Kiekybiniai sprendimai vadyboje

TURINYS

ĮVADAS

……………………..

…………..3

1. KORELIACINĖS ANALIZĖS SU KIEKVIENU X1, ., Xn ATLIKIMAS ….4

2. PORINĖ REGRESINĖ ANALIZĖ

…………………….

3. DAUGIANARĖ REGRESIJA

…………………….

..10

4. GAUTŲ REZULTATŲ APRAŠYMAS

………………….13

5. TYRIMO REZULTATŲ PRAKTINIS TAIKYMAS

…………..13

6. PROGNOZAVIMAS

…………………….

…….16

7. GAMYBOS PLANAVIMO UŽDAVINYS

……………….19

7.1. Gamybos planavimo uždavinio sudarymas ir išsprendimas

………..19

7.2. Dualus uždavinys

……………………..

……..21

7.3. Išteklių „šešėlinės“ kainos ir gautų rezultatų aprašymas

…………23

8. TRANSPORTO UŽDAVINYS

…………………….

…23

LITERATŪRA

……………………..

………..28

ĮVADAS

Vienas svarbiausių statistikos uždavinių yra ryšių tarp reiškinių

tyrimas. Šiame kursiniame darbe susidursime su išlaidomis, pabandysime

nuspręsti, kokią įtaką išlaidoms statybinėms medžiagoms turi išlaidos

statybinių medžiagų transportavimui, įrengimų nuomai, statybininkų darbo

užmokestis, išlaidos projektavimo darbams, komunaliniam ūkiui.

Mano darbo tikslai:

1. Nustatyti, ar egzistuoja stochastinis ryšys tarp nagrinėjamų veiksnių:

išlaidų statybinėms medžiagoms (Y), išlaidų statybinių medžiagų

transportavimui (X1), išlaidų įrengimų nuomai (X2), statybininkų darbo

užmokesčio (X3), išlaidų projektavimui (X4) ir išlaidų komunaliniam

ūkiui (X5);

2. Nustatyti ryšių stiprumus, formas, bei analitines išraiškas;

3. Nustatyti ryšių stiprumą tarp išlaidų statybinėms medžiagoms per

pusmetį ir reikšmingiausių veiksnių, bei rasti tų ryšių formas ir

analitines išraiškas.

Šio darbo uždaviniai:

1. Atlikti koreliacinę analizę y su kiekvienu X1, X2, X3,X4 ir X5;

2. Atrinkti X1, X2, X3, X4, X5 regresinei analizei atlikti;

3. Atlikti pporinę regresinę analizę Y su kiekvienu reikšmingu X1, .,

Xm;

4. Atlikti daugianarę koreliacinę regresinę analizę Y su X1,., Xm

naudojant LINEST, LOGEST, TREND, GROWTH funkcijas;

5. Aprašyti gautus rezultatus;

6. Pateikti tyrimo rezultatų taikymo pavyzdžius.

7. Atlikti prognozę slenkančio vidurkio ir eksponentinio išlyginimo

metodais, apskaičiuoti vidutines kvadratines paklaidas.

8. Sudaryti ir ištirti gamybos planavimo uždavinį:

a. sudaryti ir išspręsti grafiškai bei EXCEL pagalba gamybos

planavimo uždavinį (m ≥ 3, n = 2);

b. atrinkti du apribojimus ir sudaryti bei išspręsti dualų

uždavinį;

c. nustatyti išteklių „šešėlines“ kainas ir aprašyti gautus

rezultatus.

9. Sudaryti ir išspręsti transporto uždavinį (m = 3, n = 4).

1. KORELIACINĖS ANALIZĖS SU KIEKVIENU X1, ., Xn ATLIKIMAS

Ekonominių procesų tyrimuose dažnai tenka nustatyti dviejų kkintamųjų –

Y, vadinamo priklausomu kintamuoju (pasekme), ir X, vadinamo nepriklausomu

kintamuoju (priežastimi) – tarpusavio sąveiką – ryšį. Esant koreliaciniam

ryšiui, nepriklausomojo kintamojo kitimas veikia tik priklausomo kintamojo

vidutines reikšmes. Norėdama atlikti koreliacinę analizę, pasirenku X ir Y:

Y – išlaidos statybinėms medžiagoms,

X1 – išlaidos statybinių medžiagų transportavimui;

X2 – išlaidos įrengimų nuomai;

X3 – statybininkų darbo užmokestis;

X4 – išlaidos projektavimo darbams;

X5 – išlaidos komunaliniam ūkiui.

Atlikdama koreliacinę analizę, skaičiavimams naudosiu vidurkį,

dispersiją bei kvadratinį nuokrypį:

Vidurkis – tai visų stebėtų skaitinių duomenų suma, padalinta iš

duomenų skaičiaus. Jis aapskaičiuojamas pagal formulę:

[pic]= ΣXi /n

n – stebėtų duomenų suma

arba naudojantis MS EXCEL funkcija AVERAGE.

Dispersija – tai išsibarstymo apie vidurkį matas.

