Dinamika

TAŠKO DINAMIKA

Dinamikos aksiomos.

1. Materialus taškas nejuda arba juda tolygiai ir tiesiaeigiškai, kol atsiranda jėgos, kurios priverčia jį pakeisti šią būseną. Taško savybė išlikti būsenoje vadinama inertiškumu, jo judėjimas, kai neveikia jėgos vadinamas inerciniu.

2. Materialaus taško pagreitis proporcingas tašką veikiančiai jėgai ir nukreiptas jėgos veikimo linkme ( antrasis Niutono dėsnis ) ma=P. Šie dėsniai galioja pastovios masės taškui, judant nejudančios arba judančios tiesiaeigiškai ir tolygiai slenkančios koordinačių sistemos ( inercinės ) atžvilgiu. Kai kintamos masės taškas juda inercinės koordinačių sistemos atžvilgiu, pirmoji aksioma iišreiškiama mv=const. , o antroji . masė yra kūno inertiškumo matas. Masę galima išreikšti m=G/g, čia G – svorio jega.

3. Poveikis ( akcija ) visada lygus atoveikiui ( reakcija ), tai yra dviejų kūnų poveikiai vienas kitam yra vienodo didumo ir priešingai nukreipti.

4. Geometrinės jėgų sudėties taisyklė: Tašką veikiančių dviejų jėgų AB=P1 ir AC=P2 poveikis ekvivalentiškas vienos jėgos AD = R poveikiui, kuri yra lygiagretainio ACBD įstrižainė. Iš antros ir ketvirtos aksiomos: kai tašką veikia kelios jėgos, kiekviena jėga suteikia taškui ttokį pagreitį, kokį ji suteiktų veikdama viena – tai nepriklausomo jėgų veikimo dėsnis. Materialaus taško, kurį veikia kelios jėgos, pagreitis lygus geometrinei sumai pagreičių, kuriuos taškui suteikia kiekviena jėga atskirai – tai jėgų veikimo superpozicijos principas.

Materialaus taško judėjimo dif. llygtys.

Materialaus taško judėjimą aprašo vektorinė dif. lygtis, kai pagreitis a yra 1- oji greičio v ir 2- oji padėties vektoriaus išvestinė: . Ji ekvivalenti trim skaliarinėm dif. lygtim, gaunamom išreiškus vektorių r taško koordinatėmis, o jėgą P – projekcijomis Dekarto sistemos ašyse Px, Py ir Pz.: . Naudojant natūraliąją koordinačių sistemą gaunamos tris dif. lygtys, aprašančios taško judėjimą natūraliosios sistemos atžvilgiu: , čia ir v2/ρ – tangentinė ir normalinė pagreičio projekcijos; PΤ, Pn ir Pb – jėgos P projekcijos trajektorijos liestinėje, svarbiausioje normalėje ir binormalėje. Iš Pb=0 matyti, kad jėga tašką visada veikia glaustinėje plokštumoje. Tiriant suvaržyto taško judėjimą, atmetami jį varžantys ryšiai, ir jie pakeičiami reakcijomis. Dinamikoje vyrauja dvejopi uždaviniai: 1) Žinant taško judėjimo dėsnį, ieškoma jį veikianti jėga –– tai tiesioginis uždavinys; 2) Žinant veikiančią jėgą, ieškomas taško judėjimo dėsnis – tai atvirkštinis, arba pagrindinis uždavinys Pirmu atveju, naudojantis Dekarto sistema , būna žinomas taško judėjimo dėsnis x=x(t), y=y(t), z=z(t) ir taško masė m. Randamos antrosios išvestinės ir apskaičiuojamos veikiančios jėgos projekcijos ašyse. Antruoju atveju žinoma taško masė ir veikianti jėga, priklausanti nuo taško padėties, greičio ir laiko. Nagrinėjant judėjimą Dekarto sistemoje reikia integruoti dif. lygčių sistemą: Suintegravus nustatomas taško judėjimo dėsnis: x=x(t,C1,.,C6), y=y(t,C1,.,C6), z=z(t, C1,.,C6); Čia C1,.,C6 –– integravimo konstantos, nustatomos iš pradinių taško judėjimo sąlygų. Pradines judėjimo sąlygas nusako padėties vektoriaus ir taško greičio reikšmės laiko momentu t=t0. Taigi tiriant taško judėjimą Dekarto sistemos atžvilgiu reikia žinoti taško koordinates x0,y0, z0; ir greičio projekcijas laiko momentu t0. Tai įrašius į aukščiau minėtas lygtis gaunamos 3 lygtys su 6-iomis nežinomomis konstantomis C1, .., C6. 3 trūkstamos lygtys sudaromos radus taško greičio projekcijas: ir įrašius į šias lygtis t0 bei žinomas greičio projekcijas .

