim:
p1= P(ξ=x1) , p2= P(ξ=x2), . , pn= P(ξ=xn). Tada [pic].
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymu (skirstiniu)vadinama bet kokia
priklausomybė , kuri nurodo ryšį tarp atsitiktinio dydžio galimų reikšmių
ir jjų tikimybių. Ji gali būti aprašoma lentele, grafiškai arba analiziškai.
Skirstinį patogiausia užrašyti lentele:
|xi |x1 |x2 |x3 |. |xn |
|pi |p1 |p2 |p3 |. |pn |
Tai pasiskirstymo
lentelė
Čia x1, x2, . xn atsitiktinio dydžio ξ įgyjamos reikšmės, o
p1, p2,., ppn tikimybės su kuriomis šios reikšmės yra įgyjamos.
Grafiškai skirstinys pavaizduojamas pasiskirstymo daugiakampiu,
kuris tiesės atkarpomis jungia gretimus taškus
(x1, p1), (x2, p2), . , (xn , pn ).
Analitiškai nusakant skirstinį duodama formulė, nusakanti ryšį tarp
atsitiktinio dydžio galimų reikšmių ir jų tikimybių.
PASISKIRSTYMO FUNKCIJA IR JOS SAVYBĖS
Tolydiems atsitiktiniams dydžiams negalime sudaryti pasiskirstymo
lentelės, nes jo galimos reikšmės yra skaičių tiesės baigtinis ar net
begalinis intervalas.Todėl įvesime naują charakteristiką – pasiskirstymo
funkciją, kuri pilnai apibudina bet kokį atsitiktinį dydį.
Apibrėžimas.Atsitiktinio dydžio ξ pasiskirstymo funkcija vad.
funkcija F(x) , kuri yra apibrėžta visoms realioms x
reikšmėms ir lygi tikimybei, kad ξ įgis reikšmes
mažesnes už x, t.y.
F(x)=P(ξ < x) kai x∈R.
Tolydaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija F(x) yra tolydi ir
diferencijuojama(išskyrus gal būt baigtinį taškų skaičių).
Geometrinė pprasmė: pasiskirstymo funkcija reiškia tikimybę įvykio, kad
atsitiktinis dydis įgys eksperimento reikšmę, esančią į kairę skaičių
tiesėje nuo taško x.
Pasiskirstymo funkcijos savybės :
1. Pasiskirtymo funkcija įgyja reikšmes iš intervalo [0;1], t.y.
0 ≤ F(x) ≤ 1.
2.Tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmes iš intervalo [a;
b), lygi pasiskirstymo funkcijos pokyčiui šiame intervale, t.y.
P(a ≤ ξ < b)=F(b) – F(a).
Įrod. F(b) = P(ξ < b) = P[(ξ < a) + (a< ξ 0, tai F(x1) ≤ F(x2).
4.Tikimybė, kad tolydusis atsitiktinis dydis įgis vieną duotą
reikšmę, lygi nuliui, t.y. P(ξ = x1) = 0.
Įrod. Formulėje P(a ≤ ξ < b)=F(b) – F(a) imkime
a= x1 ir b= x1 +∆x , tada
P(x1 ≤ ξ < x1 +∆x)=F(x1 +∆x) – F(x1) =∆F(x).
Kadangi F(x) tolydi, tai [pic] = 0 , todėl
P(ξ = x1) =[pic] P(x1 ≤ ξ < x1 +∆x)= [pic]=0.
Pastaba.Pasinaudoję šia savybe, turėsim:
P(a ≤ ξ < b)= P(a ≤ ξ ≤ b)= P(a < ξ < b)= F(b) – F(a).
5. Galioja savybės: F(-∞)=0 ir F(+∞)=1.
TIKIMYBIŲ TANKIO FUNKCIJAI IR JOS SAVYBĖS
Apibrėžimas.Tolydžiojo atsitiktinio dydžio tankiu (tankio f- ja)
vadinama jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė,
p(x) = [pic]
Išsiaiškinsime tankio funkcijos tikimybinę prasmę.
p(x) = [pic][pic].
Pritaikę 2 -ąją pasiskirstymo funkcijos savybę, gauname:
p(x) = [pic]
Taigi, p(x) parodo atsitiktinio dydžio ξ tikimybės dalį, tenkančią
intervalo (x ; x +∆ x) ilgio vienetui, t.y. parodo tikimybės tankį.
Takio funkcijos savybės:
1. Tankio funkcija yra neneigiama ,t.y. p(x) ≥ 0,
Įrod. Kadangi, tai funkcija F(x) nemažėjanti, tai p(x) ≥ 0.
2. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija lygi tankio
funkcijos apibrėžtiniam integralui intervale (-∞; x), t.y.
[pic]
Įrod.
[pic]
3. Tikimybė, kad tolydusis atsitiktinis dydis įgis reikšmes iš
intervalo [a; b] (intervalas nebūtinai uždaras) yra lygi tankio
funkcijos apibrėžtiniam integralui šiame intervale, t.y.
[pic]
Įrod.
[pic]
4. Tankio funkcijos integralas intervale (-∞;∞)yra lygus 1, t.y.
[pic] = 1
Įrod. Pritaikę 3-ąją savybę, gauname:
[pic] = P(-∞ < ξ < ∞) = P(Ω) = 1.
NEPRIKLAUSOMŲ ATSITIKTINIŲ DYDŽIŲ SAVYBĖS
Du atsitiktiniai dydžiai vadinami nepriklausomais, jeigu vieno iš jų
skirstinys nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes įgijo kitas
atsitiktinis dydis.
Tegu žinomi dviejų atsitiktinių dydžių ξ ir η skirstiniai:
| xi |x1 |x2 |. |xn |
| pi |p1 |p2 |. |pn |
| yj |y1 |y2 |. |ym |
| qj |q1 |q2 |. |qm |
Savybės:
1. Atsitiktinio dydžio cξ (c=const.) galimos reikšmės yra cxi , o
visos galimos sumos xi + yj , o jų įgijimo tikimybės pi, i[pic].
2. Atsitiktinio dydžio ξ + η galimos reikšmės yra visos galimos
sumos xi + yj , o jas atitinkančios tikimybės yra piqj , kai
i[pic], j[pic].
3. . Atsitiktinio dydžio ξη galimos reikšmės yra visos galimos
sandaugos xi yj , o jas atitinkančios tikimybės yra piqj , kai
i[pic], j[pic].
Pastaba. Tarp reikšmių xi + yj ir xi yj gali būti ir vienodų.
Užrašydami galutinį skirstinį, rašome tik skirtingas
galimas reikšmes, išdėstydami jas didėjančia tvarka.
Atitinkamas vienodų reikšmių tikimybes sudauginame.
Pvz.
| xi | 1 | 2 |
| pi|0,4 |0,6 |
| yj|-1 | 0 | 4 |
| qj|0,3 |0,6 ||0,1 |
ATSITIKTINIO DYDŽIO VIDURKIS IR JO SAVYBĖS
Dydžiai, kurie charakterizuoja svarbiausias atsitiktinio dydžio
pasiskirstymo savybes vadinami jo skaitinėmis charakteristikomis. Viena iš
jų yra atsitiktinio dydžio vidurkis,
Sakykime, atliekame n nepriklausomų bandymų, kuriuose atsitiktinis
dydis ξ reikšmę x1 įgyja n1 kartų, reikšmę x2 – n2 kartų, . , reikšmę xk
– nk kartų. Kadangi n=n1+n2+..+nk , tai šių reikšmių aritmetinis vidurkis
[pic] .
Santykis [pic] yra įvykio (ξ = xi) satykinis dažnis, o jis apytiksliai
lygus šio įvykio tikimybei, t.y. [pic]. Vadinasi suma [pic]
charakterizuoja atsitiktinio dydžio vidutinę reikšmę, t.y. kitų jo galimų
reikšmių grupavimosi centrą.
Tegu duotas diskretaus atsitiktinio dydžio ξ skirstinys:
| xi |x1 |x2 |. |xn |
| pi |p1 |p2 |. |pn |
Apibrėžimas. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio ξ vidurkiu
(žymėsime Mξ ) vadinama jo galimų reikšmių ir
atitinkamų tikimybių sandaugų suma, t.y.skaičius
Mξ = [pic]
Apibrėžimas. Tolydžiojo atsitiktinio dydžio ξ vidurkiu
vadinamas skaičius Mξ = [pic] , čia
p(x) – atsitiktinio dydžio ξ tankio funkcija.
Kai atsitiktinio dydžio ξ visos galimos reikšmės priklauso intervalui
(a,b), tai Mξ = [pic]
Dažnai dydžio ξ vidurkis kartais žymimas simboliu Eξ. Atsitiktinio
dydžio vidurkis dar vadinamas, matematine viltimi arba teoriniu vidurkiu.
Vidurkio savybės:
1. Pastovaus dydžio vidurkis lygus pač2. iam dydžiui, t.y.
MC = C, kai C – konstanta.
2. Pastovų daugiklį galime iškelti prieš vidurkio ženklą,
t.y.
M(Cξ)=CMξ.
3. Atsitiktinių dydžių sumos vidurkis lygus tų atsitiktinių
dydžių vidurkių sumai t.y.