S2 = (xi –X)2 / n

Dispersija gali būti apskaičiuota ir supaprastintu būdu:

[pic]

arba naudojantis MS EXCEL funkcija VAR.

Vidutinis kvadratinis nuokrypis – tai kvadratinė šaknis iš

dispersijos. Jis parodo, kiek vidutiniškai požymio reikšmės yra nutolusios

nuo vidurkio. Vidutinis kvadratinis nuokrypis apskaičiuojamas:

[pic]arba naudojantis MS EXCEL funkcija STDEV.

Lentelėje pateikiau duomenis su kuriais atliksiu analizę:

|Eil. Nr. |Y |X1 |X2 |X3 |X4 |X5 |

| |dos |dos |dos |binink|dos |dos |

| |goms, |gų |, |stis, |s, |tūkst.|

| |Lt) |ortavi|Lt) |Lt) |Lt) | |

| | |mui, | | | | |

| | |Lt) | | | | |

|1 |500 |250 |100 |350 |150 |300 |

|2 |360 |315 |200 |150 |200 |150 |

|3 |470 |215 |150 |360 |260 |450 |

|4 |250 |70 |80 |190 |80 |180 |

|5 |150 |150 |90 |50 |90 |90 |

|6 |330 |200 |100 |100 |200 |200 |

|7 |620 |360 |180 |350 |400 |220 |

|8 |440 |270 |150 |300 |200 |370 |

|9 |510 |250 |350 |250 |300 |110 |

|10 |280 |255 |160 |90 |100 |200 |

|Suma |3910 |2335 |1560 |2190 |1980 |2270 |

|Vidurkis |391 |233,5 |156 |219 |198 |227 |

|Kvadratinis |142,24|81,753|79,330|118,64|101,41|114,31|

|nuokrypis | |36 |53 |51 |22 |44 |

|Dispersija |20232,|6683,6|6293,3|14076,|10284,|13067,|

| |22 |11 |33 |67 |44 |78 |

Iš apskaičiuotų duomenų pastebime, kad didžiausia vidutinė išlaidų

dalis tenka statybininkų darbo užmokesčiui, o mažiausia – įrengimų nuomai.

Norint atrinkti reikšmingus x regresinei analizei atlikti, reikia

atlikti koreliacinę analizę. Koreliacija atsako į klausimą, ar yra ryšys

tarp požymių, kokia jo kryptis ir stiprumas. Pirma apskaičiuoju

koreliacijos koeficientą r pagal fomulę:

[pic]

Koreliacijos koeficientą galima apskaičiuoti ir MS EXCEL funkcija

CORREL.

Koreliacijos koeficientas r gali įgyti reikšmes nuo –1 iki +1. Jei

rx,y>0, tai egzistuoja teigiamas koreliacinis ryšys ir reiškia, kad

didėjant X, didėja ir Y. Kai rx,y<0, egzistuoja neigiamas koreliacinis

ryšys ir X didėjant, Y mažėja. Kai │rx,y │= 1, egzistuoja tiesinė funkcinė

priklausomybė ir visų stebėjimų reikšmės sutampa su tiesės linija.

Pagal atliktus skaičiavimus, pateiktus žemiau, matome, kad ryšys tarp

X ir Y yra tiesioginis ir varijuoja nuo vidutiniško iki stipraus, nes r >

|CORREL |0,7010|0,4917|0,8665|0,8590|0,4354|

| |02 |49 |12 |1 |91 |

|Koreliacija |0,7010|0,4917|0,8665|0,8590|0,4354|

| |02 |49 |12 |1 |91 |

Koreliacijos koeficiento r reikšmingumui įvertinti naudojamas

Stjudento kriterijus tkr (lentelinis arba MS EXCEL funkcijos TINV pagalba,

pasirenkant reikšmingumo lygmenį α = 0,05 ir k – laisvės laipsnį, k = n –

2.), kuris lyginamas su stebimąja kriterijaus reikšme. Stebimąją

kriterijaus reikšmę apskaičiuoju pagal formulę:

[pic]

Jei tst ≥ tkr, tai darome išvadą, kad koreliacijos koeficientas

reikšmingas ir stochastinis ryšys (stochastinis ryšys pasireiškia kaip

priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių taip, jog vieno dydžio pokytis

veikia kito dydžio pasiskirstymą) egzistuoja. Jei tstFkr. Tuo remiantis, darau išvadą, kad šių kintamųjų regresijos

kreivės atitinka adekvačią realią padėtį, o tai reiškia, jog toliau galiu

jas taikyti planavime ir prognozavime.

Nubraižau Y ir X1, Y ir X3, Y ir X4 priklausomybes. Naudodamasi MS

EXCEL komanda „add tredline“, nubraižau regresijos kreives, kurios yra

naudojamos prognozėms.

[pic][pic]

[pic]

3. DAUGIANARĖ REGRESIJA

Nagrinėjant realius ekonominius procesus, dažnai neužtenka vienmatės

regresijos modelio ir reikia nustatyti Y priklausomybę nuo kelių

nepriklausomųjų kintamųjų. Tokia regresija vadinama daugianare. Šios

regresinės analizės metu nustatomas bendro ryšio tarp išlaidų statybinėms

medžiagoms (Y) ir visų pasirinktų veiksnių X1 (išlaidų statybinių medžiagų

transportavimui), X3 (statybininkų darbo užmokesčio), X4 (išlaidų

projektavimo darbams) kartu egzistavimas ir jo analitinė išraiška.