D‘Alambero principas.

Jis įrodė, kad, remiantis statikos metodais, galima sudaryti lygtis, kurios sieja jėgas, veikiančias judantį materialų tašką. Tarkim jėga P yra veikiančių jėgų atstojamoji. Pagal antrąjį Niutono dėsnį ma=P. Perkėlus į vieną lygybės pusę P+(-ma)=0, atrodo taip pat, kaip jėgos P ir vektoriaus –ma pusiausvyros lygtis. Vektorius Φ=-ma vadinamas inercijos jėga. Inercijos jėgos didumas lygus taško masės ir pagreičio modulio sandaugai ir kryptis priešinga pagreičio krypčiai. Prie materialų tašką veikiančios jėgos P pridėjus inercijos jėgą Φ,gaunama atsverta jėgų sistema. Lytys P+Φ=0 vadinama dinamine taško pusiausvyros lygtim. Sprendžiant uždavinius inercijos jėgą patogu išskaidyti į komponentus natūraliųjų ašių kryptimis:Φ=Φn+ΦT. Φn-išcentrinė (normalinė) inercijos jėga ΦT-tangentinė inercijos jėga: .

TAŠKO DINAMIKOS TEOREMOS

Judėjimo kiekio teorema.

Teoremos lygtis išvedama iš lygties . Suintegravus gaunama , čia v0-greitis pradiniu momentu t0, v-greitis llaiko momentu t. Integralas vadinamas jėgos impulsu, vektorius mv – taško judėjimo kiekiu.

Materialaus taško judėjimo kiekio pokytis per kurį nors laikotarpį lygus tašką veikiančių jėgų impulsų geometrinei sumai. Taško judėjimo kiekio projekcijos, kurioje nors ašyje pokytis lygus tašką veikiančių jėgų projekcijų toje ašyje sumai: .

Kinetinio momento teorema.

Materialaus taško judėjimo kiekio momentas, kurio nors taško O atžvilgiu: Lo=r×mv vadinama kinetiniu momentu. Vektorius Lo statmenas vektorių r ir mv plokštumai. Materialaus taško kinetinio momento kurio nors nejudamo centro atžvilgiu išvestinė pagal laiką lygi tą tašką veikiančios jėgos momentui to paties centro atžvilgiu: . Materialaus taško kinetinio momento kurios nors ašies atžvilgiu išvestinė pagal laiką lygi tą tašką veikiančios jėgos momentui tos pačios ašies atžvilgiu:

Darbas ir galingumas.

Veikiamas jėgos P taškas C juda trajektorija AB greičiu v, per laikotarpį dt jo poslinkis dr=vdt: dA=Pdr. Kadangi dr modulis lygus trajektorijos lanko diferencialui ds, tai:dA=cos φds. Elementarus jėgos darbas lygus jėgos projekcijos trajektorijoje liestinei ir elementaraus kelio ds sandaugai. Kai jėga veikia besisukantį apie ašį kūną, tai jos veikiamo taško kelias ds=r*dφ, r-taško sukimosi apie ašį spindulys, dφ-kūno posūkio kampas. Taigi Pcosφ*r=M, M-jėgos P momentas ašies atžvilgiu, taigi jėgos P darbas A=∫Mdφ. Naudingumo koeficientas tai naudingo darbo santykis su visu darbu. Mašinos pajėgumas per ttam tikrą laiką atlikti tam tikrą darbą apibūdinamas mašinos galingumu N. Jį galima išreikšti N=dA/dt, o taip pat jėgos ir jos veikiamo taško sandauga: N=P*v. Kai judėjimas sukamas: N=Mω, čia ω – kampinis greitis, M-jėgos P momentas.

