Trikampis

TRIKAMPIS

1. Trikampiu vadiname geometrinę figūrą, kurią sudaro trys taškai, nesantys vienoje tiesėje, ir juos jungiančios trys atkarpos.

2. Trikampio rūšys pagal kampus:

1) Smailusis – tai toks trikampis, kurio visi trys kampai smailieji.

2) Bukasis – tai toks trikampis, kurio vienas kampas bukasis.

3) Statusis – tai toks trikampis, kurio vienas kampas statusis

3. Trikampių rūšys pagal kraštines:

1) Įvairiakraštis – tai toks trikampis, kurio visos trys kraštinės nėra lygios.

2) Lygiašonis – tai toks trikampis, kurio dvi kraštinės lygios.

3) Lygiakraštis- tai toks trikampis, kurio visos karštinės lygios.

4. Trikampio kampų sumos teorema: trikampio kampų suma lygi .

1) Per tašką B brėžiame tiesę a, lygiagrečią kraštinei AC.

2) (nes jie vidaus priešiniai kampai prie lygiagrečių tiesių a ir AC)

3) .

5. Trikampio nelygybė: Kiekviena trikampio kraštinė mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą.

6. Trikampio kraštinių ir kampų prieklausų teorema: prieš didesnę trikampio kraštinę yra didesnis kampas, ir atvirkščiai: prieš didesnį trikampio kampą yra didesnė kraštinė.

7. Trikampio pusiaukraštinių savybės:

1) Trikampio pusiaukraštinės kertasi viename taške.

2) Trikampio pusiaukraštinės susikirsdamos dalija viena kitą santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės.

3) Trikampio pusiaukraštinė dalija trikampį į du lygiapločius trikampius.

8. Trikampio pusiaukampinių savybės:

1) Trikampio pusiaukampinės ssusikerta viename taške.

2) Trikampio pusiaukampinė prieš ją esančią kraštinę dalija į atkarpas, atitinkamai proporcingas kitoms dviem trikampio kraštinėms.

9. Trikampio vidurine linija vadinama atkarpa, jungianti dviejų jo kraštinių vidurio taškus.

Trikampio vidurinės linijos savybės:

1) Trikampio vidurinė linija yra lygiagreti vienai jo kraštinei.

2) Trikampio vidurinė linija yra llygi tos kraštinės pusei.

10. Lygiašonio trikampio savybės:

1) Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo lygūs.

2) Lygiašonio trikampio pusiaukampinė, nurėžta į pagrindą, yra pusiaukraštinė ir aukštinė.

11. Stačiojo trikampio:

a) smailiųjų kampų savybė: stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma lygi .

b) statinio prieš kampą savybė: statinis, esantis prieš kampą, lygus pusei įžambinės.

12. Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusu vadinamas prieš tą kampą esančio statinio ir įžambinės santykis.

13. Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusu vadinamas prie to kampo esančio statinio ir įžambinės santykis.

14. Stačiojo trikampio smailiojo kampo tangentu vadinamas prieš tą kampą esančio statinio ir prie to kampo esančio statinio santykis.

15. Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentu vadinamas prie to kampo esančio statinio ir prieš tą kampą esančio statinio santykis.

16. Pitagoro teorema: Stačiojo trikampio įžambinės kvadratas lygus statinių kvadratų sumai.

Trikampį papildykime iki kvadrato, kurio kraštinė a ++ b.

Analogiškai ir kiti kampai lygūs . Taigi ABCD – kvadratas (visi jo kampai statūs ir visos kraštinės lygios c).

(Nes kvadratas sudarytas iš keturių lygių stačiųjų trikampių, kurių kiekvieno plotas lygus , ir kvadrato, kurio kraštinė c.)

3) Taigi

Įrodyta.

17. Teorema, atvirkštinė Pitagoro teoremai: Jei trikampio vienos kraštinės kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, tai trikampis statusis.