Tiesinė regresija su m nepriklausomųjų turi tokią išraišką:

Yi = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + .+amxm

Eksponentinė regresija su m nepriklausomųjų turi tokią išraišką:

[pic]

Mano darbe tiesinė regresijos lygtis yra tokia: Yi = a0 + a1x1 + a2x3 +

a3x4, o eksponentinė regresijos lygtis atrodo taip: [pic]

Norėdama rasti a0, a1, a2, a3 ir b0, b1, b2, b3 kreivių koeficientus,

naudoju MS EXCEL funkcijas LINEST (tiesinei regresijai) ir LOGEST

(eksponentinei

regresijai). Gaunamos šios lentelės:

|0,4938|0,6688|0,41702|49,371|

|28 |38 |39 |55 |

|0,1986|0,1330|0,21179|39,350|

|38 |18 |28 |39 |

|0,9538|37,411|#N/A |#N/A |

|82 |29 | | |

|41,367|6 |#N/A |#N/A |

|02 | | | |

|173692|8397,6|#N/A |#N/A |

|,4 |27 | | |

|1,0010|1,0020|1,00148|133,64|

|31 |67 |09 |17 |

|0,0009|0,0006|0,00100|0,1858|

|38 |28 |04 |73 |

|0,8832|0,1767|#N/A |#N/A |

|66 |13 | | |

|19,814|6 |#N/A |#N/A |

|623 | | | |

|1,4176|0,1873|#N/A |#N/A |

|9 |65 | | |

Šių lentelių pirmose eilutėse (iš dešinės į kairę) yra a0, a1, a2, a3 ir

b0, b1, b2, b3.

Tiesinė rregresijos lygtis: ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838X3+0,493828X4

Eksponentinė regresijos lygtis:

ŷ=133,6417*1,0014809X1*1,002067X3*1,001031X4

Iš pirmos lentelės eilutės randu regresijos lygties koeficientus.

Antroje lentelės eilutėje yra šių koeficientų vidutiniai standartiniai

nuokrypiai. Pirmo lentelės stulpelio trečioje eilutėje yra determinacijos

koeficientas D. Pirmo lentelės stulpelio ketvirtoje eilutėje – dispersijos

santykis F. Paskutinėje lentelės eilutėje pateikiamos kvadratų sumos, kurių

reikia skaičiuojant regresijos bei likutines dispersijas (pirmame

stulpelyje yra regresijos dispersijos kvadratų suma, o antrame likutinės

dispersijos kvadratų suma). Virš likutinės dispersijos kvadratų sumos (

2st, 4eil.) yra šios dispersijos laisvės laipsnis. Kritinę statistikos F

reikšmę randu funkcijos FINV pagalba, kurios reikia lyginant dispersijos

santykį.

Norėdama įvertinti gautos analitinės išraiškos adekvatumą realiai

padėčiai, turiu palyginti lentelinį Fišerio santykį su statistiniu. Jei

statistinis santykis didesnis už lentelinį, tai regresijos lygtis yra

adekvati realiai padėčiai.

Fišerio santykis: [pic]

Norėdama jį apskaičiuoti, turiu rasti regresijos ir likutinę

dispersijas tiesinei regersijai iir eksponentinei regresijai). Apskaičiuoju

dispersijas šių formulių pagalba:

[pic] = [pic](k=3, k – reikšmingų veiksnių skaičius)

[pic]

|TIESINI| | |

|S | | |

|Ŷ |S²ŷ |Slikut |

|461,794|5011,924|1459,625|

|9 |9 |9 |

|379,825|124,8743|393,0417|

|3 |3 |8 |

|508,208|13737,83|1459,891|

|5 |8 |2 |

|245,148|21272,61|23,53568|

|6 |9 |1 |

|189,811|40476,80|1584,956|

|5 |9 |3 |

|298,425|8570,013|996,9406|

|6 |4 |3 |

|631,124|57659,75|123,7536|

|5 |8 |7 |

|461,384|4954,034|457,3141|

|9 |8 |5 |

|468,985|6081,704|1682,207|

|3 | |2 |

|265,290|15802,79|216,3601|

|8 |9 |4 |

|Suma |173692,3|8397,626|

| |7 |6 |

| |57897,45|1399,604|

| |8 |4 |

|EKSPONENTINIS| | |

|Ŷ |S²ŷ |Slikut |

|465,2069605 |5506,673|1210,555601|

|356,8149069 |1168,620|10,14481818|

| |6 | |

|505,0856256 |13015,53|1231,001122|

|238,3071679 |23315,10|136,7223236|

| |1 | |

|202,9903527 |35347,62|2807,977481|

| |7 | |

|271,4528148 |14291,52|3427,772893|

| |9 | |

|708,3706673 |100724,1|7809,374844|

| |4 | |

|455,0335034 |4100,289|226,0062254|

| |6 | |

|441,689631 |2569,438|4666,30651 |

| |7 | |

|260,1991902 |17108,85|392,0720684|

| |2 | |

|Suma |217147,8|21917,93389|

| |72382,60|3652,988981|

| |1 | |

Apskaičiavusi gavau, kad tiesinės regresijos dispersijų santykis lygus:

|F= |41,3670|

| |2 |

Eksponentinės :

|F= |19,81462|

| |3 |

Surandu kritinę reikšmę [pic]= 5,4094471, kai α = 0.05, ν1 = 3, ν2 =

5. Tiek Fst tiesinis, tiek Fst eksponentinis yra didesnis už kritinę

reikšmę Fkr ir galiu teigti, kad abi regresijos lygtys yra adekvačios

realiai padėčiai.

Apskaičiuoju koreliacijos koeficientus R šios formulės pagalba:

[pic]

Gaunu, kad:

Tiesinės regresijos R = 0,9766

Eksponentinės regresijos R = 0,9398

Taigi, šis koreliacijos koeficientas parodo ryšio stiprumą tarp y veiksnio

ir visų x veiksnių kartu.

Kaip jau minėjau aukščiau, pirmo LINEST ir LOGEST lentelės stulpelio

trečioje eilutėje yra determinacijos koeficientas D = R2. Determinacijos

koeficientas D parodo, kokią priklausomojo kintamojo kitimo dalį nulemia

nepriklausomų kintamųjų kitimas, o (100 – D) – kiti neįvertinti veiksniai.

Determinacijos koeficientas gali priimti tokias reikšmes: 0 ≤ R² ≤ 1. Kuo

R² yra arčiau 1, tuo mano pasirinktas modelis geriau aprašo duomenis.

Dtiesinis = 0,9539

Deksponentinis = 0,8833

Tai reiškia, kad tiesinė daugianarės regresijos lygtis paaiškina

95,39% Y išsibarstymą apie vidurkį, o eksponentinė regresijos lygtis –

88,33%. Taigi tiesinė daugianarės regresijos lygtis geriau paaiškina Y

išsibarstymą apie vidurkį. Determinacijos koeficientas parodė, kad išlaidos

statybinėms medžiagoms priklauso nuo paimtų regresinei analizei veiksnių,

kai regresija tiesinė – 95,39% nuo išlaidų statybinių medžiagų

transportavimui, statybininkų darbo užmokesčio ir išlaidų projektavimo

darbams, kai regresija eksponentinė – 88,33%.

4. GAUTŲ REZULTATŲ APRAŠYMAS

Koreliacinė regresinė analizė parodė, kad iš pateiktų visų penkių

veiksnių, išlaidos statybinėms medžiagoms labiausiai priklauso nuo išlaidų

statybinių medžiagų transportavimui, statybininkų darbo užmokesčio ir

išlaidų projektavimo darbams.

Skaičiuojant porinę regresinę analizę, nustačiau tokias šių kintamųjų

tiesines regresines lygtis, adekvačias realiai padėčiai, kurias galima

taikyti planavime ir prognozavime:

|yi=106,2117+1,21965|

|x |

|yi=163,4951+1,03883|

|5x |

|yi=152,4417+1,20484|

|x |

Atlikus daugianarę regresinę analizę, nustačiau, kad tiesinė

daugianarės regresijos lygtis paaiškina 95,39% Y išsibarstymą apie vidurkį,

o eksponentinė regresijos lygtis – 88,33%. Taigi eksponentinė daugianarės

regresijos lygtis geriau paaiškina Y išsibarstymą apie vidurkį.

Skaičiuojant daugianarę regresinę analizę, gavau, kad eksponentinės

regresijos koreliacijos santykis (0,99) geriau atspindi ryšio stiprumą tarp

y veiksnio ir vvisų x veiksnių kartu, nes jis yra didesnis už tiesinės

regresijos koreliacijos santykį (0,975).

5. TYRIMO REZULTATŲ PRAKTINIS TAIKYMAS

MS EXCEL funkcijų TREND (tiesinė) ir GROWTH (eksponentinė) pagalba

galiu prognozuoti, kaip pasikeis išlaidos statybinėms medžiagoms, pakitus 3

jas labiausiai įtakojantiems veiksniams: išlaidoms statybinių medžiagų

transportavimui, statybininkų darbo užmokesčiui bei išlaidoms projektavimo

darbams.