Svorio tamprumo, trinties ir traukos jėgų darbas.

Svorio jėgos darbas lygus svorio jėgos didumui, padaugintam iš jos veikiamo taško vertikalaus poslinkio: A=±Gh. Trinties jėgos darbas: tarkime veikiamas jėgos P svorio G kūnas per tam tikrą laiką nuslinko atstumą s. Kadangi normalinė reakcija N=Gcosα nekinta, tai slydimo trinties jėga F= fN pastovi ir A=-Fs. Tarkime veikiamas jėgos P ratas rieda neslysdamas. Tuomet trinties jėgos veikimo taškas yra rato greičių centras, kurio greitis lygus 0. Šiuo atveju F= 0. Rato judėjimui priešinasi jėgų pora G ir N. Šios poros momentas M=kN yra pastovus, čia k-riedėjimo trinties koeficientas. Kadangi poros momento ir posūkio kampo φ kryptys yra priešingos, tai: A=-Mφ=-kNφ. Rato centro greitis v=ωR, bet v=ds/dt ir ω=dφ/dt, todėl rato centro kelias s=Rφ, taigi riedėjimo trinties darbas

Trinties jėgų darbas visada neigiamas.

Tamprumo jėgos darbas. Deformuota spyruoklė prie jos pritvirtintą kūną veikia tamprumo jėga, kurios projekcija ašyje Ox: T=-kx, čia k-standumo koeficientas, x-spyruoklės deformacija. Laikant, kad x1 ir x2 pradinė ir galinė spyruoklės deformacijos, tamprumo jėgos darbas .

Tarkime pradinis tamprumo jėgų didumas T1=kx1 galinis tamprumo jėgos didumas T2=kx2, spyruoklės deformacijos pokytis Δx=x2-x1. Tada .

Traukos jėgų darbas.

Žinoma, kad materialūs taškai traukia vienas kitą vienodo didumo priešingos krypties jėgomis .Šiuo atveju elementarus traukos jėgos darbas . Tarkime, kad taško C atstumas nuo taško A lygus r1, o taško D nuo A lygus r2, tada taškui B pereinant iš C į D traukos jėgos darbas . Kai taškas yra žemės paviršiuje F=mg, r =R, čia R-žemės spindulys. Tuomet gaunama, kkad γm=gR2 ir darbas .

Kinetinės energijos teorema.

Materialaus taško kinetinės energijos pokytis,kokiame nors kelyje lygus tašką veikiančios jėgos darbui tame kelyje.

Dydis mv2/2 vadinamas materialaus taško kinetine energija. Materialaus taško masę, greitį, jėgą ir poslinkį sieja formulė išreiškianti kinetinės energijos teoremą. Elementarus jėgos darbas dA=Pdr, todėl Suintegravus gauname Čia v0 ir v –materialaus taško greitis pradinėje ir galinėje padėtyse, A-jėgos veikiančios tašką darbas, jam pereinant iš pradinės padėties į galinę.

RELIATYVUSIS TAŠKO JUDĖJIMAS

Reliatyvus taško judėjimas.

Taško judėjimo skaičiavimas neinercinės (nekintamai susietos ssu žeme) koordinačių sistemos atžvilgiu: Antrojo Niutono dėsnio formulėje ma=P vektorius a yra taško absoliutus pagreitis lygus keliamojo, reliatyviojo ir Koriolio pagreičių geometrinei sumai. Taigi mak+mar+maC=P arba mar=P+(-mak)+(-maC). Kai masės ir absoliučiojo pagreičio sandauga lygi tašką veikiančiai jėgai, masės ir rreliatyviojo pagreičio sandauga lygi tašką veikiančiai jėgai geometriškai sudėtai su vektoriais –mak ir -maC. Vektoriai Φk=-mak-tai keliamoji inercijos jėga, ΦC=-maC –Koriolio inercijos jėga. Vadinasi taško reliatyviojo judėjimo neinercinės sistemos atžvilgiu lygtis mar=P+Φk+ΦC . Reliatyviojo judėjimo kiekio teorema išreikšta lygtimi: . Kadangi Koriolio pagreitis aC=2ω×vr –tai Koriolio inercijos jėga ΦC=-2mω×vr. Reliatyviajam judėjime kinetinės energijos teorema išreiškiama , čia Ap-veikiančios jėgos P darbas, kai judėjimas reliatyvus, Ak-keliamos inercijos jėgos darbas tame pačiame judėjime. Atskiri atvejai: 1-judančios ašys nesisuka, ω=0 ir Φc=0, tada mar=P+Φk; 2-judančios ašys slenka tolygiai ir tiesiaeigiškai, ω=0, ak=0, ΦC=Φk=0, mar=P, iš čia galime padaryt išvadą, kad jokiais mechaniniais eksperimentais negalime susekti, ar koordinačių sistema yra ramybėje, ar slenka tolygiai ir tiesiaeigiškai – tai Galilėjaus klasikinės mechanikos reliatyvumo principas; 3-materialaus ttaško, kuris judančių ašių atžvilgiu yra ramybėje vr=0, ar=0 – šiuo atveju ΦC=0, tada P+Φk=0.

