Viskas apie skaicius

I Natūralieji skaičiai

Natūraliojo skaičiaus sąvoka atsirado senų senovėje. Sąvoka formavosi laipsniškai, mat veikė praktiniai poreikiai.

Ilgainiui skaičiaus sąvoka tapo abstarkti. Natūralieji skaičiai mums dabar simboliai, ženklai, kurie atspindi įvairius konkrečius tikrovės arba abstrakčius objektus.

Pateikime sąryšio „eina po” savybes:

10. Skaičius 1 eina po jokio natūraliojo skaičiaus.

Taigi skaičius 1 yra pirmasis natūraliųjų skaičių aibės elementas.

20. Kiekvienas natūralusis skaičius, išskyrus 1, eina tik po vieno natūraliojo skaičiaus.

30. Po kiekvieno natūraliojo skaičiaus eina vienintelis natūralusis skaičius.

Sąryšio „eina po” 10 – 30 savybės, vadinamos Peano aksiomomis. IItalų matematikas Džiuzepė Peanas suformulavo populiariausią aksiomų sistemą. Galima savybes suformuluoti šitaip: kiekvienas natūralusis skaičius (išskyrus 1) turi vieną gretimą iš kairės natūralųjį skaičių ir vieną gretimą iš dešinės natūralųjį skaičių, o 1 turi tik gretimą iš dešinės natūralųjį skaičių. Mažiausias natūralusis skaičius yra 1, o didžiausias natūraliojo skaičiaus nėra. Met ir po didelio skaičiaus yra už jį didesnis natūralusis skaičius. Taigi natūraliųjų skaičių aibė yra begalinė.

Natūraliųjų skaičių sudėtis apibrėžiama šitokiomis taisyklėmis:

Jei a ir b yra natūralieji skaičiai, tai: a ++ 1 yra po a einantis skaičius; a + (b + 1) = (a + b) + 1.

Natūraliųjų skaičių daugyba apibrėžiama šitokiomis taisyklėmis:

Jei a ir b natūralieji skaičiai, tai: a * 1 = a; a(b + 1) = ab + aa.

DEŠIMTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA

Teorema. Kad ir kurie būtų natūralieji skaičiai a ir b (a > b), yra vienintelė pora neneigiamų sveikųjų skaičių q ir r, 0 < r < b, su kuriais teisinga lygybė a = bq + r. Lygybėjė skaičius q vadinamas nepilnuoju dalmeniu, gautu dalijant skaičių a iš skaičiaus b, skaičius r vadinamas liekana, gauta dalijant skaičių a iš skaičiaus b. Jei r = 0, tai sakoma, kad skaičius a dalijasi iš skaičiaus b (skaičius a dalus iš skaičiaus b).

NATŪRALIŲJŲ SKAIČIŲ DALUMAS

Natūralusis skaičius a dalijasi is b, kai yra toks natūralusis skaičius k, su kuriuo teisinga lygybė

a = bk. Primename kai kuriuos dalumo požymius.

1. Natūralusis skaičius dalijasi iš 10 tik tada, kai jo paskutinis skaitmuo 0. Pavyzdžiui, skaičiai 1120, 1900, 1990 dalijasi iš 10.

2. Natūralusis skaičius dalijasi iš 5 tik tada, kai jo paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5. Pavyzdžziui, skaičiai 75, 120, 3005 dalijasi iš 5.

3. Natūralusis skaičius dalijasi iš 2 tik tada, kai jo paskutinis skaitmuo yra aibės {0, 2, 4, 6, 8} elementas. Pavyzdžiui, skaičiai 8, 74, 80, 126 dalijasi iš 2.

PIRMINIAI IR SUDĖTINIAI SKAIČIAI

Natūralusis skaičius n, kuris turi tik du daliklius (1 ir n), vadinamas pirminiu. Pirminiai skaičiai yra, pavyzdžiui, 2, 3, 5, 7, 111, 13, . . Kai kurie natūralieji skaičiai turi daugiau kaip du daliklius. Natūralusis skaičius, kuris turi daugiau kaip du daliklius, vadinamas sudėtiniu. Skaičius 1 turi tik vieną daliklį, todėl jis nei pirminis, nei sudėtinis. Kelių skaičių didžiuoju bendruoju dalikliu vadiname didžiausią natūralųjį skaičių, iš kurio dalijasi visi tie skaičiai.

II Racionalieji skaičiai

Žmonija žino natūraliuosius skaičius taip seniai, kad įžymusis vokiečių matematikas L. Kronekeris pasakė: „Dievas sutvėrė natūraliuosius skaičius, visą kitą sukūrė žmogus”.

Kiekvienas sveikasis skaičius, išskyrus nulį, turi tik vieną priešingąjį skaičių. Sveikųjų skaičių daygyba apibrėžiama taisyklėmis:

1. Su kiekvienu sveikuoju a 0 * a = a * 0 = 0.

2. Kai a = -c, b = -d, c, d  N, tai ab = cd.

3. Kai a = c, b = – d, c, d  N, tai ab = – cd.

Teisingos sveikųjų skaičių sudėties savybės:

10. A + b = b +a – sudėties perstatymo savybės;

20. (a + b) + c = a + (b + c) – sudėties jungimo savybės;

30. Jei a + b = a + c, tai b = c; jei b + a = c + a, tai b = c.

Pagrindinės sveikųjų skaičių sąryšio „mažiau” savybės:

10. Jei a, b, c  Z, a < b ir b &< c, tai a < c.

20. Jei a, b,  Z, tai teisingas tik vienas iš trijų teiginių:

a) a < b; b) b < a; c) a = b.

Sveikųjų skaičių sudėtis apibrėžiama 1 – 4 taisyklėmis.