|Y |X1 |X3 |X4 |

|dos |os |ininkų |dos |

|goms, |ų |tūkst. |s, |

|Lt) |rtavimu| |Lt) |

| |i, | | |

| |Lt) | | |

|500 |250 |350 |150 |

|360 |315 |150 |200 |

|470 |215 |360 |260 |

|250 |70 |190 |80 |

|150 |150 |50 |90 |

|330 |200 |100 |200 |

|620 |360 |350 |400 |

|440 |270 |300 |200 |

|510 |250 |250 |300 |

|280 |255 |90 |100 |

|Nauji |Nauji |Nauji |

|X1 |X3 |X4 |

|215 |315 |115 |

|280 |115 |165 |

|180 |325 |225 |

|35 |155 |45 |

|115 |15 |55 |

|165 |65 |165 |

|325 |315 |365 |

|235 |265 |165 |

|215 |215 |265 |

|220 |55 |65 |

Pagal naujuosius x atlieku skaičiavimus TREND ir GROWTH funkcijų

pagalba. Naujus x pasirinkau 35000 Ltmažesnius. Gaunu tokius duomenis:

|TREND |GROWTH |

|406,5058195|396,3651|

|324,5361515|304,0130|

| |3 |

|452,919392 |430,3424|

| |8 |

|189,8595113|203,0422|

|134,5223798|172,9516|

| |1 |

|243,1365034|231,2829|

| |2 |

|575,8353327|603,5451|

| |6 |

|406,0957748|387,6971|

| |2 |

|413,6961509|376,3278|

| |9 |

|210,0016843|221,6946|

| |2 |

Matome, kad nauji Y tiesinio trendo skaičiavimo parodymais yra taip

pat mažesni, eksponentinio growth‘o skaičiavimo parodymais – Y kinta labai

įvairiai.

Kadangi tiesinė regresijos lygtis:

ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838X3+0,493828X4 geriau aprašo mano

analizuojamąjį modelį, tai atliksiu prognozes tik pagal ją.

1. Jei metinės išlaidos statybinių medžiagų transportavimui sumažės 35000

Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat sumažėtų:

ŷ=49,37155+0,4170239(X1-35)+0,668838X3+0,493828X4

2. Jei metinės statybininkų darbo užmokestis (visiems darbininkams

bendrai) sumažėtų 35000 Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip

pat sumažėtų:

ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838(X3-35)+0,493828X4

3. Jei metinės išlaidos projektavimo darbams sumažėtų 35000 Lt, tai

išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat sumažėtų:

ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838X3+0,493828(X4-35)

|Nauji |Nauji |Nauji |

|X1 |X3 |X4 |

|285 |385 |185 |

|350 |185 |235 |

|250 |395 |295 |

|105 |225 |115 |

|185 |85 |125 |

|235 |135 |235 |

|395 |385 |435 |

|305 |335 |235 |

|285 |285 |335 |

|290 |125 |135 |

Tą pačią veiksmų seką atlieku, jei reikšmingi X padidėja 35000 Lt. Gaunu

tokias TREND ir GROWTH reikšmes:

|TREND |GROWTH |

|517,0840795|546,0054|

| |8 |

|435,1144114|418,7875|

| |7 |

|563,497652 |592,8103|

| |9 |

|300,4377713|279,6970|

| |6 |

|245,1006398|238,2463|

| |2 |

|353,7147634|318,5995|

| |4 |

|686,4135927|831,4025|

| |7 |

|516,6740347|534,0650|

| |6 |

|524,2744108|518,4035|

| |9 |

|320,5799443|305,3913|

| |5 |

Išvada: išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat išauga, išaugus visiems

trims reikšmingiems veiksniams:

1. Jei metinės išlaidos statybinių medžiagų transportavimui padidėtų

35000 Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat išaugtų:

ŷ=49,37155+0,4170239(X1+35)+0,668838X3+0,493828X4

2. Jei metinės statybininkų darbo užmokestis (visiems darbininkams

bendrai) sumažėtų 35000 Lt, tai išlaidos statybinėms medžiagoms taip

pat sumažėtų:

ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838(X3+35)+0,493828X4

3. Jei metinės išlaidos projektavimo darbams sumažėtų 35000 Lt, tai

išlaidos statybinėms medžiagoms taip pat sumažėtų:

ŷ=49,37155+0,4170239X1+0,668838X3+0,493828(X4+35)

6. PROGNOZAVIMAS

Prognozė gali būti atliekama dviem metodais: slenkančio vidurkio ir

eksponentinio išlyginimo metodu.

Slenkančio vidurkio metodas. Jo esmė yra ta, kad prognozė yra

skaičiuojama pagal paskutiniąsias reikšmes. Pirmąją prognozę atlieku pagal

trijų paskutinių reikšmių sumą, antrąją – pagal dviejų paskutinių reikšmių

sumą. Šis vidurkis naudojamas kaip prognozė naujam eiliniam laikotarpiui.

Paklaida – tai skirtumas tarp realaus fakto ir prognozės. Vidutinė

kvadratinė paklaida atspindi prognozės tikslumą.

Uždavinys: turime sstambios statybos bendrovės 16 savaičių statybos užsakymų

statistinius duomenis:

|Molis (g) |250 |500 |6000 |

|Vanduo (ml) |600 |300 |9000 |

|Darbo valandos (h)|2 |4 |68 |

|Pelnas (Lt) |0,5 |0,4 | |

Tikslo funkcija: max f(x) = 0,5 x1+0,4 x2

Apribojimai:

250 x1 + 500 x2 ≤ 15000

600 x1 + 300 x2 ≤ 9000

2 x1 + 4 x2 ≤ 68

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

SPRENDIMAS

|250 x1 + 500 x2 = 15000 |

|Kai x1 = 0, tai x2 = 30 |

|Kai x2 = 0, ttai x1 = 60 |

|600 x1 + 300 x2 = 9000 |

| |

|Kai x1 = 0, tai x2 = 30 |

|Kai x2 = 0, tai x1 = 15 |

|2 x1 + 4 x2 = 68 |

|Kai x1 = 0, tai xx2 = 17 |

|Kai x2 = 0, tai x1 = 34 |

Tikslo funkciją taip pat parašau kaip lygtį, kad galėčiau nubrėžti tiesę

(grafike raudona punktyrinė linija).