MATERIALAUS TAŠKO VIRPESIAI

Virpesiai būna: neslopinamieji ir slopinamieji. Neslopinamieji skirstomi:laisvuosius (savuosius) –kai materialus taškas virpa veikiamas tik savo svorio ir tamprumo jėgų . Jų dif. lygtis: čia G-mat.taško svorio fėga, k-tamprumo koef. x-kūno poslinkis, δ-deformacijos dydis. Ciklinis virpesių dažnis- . Kūno nukrypimo nuo pusiausvyros padėties dif. lygtis ,jos sprendinys x=a sin(ωt+α), čia a-integravimo konstantos.Dydis a lygus didžiausiam kūno nukrypimui nuo pusiausvyros padėties vadinamas virpesių amplitude, kampas ωωt+α – virpesių fazė, α-paleidimo fazė. Dydis ƒ=ω/2π- dažnis.

Kai kūno poslinkiai išreiškiami sinuso funkcija –virpesiai vadinami hormoniniais. Dydis τ=2π/ω –funkcijos x(t) periodas, vadinamas harmoninių virpesių periodu.

Vykstant neslopinamiems priverstiniams virpesiams, tašką be svorio G ir tamprumo T jėgų veikia per laiką kintanti žadinančioji jėga P‘. Taško virpesių dif. lygtis . Kai žadinančiosios jėgos dažnis artėja prie taško virpesių savojo dažnio, vyksta reiškinys vadinamas rezonansu – priverstinių virpesių amplitudė neaprėžtai didėja.

Slopinamieji laisvieji taško virpesiai – slopsta dėl trinties jėgų, skirstomi pagal trinties pobūdį (klampioji trint., sausoji ir vidinė). Esant klampiai trint. Kūno judėjimo dif. lygtis: , čia c-klampaus slopinimo koeficientas. k(x+δ)=T –tamprumo jėga.

Priverstiniai slopinamieji taško virpesiai – kai veikia svorio, tamprumo, klampiosios trinties ir žadinančioji jėga. Šiuo atveju virpesių dif. Lygtis: , p-žadinančios jėgos ciklinis dažnis.

MECHANINĖS SISTEMOS DINAMIKA

Mechaninė sistema

Mechaninė sistema. Jos judėjimo dif. lygtys.

Materialių taškų sistema – tai visuma taškų, kurių judėjimas priklauso vienas nuo kito. Kūnus veikiančios jėgos skirstomos į išorines (taškų sistema veikia nepriklausantys tai sistemai taškai) ir vidines (jėgos kuriomis sistemos taškai veikia vienas kitą). Vidinių jėgų savybės: 1-visų vidinių jėgų geometrinė suma lygi nuliui; 2-visų vidinių jėgų momentų laisvai pasirinkto taško atžvilgiu geometrinė suma lygi nuliui. Laisvai pasirinkto taško dif. lygtis , čia mk-materialaus taško kk masė, rk-to taško padėties vektorius, Pki-tašką k veikiančių jėgų atstojamoji, Pkv-veikiančių vidinių jėgų atstojamoji. Projektuojant į koordinačių ašis gaunama: ir t.t.

Inercijos centro judėjimo teorema.