M(ξ+ η)=M ξ + Mη.
4. Jei atsitiktiniai dydžiai ξ ir η yra nepriklausomi, tai
M(ξ η)=M ξ M η.
ATSITIKTINIO DYDŽIO DISPERSIJA IR JOS SAVYBĖS
Atsitiktinio dydžio vidurkis charakterizuoja vidutinę jo reikšmę,
apie kurią išsibarščiusios galimos atsitiktinio dydžio reikšmės. Tačiau
vidurkis nepilnai charakterizuoja atsitiktinį dydį. Gali būti, kad
atsitiktiniai dydžiai turi vienodus vidurkius, bet jų galimos reikšmės nėra
artimos.
Pvz. Duota dviejų atsitiktinių dydžių skirstiniai:
|xi |- 2 |- 1 |0 |1 |2 |
|pi |0,2 |0,2 |0,2 |0,2 |0,2 |
|yj |-26 |-12 |-10 |10 |20 |
|qj |0,1 |0,2 |0,2 |0,3 |0,2 |
[pic]
Matome, kad atsitiktinių dydžių ξ ir η vidurkiai vienodi, o jų įgyjamos
reikšmės nėra artimos.
Vidurkis neparodo, kaip atsitiktinio dydžio galimos reikšmės yra
išsisklaidžiusios apie vidurkį.
Atsitiktinio dydžio įgyjamų reikšmių išsibarstymo apie vidurkį matas
– dispersija.
Atsitiktinio dydžio ξ nukrypimu (nuokrypiu) vadinamas skirtumas
ξ – Mξ . Rasime nukrypimo vidurkį:
M [ξ- Mξ ] = Mξ – M [Mξ ] = Mξ – Mξ = 00.
Vadinasi, bet kuriam atsitiktiniam dydžiui ξ jo nuokrypio nuo
vidurkio ξ – Mξ vidurkis lygus nuliui.
Dydis M [ξ- Mξ ]2 bendru atveju nėra lygus nuliui, todėl jis
ir naudojamas atsitiktinio dydžio reikšmių išsibarstymo apie vidurkį
charakteristikai.
Apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio ξ dispersija (žymėsime DDξ ) vadiname šio
dydžio nuokrypio nuo vidurkio kvadrato vidurkį t.y.
Dξ = M [ξ- Mξ ]2
Dξ =[pic]
Dispersija matuojama kvadratiniais vienetais, todėl patogiau naudoti
dydį [pic], kurio dimensija tokia pat kaip ir atsitiktinio dydžio
dimensija. Dydis [pic] vadinamas standartiniu nuokrypiu (vidutiniu
kvadratiniu nuokrypiu) arba tiesiog standartu.
Dispersijos savybės:[pic]
1. Pastovaus dydžio dispersija lygi nuliui,t.y.
DC= 0, kai C – konstanta.
Įrodymas.
Pastovų dydį C galime laikyti diskrečiuoju atsitiktiniu dydžiu,
tada:
DC=M(C-MC)2.
Žinodami vidurkio savybę: MC= C,
gauname: DC=M(C-MC)2=M(C-C)2= M0 = 0.
2. Pastovų daugiklį iškeliant prieš dispersijos ženklą jis
pakeliamas kvadratu t.y.
D(C ξ) = C2 Dξ.
Įrodymas.
D(Cξ)= M[Cξ – M(Cξ)]2= M[C ξ – C Mξ]2=
= M[C(ξ – Mξ)] 2=M[C2(ξ -Mξ)2] =
= C2M[ξ -Mξ]2=C2 Dξ.
3. Atsitiktinio dydžio dispersija lygi šio dydžio kvadrato
vidurkio ir jo vidurkio kvadrato skirtumui,t.y.
Dξ =M (ξ 2) – (M ξ)2.
Įrodymas.
Pagal apibrėžimą dispersija yra lygi:
Dξ = M(ξ – M ξ)2 = M[ξ 2-2∙Mξ ∙ ξ +(Mξ)2] =
= M(ξ2) – M(2∙M ξ∙ξ) + M((M ξ)2) =
= M(ξ2) – 2(M ξ)2 (Mξ)2 =
= M (ξ 2) – (Mξ)2.
Įrodytoji savybė labai dažnai taikoma dispersijos apskaičiavimui.
4. Jei atsitiktiniai dydžiai ξ ir η yra nepriklausomi, tai šių
dydžių sumos dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y.
D(ξ + η) = Dξ + Dη.
5. Atsitiktinio dydžio dispersija neneigiama, t.y. Dξ ≥ 0.
(tai išplaukia iš dispersijos apibrėžimo).