– statusis,

Remiantis Pitagoro teorema, ;

;

Tačiau , vadinasi

Vadinasi (pagal tris kraštines), tai – statusis,

Įrodyta.

18. Jei nubrėžta stačiojo trikampio aukštinė į įžambinę, tai ttos aukštinės kvadratas lygus atkarpų į kurias aukštinė dalija įžambinę sandaugai,o statinio kvadratas lygus įžambinės ir jos atkarpos, esančios tarp statinio ir į įžambinę nuleistos aukštinės, sandaugai.

19. Kosinusų teorema: trikampio kraštinės kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai minus dviguba tų kraštinių ir kampo tarp jų kosinuso sandauga. .

1) Kai – smailusis.

.

2) Kai – bukasis.

.

Įrodyta.

20. Sinusų teorema (pilna): trikampio kraštinės proporcingos prieš jas esančių kampų sinusams. Trikampio kraštinės ir prieš ją esančio kampo sinuso santykis lygus dvigubam apibrėžtinio apskritimo spinduliui. .

Kitos lygybės – analogiškai.

2)a)

statusis; (remiasi į skersmenį);

nes abu remiasi į

Gavome

b)

statusis, nes (remiasi į skersmenį);

Gavome

Įrodyta.

21. Lygiais vadinami du trikampiai, kurių atitinkamos kraštinės ir atitinkami kampai lygūs.

22. Trikampių lygumo požymiai:

1) Jeigu vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampui tarp jų, tai šie trikampiai yra lygūs.

2) Jeigu vieno trikampio kraštinė ir du kampai prie jos atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir dviem kampams prie jos, tai šie trikampiai yra lygūs.

3) Jeigu vieno trikampio trys kraštinės yra atitinkamai lygios kito trikampio trim kraštinėms, tai šie trikampiai yra lygūs.

23. Stačiųjų trikampių lygumui pakanka atitinkamų:

a) dviejų statinių;

b) statinių ir smailiųjų kampų;

c) įžambinių ir smailiųjų kampų;

d) įžambinių ir statinių;

lygumo.

24. Panašiais vadinami du trikampiai, kurių kampai atitinkamai lygūs ir vieno trikampio kkraštinės proporcingos atitinkamoms kito trikampio kraštinėms.

25. Trikampių panašumo požymiai:

1) Jei vieno trikampio du kampai atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kampams, tai tie trikampiai panašūs.

2) Jei vieno trikampio dvi kraštinės proporcingos kito trikampio dviem kaštinėms ir kampai tarp tų kraštinių lygūs, tai tie trikampiai panašūs.

3) Jei vieno trikampio visos trys kraštinės proporcingos kito trikampio kraštinėms, tai tie trikampiai panašūs.

26. Panašiųjų trikampių panašumo koeficientas yra lygus atitinkamų kraštinių santykiui.

27. Panašiųjų trikampių plotų santykis yra lygus panašumo koeficiento kvadratui.

28. Įbrėžto į trikampį apskritimo centras yra pusiaukampinių susikirtimo taškas.

29. Apibrėžto apie trikampį apskritimo centras yra kraštinių vidurio statmenų susikirtimo taškas.

30. Trikampio ploto formulės:

a) žinant aukštinę: Trikampio plotas lygus jo pagrindo ir aukštinės sandaugos pusei. .

papildome iki lygiagretainio . nes BC – bendra, AB = CD, AC = BD. Todėl . Vadinasi , tai .

Įrodyta.

b) žinant kampą: Trikampio plotas lygus dviejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos pusei.

;

Vadinasi

Įrodyta.

c) žinant visas tris kraštines: Trikampio plotas skaičiuojamas pagal Herono formulę:

.

d) žinant įbrėžtinio apskritimo spindulį r: Trikampio plotas lygus įbrėžtinio apskritimo spindulio ir trikampio pusperimetrio sandaugai: S = pr.

e) žinant apibrėžtinio apskritimo spindulį R: Trikampio plotas lygus .

f) taisyklingojo trikampio ploto formulė: .