Inercijos arba masės centru vadinamas taškas, kurio padėties vektorius rC=Σmkrk/m. Judant taškų sistemai, vektoriai rk ir rC per laiką kinta diferencijuojant vektorių rC, gaunama . Vektorius , yra-inercijos centro pagreitis, o vektorius lygus tašką veikiančių jėgų atstojamajai susidedančiai iš išorinių jėgų atstojamosios Pki ir vidinių jėgų atstojamosios Pkv. Kadangi ΣPkv=0, tai =ΣPki=R, R-atstojamoji. Vadinasi maC=R. Išvada: inercijos centras juda kaip materialus taškas, kurio masė lygi taškų sistemos masei ir kurį veikia jėga, lygi visus sistemos taškus veikiančių išorinių jėgų geometrinei sumai – tai inercijos centro judėjimo teorema.

D‘Alambero principas mechaninei sistemai

Jo principas mechaninei sistemai: prie sistemos taškus veikiančių jėgų pridėjus inercijos jėgas, gaunama atsverta jėgų sistema ΣPki+ΣPkv+ΣΦk=0, čia -inercijos jėga. Padauginus iš materialaus taško padėties vektoriaus rk gaunama kad vidinių jėgų momentų suma lygi nuliui. Tuo remiantis: ΣPki+ΣΦk=0 ir Σ(rk×Pki)+Σ(rk×Φk)=0, gautoje formulėje ΣPki –išorinių aktyvių jėgų ir reakcijos jėgų geometrinė suma, o Σ(rk×Φk) –tų pačių jėgų momentų laisvai pasirinkto centro atžvilgiu geometrinė suma.

Mechaninės sistemos dinamikos teoremos

Sistemos judėjimo kiekis, kinetinis momentas ir kinetinė energija

Sistemos taškų judėjimo kiekiai mkvk sudaro bet kaip erdvėje išdėstytų vektorių sistemą, kkuri ekvivalentiška suminiam vektoriui K=Σmkvk pridėtam laisvai pasirinktame centre O ir suminiam momentui L0=Σ(rk×mkvk). Vektorius K –sistemos judėjimo kiekis, Lo-sistemos kinetinis momentas centro O atžvilgiu. Sistemos judėjimo kiekis lygus inercijos judėjimo kiekiui: K=mvC.

Materialių taškų sistemos kinetinis momentas laisvai pasirinkto nejudamo taško O atžvilgiu susideda iš dviejų komponentų: iš inercijos centro kinetinio momento taško O atžvilgiu ir sistemos kinetinio momento jos inercijos centro C atžvilgiu. Lo=rC×mvC+LC.

Materialių taškų sistemos kinetinė energija – dydis lygus sistemos taškų kinetinių energijų sumai: . Sistemos kinetinė energija susideda iš dviejų dalių: iš masės centro kinetinės energijos ir tos kinetinės energijos, kurią sistema turi, judėdama atžvilgiu koordinačių ašių, slenkančių drauge su inercijos centru: -tai Kenigo teorema.

Mechaninės sistemos judėjimo kiekio teorema

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis per kurį nors laikotarpį lygus sistemą veikiančių jėgų impulsų geometrinei sumai: K ir Ko-sistemos judėjimo kiekiai galiniu ir pradiniu judėjimo momentais, Pt –jėgos impulsas.

Sistemos kinetinio momento teorema

Kadangi sistemos taškų kinetinių momentų geometrinė suma lygi sistemos kinetiniam momentui: Lo=ΣLo(mkvk), tai gaunama dLo/dt=ΣMo(Pi) –tai sistemos kinetinio momento teorema: sistemos kinetinio momento kurio nors nejudamo centro atžvilgiu išvestinė laiko atžvilgiu lygi sistemą veikiančių išorinių jėgų momentų to paties centro atžvilgiu geometrinei sumai. Mo(Pi) –i-tosios jėgos momentas centro O atžvilgiu. Kita kinetinio momento teoremos

išraiška , čia Lo ir L –sistemos kinetinio momento pradinės ir galinės reikšmės. Savybės: kai išorinių jėgų momentų kurios nors ašies atžvilgiu suma lygi nuliui, sistemos kinetinis momentas tos ašies atžvilgiu yra pastovus.