1. Sveikųjų skaičių sudėtis tokia pati, kaip ir natūraliųjų skaičių aibėje N.

2. Su kiekvienu sveikuoju skaičiumi a

a + 0 = 0 + a = a.

3. Kai a = -c, b = -d, c, d  N,

a + b = b + a = -(c + d).

4. Kai a = c, b = -d, c, d  N,

c – d, jei d < c,

a + b = b + a = 0, jei c = d,

-(d – c), jei c < d.

RACIONALIEJI SKAIČIAI

10 savybė vadinama pagrindine trupmenos savybe. Taikant pagrindinę trupmenos savybę, trupmena pakeičiama jai lygia trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis mažesni. Tokį pakeitimą vadiname trupmenos prastinimu. Trupmeną galima suprastinti tada, kai skaitiklis ir vardiklis tarpusavy pirminiai skaičiai, vadiname nesuprastinamąją trupmena. Trupmena, kurios vardiklis yra skaičius, išreikštas vienetu su nuliais (pavyzdžiui, 10, 100, 1000, ir t. t.), vadinama dešimtaine. Dešimtaines trupmenas galima rašyti be vardiklių.

Primename trupmenų bendravardiklinimo schemą, taisykles, kurios taikomos atliekant aritmetinius veikmus su trupmenomis. Norint subendravardiklinti trupmenas, reikia:

1. Rasti trupmenų vardiklių mažiausiąjį bendrąjį kkartotinį.

2. Dalijant mažiausiąjį bndrąjį kartotinį iš kievieno vardiklio, rasti papildomus daugiklius.

3. Kiekvienas trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš atitinkamo daugiklio.

Skaičiai, kuriuos galima išreikšti trupmenomis, vadinami racionaliaisiais skaičiais. Juos žymėsime raidėmis a, b, c, . . Visų racionaliųjų skaičių aibė žymima Q.

RACIONALIŲJŲ SKAIČIŲ REIŠKIMAS PERIODINĖMIS TRUPMENOMIS

Racionaliojo skaičiaus a sveikąja dalimi vadinamas didžiausias sveikasis skaičius u, ne didesnis už a, t. y. [a] = u, kai u < a < u = 1; [a] – skaičiaus a sveikoji dalis. Sveikojo skaičiaus u sveikoji dalis yra pats skaičius u. Racionaliojo skaičiaus a ir jo sveikosios dalies skirtumas a – [a] žymimas {a} ir vadinamas skaičiaus trupmenine dalimi.

III Realieji skaičiai

5 teorema. Nėra racionaliojo skaičiaus, kurio kvadratas lygus 2. Išvada. Skaičius 2 negali būti užrašytas begaline dešimtaine periodine trupmena. Skaičiai, reiškiami begalinėmis dešimtainėmis neperiodinėmis trupmenomis, vadinami iracionaliaisiais skaičiais.

REALIŲJŲ SKAIČIU PALYGINIMAS

Jeigu realiųjų skaičių sveikosios dalys nėra lygios arba vieni jų kuris nors dešimtainis ženklas nėra lygus atitinkamam kito dešimtainiam ženklui, tai jie nelygūs. Jeigu skaičiaus a sveikoji dalis yra didesnė už skaičiaus b sveikąją dalį, tai b < a. Jeigu sveikosios dalys yra lygios, tai didesniu laikomas tas skaičius, kurio didesnis pirmas iš eilės (t. y. į dešinę nuo kabllio) dešimtainis ženklas už atitinkamą kito dešimtainį

ženklą.

6 teorema. n teigiamųjų skaičių aritmetinis vidurkis ne mažesnis už jų geometrinį vidurkį.

7 teorema. Jei dviejų teigiamųjų skaičių suma yra pastovi, tai jų sandauga didžiausia tada ir tik tada, kai tie skaičiai įgyja lygias reikšmes.

8 teorema. Jei dviejų teigiamųjų skaičių sandauga pastovi, tai jų suma bus mažiausia tada ir tik tada, kai tie skaičiai įgis lygias reikšmes.

SKAIČIU VAIZDAVIMAS SKAIČIŲ TIESĖJE

Jei tiesės l taškas M pažymėtas skaičiumi x, tai x vadinamas taško koordinate; žymima M(x). Žinoma, kad kiekvieną realųjį skaičių atitinka vvienintelis koordinačių tiesės taškas ir, atvirkščiai, kiekvienas koordinačių tiesės taškas atitinka vienintelį realųjį skaičių. Todėl realiųjų skaičių aibė dažnai vadinama skaičių tiese. Taigi realiųjų skaičių sutvarkytųjų porų aibę tikslinga vadinti skaičių plokštuma, o bet kurią sutvarkytąją porą – skaičių plokštumos tašku. Skaičių plokštumą žymėsime simboliu R2. Ir šįkart galima vartoti geometrijos terminus.

IV Aibės

AIBIŲ TEORIJOS SĄVOKOS

Aibės sąvoka yra viena iš pirminių, padedanti apibrėžti kitas matematikos sąvokas.

Aibė – tam tikrą savybę turinčių daiktų rinkinys, visuma. Aibę sudarantys daiktai yra vadinami jos eelementais. Dvi aibės yra lygios, kai jos sudarytos iš tų pačių elementų. Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę, sudarytą iš elementų, priklausančių bent vienai iš aibių A arba B.

Aibių pavyzdžiai:

1. Vidurinės mokyklos mokomieji dalykai (aibės elementai – mokomieji ddalykai).

2. Penki didžiausi Lietuvos miestai (elementai – miestai).

3. Abecelės raidės (elementai – raidės).

4. Triženkliai skaičiai (elementai – triženkliai skaičiai).

5. Natūralieji skaičiai (elementai – natūralieji skaičiai).