0,5 x1+0,4 x2 = 20

Kai x1 = 0, tai x2 = 50

Kai x2 = 0, tai x1 = 40

Kadangi uždavinys yra maksimumo, šią tiesę lygiagrečiai keliant i viršų,

surandu tolimiausią leistinų sprendinių tašką (B). Šiame taške kertasi

antra ir trečia tiesės, todėl:

[pic]

Taigi:

[pic][pic]

x1 = 8,66

x2 =12,67

Imame sveiką plytų skaičių ir tada suskaičiuojame maksimalų pelną: 0,5×8 +

0,4×12 = 8,8 Lt

Ats.: Norint gauti maksimalų pelną (8,8 Lt), reikia gaminti 8 vienetus

raudonų plytų ir 12 vienetų – geltonų plytų.

Viršuje į langelius vienas po kito įrašau x1 ir x2. Žemiau įrašau

tikslo funkciją be dešiniosios nelygybės dalies. Toliau parašau tris

turimas nelygybes. Iškviečiu Tools → Solver komandą. „Set Target Cell“

langelyje pažymiu tikslo funkcijos langelio koordinates, o „Equal to“

laukelyje pažymiu – „max“. „Subject to the constraints“ laukelyje įvedu

visas nelygybes, o „Options“ laukelyje pasirenku „Assume Linear Model“ →

„Solve“ komandą.

Ten, kur turėjau x1 ir x2, gavau optimalaus sprendinio koordinates;

kur buvo nelygybės, ten parodyta, kiek atsargų bus sunaudota, o tikslo

funkcijos vietoje – koks bus pelnas.

|8,66 |12,67 |

|9,3 | |

7.2. Dualus uždavinys

Pradinis uždavinys:

|0,5*X1 + 0,4*X2 → max |

|250 x1 + 500 x2 ≤ 15000 |

|600 x1 + 3300 x2 ≤ 9000 |

|2 x1 + 4 x2 ≤ 68 |

|x1 ≥ 0 |

|x2 ≥ 0 |

Atrenku du apribojimus iš pradinio gamybos planavimo uždavinio ( 7.1.

skyrius) ir sprendžiu dualų uždavinį:

|600 x1 + 300 x2 ≤ 9000 |y1 |

|2 x1 + 4 x2 ≤ 68 |y2 |

Iš čia: 9000y1 + 68y2 → min

600y1 + 2y2 ≥ 0,5

300y1 + 4y2 ≥ 0,4

y1 ≥ 0, y2 ≥ 0

Šį dualų uždavinį išspręsiu grafiniu būdu:

(1) 600y1 + 2y2 = 0,5

y1 = 0, y2 = 0,25

y2 = 0, y1 = 0,000833333

(2) 300y1 + 4y2 = 0,4

y1 = 0, y2 = 0,1

y2 = 0, y1 = 0,001333333

Tikslo funkciją taip pat parašau kaip lygtį, kad galėčiau nubrėžti tiesę

(grafike punktyrinė linija).

9000y1 + 68y2 = 6,12

y1 = 0, y2 = 0,09

y2 = 0, y1 = 0,0068

Kadangi uždavinys yra minimizavimo, šią tiesę lygiagrečiai keliant i

viršų, surandu artimiausią leistinų sprendinių tašką (B).

[pic]

B – optimalus taškas.

Apskaičiuoju optimalaus taško koordinates:

600y1 + 2y2 = 0,5

300y1 + 4y2 = 0,4

y1 = 0,000666666

y2 = 0,05

B(0,000666666; 0,05)

Apskaičiuoju Zmin(opt) = 9000*0,000666666 + 68*0,05 = 9,399994 (Lt)

Pagal dualumo teoriją, jei vienas planavimo uždavinys turi optimalų

sprendinį, tai jį turi ir dualus uždavinys, ir optimalios funkcijų reikšmės

yra lygios.

Kadangi mano suformuluotame uždavinyje įmonė gamina plytas, planavimo

uždavinyje skaičiuodama Z(opt) apvalinau x1 ir x2 iki sveikojo plytų

skaičiaus (į mažesnę pusę) ir gavau tokią reikšmę: 0,5 × 8 + 0,4 × 12 = 8,8

Lt. Tačiau imant nesuapvalintas reikšmes, gaunu didesnį rezultatą: 0,5 ×

8,66 + 0,4 × 12,67 = 9,398, pagal šį skaičiavimą 1-ojo ir 2-ojo uždavinio

reikšmės yra labai artimos viena kitai.