Sistemos kinetinės energijos teorema

Sistemos kinetinės energijos pokytis, pasislinkus sistemai iš pradinės į galinę padėtį, lygus atliktų per šį poslinkį išorinių ir vidinių jėgų darbų sumai:T-To=ΣAi+ΣAv, čia -sistemos kinetinės energijos reikšmė pradinėje padėtyje, -galinėje padėtyje.

KŪNO SLINKIMO IR SUKIMOSI DINAMIKA

Slenkamojo judėjimo dinamika

Tiriant kūno slinkimą galima tirti jo iinercijos centro judėjimą pagal taško dinamikos taisykles .

Kūno sukimosi diferencialinė lygtis

Tarkime taškas A yra bet kuris besisukančio apie ašį Oz kūno taškas turintis masę dm, greitį v, pagreitį suskaidytą į komponentes an, aT. Pagal D‘Alambero principą kūną veikiančios išorinės jėgos P1, P2,.,Pn, guolių reakcijos R1, R2 ir inercijos jėgos dΦn=-andm bei dΦT=-aTdm yra pusiausvyros. Šių jėgų momentų ašies Oz atžvilgiu suma lygi nuliui. Išvardintų jėgų pusiausvyros lygtis: M-∫rdΦτ =0, čia M –išorinių jėgų momentų ašies atžvilgiu suma, r-atstumas nuo aašies iki taško A. Taško A tangentinis pagreitis aτ=εr, čia ε –kūno sukimosi kampinis pagreitis. Kadangi dΦτ =εrdm, tai: M -ε∫r2dm=0. Integralas J=∫r2dm, vadinamas kūno inercijos momentų sukimosi ašies atžvilgiu. Prie veikiančių išorinių jėgų momento M pridėję momentą –εJ gaunama llygtis M-εJ=0. Momentas –εJ vadinamas inercinės poros momentu. Lygtis εJ=M, vadinama kūno sukimosi apie nejudamą ašį dif. lygtimi. Kūno inercijos momento sukimosi ašies atžvilgiu ir kampinio pagreičio sandauga lygi sukimo momentui. Inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu yra kūno inertiškumo matas.

Heigenso teorema

Kūno inercijos momentas J kurios nors ašies atžvilgiu lygus jo inercijos momentui JC atžvilgiu ašies, lygiagrečios su duotąja ir einančios per kūno svorio centrą , ir kūno masės m bei atstumo tarp ašių l kvadrato sandaugos sumai: J=JC+ml2.

Besisukančio kūno kinetinio momento teorema

Tarkime, kad vienalytis kūnas sukasi apie simetrijos ašį Oz. Tuomet kūno kinetinis momentas šios ašies atžvilgiu Lz=ωJz šiuo atveju kinetinio momento teoremos formulė: , čia ω0 ir ω pradinė ir galinė kampinio greičio reikšmės; M-sukimo momentas; J-kūno inercijos momentas.

Besisukančio kkūno kinetinės energijos teorema

Besisukančio apie ašį kūno kinetinė energija lygi elementarių kūno dalių kinetinių energijų sumai. Kadangi v=ωR, tai . Integralas lygus kūno inercijos momentui J sukimosi ašies atžvilgiu, tai besisukančio kūno kinetinė energija . Sistemos kinetinė energijos teorema išreiškiama T-T0=A, tai besisukančiam kūnui galima parašyti: .

KŪNO PLOKŠČIOJO JUDĖJIMO DINAMIKA

Kūno plokščiojo judėjimo diferencialinės lygtys

Plokščiai judančio kūno dinaminės lygtys: R-maC=0, MC=εJC=0, kadangi vektoriai MC ir ε yra tos pačios krypties, tai šios vektorinės lygtys ekvivalentiškos trims skaliarinėms kūno plokščiojo judėjimo ddif. lygtims: . Čia -svorio (masės) centro pagreičio aC projekcijos nejudamose koordinačių ašyse Ox ir Oy; Rx ir Ry – kūną veikiančių išorinių jėgų projekcijų tose ašyse sumos; MC-jėgų momentų svorio centro atžvilgiu suma. Iš lygčių matyti, kad kūno svorio centras juda taip lyg jį veiktų jėgos Rx ir Ry.Momentas MC-masės centro judėjimui įtakos neturi. Tai plokščiai judančio kūno slinkimo ir sukimosi tarpusavio nepriklausomumo principas.

Plokščiai judančio kūno kinetinio momento teorema

Taškų sistemos kinetinis momentas randamas iš formulės L0=rC×mvC+LC, čia rC-padėties vektorius, einantis iš taško O į inercijos centrą; vC-inercijos centro greitis; LC-sistemos kinetinis momentas einančios per inercijos centrą ašies atžvilgiu; m-taškų sistemos masė. Plokščiąjį kūno judėjimą galima išskaidyti į slinkimą ir sukimąsi apie ašį einančią per kūno svorio centrą. Vektorius rC×mvC-yra slenkančio kūno kinetinis momentas pasirinkto taško O atžvilgiu. Besisukančio apie nejudamą ašį kūno kinetinis momentas L=ωJ. Vadinasi plokščiai judančio kūno kinetinis momentas L0=rC×mvC+ωJC.

Plokščiai judančio kūno kinetinės energijos teorema

Materialių taškų sistemos kinetinė energija lygi , TC-sistemos kinetinė energija, kurią ji turi judėdama atžvilgiu koordinačių ašių, slenkančių drauge su inercijos centru. Kadangi plokščiąjį judėjimą galima išskaidyti į slinkimą ir sukimąsi apie ašį einančią per kūno svorio centrą, tai slenkančio kūno kinetinė energija mv2C/2, o TC-besisukančio apie ašį kūno kinetinė energija ir plokščiai jjudančio kūno kinetinė energija .

ANALIZINĖS MECHANIKOS ELEMENTAI

Potencinis jėgų laukas. Potencinė energija

Erdvės dalis vadinama jėgų lauku jei joje esančius materialius taškus veikia jėgos priklausančios tik nuo tų taškų padėčių. Vienareikšmė koordinačių funkcija U=U(x,y,z) vadinama jėgos funkcija arba jėgos potencialu. Jėgų laukas vadinamas potenciniu, jei lauko jėgos darbas nepriklauso nuo jėgos veikimo taško trajektorijos ir priklauso nuo pradinės ir galutinės taško padėties.Šios jėgos vadinamos potencinėmis arba konservatyviosiomis, o jų veikiama materialių taškų sistema konservatyviąja. Potencinės jėgos darbas: , čia U1=U(x1,y1,z1) ir U2=U(x2,y2,z2) –Jėgos potencialo reikšmės lauko taškuose M1 ir M2 potencinės jėgos darbas lygus jėgos potencialo reikšmių galutiniame ir pradiniame kelio taškuose skirtumui ir nepriklauso nuo judančio taško trajektorijos.

Materialaus taško potencinė energija Π=Π(x,y,z) –vadinamas lauko jėgos darbas, kurį ji atlieka taškui pereinant iš vienos padėties į kitą, kurioje jo potencialas laikomas lygus laisvai pasirinktai konstantai U0. Π=U0-U. U0 ir U –potencialo reikšmės pradiniame ir galiniame taškuose.

Svorio, tamprumo ir traukos jėgų potencialai

Paėmus konstantą C=0 svorio jėgos potencialas: U=-mgz. Svorio jėgos veikiamo materialaus taško potencinė energija Π=mgz. Išvedant šias formules laikoma, kad U=- Π=0,kai z=0. Tamprumo jėgos potencialas U=-kx2/2. spyruoklės potencinė energija Π=kx2/2. Išvedant šias formules laikoma, kad U=- Π=0,kai x=0. Traukos jėgos potencialas: . Materialaus taško potencinė energija , γ-traukos konstanta.

Mechaninės energijos tvermės ddėsnis

Materialių taškų sistemos kinetinės ir potencinės energijų suma, sistemai darant bet kokį poslinkį, yra pastovi: T1+Π1=T2+Π2 – tai mechaninės energijos tvermės dėsnis. Kinetinės ir potencinės energijų suma vadinama mechanine energija.