7.3. Išteklių ,,šešėlinės’’ kainos ir gautų rezultatų aprašymas

Dualaus uždavinio sprendinys yra išteklių šešėlinės kainos. Šešėlinių

kainų tiesiogiai nematome, tačiau tai yra viršutinė riba, kurią sutinka

mokėti verslininkas.

Taško B koordinatės A (0,000666666; 0,05) ir yra šešėlinės kainos. Tai

reiškia, kad raudonos plytos šešėlinė kaina lygi 0,000666666. Geltonos

plytos šešėlinė kaina lygi 0,05.

Pelnas bus:

|Zmin(opt) = 9000*0,000666666 + 68*0,05 = 9,399994 (Lt) |

Išsprendusi gamybos planavimo uždavinį sužinojau, kiek reikia gaminti

raudonų ir kiek geltonų plytų, kad užtektų visų išteklių ir gautume

maksimalų pelną. Išsprendusi dualų uždavinį sužinojau išteklių „šešėlines“

kainas, kurios parodo kaip pasikeistų tikslo funkcija, padidinus vienu

vienetu turimus išteklius.

8. TRANSPORTO UŽDAVINYS

3 statybinių medžiagų gamintojai (siuntimo punktai) tiekia staybines

medžiagas (vienetais) į 4 statybinių medžiagų parduotuves (gavimo punktus):

Prekės turi būti išvežiotos į parduotuves. Kiekvienas gamintojas gali

vežti prekes į kiekvieną parduotuvę.

TIKSLAS – sudaryti tokią pervežimų programą, kad:

➢ Bendros transportavimo išlaidos būtų mažiausios;

➢ Visų staybinių medžiagų parduotuvių (gavimo punktų) statybinių

medžiagų poreikiai būtų visiškai patenkinti;

➢ VVisų statybinių medžiagų gamintojų (siuntimo punktų) atsargos būtų

išvežtos.

Žymėjimų reikšmė:

Xij – kiek statybinių medžiagų vienetų vežti iš siuntimo punkto i į gavimo

punktą j.

Cij – vieno statybinių medžiagų vieneto pervežimo kaina ( Lt ).

ai – atsargos siuntimo punktuose ( vienetais ).

bj – atsargos gavimo punktuose ( vienetais ).

Tikslo funkcija išreiškia bendras transportavimo išlaidas:

Transporto uždavinio sprendimui naudosiu pervežimo lenteles, kurių kampuose

pažymėtos pervežimo kainos:

| |B1 |B2 |B3 |B4 |ai |

|A1 | | | | |400 |

| |2 |2 |3 |2 | |

|A2 | | | | |300 |

| |4 |1 |3 |4 | |

|A3 | | | | |200 |

| |3 |3 |3 |1 | |

|bj |100 |400 |250 |150 |900 |

Mano tikslo fukcija atrodys taip: 2X11 + 2X12 + 3X13 + 2X14 + 4X21+ X22 +

3X23 + 4X24 + 3X31 + 3X32 + 3X33 + X34 → min

Tarp visų apribojimų sistemos sprendinių reikia rasti tokį, kur tikslo f-ja

įgytų mažiausią reikšmę.

X11+X12+X13+X14(a1 = 400 X11+X21+X31(b1 = 100

X21+X22+X23+X24(a2 = 300 X12+X22+X32(b2 = 400

X31+X32+X33+X34(a3 = 200 X13+X23+X33(b3 = 250

X14+X24+X34(b4 = 150

Pirmiausia ieškosiu leistino sprendinio šiaurės vakarų kampo metodu.

Šio metodo esmė yra ta, kad lentelė pradedama pildyti nuo viršutinio

kairiojo kampo. Jei parduotuvės poreikiai jau patenkinti, tai tas stulpelis

yra jau užpildytas ir tada slenkamasi

dešinėn. Jei sandėlio atsargos

paskirstytos, tai eilutė yra užpildyta ir slenkamasi į apačioje esantį

langelį, taip kartojama tol, kol paskirstomi visi ištekliai. Žingsniai,

kuriuos atlieku:

A1B1: X11 = 100;

A1B2: X12 =300;

A2B2: X22 = 100;

A2B3: X23 = 200;

A3B3: X33 = 50;

A3B4: X34 = 150.

Gaunu tokią pervežimų lentelę:

| |B1 |B2 |B3 |B4 |ai |

|A1 | | | | |400 |

| |2 |2 |3 |2 | |

| |100 |300 | | | |

|A2 | | | | |300 |

| |4 |1 |3 |4 | |

| | |100 |200 | | |

|A3 | | | | |200 |

| |3 |3 |3 |1 | |

| | | |50 |150 | |

|bj |100 |400 |250 |150 |900 |

Z(1) = 100*2 + 300*2 +100*1 + 200*3 + 50*3 + 150*1 = 1800 (Lt).