Virtualieji poslinkiai ir idealūs ryšiai

Virtualiuoju, arba galimu materialaus taško poslinkiu vadinamas toks nykstamas poslinkis, kuriam netrukdo taško judėjimą varžantys ryšiai. Darbas, kurį jėga atlieka veikimo taško virtualiame poslinkyje, vadinamas virtuliuoju darbu. Ryšiai vadinami idealiais, jei materialių taškų sistema veikiančių reakcijos jėgų darbų suma lygi nuliui (ryšiai,kuriuose nėra trinties yra idealūs)

Kiti ryšių tipai: apribojantys vien taškų padėtį erdvėje vadinami geometriniais (holonominiai), o apribojantys ne tik padėtį,bet ir greičius – kinematiniai (neholonominiai). Per laiką nekintantys ryšiai vadinami stacionariais, o kintantys nestacionariais. Jei judanti taškų sistema negali nuo ryšio atsiskirti, tokie ryšiai vadinami sulaikančiais.

Virtualiųjų poslinkių principas

Jeigu idealiais, stacionariais ir sulaikančiais ryšiais suvaržyta materialių taškų sistema yra pusiausvyra, tai ją veikiančių aktyviųjų jėgų virtualių darbų suma lygi nuliui. Teisingas ir atvirkščias teiginys: jei idealiais, stacionariais ir sulaikančiais ryšiais suvaržytą materialių taškų sistemą veikiančių aktyvių jėgų virtualių darbų suma lygi nuliui, tai tokia taškų sistema yra pusiausvyra.

Įrodymas: tarkim, kad taško k (k=1,2,.) virtualus poslinkis yra δrk, šį tašką veikiančių reakcijos jėgų atstojamoji Nk ir aktyvių jėgų atstojamoji Pk. Šios jėgos yra pusiausvyros ir ryšys sulaikantysis

(Nk≠0),tai Nk+Pk=0. Padauginus abi puses iš δrk ir visas lygybes sudėjus gaunama ,

kadangi sistemos judėjimą varžo idealūs ryšiai, tai reakcijos jėgų virtualių darbų suma lygi nuliui: . Palyginus šias lygybes matoma, kad sistemą veikiančių aktyvių jėgų virtualių darbų suma lygi nuliu .

Pusiausvyros stabilumas

Galimi trys pusiausvyros tipai: pastovi (stabili), nepastovi (nestabili) ir beskirtė (neutrali). Svorio jėgos veikiamo kūno pusiausvyra yra stabili, kai jos svorio centras yra žemiausioje iš visų galimų padėčių ir atvirkščiai. Apie pusiausvyros pobūdį galime spręsti iš potencinės energijos. KKai pusiausvyra nestabili potencinė energija yra maksimali, kai pusiausvyra stabili – minimali, kai neutrali – pastovi. Sakykime, kūno padėtį apibrėžia koordinatė q ir kūno potencinė energija Π=Π(q). Kai: kūno potencinė energija minimali, o pusiausvyra stabili; kai kūno potencinė energija maximali, o pusiausvyra nestabili; kai kūno potencinė energija nei max. nei min., o pusiausvyra neutrali.

Bendroji dinamikos lygtis

Pasinaudoję D‘Alambero ir virtualiųjų poslinkių principais sukuriamas bendras ir efektyvus dinamikos uždavinių sprendimo metodas. Sakykime, kad materialių taškų sistemos judėjimą riboja stacionariniai holonominiai sulaikantieji idealūs rryšiai. Šios sistemos bet kurio taško k masė mk, virtualus poslinkis δrk, Šį tašką veikiančių reakcijos jėgų atstojamoji Nk, aktyvių jėgų atstojamoji Pk ir taško inercijos jėga Φk=-mkak. Tarkime, kad šios jėgos yra pusiausvyros. Tuomet taikydami virtualiųjų poslinkių principą gausime llygtį vadinama bendrąja arba simboline dinamikos lygtimi. (D‘Alambero ir Lagranžo lygtis). Apskaičiavus skaliarines sandaugas Pk*δrk ir ak*δrk gausime kito pavidalo bendrąją dinamikos lygtį: . Šioje lygtyje taško pagreičio projekcijos koordinačių ašyse yra Gautosios lygtys išreiškia D‘Alambero ir Lagranžo principą: kai materialių taškų sistemos judėjimą riboja stacionariniai holonominiai idealūs sulaikantieji ryšiai, aktyviųjų ir inercijos jėgų virtualiųjų darbų suma lygi nuliui.