Šis sprendimo būdas užtikrina prekių paskirstymą, bet pervežimo kaštai

yra dideli. Todėl, ieškodama optimalaus pervežimų varianto, uždavinį

išspręsiu potencialų metodu. Kad tai atlikčiau, turiu prieš tai rastai

lentelei apskaičiuoti gamintojų (Ui) ir pparduotuvių (Vj) potencialus:

|u1 + v1 = 2 |u1 = 0 |v1 = 2 |

|u1 + v2 = 2 |u2 = -1 |v2 = 2 |

|u2 + v2 = 1 |u3 = -1 |v3 = 4 |

|u2 + v3 = 3 || |v4 = 2 |

|u3 + v3 = 3 | | |

|u3 + v4 = 1 | | |

| |Vj |2 |2 |4 |2 | |

|Ui | |B1 |B2 |B3 |B4 |ai |

|0 |A1 |100 |300 | | |400 |

| | |2 |2 |3 |2 | |

|-1 |A2 | |100 |200 | |300 |

| | |4 |1 |3 |4 | |

|-1 |A3 | | |50 |150 |200 |

| | |3 |3 |3 |1 | |

| |bj |100 |400 |250 |150 |900 |

Optimalus sprendinys bus tada, kai pervežimų lentelės visuose

laisvuose langeliuose galios ši nelygybė:

γij = Cij – (Ui + Vj) ≥ 0

Jei γij < 0, sudarome ciklą ir skaičiuojame poslinkį, t.y. braižome

laužtinę liniją nuo tuščio langelio per kkitus užpildytus langelius. Ciklo

viršūnėms pakaitomis priskiriame „+“ ir „–“ ženklus, pradedant nuo viršūnės

tuščiame langelyje su „+“ ženklu. Iš gautų neigiamų viršūnių išrenkam

mažiausią skaičių ir teigiamose viršūnėse jį pridedame, o neigiamose –

atimame.

Apskaičiavusi, gavau tokias γij reikšmes:

γ13 = 3 – (0 + 4) = – 1

γ14 = 2 – (0 + 2) = 0

γ21 = 4 – (-1 + 2) = 3

γ24 = 4 – (-1 + 2) = 3

γ31 = 3 – (-1 + 2) = 2

γ32 = 3 – ((-1 + 2) = 2

Kadangi: γ13 = -1, taigi L1 lentelėje pradedu skaičiuoti poslinkį.

Šiuo atveju ciklo poslinkis yra lygus 200. Iš naujo perskaičiuoju

potencialus. Gaunu naują lentelę:

| |Vj |2 |2 |3 |1 | |

|Ui | |B1 |B2 |B3 |B4 |ai |

| 0 |A1 |100 |100 |200 | |400 |

| | |2 |2 |3 |2 | |

|-1 |A2 | |300 | | |300 |

| | |4 |1 |3 |4 | |

| 0 |A3 | | |50 |150 |200 |

| | | | |3 |1 | |

| |bj |100 |400 |250 |150 |900 |

|u1 + v1 = 2 |u1 = 0 |v1 = 2 |

|u1 + v2 = 2 |u2 = -1 |v2 = 2 |

|u1 + v3 = 3 |u3 = 0 |v3 = 3 |

|u2 + v2 = 1 | |v4 = 1 |

|u3 + v3 = 3 | | |

|u3 + v4 = 1 | | |

Atlikus ciklo poslinkį, radau, kad šioje lentelėje visi γij yra teigiami:

γ14 = 2 – (0 + 1) = 1

γ21 = 4 – (-1 + 2) = 3

γ23 = 3 – (-1 + 3) = 1

γ24 = 4 – (-1 + 1) = 4

γ31 = 3 – (0 + 2) = 1

γ32 = 33 – (0 + 2) = 2

Apskaičiuojų optimalų sprendinį:

Z(opt) = 100*2 + 100*2 +200*3 + 300*1 + 50*3 + 150*1 = 1600 (Lt).

IŠVADA: 1 statybinių medžiagų gamintojas turi vežti:

• Į 1 parduotuvę – 100 statybinių medžiagų vienetų;

• Į 2 parduotuvę – 100 statybinių medžiagų vienetų; Pervežimo

išlaidos bus:

• Į 3 parduotuvę – 200 statybinių medžiagų vienetų.

100*2+100*2+200*3 = 1000 Lt

2 statybinių medžiagų gamintojas turi vežti:

• Į 2 parduotuvę – 300 statybinių medžiagų vienetų. Pervežimo

išlaidos bus:

300*2 = 600 Lt

3 statybinių medžiagų gamintojas turi vežti:

• Į 3 parduotuvę – 50 statybinių medžiagų vienetų;

• Į 4 parduotuvę – 150 statybinių medžiagų vienetų; Pervežimo

išlaidos bus:

50*3 + 150*1 = 300 Lt

Tai optimalus pervežimo planas, nes:

• Bendros transportavimo išlaidos yra mažiausios ( 1600 Lt );

• 4 parduotuvių poreikiai patenkinti;

• 3 statybinių medžiagų gamintojų visa produkcija išvežta.

LITERATŪRA

1. Kiekybinių sprendimų metodų disciplinos paskaitų medžiaga.

———————–

[pic]

Statybinių medžiagų parduotuvės

Statybinių medžiagų gamintojai (siuntimo punktai)